重难点05 利用导数研究函数的零点8大题型（举一反三专项训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

重难点05 利用导数研究函数的零点 【全国通用】 1、导数中的零点问题 导数是高中数学的重要内容，是每年高考的必考内容。从近几年的高考情况来看，导数中的函数零点（方程根）问题在高考中占有很重要的地位，是高考的热点和重难点问题，高考常考查函数零点的个数判断或求参问题、函数零点的和差商积问题、三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大，需要灵活求解，复习是要加强这方面的训练。 知识点1 导数中的函数零点问题及其解题策略 1．函数零点（个数）问题的的常用方法 (1)构造函数法：构造函数g( x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数. (2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点. (3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求解. 2．导数中的含参函数零点（个数）问题 利用导数研究含参函数的零点（个数）问题主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 3．与函数零点有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程的根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 知识点2 隐零点问题及其解题策略 1．隐零点问题 隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数不等式与导数的综合题目中常会遇到涉及隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策路是判断单调性，合理取点判断符号，再结合函数零点存在定理处理. 2．隐零点问题的解题策略 在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法. 【题型1 判断或讨论零点的个数】 【例1】（2025·云南红河·三模）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（2025·宁夏银川·三模）若函数，则的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（2025·四川巴中·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论函数的零点的个数； (3)对于任意的恒成立，求的取值范围. 【变式1-3】（2025·甘肃·模拟预测）已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求的零点个数； (3)证明：. 【题型2 零点问题之唯一零点问题】 【例2】（2025·四川成都·三模）函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·云南曲靖·二模）已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2-2】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知，若有唯一解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·河南·二模）若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型3 零点问题之双零点问题】 【例3】（2025·湖南郴州·模拟预测）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·山东青岛·模拟预测）若函数有2个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则（   ） A． B． C． D．与无法比较大小 【变式3-3】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，且有两个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型4 根据零点（个数）情况求参数范围】 【例4】（2025·山西太原·一模）已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数恰有三个不同零点，求实数的取值范围. 【变式4-3】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 【题型5 函数零点的证明问题】 【例5】（2025·安徽淮北·二模）已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)求证：当时，有且仅有一个零点. 【变式5-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极小值小于－1，求的取值范围； (3)当时，证明：有2个零点． 【变式5-2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数. (1)若为上的单调函数，求k的取值范围； (2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 【变式5-3】（2025·江西·模拟预测）已知函数． (1)当时，证明：有且仅有一个零点； (2)若曲线与相切． （ⅰ）求a； （ⅱ）当时，证明：． 【题型6 多零点的和、差、商、积与大小关系问题】 【例6】（2025·四川南充·一模）已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（    ）个 ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】（2025·四川成都·一模）已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数. (1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程； (2)若函数在上恰有2个零点，. ①求的取值范围； ②求证：. 【变式6-3】（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个不同的零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 【题型7 隐零点问题】 【例7】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在区间上有零点，求实数的取值范围． 【变式7-1】（2025·湖南长沙·二模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若与恰有两个交点，求的取值范围. (3)当时，，求a的取值范围. 【变式7-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，判定函数零点的个数，并说明理由. 【变式7-3】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数（）. (1)求在区间上的最大值与最小值； (2)当时，求证：. 【题型8 导数中函数零点的新定义问题】 【例8】（2025·湖北武汉·一模）已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数. (1)若在上为凹函数，求实数的取值范围； (2)已知，且在上存在零点，求实数的取值范围. 【变式8-1】（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 【变式8-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数和. (1)若，证明：对. (2)若函数和各有两个零点，求实数的取值范围； (3)若一个函数有且仅有两个零点，则称这两个零点的算术平均数为该函数的“完美点”.设和分别为和的“完美点”，比较与的大小，并说明理由. 【变式8-3】（24-25高三上·浙江丽水·期末）牛顿法是17世纪牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值；一直继续下去，得到.一般地，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列. (1)若函数的零点为.求的2次近似值； (2)设是函数的两个零点，数列为函数的牛顿数列，数列满足. （i）求证：数列为等比数列； （ii）证明：. 一、单选题 1．（2025·安徽·模拟预测）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数（且）在上有唯一零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南益阳·三模）若函数有两个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·一模）关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江西新余·一模）已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知且，关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·四川遂宁·一模）已知函数，则（    ） A．的图象关于点成中心对称 B．当时，有两个极值点 C．对于任意有三个零点 D．当时，在上存在最大值 10．（2026·陕西渭南·一模）设函数，则（   ） A．点是图像的对称中心 B．当时，函数有三个零点 C．当时，直线不是曲线的切线 D．若有三个不同的零点，则 11．（2025·安徽合肥·一模）已知分别为与的零点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2025·广东江门·模拟预测）函数的零点个数为 ． 13．（2025·浙江宁波·一模）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 14．（2025·湖北·模拟预测）已知函数有2个零点，，且，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（2026·四川巴中·一模）已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 16．（2026·新疆·一模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，判断函数的单调性； (3)讨论函数的零点个数． 17．（2026·广东·模拟预测）已知函数. (1)当时. （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求的零点个数. (2)若的零点个数为2，求的取值集合. 18．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，求的取值范围； (3)设有两个零点分别为，求证：. 19．（2025·河北·模拟预测）已知函数是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点05 利用导数研究函数的零点 【全国通用】 1、导数中的零点问题 导数是高中数学的重要内容，是每年高考的必考内容。从近几年的高考情况来看，导数中的函数零点（方程根）问题在高考中占有很重要的地位，是高考的热点和重难点问题，高考常考查函数零点的个数判断或求参问题、函数零点的和差商积问题、三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大，需要灵活求解，复习是要加强这方面的训练。 知识点1 导数中的函数零点问题及其解题策略 1．函数零点（个数）问题的的常用方法 (1)构造函数法：构造函数g( x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数. (2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点. (3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求解. 2．导数中的含参函数零点（个数）问题 利用导数研究含参函数的零点（个数）问题主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 3．与函数零点有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程的根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 知识点2 隐零点问题及其解题策略 1．隐零点问题 隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数不等式与导数的综合题目中常会遇到涉及隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策路是判断单调性，合理取点判断符号，再结合函数零点存在定理处理. 2．隐零点问题的解题策略 在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法. 【题型1 判断或讨论零点的个数】 【例1】（2025·云南红河·三模）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】利用导数研究函数的单调性，进而得函数的极值，即可得函数的零点个数. 【解答过程】，， 令，得或；令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，极小值为， 当时，，当时，， 所以函数的零点个数为2． 故选：C． 【变式1-1】（2025·宁夏银川·三模）若函数，则的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解题思路】令，可得或，分，求导判断的单调性及极值，进而可得，的解的个数，进而可得的零点个数. 【解答过程】令，则，所以， 解得，解得或， 当时，，求导得， 令，则，解得， 若时，，若，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，， 当时，在上单调递增，且， 所以有3个解，有2个解， 所以的零点个数为5个. 故选：D. 【变式1-2】（2025·四川巴中·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论函数的零点的个数； (3)对于任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是 (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）先求定义域，求导，令，求可得单调区间； （2）参变分离，研究，的单调性，分类讨论进而可求解； （3）参变分离，构造函数，求其单调性，最终求出极值，最值，求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）函数的定义域为，.. 所以，的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）定义域为，由分离参数，得. 令， 函数的零点的个数即为与直线的交点个数即为原函数零点个数. 求导得，，令，解得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以，. 又因为，所以，当时，；当时，， 又时，. 当时，与直线无交点，即函数无零点； 当或时，与直线有一个交点，则函数有一个零点； 当时，与直线有两个交点，则函数有两个零点. 综上所述：当时，函数无零点； 当或时，函数有一个零点； 当时，函数有两个零点. （3）设，则在上为增函数， 而，，故在有唯一解. 而由题设可得任意的恒成立. 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时取到等号， 所以当时，有， 当且仅当，也就是当时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 所以，故的取值范围是. 【变式1-3】（2025·甘肃·模拟预测）已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求的零点个数； (3)证明：. 【答案】(1) (2)2 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求在处的切线方程即可； （2）解法一：由，得，进而构造函数，利用导数分析其单调性，进而求解即可； 解法二：由，得，令，，进而结合导数分析的单调性，进而结合特殊值进行比较求解即可； （3）转化问题为证明，构造函数，结合导数分析单调性，进而求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 则， 故的图象在点处的切线方程为. （2）解法一：由，得， 令， 则， 令，显然在上单调递增， 且，故， 当时，，则，即在上单调递减； 当时，，则，即在上单调递增. 因为， 所以，从而的零点个数为2， 即的零点个数为2. 解法二：由，得，， 令，， 则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 显然函数在上单调递减， 因为，所以， 又，所以， 故的零点个数为2. （3）证明：要证，需证， 令，则， 令， 则， 则在上单调递增， 因为，所以当时，，则，即在上单调递减， 当时，，则，即在上单调递增， 从而，证毕. 【题型2 零点问题之唯一零点问题】 【例2】（2025·四川成都·三模）函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数有且只有一个零点，将其转化为函数的图象与直线有且只有一个交点，求导判断函数的单调性，求出其最小值，即得参数的值. 【解答过程】由，可得. 令，则， 则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 且当时，；当时，， 因函数有且只有一个零点， 即函数的图象与直线有且只有一个交点， 故. 故选：B. 【变式2-1】（2025·云南曲靖·二模）已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可说明0为的唯一零点,然后求函数的导数，并令导数等于0，求得，根据导数的正负判断函数的单调性，说明，进而说明的最小值为，从而可得，结合对数的运算，求得答案． 【解答过程】由题意知函数有且只有1个零点， 而，故0即为的唯一零点， 因为，且， 故 ，所以 有唯一解， 令，则， 对于任意 ，都有， 故在R上单调递增， 则时，，时，， 故函数在时单调递减，在时单调递增， 故 ； 若，当时，， ， 则 ，因此当 且 时，， 此时在内有零点，则至少有两个零点，与题意不符； 故，则的最小值为， 因为由题意知0为的唯一零点，故 ， 即，则， 即值为1. 故选：A. 【变式2-2】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知，若有唯一解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用偶函数性质，只需要研究的零点个数，然后用换元法构造新函数进行求导证明单调性，借助端点值效应，，所以可证明存在唯一零点的参数取值范围. 【解答过程】，， 为偶函数， ，设，， 则在有唯一零点．，当且仅当取等号． 若,时，，则在单调递增， 又因为，所以在有唯一零点 若,时，令得，即， 解得或， 其中，满足要求， ， 其中，故在时恒成立， 所以，即，不合要求， 当时，，则在单调递减， 所以，时，， 故在有1个零点． 又，所以在上有两个零点，不满足题意， 故的取值范围为． 故选：C. 【变式2-3】（2025·河南·二模）若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】法1：确定函数单调性，进而可求解，法2：分参，得到，确定的单调性，进而可求解. 【解答过程】法1：因为， 令，解得或； 令，解得， 所以在上单调递增， 要满足函数在区间内仅有一个零点， 则，，解得. 故选：C. 法2：由题意，关于的方程在内仅有一个解， 而，， 令，解得或； 即在上单调递增，原问题等价于. 故选：C. 【题型3 零点问题之双零点问题】 【例3】（2025·湖南郴州·模拟预测）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由同构的思想可知，若有两个零点，则有两个解，即有两解，分离变量求导即可 【解答过程】若有两个零点，则有两个解， 等价于有两个解，因为，，所以， 令，原式等价于有两个解， 因为，则当时，所以在上单调递增， 所以有两个大于零的解. 解，可得，令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，的图象如图： 所以当时，有两个交点，即有两个零点. 故选：A. 【变式3-1】（2025·山东青岛·模拟预测）若函数有2个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用同构得有两个不同的解，换元后考虑有两个不同的零点，利用导数可求参数的范围. 【解答过程】因为有两个零点， 故有两个不同的解， 所以有两个不同的解， 故有两个不同的解， 设，则，故为上的单调增函数， 而时，，时，，故的值域为， 故在上有两个不同的零点， 设，则， 当时，；当时，； 故在上为增函数，在上为减函数， 故即， 此时当时，，时，， 故时，确有两个不同的零点，综上. 故选：D. 【变式3-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则（   ） A． B． C． D．与无法比较大小 【答案】C 【解题思路】将函数有两个零点问题转化为方程有两个解的问题，先对函数求导，判断单调性和的范围，然后判断并证明与-3的大小比较，最后得到答案. 【解答过程】函数有两个零点，即方程有两个不同的根． 设，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增． 又因为当时，，当时，，所以． 因为可以趋近于无穷小，所以猜测，下面给出证明． 先证当时，． 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增． 由知，当时，，即，所以． 再证当时，． 令，则． 令，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增． 因为，所以当时，，即， 所以． 所以，所以． 故选：C． 【变式3-3】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，且有两个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】转化问题为函数和有两个交点，画出函数的图象，结合图象及导数的几何意义分析求解即可. 【解答过程】令，即， 由题意，函数和有两个交点， 画出函数的图象，如图， 当时，显然函数和没有两个交点，不符合题意， 则，当时，函数和有一个交点， 则当时，和只有一个交点. 设与相切于点，， 由，得，即， 又，则，解得， 因此，要使当时，和只有一个交点， 则，即的取值范围为. 故选：D. 【题型4 根据零点（个数）情况求参数范围】 【例4】（2025·山西太原·一模）已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】问题化为在上有三个根，进而化为有三个根，导数研究且的区间单调性和值域，讨论参数m判断方程根的个数求参数范围. 【解答过程】令，则， 两侧平方得，即， 所以， 对于且，有， 上，即在上单调递增， 上，即在上单调递减， 当时有，当时有，当时有， 在上值域为，在上值域为，在上值域为， 当时，，则有三个根，则，满足题设； 当时，，可得或，共有两个零点，不合题设； 当时，或，且， 若，则，即为其中的两个根， 此时，结合上述分析且有且仅有一个根，共有三个零点，满足题设； 若，则为其中的两个根，而且有且仅有一个根为， 此时，一共只有两个零点，不满足题设； 若，则，此时为其中一个根， 此时，结合上述分析且无实根，共有一个零点，不满足题设； 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】是1个零点，进而得时，函数有4个零点，将问题转化成与有4个交点分析计算求解即可. 【解答过程】由题意，可知： 当时，，故为的1个零点； 故当时，函数有4个零点，即有4个非0实数根， 即有4个非0实数根， 即与图象有4个交点， 当时，， 当时，则，令得， 所以当时，当时， 则函数在单调递增，在上单调递减， 又，时，时， 且时，时，， 所以图象如图所示：    由图可得，解得. 故选：D. 【变式4-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数恰有三个不同零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出，根据导数的几何意义求出切线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即可； （2）由题可得，令，利用导数求出的单调性和极值，函数恰有三个不同零点，即与有3个不同交点，结合图象分析即可求解. 【解答过程】（1）当时，，， 所以， 所以切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）令，可得， 令， 函数恰有三个不同零点，则函数图象的与直线有3个不同交点， ， 令，解得或， 当时，， 当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 且，， 作出函数的大致图象， 所以.    【变式4-3】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）先求出导函数，再根据导数值得出切线斜率，最后由点斜式得出切线即可求解； （2）先求出导函数，再分类讨论当，时，分导函数的正负得出单调区间； （3）结合（2）知，再构造函数，再求导数得出最值再结合零点个数计算求参. 【解答过程】（1）当时，， 在点处的切线方程为： （2）定义域为， （i）当时，，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减； （ii）当时，则由得或， 当时，，所以在单调递增； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在和上单调递增，在上单调递减； 当时在单调递增； 当时在和上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）知且， ， 记，则且， 当时，；当时 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有，所以，等号成立当且仅当 故当时，由（2）知有且只有一个零点，舍去 当且时，， 要使得有三个零点，则，解得 所以的取值范围是. 【题型5 函数零点的证明问题】 【例5】（2025·安徽淮北·二模）已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)求证：当时，有且仅有一个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）先把代入函数和导函数，再求处的导数值和函数值，是切线斜率，是切点纵坐标，最后用点斜式得出切线方程. （2）先确定定义域，求出.分情况讨论：时，化简，令求零点. 时，判断，函数递增，再根据与异号，用零点存在定理确定零点. 时，令得两个极值点，分析函数单调性，结合时，以及，用零点存在定理确定零点.最后总结时零点情况. 【解答过程】（1）若，则， 所以，函数在处的切线方程为； （2）的定义域为， 当时有且仅有一个零点4： 当时，，函数递增，由，知存在唯一零点； 当时，令得， 当时，函数递增： 当时，函数递减； 当时，函数递增： 当时，，所以，函数无零点； 因为当时递减，当时递增， 且，所以存在唯一零点. 综上所述，当时，有且仅有一个零点. 【变式5-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极小值小于－1，求的取值范围； (3)当时，证明：有2个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，极小值，构造函数，求导推得，即可求得不等式的解集； （3）由得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数. 【解答过程】（1）当时，，则， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得：． （2）函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减，则无极小值，不合题意； ② 当时，由，得，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以的极小值为：， 因为的极小值小于，所以，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以由可得. （3）． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得， 即， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 又因，所以， 所以有2个零点，故有2个零点． 【变式5-2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数. (1)若为上的单调函数，求k的取值范围； (2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据函数的单调性可得或，继而即可求解； （2）是奇函数，所以只需证明：存在无数个取值使得在上恰有一个零点.利用二次求导分析的单调性，结合零点存在定理即可证明. 【解答过程】（1）， 因为为上的单调函数， 所以对任意，有；或对任意，有， 即恒成立，或恒成立， 所以的取值范围是. （2），且， 所以是奇函数， 所以只需证明：存在无数个取值使得在上恰有一个零点. ，令， 由（1）知，时，在上是减函数. 所以，在上是减函数. ，故存在. 当变化时，的变化情况如下表： 0 2 + 0 0 极大值 故时，. 故存在唯一的. 于是时，在上存在唯一的零点. 于是存在无数个取值使得恰有三个不同的零点. 【变式5-3】（2025·江西·模拟预测）已知函数． (1)当时，证明：有且仅有一个零点； (2)若曲线与相切． （ⅰ）求a； （ⅱ）当时，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解题思路】（1）根据已知，根据其单调性结合零点存在性定理，即可证； （2）（i）利用导数几何意义求切线方程，由切线重合列方程求参数；（ii）设并应用导数研究函数值符号，即可证. 【解答过程】（1）当时，，显然是增函数， 而，故在区间上有零点， 结合的单调性可知，在R上有且仅有一个零点． （2）（ⅰ）不妨记切点为，则， 由， 故切线方程为， 即， 令其与重合，故， 则， 若，显然有，这与题设条件矛盾， 若，由可知二者不在处相切，矛盾， 故，于是，经验证符合题意， 综上，； （ⅱ）设，则， 由可知，设， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，故， 于是． 【题型6 多零点的和、差、商、积与大小关系问题】 【例6】（2025·四川南充·一模）已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（    ）个 ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】函数有两个不同零点，转化为有两个交点，构造函数，判断单调性，利用数形结合，判断①，再根据①判断②，再根据零点,构造函数，判断选项③,根据零点判断④. 【解答过程】由函数有两个不同零点， 转化为有两个交点， 构造函数， ，则，故，所以在单调递增，而，可得图象如图所示 故在单调递减，在单调递增， 所以， 对于①，， 所以， 所以，故①正确； 对于②，由①可知，故， 因此 ，故②正确； 对于③，因为，所以，故， 所以， 则， 构造函数， 则，而， 所以， 所以， 因为，所以， 令，构造，显然单调递增，且， 所以 所以，故③正确； 对于④，由①可知，， 所以， 令，，显然单调递增，且， 所以，故④正确. 故选：D. 【变式6-1】（2025·四川成都·一模）已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，将原函数的零点转化为方程的根，令，转化为，再令，得到使时的根的个数，再分类讨论的范围与根的关系，结合函数与方程性质及零点的关系即可得. 【解答过程】令，得，整理得， 令，原方程化为， 设， 则， 令，解得，且， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 则在时，有最大值为， 则当时，有一个解， 当时，有两个解， 当时，有一个解， 当时，无解， 因为原方程为， 由题可知有三个零点，因此方程有两个不等实根、，设， 则有，， 若，则，故舍去， 若，则，， 有，即有，，代入得，矛盾，故舍去， 若则，， ， 设，则，得到， 所以. 故选：D. 【变式6-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数. (1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程； (2)若函数在上恰有2个零点，. ①求的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【解题思路】（1）求出函数的导函数，设切点为，利用导数的几何意义求出，从而得到切线方程； （2）①问题转化为恰有2个不相等的正实数根，，令，利用导数求出函数的单调性和最值，数形结合得解；②由题可得，，得，利用分析法可将所证明问题转化为，令，令，利用导数求出最值得证. 【解答过程】（1）当时，，设直线与曲线相切于点， 因为，所以直线的斜率， 又，故的方程为， 又过原点，所以，所以， 所以，故的方程为，即. （2）①因为在上恰有两个零点， 所以关于的方程有两个不相等的正根，即恰有2个不相等的正实数根，， 令，则与的图象有两个不同的交点. 因为，所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当无限趋近于时，则趋近于，则图象如图所示，    所以当时，直线与的图象有两个不同交点， 所以实数的取值范围为. ②由①知，， 所以，， 所以， 不妨设，则， 要证，只需证， 因为，所以，所以， 则只需证. 令，则只需证当时，恒成立， 令， 所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，恒成立，所以原不等式得证. 【变式6-3】（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个不同的零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，根据点斜式得解； （2）（ⅰ）转化为有两个相异正根，，利用导数研究的大致情况得解； （ⅱ）设，利用导数判断函数单调性，据此可得当时，，再由及函数单调性得出得证. 【解答过程】（1）当时，，所以， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即 （2）（ⅰ） 易知的定义域为， 由题意得，方程有两个相异正根，， 即方程有两个相异正根，， 设，则， 因为，所以， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 由，及的性质知， 当且时，，， 所以当时，，又，， 所以要使有两个相异正根，，必有， 故实数的取值范围为. （ⅱ）证明：由题意可知，，不妨设，则， 设，则 ， 令， 则当时，， 所以在上单调递减，则当时，， 所以当时，， 所以在上单调递减，故当时，， 所以当时，， 所以，即， 又，， 由（ⅰ）可知，在上单调递减，所以，故. 【题型7 隐零点问题】 【例7】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在区间上有零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，根据直线的点斜式方程求解切线即可. （2）求出导函数，按照、和分类讨论研究函数的单调性，根据在区间上有零点列不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 即， 所以切线的斜率为．又， 所以切线方程为，即． （2），则， ①当时，， 所以在区间上恒成立，在区间上单调递增． 所以在区间上恒成立，即在区间上无零点． ②当时，令， 则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，即． （ⅰ）时，，在区间上单调递增， 即在区间上恒成立，所以在区间上无零点． （ⅱ）当时，，又， 所以存在，使得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 即当时，取得最小值，因为，所以． 因为，所以当时，， 此时，在区间上恒成立，在区间上无零点． 当时，，故存在，使得， 所以实数的取值范围是． 【变式7-1】（2025·湖南长沙·二模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若与恰有两个交点，求的取值范围. (3)当时，，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）求导后构造函数再次求导后可得； （2）变形不等式后令，问题转化为有两个零点，求导分和两种情况结合零点存在定理分析可得； （3）当时显然成立；当时，分离参数可得，构造函数求导结合隐零点分析最值即可. 【解答过程】（1）当时，，， 令，则恒成立， 所以在单调递增， 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. （2）， 令，问题转化为有两个零点， 求导， 若，则，单调递增，在上至多有一个零点，不符合题意； 若，令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 由零点存在定理可得要使有两个零点，则， 当时，，，则； 当，由指数爆炸模型可知， 所以的取值范围为. （3）当时，，即，整理可得， 当时显然成立； 当时，分离参数可得， 令，求的最大值即可， 求导， 令分子为， 则， 再令， 则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 又， 故存在，使得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又， 所以时，，即，单调递增； 时，，即，单调递增， 所以. 所以a的取值范围为. 【变式7-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，判定函数零点的个数，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)一个 【解题思路】（1）利用导数分类讨论含参函数的单调性即可； （2）利用导数分析函数的单调性，从而求出极值，即可判断函数的零点个数. 【解答过程】（1）由题知，. 当时，当时，；当时，， 在区间上是㺂函数，在区间上是增函数； 当时，；当或时，；当时，； 在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数； 当时，在区间上是增函数； 当时，；当或时，；当时，； 在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数； 综上所述，当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数； 当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数； 当时，在区间上是增函数； 当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数. （2）由（1）知，，定义域为， ，设， 在区间上是增函数， 存在唯一，使，即， 当时，，即；当时，， 即；当时，，即， 在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数， 当时，取极大值为， 设，其知在区间上是减函数. 在内无零点， 在内有且只有一个零点， 综上所述，有且只有一个零点. 【变式7-3】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数（）. (1)求在区间上的最大值与最小值； (2)当时，求证：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【解题思路】（1）求导（）（），分，讨论求解； （2）方法一：隐零点法，由，，转化为证明，令，（），由成立即可；方法二：（同构）由，，转化为，进而变形为，再构造函数（），证即可. 【解答过程】（1）解：（）（）， 令，则， 当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以，. 当时，，则当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， 所以， 而，.所以 综上所述，当时，，； 当时，所以，. （2）方法一：隐零点法 因为，，所以，欲证，只需证明， 设，（），， 令，易知在上单调递增， 而，， 所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得， 即，因此，， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以 所以，因此. 方法二：（同构） 因为，，所以，欲证，只需证明， 只需证明， 因此构造函数（）， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增： 所以，所以， 所以， 因此. 【题型8 导数中函数零点的新定义问题】 【例8】（2025·湖北武汉·一模）已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数. (1)若在上为凹函数，求实数的取值范围； (2)已知，且在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）令，依题意知，对任意的恒成立，利用分离参数法求解即可； （2）分和两种情况讨论，求出函数的单调区间及极值，进而可得出答案. 【解答过程】（1）， 则， 依题意知，对任意的恒成立，则恒成立， 令， 则， 故在上单调递增，故， 则实数的取值范围为； （2）依题意得，， 若，当时，， 所以在上无零点，舍去； 若，则，令， 则，则在上单调递减，且， ①若，即，此时， 则存在，使得，即， 故在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，， 令，解得， 因为，且， 所以存在唯一的，使得，满足条件； ②若，即，此时在上单调递减， 又，所以，不合题意，舍去， 综上所述，实数的取值范围为. 【变式8-1】（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1），，利用导数判断其单调性后可证函数，与“具有性质”. （2）根据函数具有性质得，令，，利用极值点偏移的方法可证，故可得原不等式成立； （3）令， ，利用导数可证在前者为减函数，后者为增函数，再结合不等式的性质可证函数与“具有性质”. 【解答过程】（1）令，， 所以，所以在上单调递增， 不妨设，所以，即， 即， 所以， 所以函数，与“具有性质”. （2）证明：由函数在上有两个零点，，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，即， 令，，即. 记，即，又， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 要证，即证，不妨设， 即证，只需证，即证. 设，即， 所以， 所以函数在上单调递减，且， 又，则，即，则得证， 故. （3）证明：不妨设，所以，所以， 所以，令，， 所以，所以在上单调递减， 又，所以，即， 所以； 当时，， 令，，所以， 令，所以， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 综上，，即， 即函数与“具有性质”. 【变式8-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数和. (1)若，证明：对. (2)若函数和各有两个零点，求实数的取值范围； (3)若一个函数有且仅有两个零点，则称这两个零点的算术平均数为该函数的“完美点”.设和分别为和的“完美点”，比较与的大小，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）构造函数，根据导函数正负得出函数单调性，进而证明不等式； （2）先把、的零点问题转化为、的零点问题.通过求导得出、单调性，确定其值域，根据有两个零点得出范围，再结合性质，确定在该范围也有两个零点，进而得到取值范围. （3）设出、零点，构造，求导分析其单调性.根据单调性比较与大小，得出零点大小关系，从而比较与大小. 【解答过程】（1）当时，， 设，， 当时，设单调递增， 当，，所以， 所以当时，单调递增， 所以，所以. （2）由，，得，， 则，的零点等价于，的零点. ，， ；， 在区间单调递增，且在单调递减， 故当时，， 当时，， 若有两个零点，则，即. ；； 函数在区间单调递增，且在单调递减， 当时，，当时，，且， 故当时在区间和各恰有一个零点. 综上的取值范围是. （3）不妨设和的两个零点分别为，和，， 则，，且，. 设，则， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，，单调递增， 故当时，， 即，当时，，即. 故，，同理有， 故，即. 【变式8-3】（24-25高三上·浙江丽水·期末）牛顿法是17世纪牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值；一直继续下去，得到.一般地，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列. (1)若函数的零点为.求的2次近似值； (2)设是函数的两个零点，数列为函数的牛顿数列，数列满足. （i）求证：数列为等比数列； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求切线方程，进而可得，即可得结果； （2）（i）根据导数的几何意义求切线方程，可得，根据韦达定理可得，即可得结果；（ii）放缩可得，根据等比数列求和公式分析证明. 【解答过程】（1）因为，则， 可得，， 曲线在处的切线为， 令，得，则，， 曲线在处的的切线为， 令，得， 所以的2次近似值为. （2）（i）因为，则， 可得，， 过点作曲线的切线， 令，得， 则， 又因为是函数的两个零点，则， 且，则， 可得， 则，故数列为等比数列； （ii）记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以，即， 由题意可得：，记，则， 由，可得：，即，即， 所以. 一、单选题 1．（2025·安徽·模拟预测）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】利用导数求出函数的单调区间，再由零点存在性定理判定零点个数即可. 【解答过程】, 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，，所以当时，，无零点； 而，，且函数在上单调递增，故有一个零点. 故选：B. 2．（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数（且）在上有唯一零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将问题转化成两图象的交点问题，利用导数分析单调性数形结合求解. 【解答过程】由题意可得在上有唯一解，即， 令，则，则， 令，则， 则， 当时，的，开口向上，恒大于零， 所以为递增函数，为递减函数， 因为，所以在上无解； 当时，必须成立，若，会出现图象的情况， 即在上恒成立，（指数函数的增长速度大于幂函数，且）， 所以图象只能为，只需交点横坐标小于1即可，所以令可得， 又，所以的范围为. 故选：B. 3．（2025·湖南益阳·三模）若函数有两个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分类讨论的值，再根据导数分析的单调性，结合函数有两个零点，即可求解范围． 【解答过程】函数的定义域为. 当时，令，在只有一个零点，不合题意； 当时，， 当时，，则在单调递增，，所以在只有一个零点，不合题意； 当时，令， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 又时，， 若有两个零点，则， 设，令，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以， 所以， 故选：C． 4．（2026·重庆·一模）关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用指对运算将方程化为，设，求导确定单调性可得，令，求导确定函数的单调性与最值从而得实数的取值范围. 【解答过程】方程可转化为，则， 所以， 设，则方程转化为， 又恒成立，所以在上为增函数， 所以，即， 令，所以，则可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 又时，，时，， 若方程有两个不同的解，则实数的取值范围为. 故选：D. 5．（2026·江西新余·一模）已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由得出，变形得出，分析可知，构造函数，其中，分析出函数在上为增函数，可得出，则，参变分离得出，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【解答过程】由可得， 故等式可变形为， 等式两边同时乘以可得， 若，对任意的，，则，故， 所以，但，等式不成立，不符合题意，所以， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 由可得， 所以，参变分离得， 构造函数，其中，则， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以函数的极大值为， 又因为，，且，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此实数的取值范围是. 故选：D. 6．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将问题转化为函数与图象的交点个数问题，利用导数求出点的直线与相切的直线的斜率，结合图象，即可得答案. 【解答过程】因为， 令， 将函数的零点转化为函数与图象的交点个数问题， 因为，过定点， 作出函数的图象，如图所示： 当时，函数与图象至多有2个交点，不符合题意； 当时，与必有一个交点， 所以与必有2个交点， 设过点的直线与相切于点， 因为， 所以切线的斜率为， 即有， 解得， 所以切线的斜率为， 所以. 故选：B. 7．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知且，关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用好换元思想，把方程变形为，再构造函数零点问题通过求导来解决参数范围问题. 【解答过程】令，则， 所以原方程可化为：， 构造：，则， 由于每一个实数，都满足有唯一解， 则根据题意原方程有两个解等价于函数有两个零点， 当时，，此时， 函数是单调递增函数，不可能有两个零点，即此时不合题意； 当时，由时，， 则当时，，当时，， 则函数在时单调递减，在时单调递增， 为了要满足函数有两个零点， 则只需要， 即， 因为，根据单调递增可得：， 又由于当时，， 当时，， 所以满足时，函数必有两个零点， 则综上可得：， 故选：B. 8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由有三个零点，可转化为与图象有三个不同的交点，作出图象，可得a的范围，根据韦达定理可得，，根据对数的性质，可得，即可得的表达式，构造函数，利用导数求得单调性，可求出最值，即可得答案. 【解答过程】当时，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为有三个零点，不妨令， 所以有三个不相等的根， 即与图象有三个不同的交点， 作出图象，如图所示    所以， 因为为方程，即的两个不相等实根， 所以， 因为为方程的根，所以， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以. 故选：D. 二、多选题 9．（2026·四川遂宁·一模）已知函数，则（    ） A．的图象关于点成中心对称 B．当时，有两个极值点 C．对于任意有三个零点 D．当时，在上存在最大值 【答案】AC 【解题思路】计算即可判断A，求导得，令，即，求判别式即可判断B，先判断的单调区间，进而根据零点存在定理即可判断C，先判断在上的单调性即可判断D. 【解答过程】对于A： ， 所以的图象关于点成中心对称，故A正确； 对于B：，令，即， 所以， 所以当时，方程有两个根，即有两个极值点，故B错误； 对于C：由，解得， 显然当时，， 由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 当，所以对于任意有三个零点，故C正确； 对于D：当时，在单调递减，又， 所以在单调递减，故不存在最大值，存在最小值，故D错误； 故选：AC. 10．（2026·陕西渭南·一模）设函数，则（   ） A．点是图像的对称中心 B．当时，函数有三个零点 C．当时，直线不是曲线的切线 D．若有三个不同的零点，则 【答案】ABD 【解题思路】对于A计算即可判断，对于B由函数的单调性结合三次函数的图像特征即可判断，求切线方程即可判断C，结合零点的定义代入计算，即可判断D， 【解答过程】对于A：由， 所以是图像的对称中心，故A正确； 对于B：当时，，所以， 令，得或，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以函数有三个零点，故B正确； 对于C：当时，，所以，由，， 所以在处的切线方程为：，故C错误； 对于D：设的三个零点为， 所以， 对比项的系数有：，故D正确； 故选：ABD. 11．（2025·安徽合肥·一模）已知分别为与的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】解法一：根据对称性转化判断B，C，再化简计算判断A，应用导数得出单调性判断D.解法二：利用函数同构得出B，化简判断A，C，根据单调性计算判断D. 【解答过程】解法一：设直线与曲线分别交于点与点， 因为直线垂直于直线与互为反函数， 则点与点关于直线对称， 所以，于是并且，故B错误，C正确； ，即，故A正确； 因为在单调递增，且， 故，令， 则，所以在单调递减， 所以，即，即，所以D正确. 故选:ACD. 解法二：利用函数同构，直接得到，， 得，得到.B错误； 对于，A正确； 对于，C正确； 对于，在上递减，得，，D正确. 故选:ACD. 三、填空题 12．（2025·广东江门·模拟预测）函数的零点个数为 ． 【答案】2 【解题思路】先求出函数的定义域，求导分析函数单调性及极值，分析函数的极限及最大值，进而利用零点存在定理得出零点个数． 【解答过程】的定义域为， 函数的定义域为， 求导得，令，则， 解得，，，设， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 在处取得极大值， 当时，，故； 当时，，故； 极大值为最大值， 函数在从增至正极大值，穿过轴一次，有一个零点； 在从正极大值递减至必穿过轴一次，有另一个零点， 函数共有2个零点． 故答案为：2． 13．（2025·浙江宁波·一模）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据已知函数的性质，把函数有两个零点转化为方程有两个不同的根，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，从而求解实数的取值范围． 【解答过程】函数有两个零点， 有两个不同的根， 当时，左边为，右边为，左边不等于右边，故不是方程的解； 当时，， 令，求导得， ， ， 在上单调递增，在上单调递增， 当时，，且, 当时，， 当时，，当时，，， 函数图像如下图所示， 要使与的图像有两个交点，则需满足，此时与在和上各有一个交点． 实数的取值范围为， 故答案为：． 14．（2025·湖北·模拟预测）已知函数有2个零点，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】首先根据函数有两个零点这一条件，可知极大值必大于0，然后联立零点方程，通过变量替换，将问题转化为关于的方程，然后通过两次构建新函数求得范围. 【解答过程】函数，有两个零点，求导得：. 当时，，此时在上单调递增，不合题意. 所以.令，则. 为了使得函数有两个零点，则极大值，所以. 因为函数，有两个零点， 所以，即 两式相减得. 因为，令，则，那么 ，两式相减得，所以①. 两式相除可得：，即，所以. 两边同时取对数得到：，化简得：②. ①②联立可得：，所以令，则. 因为，因为， 设，则，故在为减函数， 故，故为函数，故. 令，所以，所以在上单调递减， 又，所以，所以. 所以的取值范围为. 令，则，所以在上单调递增， 所以. 所以综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·四川巴中·一模）已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）由题意可得，联立等式可得函数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导数及三次函数性质可得其图象，结合图象可得答案. 【解答过程】（1）由题意得．因为在处取得极小值， 则，解得，， 所以，， 故，， 则切线方程为，即； （2）令，所以． 令，解得或．则，，的关系如下表： 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 作出函数的图象如下： 所以，①当或时，有两个零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有三个零点． 16．（2026·新疆·一模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，判断函数的单调性； (3)讨论函数的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解题思路】（1）求出导数，求出得斜率，点斜式可求切线方程； （2）先求导数，从1分段讨论导数的符号，得出单调性； （3）令，求解根的情况，需讨论的单调性，判断其零点个数. 【解答过程】（1）当时，，， ，所以曲线在点处的切线方程为. （2）定义域为，， 整理得， 当时，，因为，所以， 所以，为增函数. 当时，，因为，所以， 所以，为减函数. 综上可得，当时，为减函数，当时，为增函数. （3）设，由得或； 当时，，为增函数，又，此时仅有一个零点； 当时，，时，，为增函数， 时，，为减函数，的最大值为； 若，的最大值为，此时仅有一个零点； 若，则，且趋近于时，趋近于， 故在区间内，有且仅有一个零点，此时有两个零点； 若，则，且趋近于0时，趋近于， 故在区间内，有且仅有一个零点，此时有两个零点； 综上可得，当或时，有一个零点，当或时，有两个零点. 17．（2026·广东·模拟预测）已知函数. (1)当时. （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求的零点个数. (2)若的零点个数为2，求的取值集合. 【答案】(1)（i）（ii）3 (2). 【解题思路】（1）（i）求出时的解析式，利用导数的几何意义得到处的切线斜率，利用点斜式可得答案；（ii）分类，用导数讨论单调性，可得答案； （2）分类，利用导数结合零点存在定理可得答案. 【解答过程】（1）（i）此时， 当时，， ， 切线斜率，又切线过点， 故可得切线方程为，即. （ii）时，时， ，， 时，单调递减； 时，单调递增， 注意到， 由零点存在定理可得其在上各存在一个零点， 由单调性知其在时有且仅有两个零点， 而时，单调递增，此时， 可得其在时有且仅有一个零点， 综上：的零点个数为3. （2）时，显然有且仅有一个零点，矛盾， 时，，考虑， 此时. 当时，时，单调递增，且， 由零点存在定理知其在内有且仅有一个零点. 故时其只有一个零点. 注意到时，单调递减；时，单调递增， 由唯一零点知，即，得. 当时，时，单调递增，且， 由零点存在定理知其在区间内有且仅有一个零点. 故时其只有一个零点.注意到，时，单调递增； （）时，单调递减， 由唯一零点知，即，. 综上，的取值集合是. 18．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，求的取值范围； (3)设有两个零点分别为，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，求导即可得到结果； （2）结合（1）的分析，确定满足的条件，当时，列式从而求得的取值范围； （3）根据题意，将问题转化为有两个零点，然后利用导数，分类讨论即可得到的取值范围，再将问题转化为，即只需证，然后构造函数求导即可得到证明. 【解答过程】（1）由题意可得，， 当时，，在上单调递增； 当时，由解得，由解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 且，， 所以， 解得，所以的取值范围． （3）有两个零点， 令，则，在时恒成立，∴在时单调递增， ∴有两个零点，等价于有两个零点. ∵ ，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减，∴， 若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点； 若，得，∵，， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故在上单调递增，所以， 即， ∴在与上各存在一个零点，符合题意， 综上，的取值范围为. 因为，不等式两边同时取对数化简可得， 要证即证：， 即证，由，，∴只需证. ∵，，∴，， ∴ ，只需证. 设，令， 则，∴只需证 ， 即证 ， 令，，则 ，， 即当时， 成立.∴，即. 所以. 19．（2025·河北·模拟预测）已知函数是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间是（0，2）． (2)①；②证明见解析 【解题思路】（1）先求导函数，因为是函数的一个极值点，所以，解得，所以，再利用导数求解函数的单调区间； （2）①由（1）知函数的单调递减区间为，单调递增区间是分别验证函数有三个零点时，必有，反之验证当时，函数有三个零点，故函数有三个零点的充要条件为，进而得到的范围；②先利用极值点偏移证明，又由，故． 【解答过程】（1）由题知，因为是函数的一个极值点，所以，即，解得， 故，令，解得或， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 所以是函数的极大值点， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间是（0，2）． （2）①由（1）知函数的单调递减区间为，单调递增区间是而，，函数有三个零点时，必有解得． 当时，，又因为且在区间上单调递减，故存在唯一使得； 因为且在区间上单调递增，故存在唯一使得； 因为且在区间上单调递减，故存在唯一使得． 所以满足题意． 所以实数的取值范围为． ②先证：． 要证，只需证，因为且在区间 上单调递增，故只需证，即只需证，即只需证． 设，则，当时，，故， 故在区间上单调递减，故. 因此成立． 又因为，故． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $