第六章 一次方程组（举一反三讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

该初中数学一次方程组复习讲义通过分层框架构建知识体系，按基础巩固、能力提升、思维拓展梳理11个核心题型，借助表格呈现方程解的对应关系，清晰展现定义、解法、应用等知识脉络及重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，例题搭配变式题，如题型8的租车方案问题培养模型意识，题型9的参数求解提升推理能力。基础题夯实运算能力，拓展题发展创新思维，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

第六章 一次方程组（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材华东师大版】 【基础巩固】 1 【题型1 二元一次方程（组）的定义】 1 【题型2 二元一次方程（组）的解】 2 【题型3 解二元一次方程组】 2 【题型4 解三元一次方程组】 3 【能力提升】 3 【题型5 二元一次方程（组）的整数解】 3 【题型6 二元一次方程组的错解问题】 4 【题型7 二元一次方程组的遮挡问题】 4 【题型8 二/三元一次方程（组）的应用】 5 【思维拓展】 6 【题型9 根据二元一次方程组解的关系求参数】 6 【题型10 根据二元一次方程（组）有公共解求解】 6 【题型11 构造二元一次方程组求解】 7 【基础巩固】 【题型1 二元一次方程（组）的定义】 【例1】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【变式1-1】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （24-25六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（    ） （1） （2） （3） （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【题型2 二元一次方程（组）的解】 【例2】关于的二元一次方程和的解如下表，则二元一次方程组的解为 ． 方程解的列表 … 1 2 3 4 5 … … 1 2 3 4 5 … 方程解的列表 … 1 2 3 4 5 … … 3 2 1 0 … 【变式2-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列方程组中，与方程组有相同解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【题型3 解二元一次方程组】 【例3】（24-25七年级下·全国·期末）已知方程组的解是，则 ， 【变式3-1】（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知用含有的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】解方程组： ； ． 【变式3-3】已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 【题型4 解三元一次方程组】 【例4】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【变式4-1】若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 ． 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【变式4-3】我们探究得方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，…，那么方程的正整数解有 组． 【能力提升】 【题型5 二元一次方程（组）的整数解】 【例5】（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是 ． 【变式5-1】写出二元一次方程的一个正整数解：          ． 【变式5-2】若关于，的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为          ． 【变式5-3】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．对于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）． 结论Ⅰ：若m的值为，则y的值为； 结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值为定值，且满足条件的x和y的非负整数解有3组 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【题型6 二元一次方程组的错解问题】 【例6】甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，则的值为 ． 【变式6-1】已知方程组，甲解对了，得．乙看错了c，得．则的值为 ． 【变式6-2】小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则的解是（   ） A． B． C． D 【变式6-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【题型7 二元一次方程组的遮挡问题】 【例7】小马的期末成绩单如表所示，由于不小心，数学成绩的个位、语文成绩的十位数字均被墨水遮住，则小马的数学成绩是 ． 科目 语文 数学 体育 外语 均分 成绩 9 9 93 94 92 【变式7-1】（24-25六年级下·上海·期末）若关于x，y的方程组的解被墨水遮挡住了一部分，请你根据已有信息求出k的值是 ． 【变式7-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【变式7-3】《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A． B． C． D． 【题型8 二/三元一次方程（组）的应用】 【例8】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和1辆B客车可以坐220人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该公司共有300名员工．请问如何安排租车方案，可以使得所有人恰好坐下？ 【变式8-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 【变式8-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表所示： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)则牛奶每箱为__________元；咖啡每箱为_________元； (2)超市中该款牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的牛奶和原价咖啡，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，求此次按原价采购的咖啡有多少箱． 【变式8-3】（2025九年级·湖南·学业考试）在积极推进科技强国战略的大背景下，科技创新成为推动发展的核心动力．某前沿科技企业专注于高新技术研发，为进一步提升研发实力与效率，计划采购先进的科研设备．已知市场上、两种新型科研设备，采购台设备与台设备共需万元，采购台设备与台设备共需万元． (1)问、两种设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该企业拟投入万元专项资金用于同时购进设备台、设备台．请问有几种进货方案． 【思维拓展】 【题型9 根据二元一次方程组解的关系求参数】 【例9】已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 【变式9-1】（24-25八年级上·山东青岛·期末）若关于、的方程组的解满足，则等于（　　） A．3 B．4 C． D． 【变式9-2】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【变式9-3】（24-25七年级下·浙江金华·期末）若关于x，y方程组有无数组解，则a与b的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型10 根据二元一次方程（组）有公共解求解】 【例10】（24-25七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 【变式10-1】若下列三个二元一次方程：；；有公共解，那么的取值应是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 【变式10-3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）定义一种新的运算：，例如：，那么 （1）若，那么 ； （2）若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为 ． 【题型11 构造二元一次方程组求解】 【例11】（25-26八年级上·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是加法、减法及乘法运算．比如：．若，且，则的值为 ． 【变式11-1】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 【变式11-2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）若，则的值为 ． 【变式11-3】（24-25七年级下·河南周口·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如下，这是一个三阶幻方，则的值为 ；的值为 ． 4 3 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 一次方程组（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材华东师大版】 【基础巩固】 1 【题型1 二元一次方程（组）的定义】 1 【题型2 二元一次方程（组）的解】 3 【题型3 解二元一次方程组】 5 【题型4 解三元一次方程组】 7 【能力提升】 9 【题型5 二元一次方程（组）的整数解】 9 【题型6 二元一次方程组的错解问题】 11 【题型7 二元一次方程组的遮挡问题】 14 【题型8 二/三元一次方程（组）的应用】 16 【思维拓展】 20 【题型9 根据二元一次方程组解的关系求参数】 20 【题型10 根据二元一次方程（组）有公共解求解】 22 【题型11 构造二元一次方程组求解】 24 【基础巩固】 【题型1 二元一次方程（组）的定义】 【例1】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解题的关键：含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义得到，由此求出a、b的值进一步即可得到答案． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，解得， ∴， 故答案为：1． 【变式1-1】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，需满足两个未知数、次数均为1且为整式方程，逐项分析即可得解，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、：含两个未知数，但的次数为2，不符合“一次”条件，故不符合题意； B、：含两个未知数和，次数均为1，且为整式方程，符合条件，故符合题意； C、：含分式，不是整式方程，不符合条件，故不符合题意； D、：仅含一个未知数，属于一元一次方程，不符合“二元”条件，故不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】 （24-25六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（    ） （1） （2） （3） （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故（1）不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故（2）符合题意； 方程组中不是整式方程，故（3）不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故（4）不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：． 【变式1-3】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 【题型2 二元一次方程（组）的解】 【例2】关于的二元一次方程和的解如下表，则二元一次方程组的解为 ． 方程解的列表 … 1 2 3 4 5 … … 1 2 3 4 5 … 方程解的列表 … 1 2 3 4 5 … … 3 2 1 0 … 【答案】 【分析】本题主要考查了含有字母参数的二元一次方程组的同解问题，关键是能通过两个表格找到两个方程的公共解．分别从两个表格中找到两个方程的公共解，即可求解． 【详解】解：由两个表格可知： 是关于的二元一次方程和的公共解， 则二元一次方程组的解为． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程得到关于a的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：， 故选：B． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列方程组中，与方程组有相同解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入法、加减消元法是解题的关键．先求出题干中方程组的解，再分别求出各选项方程组的解，对比后即可解题． 【详解】解方程组，得， A、解方程组，得，与原方程组的解不相同，故本选项不符合题意； B、解方程组，得，与原方程组的解相同，故本选项符合题意； C、解方程组，得，与原方程组的解不相同，故本选项不符合题意； D、解方程组，得，与原方程组的解不相同，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-3】已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．将方程组变形为，根据关于x，y的方程组的解是，得到，解之即可． 【详解】解：方程组变形为， ∵关于x，y的方程组的解是， ∴，解得：， 故选：B． 【题型3 解二元一次方程组】 【例3】（24-25七年级下·全国·期末）已知方程组的解是，则 ， 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将代入中，进而利用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 得，， 解得：， 将代入，可得， 解得：， 故答案为：；． 【变式3-1】（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知用含有的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先从x的方程解出t，再代入y的方程中即可． 本题考查了代入消元法，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解： 将方程①变形为： 将③代入方程②得： 整理，得： 即：， 故选：A． 【变式3-2】解方程组： ； ． 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用． 应用代入消元法，求出方程组的解即可． 应用加减消元法，求出方程组的解即可． 【答案】解：， 由，可得：， 代入，可得：， 解得， 把代入，可得：， 原方程组的解是． ， 由可得：， ，可得， 解得， 把代入，可得：， 解得， 原方程组的解是．  【变式3-3】已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 【答案】B 【分析】此题考查的是解二元一次方程组和奇偶数的性质，根据奇偶数的性质一一验证即可得出答案． 【详解】解：．当x为奇数，y是偶数时，则p为奇数，q为奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为偶数，y是奇数时，则为偶数偶数偶数，为偶数奇数奇数，与题干符合，故该选项符合题意； ．当x为偶数，y是偶数时，则p为偶数，q为偶数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为奇数，y是奇数时，则为奇数偶数奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； 故选：B． 【题型4 解三元一次方程组】 【例4】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过①+②得到与的关系式，再与③联立求解； （2）通过②-①，③-②，得到与二元一次方程组达到消元的目的即可求解． 【详解】（1）解：由①+②，得．④ 由④-③，得，解得． 把代入③，解得． 把代入①，解得． 故原方程组的解为 （2）解：由②-①，得．④ 由③-②，得．⑤ 由⑤-④，得，解得． 将代入④，得，解得． 将代入①，得，解得， 所以原方程组的解为 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． 【变式4-1】若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 ． 【答案】6 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义运算法则，列出三元一次方程组并利用整体思想求解是关键． 根据新定义运算列出方程组，然后用加减法及整体思想计算求解． 【详解】解：∵， ，可得：， ， ， 故答案为：6． 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 【变式4-3】我们探究得方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，…，那么方程的正整数解有 组． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于时对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，，，， ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故答案为：． 【能力提升】 【题型5 二元一次方程（组）的整数解】 【例5】（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解方程组，二元一次方程组的解为正整数求出的值，再求和即可，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 解得， ∵，为正整数， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】写出二元一次方程的一个正整数解：          ． 【答案】答案不唯一  【分析】先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的值，然后再求出另一个未知数的值． 本题考查了二元一次方程的解．掌握二元一次方程的整数解的求法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得． 要使，都是正整数， 则，， 故答案可以是：答案不唯一． 【变式5-2】若关于，的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为          ． 【答案】   【详解】解：  得，， 解得． 关于，的方程组的解为整数， ，，，，，， 满足条件的所有的值的和为． 【变式5-3】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．对于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）． 结论Ⅰ：若m的值为，则y的值为； 结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值为定值，且满足条件的x和y的非负整数解有3组 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，结论I：根据题意得，求得，再由题意列二元一次方程组求解即可；结论Ⅱ：由题意得，，从而可得，再根据，可得，进行求解即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， 解得，故结论I不正确； 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 满足条件的x和y的非负整数解有或或，共3组， 即不论m，n取何值，的值一定为4，且满足条件的x和y的非负整数解有3组，故结论Ⅱ正确， 故选：D． 【题型6 二元一次方程组的错解问题】 【例6】甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及其应用；甲因看错a，解得，则是方程的解，则可求得b的值；乙将其中一个方程的b写成了其相反数，易得乙是将第二个方程中的b写成了其相反数，即为，把代入此方程中即可求得结果． 【详解】解：甲因看错a，解得，则是方程的解， ∴， 即， 即第一个方程为； 乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得， 因， 故乙是将第二个方程中的b写成了其相反数，即为， 把代入中，得； 故答案为：5． 【变式6-1】已知方程组，甲解对了，得．乙看错了c，得．则的值为 ． 【答案】-40 【分析】把甲的结果代入方程组求出c的值，得到关于a与b的方程，将乙结果代入第一个方程得到a与b的方程，联立求出a与b的值,再计算abc的值即可． 【详解】解：由甲运算结果得，， 解得， 由乙运算结果得， 得， 解得． = 故答案为：-40 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式6-2】小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则的解是（   ） A． B． C． D 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题、解一元二次方程，熟练掌握方程组和方程的解法是解题关键．先根据题意可得是方程的解，是方程的解，代入可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴， 解得， ∴方程可化为， 解得， 故选：A． 【变式6-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入中得一个方程，把代入中的一个方程，联立解方程组即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：把代入中，得， 把代入中，得， 根据题意，得； 解得， 故选：B． 【题型7 二元一次方程组的遮挡问题】 【例7】小马的期末成绩单如表所示，由于不小心，数学成绩的个位、语文成绩的十位数字均被墨水遮住，则小马的数学成绩是 ． 科目 语文 数学 体育 外语 均分 成绩 9 9 93 94 92 【答案】 【分析】本题考查平均数，设语文的十位上的数字为x，数学个位上的数字是y，根据平均数列二元一次方程，根据，y是正数且，，求出x和y的值解答即可． 【详解】解：设语文的十位上的数字为x，数学个位上的数字是y， ， 解得， ∵，y是正数且，， ∴，， ∴小马的数学成绩是， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25六年级下·上海·期末）若关于x，y的方程组的解被墨水遮挡住了一部分，请你根据已有信息求出k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程，由题意可得，从而得出，将，代入可得，解关于的一元一次方程即可得解． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的一个解为的解， ∴， ∴， 将，代入可得， 解得：， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程中的含参问题，根据题意正确把两个方程的常数项设出来是解答本题的关键． 根据题意设出方程组，再结合可得，解出的值，即可复原该方程组． 【详解】解：由题意可设方程组为， ， ， ， 即， 解得：， 故原方程组为． 【变式7-3】《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据已知方程组，结合图可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10；根据图2中第一个方程求出x，y的值代入第二个代数式求值是解题关键． 【详解】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得， 又∵， 解得：，， 把，代入得，， 故选：B． 【题型8 二/三元一次方程（组）的应用】 【例8】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和1辆B客车可以坐220人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该公司共有300名员工．请问如何安排租车方案，可以使得所有人恰好坐下？ 【答案】(1)种客车可坐 60 人，种客车可坐 40 人 (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设种客车可坐人，种客车可坐人，根据“3 辆客车和1辆客车可以坐 220 人， 2 辆客车和 3 辆客车坐的人数一样多”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆种客车，辆种客车，根据租用的客车恰好坐下300人，可列出关于的二元一次方程，结合均为非负整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设种客车可坐人，种客车可坐人， 根据题意，得， 解得：． 答：种客车可坐 60 人，种客车可坐 40 人； （2）解：设租用辆种客车，辆种客车， 根据题意，得， ， 又 ∵均为非负整数， 或或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用1辆种客车，6辆种客车； 方案2：租用3辆种客车，3辆种客车； 方案3：租用5辆种客车，0辆种客车． 【变式8-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 【答案】分． 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出方程，求出一等奖比二等奖平均分多的分数． 先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案． 【详解】解：设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，得： 整理得：① ∵原来二等奖比三等奖平均分数多6分， ∴，即② 将②代入①得到，， ∵调整后一等奖平均分为分，二等奖平均分为分， ∴， 即调整后一等奖比二等奖平均分数多分． 【变式8-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表所示： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)则牛奶每箱为__________元；咖啡每箱为_________元； (2)超市中该款牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的牛奶和原价咖啡，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，求此次按原价采购的咖啡有多少箱． 【答案】(1)牛奶每箱30元，咖啡每箱50元， (2)6箱 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键． （1）设牛奶每箱x元，咖啡每箱y元，根据表格中的数据建立方程组求解即可； （2）设此次按原价采购的咖啡有m箱，原价购买的牛奶有n箱，打折购买的牛奶有z箱，根据此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设牛奶每箱x元，咖啡每箱y元， 由题意得，， 解得， ∴牛奶每箱30元，咖啡每箱50元； （2）解：设此次按原价采购的咖啡有m箱，原价购买的牛奶有n箱，打折购买的牛奶有z箱， 由题意得，， ∴， ∴， ∵m、n、z都是非负整数， ∴是5的倍数，即z是5的倍数， 当时，（此时花费超过1200，舍去） 当时，（此时花费超过1200，舍去）； 当时，，符合题意； 当时，（舍去）； 综上所述，， 答：此次按原价采购的咖啡有6箱． 【变式8-3】（2025九年级·湖南·学业考试）在积极推进科技强国战略的大背景下，科技创新成为推动发展的核心动力．某前沿科技企业专注于高新技术研发，为进一步提升研发实力与效率，计划采购先进的科研设备．已知市场上、两种新型科研设备，采购台设备与台设备共需万元，采购台设备与台设备共需万元． (1)问、两种设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该企业拟投入万元专项资金用于同时购进设备台、设备台．请问有几种进货方案． 【答案】(1)设备每台的进价是万元，设备每台的进价是万元 (2)有两种进货方案：方案一：购进设备台，设备台；方案二：购进设备台，设备台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列方程（组）并求解是解题的关键． （1）设出、设备的进价，根据已知的两种采购情况列出二元一次方程组，求解得出进价． （2）根据投入资金列出方程，结合正整数条件，对未知数取值讨论，得出进货方案． 【详解】（1）解：设设备每台的进价为万元，设备每台的进价为万元． 解得 答：设备每台的进价是万元，设备每台的进价是万元． （2）解：已知企业拟投入万元专项资金用于同时购进设备台、设备台 得 因为、均为正整数，所以对进行取值讨论： 当时，； 当时，； 当时，（为正整数，故舍去） ∴有两种进货方案： 方案一：购进设备台，设备台； 方案二：购进设备台，设备台． 【思维拓展】 【题型9 根据二元一次方程组解的关系求参数】 【例9】已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得，结合题干已知即可列出方程或或或，解得m，求得对应的x和y验证即可． 【详解】解：， 得，即， ∵是整数，方程组有正整数解， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 综上，． 故选：C． 【变式9-1】（24-25八年级上·山东青岛·期末）若关于、的方程组的解满足，则等于（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，以及代数式求值，将两方程相加得到，然后代入求解即可． 【详解】解：， 整理得：， 得：，即 ， ， 解得：， 故选：B． 【变式9-2】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的无解问题，对于二元一次方程组，当时，方程组无解． 根据方程组无解的情况对原方程进行整理，进而计算即可． 【详解】整理得， ∵关于的方程组无解， ∴， 解得：， 故选：A. 【变式9-3】（24-25七年级下·浙江金华·期末）若关于x，y方程组有无数组解，则a与b的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，关键是要理解方程组有无数组解的含义．由关于x，y的方程组有无数组解，求出关于a，b的等式，再根据题意判断即可． 【详解】解∶ ，得， ∵方程组有无数组解， ∴，， ∴，， 故选∶D． 【题型10 根据二元一次方程（组）有公共解求解】 【例10】（24-25七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键．将原方程整理后得到关于，的方程组，解方程组即可得到这些方程的公共解． 【详解】解：已知是关于，的二元一次方程， 去括号得：， 整理得：， 当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解， 可得方程组， 解得：， 这些方程的公共解为， 故答案为： 【变式10-1】若下列三个二元一次方程：；；有公共解，那么的取值应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程和组成方程组，求出x、y，再代入求出k值． 【详解】解：， 由，得， ∴ 把代入①得， ∴， 把，代入，得 ， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握用加减法和代入法解二元一次方程组是解题的关键． 【变式10-2】已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据题意①②得，然后根据题意列出方程组即可求得公共解，二元一次方程组的基本解法有代入消元法和加减消元法． 【详解】解：①②得， ， ， ， 根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关， ， 解得． 故答案为：． 【变式10-3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）定义一种新的运算：，例如：，那么 （1）若，那么 ； （2）若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为 ． 【答案】 12 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程的解，解二元一次方程，关键是熟练掌握新定义运算． （1）根据新定义代入数据计算即可求解； （2）根据新定义可得，代入方程得到，则，根据当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，得到方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：（1）∵，且 ∴， 解得； 故答案为：12； （2）∵，且 ∴， ∴， ∵， ∴ 则 ∴ ∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解， ∴， 解得， 故这个公共解为． 故答案为：． 【题型11 构造二元一次方程组求解】 【例11】（25-26八年级上·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是加法、减法及乘法运算．比如：．若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义问题，读懂题目中定义的运算法则是解题的关键．根据新定义可得，，分别整理联立方程解出即可． 【详解】解：根据新运算可得：，即， 整理得：， ，即， 整理得：， 联立，得， ①+②，得， 解得：， 将代入②，得， 即； 所以． 故答案为：． 【变式11-1】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 【答案】 【分析】根据一次函数中自变量与函数值的对应关系，将两组、的值代入函数表达式，得到关于、的二元一次方程组，再求解该方程组得到、的值．本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，熟练掌握利用待定系数法求解一次函数解析式（即通过建立方程组求解未知系数）是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 解这个方程组得 【变式11-2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握相关知识是解题的关键； 根据题意可得，解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得， ∴， 故答案为： 【变式11-3】（24-25七年级下·河南周口·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如下，这是一个三阶幻方，则的值为 ；的值为 ． 4 3 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组． 由题意得解出x，y的值，即可解答． 【详解】解：由题意得 ， 即， ∴，． 故答案为，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $