第二章 不等式与不等式组（高效培优单元测试·强化卷）数学新教材北师大版八年级下册

第二章 不等式与不等式组（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的意义可得，求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 2．关于的不等式的解集如图所示，则的值为（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解集、数轴上解集的表示，根据数轴得到解集是解题的关键． 首先根据数轴写出解集为，再将不等式化简即可得到解得的值即可． 【详解】解：如图可知，关于的不等式的解集为， ∴不等式的解集为， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：D． 3．下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可． 【详解】解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式； B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式； C、，没有不等号，故不是一元一次不等式； D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式； 故选：A． 4．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析每个选项的变形是否正确；对于错误选项，可通过举反例来验证． 【详解】解：A、若，根据不等式的性质，两边同时减去，不等号方向不变，可得，而不是，不符合题意； B、若，取，，此时，，则，说明该结论不成立，不符合题意； C、若，当时，两边同乘，不等号方向不变，得；当时，两边同乘，不等号方向改变，得．故原说法错误，不符合题意； D、若，根据不等式的性质，两边同时加上，不等号方向不变，可得，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是熟练掌握不等式的变形规则，尤其是两边乘除负数时不等号方向改变的性质，并能通过举反例快速排除错误选项． 5．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质、解一元一次不等式，根据把不等式两边同时除以时，不等号的方向改变，可知，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 解得：． 故选：B． 6．已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，第一象限内点的坐标符号特征，先根据关于轴对称的点的坐标特征求出点的对称点，再根据第一象限内的点横坐标和纵坐标是正数列出关于的不等式组，解不等式组即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为，且该点在第一象限， ∴ ， 解得， 故选：． 7．数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 8．若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 根据设有条船，又根据“每条船坐人，则人无船坐”可得学生有人，再根据“每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可． 【详解】解：∵设有条船，若每条船坐人，则人无船可坐， ∴学生总人数为人． ∵每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满， ∴使用条船，其中坐满的船数为条， ∴最后一条船的人数为人． ∵最后一条船不空也不满， ∴最后一条船的人数大于人，小于人， 即：， 不等式组为． 故选：C． 9．一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键． 先把代入可得，由；再把代入可得；由，重复计算，直到，方可输出． 【详解】解：把代入可得，由； ∴把代入可得，由； 把代入可得，由； 把代入可得，由，输出． 故选C． 10．如图，已知直线经过点，且与直线交于点，当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能正确根据函数图象得出不等式的解集是解此题的关键． 根据两函数的交点坐标和函数的图象与轴的交点即可得出的范围． 【详解】解：观察图像， 当时，满足， 当时，满足， 当时，满足， 综上，可得当时，满足， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，则 （填“>”或“<”）． 【答案】< 【分析】先观察两个代数式的结构，发现它们都包含，只需比较常数部分的大小，通过作差法比较两个代数式的大小． 【详解】解： ． ∵ ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质和作差法比较大小，解题关键是发现两个代数式的共同部分，通过作差直接判断大小关系． 12．若一次函数的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对于一次函数（k为常数，），当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数的值随x值的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 13．若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数为且系数不为，列方程求解． 【详解】解：∵ 是关于的一元一次不等式， ∴未知数的次数，解得； 未知数的系数，解得． 综合以上两个条件，可得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，解题关键是同时满足 “未知数次数为” 和 “系数不为” 两个条件，避免只考虑次数而忽略系数的错误． 14．某种商品的进价为每件800元，出售时每件标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证每件商品利润不低于160元，则至多可打 折． 【答案】八 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设打了折，则售价为元，利润为售价减进价，根据利润不低于元列不等式求解． 【详解】解：设打了折， 由题意得：， 即， 移项得：， 解得：， ∴至多打八折． 故答案为：八． 15．老师在黑板上留了一道解不等式的题目：．是被学生不小心擦去的一个数，又知其解集为，则被擦去的数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为，再与已知不等式的解集相比较即可得出结论． 【详解】解：设为 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 的系数化为得，， ∵其解集为， ∴， ∴，即的值为． 被擦去的数是． 故答案为：． 16．如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解得，不等式组解得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组有解， ∴联立得， ∴ ∴， 解不等式组得， ∵关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得， ∴整数，，，，和为． 故答案为：19． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： (1)； (2) 【答案】(1) (2)，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确计算是解题的关键． （）根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 18．若关于，的二元一次方程组的解，，试确定的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组及二元一次不等式组的解法，正确计算是解题的关键． 先求出方程组的解，然后根据方程组的解，，得到不等式组，解不等式组即可求出的取值范围． 【详解】解： ，得，解得． 把代入②，得， 解得． 故方程组的解为 又关于，的二元一次方程组的解，， 解③得， 解④得， ∴不等式组的解集为． 19．下图所示的是一个计算程序． (1)若输入的为，则输出的值是____________． (2)规定：程序运行到“判断结果是否大于18”为一次运算．若程序进行了三次运算才输出，求的取值范围． 【答案】(1)22 (2) 【分析】本题考查了代数式的表示和一元一次不等式组的求解，掌握将程序逻辑转化为数学不等式是解题的关键． (1) 将 代入程序，按流程计算，直到得到的结果大于； (2) 首先，根据程序流程，用代数式表示出第一次、第二次和第三次运算的结果；然后，根据程序进行了三次运算才输出这一条件，列出关于的不等式组，这个条件意味着第二次运算的结果必须不大于，而第三次运算的结果必须大于，解这个不等式组即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：当输入 时： 第一次运算： ，程序继续； 第二次运算： ，程序输出结果； 故输出的值是． （2）解：由题意可知，第一次运算结果为， 第二次运算结果为， 第三次运算结果为． 可列不等式组 解得． 20．为了丰富学生的课余生活，学校准备购买一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元． (1)求每个篮球和每个足球的售价； (2)学校计划购买篮球和足球共个，总费用不超过元，求最多可购买多少个篮球． 【答案】(1)每个篮球售价元，每个足球售价元 (2)最多可购买个篮球 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式的实际应用，根据题意准确列出方程组和不等式，并结合实际意义取整数解是解题的关键． （1）设每个篮球售价元，每个足球售价元，根据两次购买的总价列出二元一次方程组，求解即可得出两种球的售价； （2）设购买篮球个，则购买足球个，根据总费用不超过元的条件列出一元一次不等式，结合整数要求即可求出篮球数量的最大值． 【详解】（1）解：设每个篮球售价元，每个足球售价元，根据题意得 ， 解得：； 答：每个篮球售价元，每个足球售价元； （2）解：设购买篮球个，则购买足球个，根据题意得 解得， ∵为非负整数， ∴的最大值为， 答：最多可购买个篮球． 21．已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、大大小小找不到是解题的关键． （1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于的不等式，从而求出的取值范围； （2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于的不等式，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵这个不等式组有解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）得： ∵这个不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 22．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用． （1）由等式右边运算形式确定，解不等式； （2）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故答案为：； （2）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 23．如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，与x轴相交于点D．求四边形的面积； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）联立两条直线，求出交点坐标，根据计算即可； （3）根据图象解题即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：联立， 解得， ∴， 令， 解得， ∴， ∴， ∴； （3）解：由图像可知，的解集为：． 24．文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价． (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 【答案】(1)A类书籍进货单价为25元，B为45元 (2)有三种方案：A进110本，B进130本；A进111本，B进129本；A进112本, B进128本 (3)A进110本，B进130本能使获利最大，最大获利为2350元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用， （1）设A类书籍进货单价为 x元，B类书籍进货单价为 y元，利用两类书籍的本数和花费费用列方程组求解； （2）设进A 类书籍m本，B类书箱为本，利用金额范围及利润列不等式组求解； （3）列出一次函数关系式，再根据（2）可知结果． 【详解】（1）解：设A 类书籍进货单价为x元，B类书籍进货单价为y元，根据题意，得 ， 解得， 答：A类书籍进货单价为25元，B类书籍进货单价为45元； （2）解：设购进A类书籍m本，B类书箱为本， ， 解：①得，， 解：②得，， ∴， ∴有三种方案： 1．A进110本，B进130本． 2．A进111本，B进129本． 3. A进112本, B进128本； （3）解：设获利为w元，根据题意，得 ， ∵， ∴获利w随着m的增大而减小， 当时，获利w最大， 当时，即， 选第一种方案： 获利（元）， 所以最大获利为2350元． 25．我们规定：不等式组的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”__________；“整点”为__________； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值． 【答案】(1)3；，0，1 (2) 【分析】本题考查了不等式组的求解以及新定义： （1）先解不等式组，再根据定义得到解集的长度，再求“整点”； （2）先求不等式组，根据不等式组的长度来确定的值． 【详解】（1）解：， 解得， ∴， “整点”为，0，1， 故答案为：3；，0，1． （2）解：， ， 当时，可以是任意实数， 不等式组的解集为， ，不符合题意； 当时，即， 则：， ∵且，， ∴不等式的解集为， ∴， 解得：； 当时，即， 则：， 此时， ∴不等式组的解集为， ，不符合题意； 综上所述：的值为． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章不等式与不等式组（高效培优单元测试·强化卷） (考试时间：60分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.若√x-2026在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A.x22026 B.x>2026 C.x≤2026 D.x<2026 2.关于x的不等式x-m≥-2的解集如图所示，则m的值为() 0 A.-2 B.0 C.2 D.4 3.下列各式中是一元一次不等式的是() A.1-x≥5 B.x-3y>1 C.4x+3 D.x2+x≠3 4.下列说法正确的是() A.若a>b,则a-2<b-2 B.若a>b,则a2>b2 C.若4b ,则a>b D.若a-2>b-2,则a>b 5.若关于x的不等式(2-ax>7的解集为x< 7 ，则a的取值范围是() 2-a A.a<2 B.a>2 C.a≠2 D.a<-2 6.己知点P(2a+1,2a-3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是() A.a<1 B.a72 3 C.-3 a<1 3 人识数形结合的重要工具如图，数轴上有4，B两点，分别表示4，和1-x,且点4 则x的值可以是() B 4-x 2 A.-3 B.-2 C.-1 D.0 8.若干名学生乘船.若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满， 设有x条船，则可列不等式组为() 4x+2-6(x-1)>0 4x+2-6(x-1)>1 A. B. 4x+2-6x-1)<6 4x+2-6x-1)<5 1/4 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4x+2-6x-2>0 4x+2-6x-2>1 c D 4x+2-6(x-2)<6 4x+2-6x-2)<5 9 一组数值转换机按如图所示的程序计第，如果开给输入的值是子则最终输出的结果是（) 是 输入x值 4x+2 <-20? 输出结果 否 A.-86 B.-54 C.-22 D.-21 10.如图，已知直线y1=kx+b经过点B(-2,0),且与直线y2=k2x交于点A(-1,2),当0<y,<y,时，自变 量x的取值范围是() VA B A.x<-1 B.x>-1 C.-2<x<-1 D.-1<x<0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.若a+b<0,则2025-a+b) 2026-(a+b)(填“>”或“<”). 12.若一次函数y=(2m-1)x+2的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是一· 13.若(m-1)x州-3>0是关于x的一元一次不等式，则m= 14.某种商品的进价为每件800元，出售时每件标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售， 但要保证每件商品利润不低于160元，则至多可打 折 15。老师在照板上留了一道解不等式的题月：生2≥2+产心是被学生不小心擦去的一个数。 2 又知其解集为x≤2，则被擦去的数是 y=3x+7 x-11有解，且关于x的一元一次不等式 3.x+720 16.如果关于x,y的二元一次方程组 5r-ns2有且仅有 4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 2/4 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： 0)2x-5x+ls4: 3 [3(x-1)≤5x+1 (2)x3x+1 312 -3-2-0123→ x+2y=7a-1 18.若关于x,y的二元一次方程组 2x-y=-a+3 的解x>0,y>0,试确定a的取值范围. 19.下图所示的是一个计算程序. 输入x 是 ×2 +10 >18 输出 否 (1)若输入的x为-2，则输出的值是 (2)规定：程序运行到“判断结果是否大于18”为一次运算.若程序进行了三次运算才输出，求x的取值范围. 20.为了丰富学生的课余生活，学校准备购买一批篮球和足球，己知购买2个篮球和3个足球共需380元， 购买4个篮球和5个足球共需700元. (①)求每个篮球和每个足球的售价： (2)学校计划购买篮球和足球共50个，总费用不超过4500元，求最多可购买多少个篮球. 21.己知关于x的不等式组{ (x-2z2a 3 3x-a<11 (①)若这个不等式组有解，求a的取值范围. (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围. 22.定义一种新运算“a⑧b”:当a≥b时，a⑧b=a+2b；当a<b时，a⑧b=a-2b.例如： 38(-4)=3+(-8)=-5,（-6)⑧12=6-24=-30 (1)若3x-5)⑧(4+x=(3x-5)+24+x),则x的取值范围是 (2)已知3x+7)⑧-4x)>1,求x的取值范围， 23.如图直线：y,=x+b经过点A(-6,0),B(-1,5). 3/4 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 5 M -6 D (1)求直线AB的表达式： (2)若直线y2=-2x-3与直线AB相交于点M,与x轴相交于点D.求四边形0BMD的面积； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式0<-2x-3≤kx+b的解集， 24.文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多 20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元. (I)求A、B这两种书籍的进货单价. (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店 老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部 售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案， (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 25.我们规定：不等式组m<x<n,m<x≤n,m≤x<n,m≤x≤n的“长度”均为d=n-m(m<n),不等式组的 整数解称为不等式组的“整点”.例如：-2<x≤2的“长度”d=2-(-2)=4,“整点”为x=-1,0,1,2.根据该规定， 解答下列问题： 2x+6≥4 (1)不等式组 <+1的长度”d ;“整点”为 2 3 1≤x<4 (2)若关于x的不等式组 2-3<ar+ 1 的“长度”d=2,求a的值. 4/4