2024-2025高三综合能力调研检测数学A版（六）-【真题密卷】2025年高考数学综合能力调研检测（A版）

·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度综合能力调研检测 数学（六） 一、选择题 设△AB1C1外接圆的圆心为O2,半径为r2,则由正弦 1.D【解析】因为-2i,垫里得3i=-1区，所以 定理得2m8AC= a =”0-g- 3i 2×151⑤ 8 连接OO2,易知OO2⊥平面AB1C1, 2.B【解析】由题意知M={x|x>1},NM,所以p是 所以球心O到平面AB1C1的距离为OO2, q的必要不充分条件. 3.A【解析】由正弦定理得a 所以00：=R-r3-1e4-1e-0c2,900: sinA=smB,所以、 sin 60 W15 sinB,所以sinB= 、b 2, 30a. =1-61 A c0s 2B-1-2 sinB-1-2x 22 解得b=1. B 4.D【解析】由题意知共有A=7×6×5×4×3=2520 种排法. 5.A【解析】设等比数列{am}的公比为q, A 因为S2=3a2,可得a1+a2=3a2,即a1=2a2,所以q =a21 a12 8.B【解析】对于mx2十x-1=0,当m=0时，方程有一 a1(1-q") 所2-是a9g-1 1-9 1-q” 个实数根 当m0时，若4=1十m>0,即m>-子，方程有两 6.B【解析】设矩形的两边长分别为2a,2b(a>b),则 1a2+b2=7, 个不等的实数根； 解得a=4故c=a-6=1, 2aX2b=8√3， 62=3, 41+4m0,即m三}，方程有一个实数 故该椭圆的离心率为e=C=】 a 2. 若4=1十m<0,即m<-日，方程无实数根 7.C【解析】如图所示，设底面A1B1C1外接圆的圆心为 对于x21nx2-m=0,记f(x)=x21nx2,其定义域为 O1,半径为r1, {x∈Rx≠0}， a 3 则由正弦定理得r1=2sin60=3a,又因为正三棱柱 且f(-x)=f(x),所以f(x)=x21nx2为偶函数， 的高为√3a,球心O在上下底面中心连线的中点，设球O 当x>0时，记t=x2,则g(t)=tlnt, 的半丝为，A0-R-停-)广+停”品 所以g'(e)=1n1+1,当t(0,)时，g')<0,g) 由题可知AB1=AC1=2a,在△AB1C1中， 单调递减； 当（日，+）时ge≥0，ge)单调递增，且g(日) sin∠B1AC1=2sin B,ACAC-x易 2 1 √15a e 2 √15 又t→0时，g(t)→0；t→十o∞时，g(t)→+o∞. 2a 8, 又因为f(x)为偶函数，且当x=士1时，f(x)=0, A 数学答案（六）·第1页（共6页） 真题密卷 综合能力调研检测（六） 则f(x)的大致图象如图所示： 对于C,由2×12 3-2,得gx)的图象关于直线 ,11ππ3π 11元 x= 12 对称，故C正确； 对于D.令ga)=sm2z-）+1=1,则2z-骨 kπ(k∈Z), 所以当一 1 <m<0时，方程x21nx2-m=0有4个实 解得x= 开士使∈），令x1曰 e 2+ 2 数根； zx2=2+石(k2∈Z), 当m≥0或m=- 时，方程x21x2一m=0有2个实 e 所以x1一x2= +-+ k1一k2 数根； 2π， m<-二时，方程x21nx2一m=0无实数 因为k1,k2∈Z,所以k1-k2∈Z, 由题可知方程x1nx2一m=0有4个实数根，方程 所以x1一x:是分的整数倍，放D正确。 mx2+x-1=0有2个实数根， 11.ACD【解析】f(x)=xe的定义域为(-∞，十∞)， 所以-1<m<0且m>- e 4 f'(x)=(x+1)e, 就上，实袋m的取值范周为一昌<m<0, 当x∈(-∞，一1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x∈(-1，十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. 此时，因为f(1)=0,f(-1)=0,所以方程x21nx2一m 对于A,由上可知，f(x)在x=一1处取得极小值， =0的四个实根介于-1到1之间，设mx2十x-1=0 的两根为x1x2,则x1十x=一 mxx2=一 因为 1 f(-1)-故A正确： 对于B,因为当x<0时，f(x)<0,当x→-∞时，f(x)→ -<m<0,所以：月正，且十-1，所以 0;当x≥0时，f(x)≥0，当x→+∞时，f(x)>+∞. x1>1且x2>1,所以x21nx2-m=0与mx2+x-1= 所以若方程f(x)=m有两个不同的实根，则必有 0共有6个不同实根时，m<0, -1<m<0,故B错误； e 二、选择题 对于C,因为f(x)在(-1，十∞)上单调递增， 9.ABD【解析】将这组数据从小到大排列为：2,4,9,11， 11,11,11,所以极差为9，中位数为11， 且>>-是>-1，所以(》>)> e 年均为2牛4牛9+11+11+1-9<0， 7 f(-),故C正确； 7×30%=2.1,所以30%分位数为9. 对于D,设点P(xoyo),由题可知(xo十1)eo=1, 10.ACD【解析】依题可知g(x)=sin(2x-）+1, 因为当x0>一1时，y=(x0十1)e0单调递增，所以 对于A,因为sim2红-）e[-1,山，所以gx)≤2， (x0十1)e=1有唯一的解， 观察可知x。=0,所以点P(0,0)到直线y=x一1距 所以|g(x)|=g(x),所以|g(x)|的最小正周期与 g(x)的最小正周期相同，都为π，故A正确； 离的最小值为d=是一-2 2=2,故D正确 对于B,圈为g(）=sin2×-）+1=≠1， 三、填空题 12.1【解析】由题意可得a+b=(-1,一1)，a-b 所以g《✉)的图象不关于点（任，1）对称，故B错误： (-3,3),所以(a+b)·(a-b)=3-3=0, 数学答案（六）·第2页（共6页） A ·数学· 参考答案及解析 所以a+b)La-b),所以0=受，从而sin0=1. 18.号【解标】由fx)=-2+2az十3=-(-a 6 十a2+3可知，函数图象开口向下，且对称轴为x=a. 当a≤1时，f(x)mx=f(1)=2+2a=1,解得a= 10 1 ,符合条件； 当1<a<3时，f(x)max=f(a)=a2+3=1,无解； 当a≥3时，f(x)max=f(3)=-6十6a=1,解得a= 7 ,不符合条件. 四、解答题 1 综上所述，符合条件的只有Q=一2 15.解：(1)由2W3S=3 bccos A及S=2 bcsinA, 14.(-∞，-1)U(1,+∞)；1【解析】由题可知4=2p, 得23X2 besin A=36 ccos A,整理得3sinA=3cosA, 所以p=2,所以C:y2=4x, 设直线1：x-my十1=0， (3分) x-my+1=0, 即tanA=√5， 联立{ 整理得y2一4my十4=0， y2=4x, 又0<A<π，所以A= 3 (5分) 因为l:x-my+1=0交C于M(x1,y1),N(x2,y2) 两点， (②由①知A=号所以B叶C-答所以B--c 所以△=16m2-16>0,即m<-1或m>1. 且y1+y2=4m,y1y2=4, 义因为△ABC为角三角形，所以0<B-号-C< 1+1-y+=m, (7分) y1 y2 yiy2 含且0<C<受：即g<C< 所以1+1的取值范周为（一0，-1U1,十四）. 又由正弦定理口，=6 C y1 y2 sin A sin B sin C' 记P()Q空yA(-1,0,&点F,0 得6+c-sinB+sinC sm得-c+sinc sin A sin A 设直线NF方程为x=ny+1,代入y=4x,整理得 y2-4ny-4=0, 23W3 2停msc+2nc=smlc+》,a0分列 则y2y4=-4,y4=- 。,同理可得=一4 4 11 因为<C<，所以<C+<，所以< 叉y1y:=4,所以y=一4 4 =一y2,y4=一 2 sin(c+若）≤2， (12分) ,即P(，-),Q(学，-)：南此可知M与 所以十C的取值范围为(3,2]. (13分) Q,N与P关于x轴对称， 16.解：(1)由题意，记“甲一次性通过”为事件A,“乙一次 所以△FMN≌△FQP,所以S△FMN=S△FQP,即 性通过”为事件B,“两人得分之和为0分”为事件C, S△FMN=1. SAFQP 则PA)=,PA)=1-,P(B)=名-， 数学答案（六）·第3页（共6页） 真题密卷 综合能力调研检测（六） P(B)- 17.(1)证明：取BC的中点O,连接AO,B1O, 因为BC=CC1,所以四边形BCC1B1为正方形，又因 C=AB)UAB),所以P(C)=p×(-日）+(1- 为M,O分别为CC1,BC的中点， px(日-)=， (3分) 所以B1O⊥BM. (2分) 因为底面△ABC为正三角形，所以AO⊥BC, .1 整理得6D7力十2=0，解得力。或力三，5分) 又因为ABCA1B1C1为正三棱柱，所以AO⊥平面 7 2 7 1 BCC1B1, (3分) 1.2 所以AO⊥BM,又AO∩B1O=O,AO,B,OC平面 所以力的值为2或3 (6分) AOB1,所以BM⊥平面AOB1,又AB1C平面AOB1, (2)由(1)可知，甲、乙两人各能一次性通过的概率分别 所以BM⊥AB1,又由题可知四边形ABB1A1为正方 站号 (7分) 形，所以AB1⊥A1B,又A1B∩BM=B,所以AB1⊥ 甲、乙两人各实验一次，记此时两人得分之和为随机变 平面A1MB. (5分) 量，则的可能取值为2,0，一2， C B Pg=2)=日×号-Pg=0= 1 111 A P(5=-2)=2×3=6: (8分) 甲、乙两人各实验两次，记两人得分之和为随机变量 X,则X的可能取值为4,2,0，一2，一4， W P(X=4)=C号P(传=2)·P(传=2)= B P(X=2)=C2P(g=2)·P(E=0)=2X 1、11 3×2=3 P(X=0)=C2P(传=2)·P(5=-2)十C号P(5=0)· (2)解：取B1C1的中点为O1,连接OO1,由(1)的证明 1、1,1、113 P(=0)=2×3×6+2×-361 可知OA,OB,OO1两两相互垂直，所以分别以OA, OB,OO1所在直线为x,y,之轴，建立如图所示的空 P(X=-2》)-=CP(g=-2)·P(g=0)=2X6×2=6, 111 间直角坐标系， PX-=CP传=-2》P=-2》=(G》-高 B (12分) 故甲、乙两人各实验两次，两人得分之和X的分布列为 2 0 -2 -4 13 1 N 9 3 6 36 B (13分) 1 1 E(X)=4X 9+2X 3+(-2) 6+(-4)X 36 2.3 3 令BC=2a,则O(0,0,0),B(0,a,0),M(0,-a,a), 5’ A(3a,0,0),B1(0,a,2a), 故甲，乙两人各实验两次，E(X)>3 1 (15分) 设N(3a,0,h)(0≤h≤2a), 数学答案（六）·第4页（共6页） A ·数学· 参考答案及解析 由(1)的证明可知平面A1MB的一个法向量可以取 化简得（经-r-2张0，-红，）z-(。-x,2 n1=AB1=(-√3a,a,2a), 又MN=(W3a,0,h)-(0,-a,a)=(3a,a,h-a), 1=0. (6分) 所以M.n1=(W3a,a,h-a)·(-V3a,a,2a)= 因为1与C只有一个公共点且1不与渐近线平行，所 2ah-4a2, -k≠0且△=0，解得k=4y。 xo |n1|=|AB|=2√2a,|MN|=√4a2+(h-a)F, 记直线MN与平面A,MB所成角为a,则sina= 所以直线PT:y一-玩（红-，令y-0,科 ✉m-a |2ah-4a2| |Mlln1|22a×√4a2+(h-a) ) h-2a 3√34 34, (6分) √8a2+2(h-a)z 故TF,=4+5,TF=-4+5. (8分) xo 解得A-8或五-20（合）。 (8分) 5 因为|PF=√+5)+8=√行x+25x+4 设平面MNB的法向量为n2=(x,y,之)， 由上证明可知N为AA1靠近点A的四等分点，所以 汽 N3a,0,2),此时M-(a,a,-2) 所以|PF2|=|PF1-4= Mi=(0,2a,-a), 2x0-2, 所以|PF1·TF2|=|TF|·|PF2, 所以 即以 m2·Mi=0, 卧 TF 2y-之=0， (10分) 令y=1,则x=0,之=2，所以n2=(0,1,2),(12分) (ⅱ)解：点N在定直线上. (11分) 所以到oa- 理由如下： (-3a,a,2a)·(0,1,2)=10 由(1)知，F2(5,0),设N(x1,y1), (14分) 2√2aX5 4 由题意，F2d.F2P=(x1-5,y1)·(x。-5,y)=0, 故平面MBN与平面A1MB夹角的余弦值为0. 即x1x0-V5x1-√5x0+5+y1y0=0①， (15分) 由(1)知，l的方程为xox-4yoy=4, 18.(1)解：设F2(c,0),依题意c=√5，所以F2(W5,0), 又点N在l上，故xox1-4y0y1=4②.(13分) 所以右焦点F,(5,0)到渐近线y=±bx距离为1， 由①②，得5x1x0-4W5x1-4V5x0+16=0, 所以bc 即(5x0-45)x1=45x0-16. =b=1,所以a2=c2-1=4, √a2+b2 故C的标准方程为号-y°=1. 因为5。-45≠0，所以：=45x。-16 5x0-4√5 (4分) (2)(1)证明：设直线1：y-yo=k(x一xo),且x6 45(x。- 4W5 5 45 4y8=4, (16分) [x2 5x0 45 5 联立4 -y2=1, y-y。=k(x-xo), 故点V在定直线x=45 (17分) A 数学答案（六）·第5页（共6页） 真题密卷 综合能力调研检测（六） 19.解：(1)f(x)与g(x)具有“关于xo的”关系，理由 （1)当a≤0时，因为'(e)=(ax+2a1)<0,所以 (x+1)2 如下： 根据定义，若f(x)与g(x)具有“关于x。的”关系， r(x)在(0，十∞)上单调递减， 所以r(x)<r(0)=0,所以r(x)在(0，十∞)上无零 则方程f(x)=g(x)有解， (1分) 点，所以a≤0不符合题意； (12分) 因为f(x)=e-1 2x,g（x)=x2士7x1, (i)当a>0时， Ah(x)=f(x)-g(x)=e-*-z-x2+1, ①当2-日产0，即a≥专时，因为)- 则h'(x)=-ex-1-2x, 记p(x)=h'(x)=-e-1-2x,则p'(x)=ex-2, x(ax+2a-1) ax(+2-1) a >0, 令p'(x)=0,得x=-ln2, (3分) x+1 x+1 所以当x∈(-∞，-ln2)时，p'(x)>0,p(x)单调递增， 所以r(x)在(0，十∞)上单调递增， 当x∈(-ln2,十∞)时，p'(x)<0,p(x)单调递减，所 所以r(x)>r(0)=0,所以r(x)在(0，+∞)上无零 以p(x)≤p(-ln2)=-3+2ln2<0, 点，所以a≥不符合题意， (14分) 所以h(x)单调递减，又h(0)=2>0,h(1)=e1-1<0, (5分) ②当2<0，即0<a<2时，令()=0，则x= a 所以3xo∈(0,1)，使得h(xo)=0,即f(xo)= 12 g(zo), a 所以f(x)与g(x)具有“关于x。的T”关系.(6分) 令0，则0<日-2冷/c)≥0，则x>日-2。 (2)由题知方程f(x)=g(x)无解，即a十2=nx x 所以rc)在(0，-2)上单调递减，在（日-2，+∞）上 无解. 单调递增， 令m(x)=n,则m'(x)=-ln之 x (7分) 所以（日-2小<r0)=0,取（大于}-2， 当x∈(0，e)时，m'(x)>0,m(x)单调递增， 1 当x∈(e,+o)时，m'(x)<0,m(x)单调递减， 所以e6-xo+1)>1+ax+2a2z6-(x+1)> 所以m(x)≤m(e)=。, 1 (8分) 3ai-w-7az,-2)=0, 当x≥1时，m(x)>0; 所以ax>ln(xo+1), 当x→0时，m(x)→-o∞；当x→十∞，m(x)→0. 所以，a)=az6十0-1n,十1)>a8+a x0十1 x0+1 令a+2>。,即a>是-2时，方程a+2-0无解， ln(xo+1)=a.x0-ln(xo+1)>0, 所以实数。的取值范围为（日-2，十∞） (10分) 所以3x1∈（日-2，x,使得r(c）=0,所以0<a< (3)依题可转化为r(r)=ax十 x+1 -ln(x+1)在(0，+∞) 2符合题意； 上有零点，则，'(x)=x(ax+2a-1) (17分) (x+1)2 ,x∈(0，十∞)， 综上，实数a的取值范围为0，号)】 数学答案（六）·第6页（共6页） A2024一2025学年度综合能力调研检测 卺题 数学（六） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.若之+ 之-1 =2i,则之= () A-+ B8- 3 、6 D.5-5 2.若p:函数f(x)=ln(x一1)的定义域为集合M,q:集合N={x|2<x<3},则p是q的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 3.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=√3，A=60°，若cos2B= 2’ 则b= () A.1 B.√5 C.2 D.2√2 4.从标号分别为1,2,3,4的四个不同圆形图标与标号分别为6,7,8的三个不同方形图标 中任取5个图标排成一排，则不同的排法共有 A.504种 B.1260种 C.2160种 D.2520种 5.记等比数列a.的前n项和为S,若S2=3a,则S () an A.2m-1 B.2n+1-3 C.2"-n D.2n+1-3n 6.加斯帕尔一蒙日是18-19世纪法国著名的几何学家.他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的 任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为 “蒙日圆”.现有如图所示半径为√7的“蒙日圆”，其内接矩形与一椭圆相切（直线与椭圆 有且只有一个公共点)，且切点为矩形各边的中点，若该矩形的面积为8√3，则该椭圆的 离心率为 () 3 A.3 D. 2 数学试题（六）·第1页（共4页） 真题密卷·综 7.已知底面边长为a,高为√3a的正三棱柱ABCA1B1C1的顶点均在球O的表面上，则球 班级 心O到平面AB,C1的距离为 √2 A.a B.30 √15 C.30a √I5 D.15a 姓名 8.若方程x21nx2一m=0与方程mx2十x一1=0共有6个不同的实数根，则实数m的取 值范围为 ( A.(-t0) c(--) 得分 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.2024年巴黎奥运会中男单八进四中樊振东逆转张本智和挺进男单四强，体现了中国体 育健儿顽强的意志品质与拼博精神，其7场的得分分别为2,9,11,11,4,11,11，则这组 数据的 () A.极差为9 B.中位数为11 C.平均数大于9 D.30%分位数为9 10.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到函数g(x) 的图象，则下列结论正确的是 ( A.g(x)的最小正周期为π Bg)的图象关于点（任，1对称 Cg)的图象关于直线工=2对称 D.若g)=gc)=1,则x1-x:是的整数倍 11.若函数f(x)=xe,则下列说法正确的是 ( Af()在x=-1处取得极小值二 B.当m>-上时，方程f(x)=m有两个不同的实根 cf(>f()>f(-) D,若点P在F(的图象上运动，则点P到直线y三x距离的最小值为号 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量a=(一2,1)，b=(1,一2)，记向量a十b与a-b的夹角为0，则sin0= 13.已知函数f(x)=一x2+2ax+3在区间[1,3]内的最大值为1，则a= 14.已知点E(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，且C的焦点为F,过点A(一1,0)作直 线1与C交于M(x1,y),N(,y2)两点，则上十上的取值范围为 ；若直线 y1 y2 MF,NF分别交C于P,Q两点（点P,Q异于点M,N),则△w S△FQP 能力调研检测 数学试题（六）·第2页（共4页） A 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2√3S=3 bccos A,其中S 为△ABC的面积. (1)求A; (2)若△ABC为锐角三角形，求十C的取值范围。 a 16.(15分)假期某家长带着甲、乙两个小孩参与户外活动体验，锻炼小孩的适应能力与创 新能力，其中在参与“过独木桥”活动的过程中，每参与一次称为一次实险（不管是否通 过)，甲、乙两人能一次性通过的概率分别为力和日-中，若一次性通过得1分；设道过 得一1分，两人每次是否一次性通过均相互独立.已知甲、乙两人各实验一次，且两人得 分之和为0分的概率为2 (1)求p的值； (2)若甲一次性通过的概率小于乙一次性通过的概率，甲、乙两人各实验两次，求两人 得分之和X的分布列，并通过数据证明E(X)>亏： 3 17.(15分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1,M为CC1的中点. B. (1)证明：AB1⊥平面A1MB, (2)若点N为线段AA1上一点，且直线MN与平面A1MB所成角的正弦值为 W34 34, 求平面MBN与平面A1MB夹角的余弦值. A 数学试题（六）·第3页（共4页） 真题密卷·综 18.7分)已知双曲线C:多1a>0,b>0)的左右焦点分别为D,F2,焦距 为2√5，且点F2到其渐近线的距离为1. (1)求C的标准方程. (2)若点P(xo,y)是C上第一象限的动点，过点P(xo,yo)作直线l(1不与渐近线平 行)，若L与C只有一个公共点，且1与x轴相交于点T(与点P不重合) PF1 TF (1)证明：PF2-TP2 (iⅱ)若点N在直线l上，且F2N⊥F2P,那么点N是否在定直线上？若在定直线 上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由. 19.(17分)定义：如果存在点xo使得函数y=f(x)和y=g(x)在该点处的函数值相等， 则称函数y=f(x)与y=g(x)具有“关于xo的”关系 )判断函数f(x)=e2x与g()=x2+x-1是否具有“关于xo的T”关 关系； (2)若函数f(x)=(a+2)x与g(x)=lnx不具有“关于xo的”关系，求实数a的取 值范围； (3)若函数fx)=a十与g(e)=1n(z+1)在区间(0，十o)上具有“关于的Tm x+1 关系，求实数a的取值范围. 合能力调研检测 数学试题（六）·第4页（共4页）