福建省趋势卷（2-1）-2026年全国各地区中考一轮数学趋势卷

【一轮复习】2026年福建省中考数学趋势卷（2-1） 一．选择题（共10小题） 1．下列实数中，最小的数是（　　） A．1 B．﹣2 C． D．﹣3 2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．正三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形 3．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x≥﹣2 4．杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．如图是常见的一种秤砣，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 5．不等式﹣x+1＜x﹣3的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．有三个除颜色不同外其他完全相同的球，分别标上数字﹣1，1，0，放入暗箱，然后从暗箱中随机摸出两个球，则两个球上数字互为相反数的概率为（　　） A． B． C． D． 7．如图，小明按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出直线a，b，c，如果∠1＝40°，那么∠2的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 8．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 9．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠P的度数为（　　） A．55° B．110° C．80° D．70° 10．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（6，y3）都在二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 二．填空题（共6小题） 11．中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位上升5m记作+5m，那么水位下降2m记作　 　 m． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为斜边AB上的中点，则CD为 　 　 ． 13．已知反比例函数的图象经过点（3，1），则k的值为　 　 ． 14．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，点E在AD边上，连接并延长EO交BC于点F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则△DOE与△COF的面积之和为 　 　 ． 15．学校从德、智、体、美、劳五方面对学生进行评定，分别按2：3：2：2：1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明的最终得分为 　 　 ． 16．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D﹣表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发　 　 小时与轿车相遇． 三．解答题（共9小题） 17．计算：． 18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC． （1）求证：BD＝DF． （2）丁丁同学观察图形后得出结论：AB+AF＝2AE．请你帮他写出证明过程． 19．先化简：，再从﹣1，0，﹣2，2中选一个合适的数代入求值． 20．甲、乙两人是某高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期队员 2月12日 2月17日 3月4日 3月13日 3月22日 4月8日 4月16日 4月27日 5月7日 5月19日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是85，；方差分别是58.4，m． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）， 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 89 90 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）计算m的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； （3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 21．已知：如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的点，且AD＝BE＝CF． （1）求证：△DEF是等边三角形； （2）若DE⊥BC，AB＝12，求CE的长． 22．在一节数学实践课里，老师布置了如下任务：在7×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺，在图中的线段BC上找一点E，连结AE，使AE平分△ABC的周长； 如图1为小瑞的作法，其作法是否正确　 　 （填正确或错误），并说明理由． 23．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b为常数，a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）若0≤x≤m时，﹣4≤y≤﹣3，求m的取值范围； （3）若n﹣1≤x≤n时，y的最大值为3﹣2n，求n的值． 24．阅读下列材料，回答问题． 爱动脑的小明在学习不等式知识时，查阅资料了解到：当给出不等式x＞y时，我们可以将x表示为x＝y+m（其中m＞0为增量），从而将x用y+m代换进一步变形不等式．结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法﹣增量代换作差法证明不等式． 例如：已知a＞2，b＞2，求证：a+b＜ab 证明：令a＝2+m，b＝2+n，其中m＞0，n＞0 作差得a+b﹣ab＝（2+m）+（2+n）﹣（2+m）（2+n）＝﹣m﹣n﹣mn ∵m＞0，n＞0，∴﹣m＜0，﹣n＜0，﹣mn＜0 ∴﹣m﹣n﹣mn＜0，∴a+b﹣ab＜0 所以a+b＜ab 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知a＞1，b＞﹣2，求证：4a+b＞﹣ab； （2）已知a＞b＞c，试比较代数式与的大小． 25．如图1，⊙O中，，直径AF交弦BC于点E，点D在弦BC上，连接AD并延长交⊙O于点G． （1）若BA＝BD，∠EAD＝α，求∠ABC（用含α的式子表示） （2）如图2，在（1）的条件下，过点F作KF∥AG，交AB于点J，过点B作BN⊥AC于点N交AF于点M，连接FG， ①求证：FG2＝KJ•KF； ②当AJ＝AO，CD＝1时，连接CM，并延长交AB于点H，连接BF、CF，探究四边形HBFC的面积是否为定值，若是，请求出四边形HBFC的面积；若不是，请说明理由． 【一轮复习】2026年福建省中考数学趋势卷（2-1） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D． C D A C B D C D C 一．选择题（共10小题） 1．下列实数中，最小的数是（　　） A．1 B．﹣2 C． D．﹣3 【答案】D． 【解答】解：∵﹣3＜﹣21， ∴最小的数是：﹣3． 故选：D． 2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．正三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形 【答案】C 【解答】解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 3．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x≥﹣2 【答案】D 【解答】解：由题意，得x+2≥0， 解得x≥﹣2． 故选：D． 4．杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．如图是常见的一种秤砣，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：从正面看，可得它的主视图是． 故选：A． 5．不等式﹣x+1＜x﹣3的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：﹣x+1＜x﹣3， ﹣x﹣x＜﹣3﹣1， ﹣2x＜﹣4， x＞2， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 故选：C． 6．有三个除颜色不同外其他完全相同的球，分别标上数字﹣1，1，0，放入暗箱，然后从暗箱中随机摸出两个球，则两个球上数字互为相反数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：列表如下：（两个数和的情形） 一共有3种可能，和为0的只有一种可能， ∴两个球上数字互为相反数的概率， 故选：B． 7．如图，小明按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出直线a，b，c，如果∠1＝40°，那么∠2的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】D 【解答】解：由图可知：a∥b（同位角相等，两直线平行），由题意，得：∠5＝30°， ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1＝∠4＝40°，∠5＝30°， ∴∠2＝∠3＝∠4+∠5＝40°+30°＝70°， 所以∠2的度数为70°， 故选：D． 8．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 【答案】C 【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝225． 故选：C． 9．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠P的度数为（　　） A．55° B．110° C．80° D．70° 【答案】D 【解答】解：连接OA、OB，则∠C∠AOB， ∵∠C＝55°， ∴∠AOB＝2∠C＝110°， ∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∴∠P＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB＝70°， 故选：D． 10．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（6，y3）都在二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 【答案】C 【解答】解：方法一：∵二次函数的解析式为y＝﹣2（x﹣3）2+1， ∴对称轴为直线x＝3，抛物线开口向下， ∴离对称轴越远的点，其y值越小， ∵点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（6，y3）， ∴3﹣（﹣2）＝5，3﹣1＝2，6﹣3＝3，即5＞3＞2， ∴y2＞y3＞y1； 方法二：分别讲A、B、C三点代入得， y1＝﹣49，y2＝﹣7，y3＝17， ∴y2＞y3＞y1； 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位上升5m记作+5m，那么水位下降2m记作　﹣2　 m． 【答案】﹣2． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果水位上升5m记作+5m，那么水位下降2m记作﹣2m． 故答案为：﹣2． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为斜边AB上的中点，则CD为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∵点D为斜边AB上的中点， ∴CDAB5， 故答案为：． 13．已知反比例函数的图象经过点（3，1），则k的值为　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：根据双曲线上的点的横纵坐标之积为k可知： k＝3×1＝3； 故答案为：3． 14．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，点E在AD边上，连接并延长EO交BC于点F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则△DOE与△COF的面积之和为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB，OA＝OC，AD∥CB，AC⊥BD，∠BAO＝1/2∠BAD， ∴△AOB和△AOD都是直角三角形， ∵∠BAD＝60°， ∴∠BAO∠BAD＝30°， 在Rt△AOB中，AB＝2，∠BAO＝30°， ∴OBAB＝1， 由勾股定理得：OA， ∴OD＝OB＝1， ∴S△AODOA•OD， ∵AD∥CB， ∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC， 在△OAE和△OCF中， ， ∴△OAE≌△OCF（AAS）， ∴S△OAE＝S△OCF， ∴S△DOE+S△COF＝S△DOE+S△OAE＝S△AOD． 即△DOE与△COF的面积之和为． 故答案为：． 15．学校从德、智、体、美、劳五方面对学生进行评定，分别按2：3：2：2：1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明的最终得分为 　9分　 ． 【答案】9分 【解答】解：由题意可得，9（分）， 故答案为：（9分）． 16．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D﹣表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发　3.9　 小时与轿车相遇． 【答案】3.9 【解答】解：设OA段对应的函数解析式为y＝kx， 将（5，300）代入，得：5k＝300， 解得k＝60， 即OA段对应的函数解析式为y＝60x， 设CD段对应的函数解析式为y＝ax+b， ， 解得， 即CD段对应的函数解析式为y＝110x﹣195， 令110x﹣195＝60x，得x＝3.9， 即货车出发3.9小时与轿车相遇， 故答案为：3.9． 三．解答题（共9小题） 17．计算：． 【答案】． 【解答】解： ． 18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC． （1）求证：BD＝DF． （2）丁丁同学观察图形后得出结论：AB+AF＝2AE．请你帮他写出证明过程． 【答案】（1）∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DC＝DE， 在△DCF和△DEB中， ， ∴△DCF≌△DEB（SAS）， ∴BD＝DF． （2）在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE， ∵AB＝AE+BE，BE＝CF， ∴AB＝AE+CF， ∴AB+AF＝AE+CF+AF＝AE+AC＝2AE． 【解答】证明：（1）∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DC＝DE， 在△DCF和△DEB中， ， ∴△DCF≌△DEB（SAS）， ∴BD＝DF． （2）在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE， ∵AB＝AE+BE，BE＝CF， ∴AB＝AE+CF， ∴AB+AF＝AE+CF+AF＝AE+AC＝2AE． 19．先化简：，再从﹣1，0，﹣2，2中选一个合适的数代入求值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： ， ∵a+2≠0，a﹣2≠0，a≠0， ∴将a＝﹣1代入得： 原式． 20．甲、乙两人是某高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期队员 2月12日 2月17日 3月4日 3月13日 3月22日 4月8日 4月16日 4月27日 5月7日 5月19日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是85，；方差分别是58.4，m． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）， 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 89 90 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）计算m的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； （3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】（1）m＝8.2，两人的平均数相同，但乙的方差比甲小，所以乙的成绩更稳定； （2）选甲更合适，理由见解答； （3）选甲更合适，理由见解答． 【解答】解：（1）由题意得：m[2×（82﹣85）2+2×（83﹣85）2+（84﹣85）2+（85﹣85）2+2×（86﹣85）2+（87﹣85）2+（92﹣85）2]＝8.2， 两人的平均数相同，但乙的方差比甲小，所以乙的成绩更稳定； （2）选甲更合适，理由如下： 因为当地近五年高中数学联赛获奖分数的平均数为：89.6（分），在两个人的10次成绩中，甲有4次超过89.6，乙只有1次超过89.6，所以甲获奖的概率更高，所以选甲更合适； （3）选甲更合适，理由如下： 因为在两个10次成绩中，甲有4次达到90分或90以上，乙只有1次达到90分或90以上，所以选甲更合适． 21．已知：如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的点，且AD＝BE＝CF． （1）求证：△DEF是等边三角形； （2）若DE⊥BC，AB＝12，求CE的长． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵AD＝BE＝CF， ∴AB﹣AD＝BC﹣BE＝AC﹣CF， 即BD＝CE＝AF， 在△ADF、△CFE与△BED中， ， ∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）， ∴DF＝ED＝FE， ∴△DEF是等边三角形； （2）8． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵AD＝BE＝CF， ∴AB﹣AD＝BC﹣BE＝AC﹣CF， 即BD＝CE＝AF， 在△ADF、△CFE与△BED中， ， ∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）， ∴DF＝ED＝FE， ∴△DEF是等边三角形； （2）解：由（1）可知，∠B＝60°，BD＝CE， ∵DE⊥BC， ∴∠BED＝90°， ∴∠BDE＝90°﹣∠B＝30°， ∴BD＝2BE， 设BE＝x，则BD＝CE＝2x， ∴BC＝BE+CE＝3x， ∵AB＝12，且BC＝AB， ∴3x＝12， 解得：x＝4， ∴2x＝8， 答：CE的长为8． 22．在一节数学实践课里，老师布置了如下任务：在7×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺，在图中的线段BC上找一点E，连结AE，使AE平分△ABC的周长； 如图1为小瑞的作法，其作法是否正确　正确　 （填正确或错误），并说明理由． 【答案】正确，如图， 由题意得：， ， ， BN＝2，CM＝3， BN∥CM， ∴△BNE∽△CME， ∴， ∴， ∴， 即AE平分△ABC的周长， ∴小瑞的作法正确， 【解答】解：正确，理由如下： 如图， 由题意得：，，， CM＝3，BN＝2， BN∥CM， ∴△BNE∽△CME， ∴， ∴， ∴， 即AE平分△ABC的周长， ∴小瑞的作法正确， 故答案为：正确． 23．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b为常数，a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）若0≤x≤m时，﹣4≤y≤﹣3，求m的取值范围； （3）若n﹣1≤x≤n时，y的最大值为3﹣2n，求n的值． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）1≤m≤2； （3）﹣1或． 【解答】解：（1）由题意可得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴函数最小值为﹣4，且当x＝0时，y＝﹣3，当x＝2时，y＝﹣3． ∵0≤x≤m时，﹣4≤y≤﹣3，且y≥﹣4恒成立， ∴只需y≤﹣3，即x2﹣2x﹣3≤﹣3， 即x（x﹣2）≤0， ∴0≤x≤2， ∴m≤2， ∵顶点坐标为：（1，﹣4）， ∴m≥1， ∴m的取值范围为：1≤m≤2． （3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∵n﹣1≤x＜n， 当n≤1时，函数在区间上递减，最大值在x＝n﹣1处， ∴y＝（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣3＝n2﹣4n， 设最大值为3﹣2n， ∴n2﹣4n＝3﹣2n， 即n2﹣2n﹣3＝0， 解得n＝3或n＝﹣1， ∵n≤1， ∴n＝﹣1； 当时，函数的最大值在x＝n﹣1处，同理解得n＝3或n＝﹣1，不符合题意舍去； 当时，x＝n时，y取最大值3﹣2n，即n2﹣2n﹣3＝3﹣2n，解得n＝±，（负值舍去）． 当n﹣1≥1时，即n≥2，函数在n﹣1≤x＜n递增，函数的最大值不存在， 综上，n＝﹣1或． 24．阅读下列材料，回答问题． 爱动脑的小明在学习不等式知识时，查阅资料了解到：当给出不等式x＞y时，我们可以将x表示为x＝y+m（其中m＞0为增量），从而将x用y+m代换进一步变形不等式．结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法﹣增量代换作差法证明不等式． 例如：已知a＞2，b＞2，求证：a+b＜ab 证明：令a＝2+m，b＝2+n，其中m＞0，n＞0 作差得a+b﹣ab＝（2+m）+（2+n）﹣（2+m）（2+n）＝﹣m﹣n﹣mn ∵m＞0，n＞0，∴﹣m＜0，﹣n＜0，﹣mn＜0 ∴﹣m﹣n﹣mn＜0，∴a+b﹣ab＜0 所以a+b＜ab 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知a＞1，b＞﹣2，求证：4a+b＞﹣ab； （2）已知a＞b＞c，试比较代数式与的大小． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：令a＝1+m，b＝﹣2+n，其中m＞0，n＞0， 作差得：4a+b+ab＝4（1+m）+（﹣2+n）+（1+m）（﹣2+n）＝2m+2n+mn， ∵m＞0，n＞0， ∴2m＞0，2n＞0，mn＞0， ∴2m+2n+mn＞0， ∴4a+b+ab＞0， 所以 4a+b＞﹣ab； （2）解法一：令a＝b+n＝c+m+n，其中m＞0，n＞0， ∴mn＞0，m+n＞0， ∴ 0， ∴． 解法二：∵a＞b＞c， ∴a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0， ∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＞0， ∴a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＞0， ∴a2+b2+c2＞ab+ac+bc， ∴a2﹣2ac+c2＞ab﹣b2﹣ac+bc， （a﹣c）2＞b（a﹣b）﹣c（a﹣b）， （a﹣c）2＞（a﹣b）（b﹣c）， 作差得：， ， ， 0， ∴． 25．如图1，⊙O中，，直径AF交弦BC于点E，点D在弦BC上，连接AD并延长交⊙O于点G． （1）若BA＝BD，∠EAD＝α，求∠ABC（用含α的式子表示） （2）如图2，在（1）的条件下，过点F作KF∥AG，交AB于点J，过点B作BN⊥AC于点N交AF于点M，连接FG， ①求证：FG2＝KJ•KF； ②当AJ＝AO，CD＝1时，连接CM，并延长交AB于点H，连接BF、CF，探究四边形HBFC的面积是否为定值，若是，请求出四边形HBFC的面积；若不是，请说明理由． 【答案】（1）∠ABC＝2α； （2）①证明：连接AK，KC，如图， ∵，AF为圆的直径， ∴AF⊥BC，BE＝EC， 即AF为BC的垂直平分线， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝2α． ∵KF∥AG， ∴∠KFA＝∠EAD＝α， ∴∠KCA＝∠KFA＝α， ∴∠BCK＝∠KCA＝α， ∴， ∴∠KAJ＝∠KFA， ∵∠AKJ＝∠FKA， ∴△AKJ∽△FKA， ∴， ∴AK2＝KJ•KF． ∵AF为圆的直径， ∴∠AKF＝∠AGF＝90°， ∵KF∥AG， ∴四边形AKFG为矩形， ∴AK＝FG， ∴FG2＝KJ•KF； ②四边形HBFC的面积是定值，四边形HBFC的面积为153.9． 【解答】（1）解：设∠ABC＝x°， ∵，AF为圆的直径， ∴AF⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣x°， ∴∠BAD＝90°﹣x°+α， ∵BA＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA＝90°﹣x°+α， ∵∠ABC+∠BAD+∠BDA＝180°， ∴2（90°﹣x°+α）+x°＝180°， ∴x＝2α， ∴∠ABC＝2α； （2）①证明：连接AK，KC，如图， ∵，AF为圆的直径， ∴AF⊥BC，BE＝EC， 即AF为BC的垂直平分线， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝2α． ∵KF∥AG， ∴∠KFA＝∠EAD＝α， ∴∠KCA＝∠KFA＝α， ∴∠BCK＝∠KCA＝α， ∴， ∴∠KAJ＝∠KFA， ∵∠AKJ＝∠FKA， ∴△AKJ∽△FKA， ∴， ∴AK2＝KJ•KF． ∵AF为圆的直径， ∴∠AKF＝∠AGF＝90°， ∵KF∥AG， ∴四边形AKFG为矩形， ∴AK＝FG， ∴FG2＝KJ•KF； ②解：四边形HBFC的面积是定值，四边形HBFC的面积为153.9．理由： 连接AK，OB，如图， ∵AJ＝AO，AF为圆的直径， ∴AF＝2OA＝2AJ， 由（2）①知：∠KAB＝∠KFA＝∠EAD＝α，△AKJ∽△FKA， ∴， ∵AF为圆的直径， ∴∠AKF＝90°， ∴tanα＝tan∠KAJ， ∴tan∠EAD＝tanα， 设ED＝a，则AE＝2a， ∴EC＝ED+CD＝a+1， ∴BE＝EC＝a+1， ∴AB＝BD＝BE+DE＝2a+1， ∴AC＝AB＝2a+1， ∵AE2+EC2＝AC2， ∴（2a）2+（a+1）2＝（2a+1）2， ∴a＝2或a＝0（不合题意，舍去）， ∴BE＝EC＝3．AB＝AC＝5，AE＝4， 设OA＝OB＝r，则OE＝AE﹣AO＝4﹣r， ∵OE2+BE2＝OB2， ∴（4﹣r）2+32＝r2， ∴r， ∴OE＝AE＝OA＝4， ∴EF＝OF﹣OE， ∴BF． ∵AF为BC的垂直平分线， ∴CM＝BM， ∴∠MBC＝∠MCB， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABM＝∠ACM， 在△BMH和△CMN中， ， ∴△BMH≌△CMN（ASA）， ∴∠BHM＝∠CNM， ∵BN⊥AC， ∴∠CNM＝90， ∴∠BHM＝∠CNM＝90°， ∵AF为圆的直径， ∴∠ABF＝90°， ∴∠ABF＝∠AHC＝90°， ∴BF∥CH， ∴四边形HBFC为直角梯形， ∵， ∴6×4＝5×CH， ∴CH， ∴BH， ∴四边形HBFC的面积153.9． ∴四边形HBFC的面积是定值，四边形HBFC的面积为153.9． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $