专题03 向量的数量积8题型分类（讲+练）-2025-2026学年解题秘籍之高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题03 向量的数量积8题型分类 一、向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. 二、两向量的夹角与垂直 1．夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向． 2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 三、向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 四、投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 五、平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量. (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 六、平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 七、向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 八、向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. （一） 求两向量的数量积 求平面向量数量积的方法：计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 题型1：向量数量积的概念辨析 1．（2026高一·全国·单元测试）以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 【答案】C 【分析】根据数量积的定义和向量夹角的范围确定答案. 【详解】对于任意得两个非零向量，，其中. 若两个非零向量同向共线，则，，，故A正确； 若两个非零向量反向共线，则，，，故B正确； 若这两个非零向量的数量积是负的，则，，故C错误； 若两个非零向量的数量积是0，则，，互相垂直，故D正确. 故选: C. 2．【多选】（2026高二·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 【答案】AD 【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项. 【详解】，， 可得，故选项A正确； 由可得， 又，可得或， 故选项B错误； , 所以不一定成立， 故选项C错误； 由向量数量积运算的分配律可知选项D正确； 故选：AD. 3．（2026高一·甘肃兰州·期末）等边三角形中，与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量夹角的定义可得结果. 【详解】解：延长到，则为与的夹角，所以，与的夹角为．    故选：C． 题型2：求两向量的数量积 4．（2026高一·江苏淮安·月考）已知向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】5 【分析】根据数量积的运算律以及定义即可求解. 【详解】, 故答案为：5 5．（2026高一·河北承德·月考）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由投影向量的求法得，再应用向量数量积的运算律求结果. 【详解】非零向量在向量上的投影向量为，， 则，所以， 故． 故选：C. 6．（2026高一·陕西渭南·期末）设向量，的夹角为，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据向量数量积运算律进行计算，求出答案. 【详解】. 故选：D 7．（2026高一·湖南岳阳·期末）在中，为的中点，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算可得，，再根据数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由为的中点，得， 又， 则． 故选：B. 8．（2026高一·湖南衡阳·期末）在三角形中，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的性质及向量的数量积公式进行计算即可. 【详解】， ， ， 因此. 故答案为：. 9．（2026高一·吉林·期末）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为D，由题意可得，由等边的边长为2，可得， ，最后由，求解即可. 【详解】解：设的中点为D，则． 因为， 所以． 因为等边的边长为2， 则，所以． 所以． 故选：B. 10．（2026高一·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 【答案】 【分析】用表示出，然后根据向量数量积的运算性质求解可得. 【详解】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为： 题型3：向量数量积的最值 11．（25-26高三·江苏·月考）P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】利用数量积的几何意义，结合图形分析即可得解. 【详解】因为， 如图，过点作， 由图可知，当与点重合时，向量在上的投影取得最大值， 此时取得最大值，则， 因为，则，， 所以. 故选：C. 12．（25-26高三·云南曲靖·月考）如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，，结合数量积运算性质即可求解. 【详解】过点作，垂足为， ， 又，且共线同向， 所以 故选：B 13．（25-26高三·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 14．（25-26高三·天津·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点．若点满足，且，则 ：若点为线段上的动点，则的取值范围为 ．    【答案】 /0.25 【分析】由题意得，从而；对于第二空，设，首先分解，然后由数量积的运算律转换成关于的二次函数在闭区间上的值域即可求解. 【详解】由题意， 又， 所以，则， 设， 可得， 而， 得到 ， ， 设，对称轴是， 故在上单调递增， 从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为. 故答案为：；. 题型4：向量数量积的几何应用 15．（2026高一·全国·课后作业）已知三角形中，，则三角形的形状为_________三角形（    ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角 【答案】C 【分析】根据数量积的定义可判断为钝角，从而可得正确的选项. 【详解】因为，故，故， 而，故，故三角形为钝角三角形， 故选：C. 16．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据向量垂直得到数量积为，再由数量积的运算律得到，从而求出，即可得解. 【详解】是非零向量且满足，， ，， 即，， ， ，且，又， 所以， ∴是等边三角形. 故选：B． 17．（2026高一·广西·期中）若非零向量与满足，且，则为（    ） A．三边均不等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断. 【详解】解：， 的角平分线与BC垂直， ， ， 则是顶角为的等腰三角形， 故选：C. 18．（2026高一·山西太原·期中）若非零向量满足，且，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边与腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由判断出，由判断出可得答案． 【详解】设的中点为，连接， 由，所以垂直平分， ， ，， ，， 三角形为等边三角形． 故选：D． 19．（2026高一·天津静海·月考），是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】对化简可得，对化简变形可得，从而可判断出三角形的形状. 【详解】由题知，所以，即． 因为，所以，即， 所以． 又因为，所以， 所以，即， 两边同时平方并展开化简可得，即，所以． 综上可知，的形状是等腰直角三角形． 故选：A． （二） 向量的模和夹角的计算问题 1、(1)向量的模：利用a·a＝|a|2或|a|＝来求解. (2)向量的夹角：利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角. 2、(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方. (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. 题型5：向量的模 20．（2026高一·北京延庆·期中）已知，，，则（   ） A．4 B．2 C．12 D．13 【答案】B 【分析】对 两边平方可得答案. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B. 21．（2026高一·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【详解】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 22．（2026高一·陕西咸阳·期末）已知与是非零向量，，且． (1)求与的夹角； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直得，然后由向量夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律先求，即可得到的值. 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以，所以， 又，可得与的夹角为． （2）因为，， 所以， 所以． 23．（2026高一·黑龙江哈尔滨·月考）已知向量，满足，，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】将向量的模的运算转化为数量积运算即可求解. 【详解】由，，， 两边平方可得， 即， 解得，则. 故选：A. 24．（2026高一·河北石家庄·期中）已知向量，满足，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的运算律得到，再将两边平方计算可得. 【详解】因为，即， 则，整理得， 又因为，即，则，所以. 故选：D. 25．（2026高一·湖北宜昌·期末）已知向量，，满足：，，且，则为（ ） A． B．2 C．12 D．4 【答案】A 【分析】由数量积的运算律、模的计算公式即可求解. 【详解】由题意. 故选：A. 26．（2026·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案. 【详解】因为，所以， 即，解得. 故选：A. 27．（2026高一·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）将表示为的函数，然后求该函数的最小值. 【详解】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，此时. 题型6：向量的夹角 28．（2026高一·山东菏泽·月考）在中，若，则的形状一定是（   ）． A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】利用数量积的夹角判断. 【详解】因为，所以角A为钝角，所以为钝角三角形． 故选：D. 29．（2026高一·北京延庆·期中）已知，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入公式直接计算可得. 【详解】因为， 所以 故选：A. 30．（2026高一·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【详解】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C 31．（2026高三·山西太原·期末）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量数量积公式求出的值，最后根据夹角的取值范围确定夹角. 【详解】由，可得 又 所以解得： 所以 又所以 所以与的夹角为． 故选：C. 32．（2026高一·辽宁辽阳·期末）已知两个单位向量满足，则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律进行运算. 【详解】因为均为单位向量，所以. 由. 即. 所以. 故选：A 33．（2026高一·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、，再应用向量夹角公式求余弦值. 【详解】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故选：D 34．（2026高一·天津河西·期中）设，是两个非零向量，则“与的夹角为钝角”是“·<0”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】结合平面向量数量积的定义，根据充分必要条件的定义判断. 【详解】当与的夹角为钝角时，，充分性满足， 但当与的夹角时，，必要性不满足， 因此是充分不必要条件， 故选：A. 35．（2026高一·福建福州·期末）已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由数量积的定义、投影向量的定义即可求解； （2）由题意当且仅当向量与的数量积大于0且不共线，进一步列不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以在方向上的投影向量为； （2）若向量与的夹角为锐角， 则当且仅当向量与的数量积大于0且不共线， 而与的夹角为，即与可以视作平面内的一组基底向量， 所以，且， 解得或， 故所求为. 36．（2026高一·山东淄博·期中）已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于求向量的模长，可先对其平方，再利用向量数量积运算求解； （2）对于两向量夹角为锐角的问题，可根据向量数量积大于且两向量不同向共线来确定参数的取值范围. 【详解】（1）对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. （2）因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. （三） 与垂直有关的向量问题 解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量). 题型7：与垂直有关的向量问题 37．（2026高一·重庆·期末）已知向量，满足，，，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的定义先求出的值，再由得到，将，，代入计算即可求出. 【详解】因为，，， 所以. 因为，所以， 所以. 故选：A 38．（2026高一·江西宜春·期末）已知平面向量，满足：，，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积可得，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解； （2）根据向量垂直的可得，结合数量积的运算律求解. 【详解】（1）因为，，，则， 又因为，所以． （2）因为，则， 可得， 即，解得. 39．（2025·北京大兴·模拟预测）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求出的值. 【详解】因为， 所以. 因为，所以 所以. 解得. 故选：C. 40．（2026高一·广东汕头·期末）已知向量，满足，，且，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直的数量积表示，求出向量的数量积即可. 【详解】由得，， 化简得，因为，， 所以，解得. 故答案为：. 41．（2026高一·江苏·月考）如图所示，在边长为2的正方形中，分别是的中点， (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用向量的线性运算和数量积运算可判断垂直； (2) 利用向量的线性运算和数量积运算，即可求值. 【详解】（1） 由 因为正方形的边长为，所以有： ， 所以，即； （2）由， 因为正方形的边长为，所以有： ， 即 （四） 投影向量 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 题型8：投影向量 42．（2026高一·甘肃临夏·期末）已知且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的定义即可求解． 【详解】因为且， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． 43．（2026高一·吉林松原·期末）已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，由投影向量公式解得，然后由向量的数量积公式求得结果. 【详解】由题意可知，且， ∴， ∴. 故选：D. 44．（2026高一·湖北·期末）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入投影向量公式，根据向量数量积运算公式，即可求解. 【详解】因为，且与的夹角为，所以在上的投影向量为 . 故选：B. 45．（2025·江西·模拟预测）设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量的计算，求得数量积，利用数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可得，且，则， 所以. 故选：D. 46．（2026高一·黑龙江鸡西·期末）已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果. 【详解】易知 所以在上的投影向量为. 故选：D 47．（2026高一·新疆乌鲁木齐·期末）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可知是中点，再结合即投影向量的概念可得. 【详解】   ，是中点， 又，所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 1．（2026高二·福建泉州·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】B 【分析】利用向量垂直及数量积的定义可判断A，根据平面向量数乘的分配律即可判断B，利用数量积的定义可判断CD． 【详解】对于A，若和，都垂直，显然，至少在模的方面没有特定关系，所以命题不成立； 对于B，这是平面向量数乘的分配律，显然成立； 对于C，若，则，， 而与不一定相等，所以命题不成立； 对于D，与分别是一个和，共线的向量，显然命题不一定成立． 故选：B． 2．（2026高一·重庆渝北·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对左右两边同时平方，化简代入数值即可求得. 【详解】因为， 化简得：，解得：. 故选：C. 3．（2026高一·重庆·期末）若平面内的两个单位向量，的夹角为，，则（    ）． A． B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据向量模的平方等于向量自身平方将平方，再根据向量数量积的运算律展开并结合已知条件进行计算. 【详解】 因为，是单位向量，所以，且，代入得： 则 故选：A 4．（2026高一·湖南衡阳·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的模的运算，向量的垂直算出和，再计算向量的夹角余弦值. 【详解】由，得——① 再由，得，即——② 联立①②解得，. 所以. 故选：D 5．（2026高一·陕西咸阳·期中）若，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据模长公式可得,即可根据夹角公式求解. 【详解】由可得，故， 因此， 由于，所以， 故选：D 6．（25-26高二·湖北孝感·月考）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得到，再由向量夹角公式即可求解. 【详解】设与的夹角为， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，∵， ∴． 故选：D． 7．（2026高一·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 8．【多选】（2026高一·四川资阳·期末）若向量，满足，，则（   ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BD 【分析】由已知可得可判断B；利用向量的夹角公式求解可判断A；求得可判断C；利用投影向量的定义求解可判断D. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，故B正确； 所以，又，所以，故A错误； ，所以与不垂直，故C错误； 因为， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 9．（2025·湖南长沙·模拟预测）在四边形ABCD中，若，则“”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】由大前提推得，再利用菱形的几何性质即可判断. 【详解】在四边形中，由，可得四边形为平行四边形， 若，则平行四边形对角线垂直，所以为菱形，反之也成立， 故“”是“四边形是菱形”的充要条件． 故选：D. 10．（2026高一·山东潍坊·期末）团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理．图1是某团扇模型图，其扇面的平面图形可视为图2中的正八边形，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正多边形的性质得正八边形的内角为，再利用数量积的定义，即可求解. 【详解】因为正八边形的内角为， 又，， 所以， 故选：A. 11．（2026高一·广东江门·期末）已知，，向量在向量上的投影向量为，则（    ）． A．12 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的定义，求出，再根据向量模长和数量积的关系，求出向量的模长. 【详解】由数量积的定义可知， 则； 故选：C. 12．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，由求得，再利用向量的模公式求解. 【详解】解：由，得， 即，解得， 所以． 故选：D 13．（2025高三·全国·专题练习）向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出、、的值，再根据向量夹角余弦值公式计算即可. 【详解】解析：因为，所以， 所以，即， 即，所以 又，， 所以， ， ， 所以. 故选：D. 14．（2026高一·福建宁德·期末）已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件作图，可得为等边三角形，为等腰三角形，为直角三角形，即，，再根据投影向量的概念求解即可. 【详解】如图，由，可得为的中点， 又因为为的外接圆圆心，所以， 又因为，所以， 所以为等边三角形，即， 为等腰三角形，即， 为直角三角形，， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故选：D.      15．【多选】（2026高一·内蒙古包头·期末）已知平面向量，，两两的夹角相等，且，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意平面向量，，两两的夹角相等，则夹角可以为或，然后根据向量数量积的定义分类计算即可. 【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角可以为或， 当夹角为时，， 当夹角为时，. 故选：AD. 16．（2026高一·北京·期末）已知平面向量满足，则 . 【答案】18 【分析】根据数量积的运算律得，再根据数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，而，解得， 所以. 故答案为：18. 17．（2026高一·天津·期中）已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】且 【分析】由两向量的夹角为锐角得两向量的数量积大于0且两向量不共线求解即可． 【详解】因， 由，解得， 若与的夹角为锐角， 则，且与不共线， 由，即，解得， 由与不共线，可得， 故实数的取值范围为且. 故答案为：且. 18．（2026高一·甘肃天水·月考）已知非零向量、满足，且，则与的夹角为 （用弧度表示）． 【答案】/ 【分析】由题意得，，然后再结合夹角公式即可求解. 【详解】因为，且， 所以，所以， 因为，所以. 故答案为：. 19．（2026高一·新疆阿克苏·期末）已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，然后再根据模长公式即可求解； （2）根据夹角公式即可求解. 【详解】（1）， 所以 . （2）. 20．（2026高一·云南楚雄·月考）已知是非零向量，，且. (1)求. (2)求在方向上的投影向量； (3)求. 【答案】(1)18 (2) (3) 【分析】（1）利用可得，展开进行计算即可； （2）利用投影向量的计算公式计算即可； （3）利用即可得解. 【详解】（1），，即， ，，； （2）在方向上的投影向量为； （3）， . 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题03 向量的数量积8题型分类 一、向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. 二、两向量的夹角与垂直 1．夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向． 2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 三、向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 四、投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 五、平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量. (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 六、平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 七、向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 八、向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. （一） 求两向量的数量积 求平面向量数量积的方法：计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 题型1：向量数量积的概念辨析 1．（2026高一·全国·单元测试）以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 2．【多选】（2026高二·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 3．（2026高一·甘肃兰州·期末）等边三角形中，与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型2：求两向量的数量积 4．（2026高一·江苏淮安·月考）已知向量与的夹角为，，，则 ． 5．（2026高一·河北承德·月考）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026高一·陕西渭南·期末）设向量，的夹角为，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 7．（2026高一·湖南岳阳·期末）在中，为的中点，则（   ） A． B． C． D．16 8．（2026高一·湖南衡阳·期末）在三角形中，，，，则 ． 9．（2026高一·吉林·期末）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 10．（2026高一·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 题型3：向量数量积的最值 11．（25-26高三·江苏·月考）P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 12．（25-26高三·云南曲靖·月考）如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 14．（25-26高三·天津·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点．若点满足，且，则 ：若点为线段上的动点，则的取值范围为 ．    题型4：向量数量积的几何应用 15．（2026高一·全国·课后作业）已知三角形中，，则三角形的形状为_________三角形（    ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角 16．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 17．（2026高一·广西·期中）若非零向量与满足，且，则为（    ） A．三边均不等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 18．（2026高一·山西太原·期中）若非零向量满足，且，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边与腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 19．（2026高一·天津静海·月考），是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 （二） 向量的模和夹角的计算问题 1、(1)向量的模：利用a·a＝|a|2或|a|＝来求解. (2)向量的夹角：利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角. 2、(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方. (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. 题型5：向量的模 20．（2026高一·北京延庆·期中）已知，，，则（   ） A．4 B．2 C．12 D．13 21．（2026高一·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 22．（2026高一·陕西咸阳·期末）已知与是非零向量，，且． (1)求与的夹角； (2)求． 23．（2026高一·黑龙江哈尔滨·月考）已知向量，满足，，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 24．（2026高一·河北石家庄·期中）已知向量，满足，，则为（    ） A． B． C． D． 25．（2026高一·湖北宜昌·期末）已知向量，，满足：，，且，则为（ ） A． B．2 C．12 D．4 26．（2026·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 27．（2026高一·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 题型6：向量的夹角 28．（2026高一·山东菏泽·月考）在中，若，则的形状一定是（   ）． A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 29．（2026高一·北京延庆·期中）已知，，，则为（   ） A． B． C． D． 30．（2026高一·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 31．（2026高三·山西太原·期末）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 32．（2026高一·辽宁辽阳·期末）已知两个单位向量满足，则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 33．（2026高一·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 34．（2026高一·天津河西·期中）设，是两个非零向量，则“与的夹角为钝角”是“·<0”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 35．（2026高一·福建福州·期末）已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 36．（2026高一·山东淄博·期中）已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. （三） 与垂直有关的向量问题 解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量). 题型7：与垂直有关的向量问题 37．（2026高一·重庆·期末）已知向量，满足，，，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 38．（2026高一·江西宜春·期末）已知平面向量，满足：，，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 39．（2025·北京大兴·模拟预测）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 40．（2026高一·广东汕头·期末）已知向量，满足，，且，则 . 41．（2026高一·江苏·月考）如图所示，在边长为2的正方形中，分别是的中点， (1)求证：； (2)求的值. （四） 投影向量 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 题型8：投影向量 42．（2026高一·甘肃临夏·期末）已知且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 43．（2026高一·吉林松原·期末）已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 44．（2026高一·湖北·期末）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 45．（2025·江西·模拟预测）设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A．1 B． C． D． 46．（2026高一·黑龙江鸡西·期末）已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 47．（2026高一·新疆乌鲁木齐·期末）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 1．（2026高二·福建泉州·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 2．（2026高一·重庆渝北·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·重庆·期末）若平面内的两个单位向量，的夹角为，，则（    ）． A． B．2 C．4 D．5 4．（2026高一·湖南衡阳·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026高一·陕西咸阳·期中）若，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二·湖北孝感·月考）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 7．（2026高一·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 8．【多选】（2026高一·四川资阳·期末）若向量，满足，，则（   ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为 9．（2025·湖南长沙·模拟预测）在四边形ABCD中，若，则“”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 10．（2026高一·山东潍坊·期末）团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理．图1是某团扇模型图，其扇面的平面图形可视为图2中的正八边形，其中，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026高一·广东江门·期末）已知，，向量在向量上的投影向量为，则（    ）． A．12 B．4 C． D． 12．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025高三·全国·专题练习）向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 14．（2026高一·福建宁德·期末）已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 15．【多选】（2026高一·内蒙古包头·期末）已知平面向量，，两两的夹角相等，且，则（    ） A．3 B． C． D． 16．（2026高一·北京·期末）已知平面向量满足，则 . 17．（2026高一·天津·期中）已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 18．（2026高一·甘肃天水·月考）已知非零向量、满足，且，则与的夹角为 （用弧度表示）． 19．（2026高一·新疆阿克苏·期末）已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 20．（2026高一·云南楚雄·月考）已知是非零向量，，且. (1)求. (2)求在方向上的投影向量； (3)求. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $