精品解析：江西省乐平市第三中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

乐平三中2025-2026学年度上学期期末考试 高一数学 命题人：王佳伟 审题人：吴长华 占建聪 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分. 考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 现在利用随机数表在50个个体（编号）组成的总体中，抽取10个个体组成样本.下面提供随机数表的第2行到第3行： 若从随机数表中的第2行第7列开始向右依次读取数据，则第6个样本的编号是（ ） A. 36 B. 43 C. 35 D. 29 3. 口袋里共有5个球，其中3个是白球，2个是黑球，这5个球除了颜色之外完全相同.若2个人依次不放回地摸球，则第二个人摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知为两个随机事件，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若独立，则 C. 若独立，则 D. 若互斥，则 7. 用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（ ） 1 2 1.5 1.75 1.625 15625 1.53125 0693 0.310 0.110 0.009 A. 4次，1.55 B. 4次，1.57 C. 5次，1.60 D. 5次，1.65 8. 已知函数，若有四个不等实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 我校AB两班同时参加了一次数学阶段性测试，其中A班50人，B班40人，A班的平均成绩为116分，方差是360；B班的平均成绩是102.5分，方差是450.下列说法正确的是（ ） A. A班最高分比班高 B. A班成绩比B班成绩更集中 C. AB两班全部人的平均成绩是110分 D. AB两班全部人的成绩方差是445 10. 我校高一某数学兴趣小组对函数问题进行研究，得出如下结论，其中正确的有（ ） A. 函数的图象关于轴对称 B. 若函数的值域是，则实数的取值范围是 C. 若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是 D. 若分段函数在上单调递增，则实数的取值范围是 11. 如图所示，数学家欧拉在研究著名七桥问题时，把陆地看作点，连接陆地的桥看作线段，于是七桥问题就变成了图形能否一笔画的问题.下面这些由点和线组成的图不能够一笔画完的有（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某班级某小组学生的一次考试中化学成绩（单位：分）分别是，则他们的化学成绩的第一四分位数是__________（分）. 13. 已知定义在上的函数是偶函数，，则的大小关系是（用“”连接）__________. 14. 已知实数满足，则的值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 请计算或化简下列式子： （1）； （2）. 16. 江西乐平是江南菜乡，古戏台之乡.为帮助学生更充分地了解家乡，现随机选择100名学生，对乐平相关地理文化知识进行趣味答题测验（满分120分），根据得分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）求这100人的得分的平均数（以各组的区间中点为代表）； （3）测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数至少为多少分. 17. 今年元旦晚会，我校安排了舞蹈和歌唱等节目，参加节目海选的有20个男生，30个女生. （1）根据海选规则，甲乙两人各自能通过海选的概率分别是和，且他们各自能通过海选是相互独立的. 求：（i）甲乙都通过海选的概率； （ii）甲乙至多有一个人通过海选的概率. （2）若按性别分层抽样，从参加海选的人中选出5个人，并把他们编号为1，2，3，4，5写在不同的卡片上，再连续有放回地随机抽两次，先后抽中的两人（可以是同一个人）分别参加独唱和独舞. 求：（i）被抽中是同一个人的概率； （ii）被抽中的不全是男生的概率. 18. 国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. （1）求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； （2）当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； （3）当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 19. 已知是奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义法证明； （3）设函数，若对任意的，都存在使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐平三中2025-2026学年度上学期期末考试 高一数学 命题人：王佳伟 审题人：吴长华 占建聪 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分. 考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合B，结合集合的并集和补集运算求解即可. 【详解】因为集合， 且，则， 又因为集合，所以. 故选：A. 2. 现在利用随机数表在50个个体（编号）组成的总体中，抽取10个个体组成样本.下面提供随机数表的第2行到第3行： 若从随机数表中的第2行第7列开始向右依次读取数据，则第6个样本的编号是（ ） A. 36 B. 43 C. 35 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】根据要求，依次读取满足50以内且不重复的样本，得到答案. 【详解】第2行第7列的数据为4，依次读取满足50以内且不重复的数据为43,49,35,36,23,29， 故第6个样本的编号为29. 故选：D 3. 口袋里共有5个球，其中3个是白球，2个是黑球，这5个球除了颜色之外完全相同.若2个人依次不放回地摸球，则第二个人摸到白球的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】分第一个人摸到白球和第一个人摸到黑球两种情况，利用概率乘法公式和加法公式求解. 【详解】若第二个人摸到白球，则有2种可能：第一个人摸到白球或第一个人摸到黑球， 所以第二个人摸到白球的概率是. 故选：B. 4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域，结合分式、对数式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得函数为奇函数，计算可得，利用排除法可得结论. 【详解】因为对恒成立，所以函数的定义域为， 又 ， 所以函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除AC选项； 由，可排除B. 故选：D. 6. 已知为两个随机事件，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若独立，则 C. 若独立，则 D. 若互斥，则 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据相互独立事件的概率，互斥事件的概率，包含事件的概率的定义及公式计算可得. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为独立，所以与也相互独立， 所以，故B错误； 对于C：若独立，根据并事件的概率公式得 ，故C正确； 对于D：互斥，由概率的加法公式可得，故D正确. 故选：B 7. 用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（ ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A. 4次，1.55 B. 4次，1.57 C. 5次，1.60 D. 5次，1.65 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意数据结合二分法分析求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 且函数在定义域内单调递增， 则函数在定义域为内单调递增，所以函数至多有一个零点， 因为，，可知在内有零点，且； 第一次等分，可得，可知在内有零点，且； 第二次等分，可得，可知在内有零点，且； 第三次等分，可得，可知在内有零点，且； 第四次等分，可得，可知在内有零点，且， 所以对区间最少等分次数为4，零点近似值为. 故选：A. 8. 已知函数，若有四个不等实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合函数图象可得，，，整理可得，令，结合对勾函数的单调性分析求解. 【详解】作出函数的图象如下， 由图可知时满足题意，又， 由图象可知，，，且， 因为，即， 可得，则，可得， 令，即， 且是方程的两根，则， 可得，， 令，可知在内单调递增， 则，所以的取值范围是. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 我校AB两班同时参加了一次数学阶段性测试，其中A班50人，B班40人，A班的平均成绩为116分，方差是360；B班的平均成绩是102.5分，方差是450.下列说法正确的是（ ） A. A班最高分比班高 B. A班成绩比B班成绩更集中 C. AB两班全部人的平均成绩是110分 D. AB两班全部人的成绩方差是445 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两班的平均数与方差的意义可直接判断A，B；利用平均数与方差公式计算可判断C，D两项. 【详解】对于A，因题干中没有提及班级的最高分情况，故无法判断A正确； 对于B，因A班成绩的方差360小于B班成绩的方差450，则成绩更集中，故B正确； 对于C，AB两班全部人的平均成绩为，故C正确； 对于D，AB两班全部人成绩方差为 ，故D正确. 故选：BCD. 10. 我校高一某数学兴趣小组对函数问题进行研究，得出如下结论，其中正确的有（ ） A. 函数的图象关于轴对称 B. 若函数的值域是，则实数的取值范围是 C. 若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是 D. 若分段函数在上单调递增，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的判断方法判断A项；结合对数函数的值域列不等式求解即可判断B项；根据指数函数的图象变换列不等式求解可判断C项；根据分段函数的单调性判断方法可判断D项. 【详解】对于A，设函数的定义域为，关于原点对称， 且 ， 故其图象关于轴对称，故A正确； 对于B，因函数的值域是， 当时，的值域是，符合题意； 当时，需使，解得， 综上，实数的取值范围是，故B正确； 对于C，函数的图象不经过第二象限， 即，解得，故C错误； 对于D，因是上的增函数， 当时，的对称轴为直线，需满足，即①； 当时，因与在上都是增函数， 故为上的增函数； 再考虑函数在左右的函数值情况，需使，即②. 综上，可得实数的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图所示，数学家欧拉在研究著名的七桥问题时，把陆地看作点，连接陆地的桥看作线段，于是七桥问题就变成了图形能否一笔画的问题.下面这些由点和线组成的图不能够一笔画完的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】标注每一个点，根据题意作出一笔能完成的路径判断即可. 【详解】解决这类题有一结论：过一点的线有奇数条的点至多有两个，其余均为偶数条的点构成的图形可一笔完成； 对于选项A：均为偶数条线的点， 具体方法为： ， 故A错误； 对于选项B：均为偶数条线的点， 具体方法为：，故B错误； 对于选项C：有4个过一点的线有奇数条的点，根据结论可知不可以一笔完成，故C正确； 对于选项D，有3个过一点的线有奇数条的点，根据结论可知不可以一笔完成，故D正确； 故选：CD. 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某班级某小组学生的一次考试中化学成绩（单位：分）分别是，则他们的化学成绩的第一四分位数是__________（分）. 【答案】52 【解析】 【分析】根据百分位数的定义排序计算即得. 【详解】将这组数据按照从小到大顺序排列为：， ，故这组化学成绩的第一四分位数是第3与第4两个数据的平均数， 即. 故答案为：52. 13. 已知定义在上的函数是偶函数，，则的大小关系是（用“”连接）__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数为偶函数求得并验证，判断函数在时的单调性，比较自变量的大小利用单调性即可比较函数值的大小. 【详解】因是上的偶函数，故，即， 解得，此时，满足，故， 当时，是增函数. 又，则，，， 因，则，即. 故答案为：. 14. 已知实数满足，则的值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】整理可得，设，结合函数单调性可得，即可得结果. 【详解】因为，可得，即， 因为，可知， 设， 因为在内单调递增，且函数值均为正数， 可知在内单调递增， 又因为，且， 则，可得，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 请计算或化简下列式子： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则和对数的运算性质计算即得； （2）根据对数的运算性质和换底公式化简计算即得. 【小问1详解】 因为 【小问2详解】 16. 江西乐平是江南菜乡，古戏台之乡.为帮助学生更充分地了解家乡，现随机选择100名学生，对乐平相关地理文化知识进行趣味答题测验（满分120分），根据得分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）求这100人的得分的平均数（以各组的区间中点为代表）； （3）测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数至少为多少分. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据所有矩形的面积和为1即可求出的值； (2)根据频率分布直方图的平均数公式计算即可； (3)利用频率分布直方图百分位数的计算方法求得第百分位数即可. 【小问1详解】 由， 解得： 【小问2详解】 这100人的得分的平均数 【小问3详解】 测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数等价于获得奖品分数的第百分位数， 因为， ， 所以第80百分位数在，设第80百分位数为， 则， 解得：分 则测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数至少为分 17. 今年元旦晚会，我校安排了舞蹈和歌唱等节目，参加节目海选的有20个男生，30个女生. （1）根据海选规则，甲乙两人各自能通过海选的概率分别是和，且他们各自能通过海选是相互独立的. 求：（i）甲乙都通过海选的概率； （ii）甲乙至多有一个人通过海选的概率. （2）若按性别分层抽样，从参加海选的人中选出5个人，并把他们编号为1，2，3，4，5写在不同的卡片上，再连续有放回地随机抽两次，先后抽中的两人（可以是同一个人）分别参加独唱和独舞. 求：（i）被抽中的是同一个人的概率； （ii）被抽中的不全是男生的概率. 【答案】（1）（i）（ii） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）（i）设相应事件，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（ii）根据题意结合对立事件概率公式运算求解； （2）（i）可知每个人被抽中的概率均为，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（ii）可知每次抽中男生的概率为，先求两次都是男生的概率，结合对立事件概率公式运算求解. 【小问1详解】 记甲、乙两人各自能通过海选分别为事件A，B，则，， （i）因为事件“甲乙都通过海选”为事件，所以； （ii）因为事件“甲乙至多有一个人通过海选”的对立事件是甲乙都通过海选，所以概率为. 【小问2详解】 由题意可知：抽中的男生人数为，抽中的女生人数为， （i）每个人被抽中的概率均为，所以被抽中的是同一个人的概率为； （ii）每次抽中男生概率为，两次都是男生的概率为， 所以被抽中的不全是男生的概率. 18. 国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. （1）求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； （2）当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； （3）当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本 （3）当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元 【解析】 【分析】（1）根据利润等于销售收入减去固定成本再减去生产成本，分段求出的解析式即可得解； （2）由题意可知要收回成本，须满足，求解不等式，比较得到使不等式成立的的最小值即可得解； （3）分、和三种情况，结合函数单调性和基本不等式求出的最大值，再比较即可得解. 【小问1详解】 由题意可知：总销售额为万元，总成本为万元，利润， 故当时，； 当时，； 当时，. 综上所述：利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式为. 【小问2详解】 由题意可知：要收回成本，须满足， 当时，则，解得， 且，所以当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本. 【小问3详解】 当时，则在内单调递增， 所以在内的最大值为； 当时，则， 因为的图象开口向下，对称轴为， 可知在内单调递增，所以在内的最大值为； 当时，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在内的最大值为； 且，所以当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元. 19. 已知是奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义法证明； （3）设函数，若对任意的，都存在使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）函数在上单调递增，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，可得，求解即可； （2）函数在上单调递增，用定义法证明即可； （3）由题意可得，求得即可求解. 【小问1详解】 因为是奇函数，所以， 即， 所以 ， 所以，所以， 所以，所以，解得， 代入可得，又，所以. 【小问2详解】 函数在上单调递增，理由如下： 由（1）可得， 由，所以，所以，解得， 所以函数的定义域为 任取，且， 所以， 因为 ， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 同理得，所以，所以， 所以，所以， 所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 ， 设，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域. 又由（2）可知函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 所以，， 所以函数在上的值域为. 若对任意，都存在使得， 所以，所以， 所以实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $