专题02 平面向量的运算17题型分类（讲+练）-2025-2026学年解题秘籍之高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版必修第二册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题02 平面向量的运算17题型分类 一、向量加法的定义及其运算法则 1．向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则 ①三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a． ②平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． ③位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型. ④多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 二、向量加法的运算律 交换律：a＋b＝b＋a． 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 三、相反向量 1．定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a． 2．性质： (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 四、向量的减法 1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 五、向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向：. 特别地，当λ＝0时，λa＝0.当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 六、向量数乘的运算律 1.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 3．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 七、向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. （一） 向量加法法则 1．向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则：三角形法则，平行四边形法则． 3.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系： 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系： 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 题型1：向量的加法 1．（2026高一·全国·随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量． (1)     (2)   2．（2026高一·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 3．（2026高一·全国·课后作业）对如图中各组向量，，求作．    题型2：向量的加法的几何应用 4．（2026高一·广东·期中）（    ） A．0 B． C． D． 5．（2026高一·甘肃定西·月考）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 6．（2026高一·辽宁抚顺·开学考试）在如图所示的方格纸中，（   ） A． B． C． D． （二） 向量加法运算律的应用 向量加法的运算律：交换律：a＋b＝b＋a．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 题型3：向量加法运算律的应用 7．（2026高一·海南省直辖县级单位·月考） . 8．（2026高一·贵州贵阳·月考）向量 （  ） A． B． C． D． 9．【多选】（2026高一·江苏无锡·月考）下列式子中，化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． （三） 向量加法的实际应用 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 题型4：向量加法的实际应用 11．（2026高一·全国·课后作业）某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为1m/s，此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度． 12．（2026高一·全国·课后作业）一质点从点出发，先向北偏东方向运动了到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量、、以及． 13．（2026高一·广东东莞·期中）如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h. （四） 向量减法法则的应用 (1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和. ②起点相同且为差. 题型5：相反向量 14．【多选】（2025高三·全国·专题练习）下列命题中错误的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．与同向，且 ，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 15．（2026高一·山东威海·期中）下列关于向量说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等 C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等 16．（2026高一·四川遂宁·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．向量的模是一个正实数 17．（2026高一·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 题型6：向量减法法则的应用 18．（2026高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，求作向量． 19．（2026高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 20．（2026高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，不共线，求作向量． 21．（2026高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，，求作向量．    题型7：向量的减法的几何应用 22．（2026高一·北京西城·期末）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 23．（2026高一·北京西城·期末）如图，在正六边形ABCDEF中，记向量，，则向量 ．（用，表示） 24．（2026高一·全国·课后作业）如图，在△ABC中，D为BC的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 题型8：向量加减的综合运算 25．（2026高一·天津静海·月考）在中，下列四式中成立的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2026高一·湖北·月考）（    ） A． B．0 C． D． 27．（2026高一·天津·月考）向量，化简后等于（   ） A． B．0 C． D． 28．（2026高一·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． （五） 向量的线性运算 1、向量的线性运算: 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 2、向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 题型9：对向量数乘运算的理解 29．【多选】（2026高一·江苏南通·期中）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 30．（2026高一·江西上饶·月考）“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 31．（2026高一·全国·课后作业）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（    ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 32．（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若，则与共线.其中错误命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型10：向量的线性运算 33．（2026高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 34．（2026高一·全国·课后作业）化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 35．（2024高一·江苏·专题练习）若，其中为已知向量，求未知向量． 36．（2026高一·福建宁德·期中）设向量，，满足，则（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高一·全国·假期作业）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 38．（2026高一·北京·月考）已知平面上不共线的四点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 题型11：向量的线性运算求参 39．（2026高三·安徽宣城·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 40．（2026高一·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 41．（2024高三·全国·专题练习）在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． （六） 用已知向量表示其他向量 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 题型12：用已知向量表示其他向量 42．（2026高一·北京丰台·期中）如图，在矩形中，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 43．（2026高一·贵州毕节·期中）在三角形中，M是BC的中点．若，则（ ） A． B． C． D． 44．（2026高三·天津武清·月考），点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 45．（2026高三·湖南长沙·月考）在平行四边形中，点为线段的中点，点在线段上，且满足，记，则（    ） A． B． C． D． 题型13：向量的加法、减法、数乘运算在几何中的应用 46．（2026高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 47．（2026高一·河南·期中）在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 48．（2026高一·广西柳州·期中）四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 49．（2026高一·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． （七） 共线向量的判定及应用 (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． (3)判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1. 题型14：向量共线的判定 50．（2026高一·全国·随堂练习）已知，，求证：与共线. 51．（2026高一·全国·随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，（其中两个非零向量和不共线）； (3)，. 52．（2026高一·全国·随堂练习）设，为不共线的非零向量，判断下列各题中的，向量是否共线． (1)，； (2)，； (3)，． 53．（2024高一·全国·专题练习）判断下列各小题的向量与是否共线. (1)； (2)； (3). 题型15：证明或判断三点共线的方法 54．（2026高一·辽宁朝阳·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 55．（2026高一·全国·课前预习）设，是两个不共线的非零向量，已知，，，试判断A，C，D三点是否共线. 56．（2026高一·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 57．（2026高一·全国·随堂练习）判断三点是否共线. (1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线. (2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由. 58．（2026高三·全国·专题练习）如图，在△ABC中，＝4，. 求证：B，T，E三点共线． 59．（2026高一·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 题型16：利用向量共线求参数 60．（2026高一·山东菏泽·月考）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数 . 61．（2026高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则 ． 62．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量不共线，，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 63．（2025高三·全国·专题练习）若向量，不共线，且向量，同向共线，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 64．（25-26高三·山东·期中）已知向量不共线，，则 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 65．（2026高一·海南省直辖县级单位·月考）是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 66．（2026高一·云南楚雄·月考）已知非零向量､不共线，若，，，且三点共线，则 . 题型17：向量共线定理推论 67．（2025高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上一点．设，，若，则（    ） A． B． C． D． 68．（25-26高三·北京·月考）已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则 .，的最小值为 . 69．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ． 70．（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 1．（2026高一·湖北咸宁·月考）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高一·天津滨海新·期中）如图，在平行四边形中，，则 （   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·吉林长春·月考）若四边形满足，则此四边形为（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 4．（2026高一·江苏徐州·期中）在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（    ）． A． B． C． D． 5．（2026高一·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 6．（2026高一·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 7．（2026高一·湖北·月考）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026高一·福建三明·期末）化简等于（   ） A． B． C． D． 9．（2026高一·北京·月考）若是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2026高一·广东佛山·期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 11．（2026高一·全国·课堂例题）在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 12．【多选】（2026高一·江苏常州·月考）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 13．【多选】（2026高一·四川德阳·月考）下列关于向量的加、减运算的结果为的是（   ） A． B． C． D． 14．【多选】（2026高一·河北承德·月考）如图，在正六边形中，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量与向量是平行向量 15．（2026高一·浙江宁波·开学考试）化简 . 16．（2026高一·甘肃天水·月考）已知非零向量、满足，且，则与的夹角为 （用弧度表示）． 17．（2026高一·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 18．（2026高一·黑龙江鸡西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 19．（2026高一·上海奉贤·期中）如图，在中，分别是的中点，，． (1)用表示； (2)求证：三点共线． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题02 平面向量的运算17题型分类 一、向量加法的定义及其运算法则 1．向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则 ①三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a． ②平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． ③位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型. ④多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 二、向量加法的运算律 交换律：a＋b＝b＋a． 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 三、相反向量 1．定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a． 2．性质： (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 四、向量的减法 1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 五、向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向：. 特别地，当λ＝0时，λa＝0.当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 六、向量数乘的运算律 1.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 3．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 七、向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. （一） 向量加法法则 1．向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则：三角形法则，平行四边形法则． 3.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系： 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系： 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 题型1：向量的加法 1．（2026高一·全国·随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量． (1)     (2)   【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）利用平面向量加法的平行四边形法则可作出向量. 【详解】（1）解：作，，以、为邻边作，， 则即为所求作的向量.      （2）解：作，，以、为邻边作，， 则即为所求作的向量.    2．（2026高一·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解. 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）如图，即为所求. （3）如图，即为所求. （4）如图，即为所求. 3．（2026高一·全国·课后作业）对如图中各组向量，，求作．    【答案】作图见解析 【分析】将向量首尾相接，则表示从起点到指向终点的向量，作图即可. 【详解】如图所示：    题型2：向量的加法的几何应用 4．（2026高一·广东·期中）（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加法的三角形法则即可求解. 【详解】. 故选：B. 5．（2026高一·甘肃定西·月考）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由向量加法的平行四边形法则即可求解. 【详解】由向量加法的平行四边形法则得，． 故选：D. 6．（2026高一·辽宁抚顺·开学考试）在如图所示的方格纸中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在方格纸上作出，可得结论. 【详解】如图，根据平行四边形法则，可知，而. 故选：B． （二） 向量加法运算律的应用 向量加法的运算律：交换律：a＋b＝b＋a．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 题型3：向量加法运算律的应用 7．（2026高一·海南省直辖县级单位·月考） . 【答案】 【分析】利用平面向量的加法运算求解. 【详解】， 故答案为： 8．（2026高一·贵州贵阳·月考）向量 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量加法的三角形法则计算. 【详解】根据平面向量加法的三角形法则，可得. 故选：A. 9．【多选】（2026高一·江苏无锡·月考）下列式子中，化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用向量的线性运算，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以A错误， 对于B，因为，所以B正确， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为，所以D正确， 故选：BCD. 10．（2024高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 【答案】(1). (2). 【分析】 （1）（2）直接利用向量的加法运算律即可求解. 【详解】（1）. （2）. （三） 向量加法的实际应用 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 题型4：向量加法的实际应用 11．（2026高一·全国·课后作业）某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为1m/s，此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度． 【答案】实际前进方向为南偏东，速度为. 【分析】如图所示，河水速度为，，人的速度为，，根据向量加法得到答案. 【详解】如图所示：河水速度为，，人的速度为，， 则，，，. 故实际前进方向为南偏东，速度为. 12．（2026高一·全国·课后作业）一质点从点出发，先向北偏东方向运动了到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量、、以及． 【答案】作图见解析 【分析】根据题意可作出向量、、以及. 【详解】根据题意，、、以及的示意图如下图所示： 13．（2026高一·广东东莞·期中）如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h. 【答案】2 【分析】当实际速度垂直于河岸航程最短，根据向量加法的平行四边形法则求解即可. 【详解】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短， 设实际速度、船速、水流速度分别为、、， 如图，，已知， 则，河宽， 所以，船的航行时间， 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要. 故答案为：2. （四） 向量减法法则的应用 (1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和. ②起点相同且为差. 题型5：相反向量 14．【多选】（2025高三·全国·专题练习）下列命题中错误的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．与同向，且 ，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 【答案】BC 【分析】由平行向量和共线向量的定义可判断A，由相反向量的特点可判断B，向量不能比较大小可判断C，由向量相等和向量平行的关系可判断D. 【详解】由平行向量和共线向量的定义可知，A正确； 因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B是错误的； 因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C错误； 因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行， 因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D正确. 故选：BC 15．（2026高一·山东威海·期中）下列关于向量说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等 C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等 【答案】D 【分析】利用零向量、单位向量和相反向量的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为零向量的方向是任意的，所以A错误； 对于B，单位向量是长度为一个单位的向量，方向可以是任意方向，所以B错误， 对于C，因为的模长为，所以C错误， 对于D，因为相反向量是模长相等，方向相反的两个向量，所以D正确， 故选：D. 16．（2026高一·四川遂宁·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．向量的模是一个正实数 【答案】B 【分析】根据零向量和单位向量以及相反向量的定义即可判断. 【详解】大小为零的向量为零向量，方向任意，故A错误， 大小相等，方向相反的向量为相反向量，故B正确； 大小为1的向量为单位向量，方向任意，故C错误， 零向量的模为0，故D错误. 故选：B. 17．（2026高一·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【答案】(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有， (2)相等的向量为，，相等的向量为 【分析】运用相等向量，相反向量概念可解. 【详解】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 题型6：向量减法法则的应用 18．（2026高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，求作向量． 【答案】如图，(1) (2) 【分析】如图，将向量的起点平移到向量的起点，以向量的终点为起点，向量的终点为终点即可分别得出结果. 【详解】解：(1)如图，将向量的起点平移到向量的起点， 以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量； (2)如图，将向量的起点平移到向量的起点， 以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量； 19．（2026高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 【答案】答案见解析 【分析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，， 20．（2026高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，不共线，求作向量． 【答案】作图见解析 【分析】利用平行四边形法则和三角形法则作图即可得解. 【详解】方法一：如图①，在平面内任取一点O，作，，，连接BC， 则．过点A作，且，连接，则， 所以． 方法二：如图②，在平面内任取一点O，作，， 连接OB，则，再作，连接CB，则． 方法三：如图③，在平面内任取一点O，作，，连接OB， 则，再作，连接OC，则． 21．（2026高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，，求作向量．    【答案】作图见解析 【分析】根据向量减法的三角形法则作出图形. 【详解】在平面内任取一点，作向量，，则向量， 再作向量，则向量，即为所求作向量.    题型7：向量的减法的几何应用 22．（2026高一·北京西城·期末）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量运算得. 【详解】由图知， 故选：B. 23．（2026高一·北京西城·期末）如图，在正六边形ABCDEF中，记向量，，则向量 ．（用，表示） 【答案】/ 【分析】由正六边形的性质：三条不相邻的三边经过平移可成等边三角形，即可得，进而得到结果. 【详解】由正六边形的性质知：， ∴. 故答案为：. 24．（2026高一·全国·课后作业）如图，在△ABC中，D为BC的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图利用向量差的意义逐一判断. 【详解】由差向量定义得，A正确； 同样   ，B正确； ，C错误； ，D正确. 故选:C 题型8：向量加减的综合运算 25．（2026高一·天津静海·月考）在中，下列四式中成立的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量的加减运算法则即可得解. 【详解】对于①，，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，，故③正确； 对于④，，故④正确； 故选：C. 26．（2026高一·湖北·月考）（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加减法法则求解即得. 【详解】. 故选：D 27．（2026高一·天津·月考）向量，化简后等于（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加减运算法则计算即可求得结果. 【详解】， 故选：C 28．（2026高一·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. （五） 向量的线性运算 1、向量的线性运算: 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 2、向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 题型9：对向量数乘运算的理解 29．【多选】（2026高一·江苏南通·期中）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 【答案】ACD 【分析】由向量数乘概念可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，与方向相同，故A错误； 对于B，当时，，则与方向相同，故B正确； 对于C，当且，即时， ，故C错误； 对于D，表示的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误. 故选：ACD 30．（2026高一·江西上饶·月考）“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】或，从而得到答案. 【详解】因为或， ， 所以“”是“实数”的必要不充分条件. 故选：B 31．（2026高一·全国·课后作业）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（    ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的基本概念及数乘运算一一判定即可. 【详解】对于A，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，故A不正确；对于B，显然，即B正确； 对于C，，由于与1的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C不正确； 对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确． 故选：B 32．（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若，则与共线.其中错误命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用向量定义、模、共线向量的定义及向量的数乘运算即可判断. 【详解】①错误. 两向量共线要看其方向而不是起点与终点. ②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小. ③错误.因为，所以或. ④错误.当λ＝μ＝0时，，此时，与可以是任意向量. 所以错误命题有3个. 故选：C. 题型10：向量的线性运算 33．（2026高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 34．（2026高一·全国·课后作业）化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用向量的加减法，数乘运算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式． 35．（2024高一·江苏·专题练习）若，其中为已知向量，求未知向量． 【答案】 【分析】将向量方程展开，合并同类向量，移项后将的系数化为1即得. 【详解】由可得：， 即，解得：． 36．（2026高一·福建宁德·期中）设向量，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 37．（25-26高一·全国·假期作业）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【详解】由题意可得， 故选：D 38．（2026高一·北京·月考）已知平面上不共线的四点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的意义求得答案. 【详解】由，得，即， 所以. 故选：B 题型11：向量的线性运算求参 39．（2026高三·安徽宣城·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用向量加减的运算法则得，结合已知即可得答案. 【详解】由题设，则， 即，则， 又，所以. 故选：C 40．（2026高一·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 41．（2024高三·全国·专题练习）在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 【答案】/0.625 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】如图，由可得， 则 ， 则，，故． 故答案为：. （六） 用已知向量表示其他向量 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 题型12：用已知向量表示其他向量 42．（2026高一·北京丰台·期中）如图，在矩形中，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的三角形法则结合向量的数乘运算即可. 【详解】在矩形中,， 因为为的中点，所以， 则 故选：A. 43．（2026高一·贵州毕节·期中）在三角形中，M是BC的中点．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法运算和数乘运算直接求解. 【详解】根据题意，. 故选：D 44．（2026高三·天津武清·月考），点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用向量的四边形法则计算即可. 【详解】 依题意，. 答案：B. 45．（2026高三·湖南长沙·月考）在平行四边形中，点为线段的中点，点在线段上，且满足，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意：. 故选：B 题型13：向量的加法、减法、数乘运算在几何中的应用 46．（2026高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，得出，即可求解. 【详解】由，可得， 所以，即， 可得，所以，即， 又因为为平行四边形，所以四边形为矩形. 故选：C. 47．（2026高一·河南·期中）在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由，所以，即，判断的形状． 【详解】因为，所以， 所以，所以，即， 所以的形状是直角三角形． 故选：C． 48．（2026高一·广西柳州·期中）四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】根据向量的减法可得，进而分析求解即可. 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 49．（2026高一·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和向量加法得到可解. 【详解】因为，所以， 即， 所以与的面积之比为. 故选：C （七） 共线向量的判定及应用 (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． (3)判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1. 题型14：向量共线的判定 50．（2026高一·全国·随堂练习）已知，，求证：与共线. 【答案】证明见解析 【分析】根据向量的线性运算及共线定理证明. 【详解】因为， 所以由共线向量定理知，与共线. 51．（2026高一·全国·随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，（其中两个非零向量和不共线）； (3)，. 【答案】(1)共线； (2)共线； (3)共线. 【分析】用向量共线定理判断. 【详解】（1），，所以， 所以，共线. （2），, 所以，所以，共线. （3）因为，， 所以， 所以. 所以，共线. 52．（2026高一·全国·随堂练习）设，为不共线的非零向量，判断下列各题中的，向量是否共线． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)共线 (2)共线 (3)不共线 【分析】根据向量共线定理即可判断. 【详解】（1），则有，即共线； （2），则有，即共线； （3）设，共线，则由共线向量基本定理，得存在，使， 即，所以，所以共线， 这与已知条件不共线矛盾，不共线. 53．（2024高一·全国·专题练习）判断下列各小题的向量与是否共线. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)共线 (2)共线 (3)不共线 【分析】根据题意，结合向量的共线定理，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，可得，所以向量与共线. （2）解：由向量，可得，所以向量与共线. （3）解：由向量， 设，即，可得，此时方程组无解， 所以向量与不共线. 题型15：证明或判断三点共线的方法 54．（2026高一·辽宁朝阳·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 55．（2026高一·全国·课前预习）设，是两个不共线的非零向量，已知，，，试判断A，C，D三点是否共线. 【答案】三点共线 【分析】利用平面向量共线定理证得与共线，即可得证. 【详解】证明：∵， 且， 故，∴与共线， ∵与有公共起点C， ∴A，C，D三点共线 56．（2026高一·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 【答案】(1)证明见解析； (2)三点共线 【分析】（1）求出，找到使成立的即可证明； （2）根据可知三点共线. 【详解】（1）证明：， 因此， （2）由（1）知，又有公共点C，故三点共线. 57．（2026高一·全国·随堂练习）判断三点是否共线. (1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线. (2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)A，B，C三点共线，理由见解析 【分析】根据向量共线定理判断. 【详解】（1）， 所以， 又因为有公共起点，故A，B，D三点共线. （2） ， 所以， 又因为有公共起点，故A，B，C三点共线. 58．（2026高三·全国·专题练习）如图，在△ABC中，＝4，. 求证：B，T，E三点共线． 【答案】证明过程见解析 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量共线定理进行证明即可. 【详解】设， ， ， 显然， 所以B，T，E三点共线. 59．（2026高一·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 题型16：利用向量共线求参数 60．（2026高一·山东菏泽·月考）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数 . 【答案】 【分析】根据向量共线，可得，待定系数，即可求得答案. 【详解】因为向量共线， 所以存在实数，使， 则，解得，则. 故答案为： 61．（2026高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共线可得，存在实数，使，待定系数，即可得答案. 【详解】因为与是共线向量， 所以存在实数，使，即， 所以，解得. 故答案为： 62．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量不共线，，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】由，，且， 得，即，又不共线， 因此，解得，所以. 故选：A 63．（2025高三·全国·专题练习）若向量，不共线，且向量，同向共线，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【分析】由平面向量的基本定理及向量共线条件得求参数，再由向量同向共线求解. 【详解】因为向量，共线， 所以，解得或， 当时，向量与方向相反，不满足， 当时，向量与方向相同，满足， 故. 故选：B 64．（25-26高三·山东·期中）已知向量不共线，，则 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的概念分析即可. 【详解】因为向量不共线，可知均非零向量， 由，可知，则，满足充分性； 若，则，即，所以，解得， 满足必要性， 所以是“”的充要条件. 故选：C 65．（2026高一·海南省直辖县级单位·月考）是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 【答案】D 【分析】先由向量的加法求出，再利用向量共线的充要条件列方程组求解即可. 【详解】由已知， 由A，B，D三点共线，故存在实数λ，使， 即，即解得. 故选：D 66．（2026高一·云南楚雄·月考）已知非零向量､不共线，若，，，且三点共线，则 . 【答案】 【分析】表示出向量，然后利用共线定理和平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，所以， 又三点共线，且， 所以存在实数，使得，即， 因为非零向量､不共线，所以，解得. 故答案为： 题型17：向量共线定理推论 67．（2025高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上一点．设，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得，进而有，根据三点共线有，即可得. 【详解】由，得，则， 因为B，P，N三点共线，所以，所以. 故选：B 68．（25-26高三·北京·月考）已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则 .，的最小值为 . 【答案】 2； 4 【分析】先由题设得到，再由共线定理的推论即可求解，再结合基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】由题可得， 因为共线，所以， 所以，当且仅当即时等号成立. 故答案为：2；4 69．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ． 【答案】4 【分析】法一，取平行于边的中位线，求出的值即可；法二，利用向量的线性运算，结合共线向量定理的推论列式求解. 【详解】法一：（特殊位置法）当过点的直线与平行时，由，得是的中点， 则就是的一条中位线，由，得，所以. 法二：依题意，， 由三点共线，得，所以. 故答案为：4 70．（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值2. 故选：B 1．（2026高一·湖北咸宁·月考）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则及平行四边形的性质计算可得. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确； 根据向量减法的三角形法则知，故B正确； ，故C错误； ，故D正确． 故选：C． 2．（2026高一·天津滨海新·期中）如图，在平行四边形中，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，进行化简，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：B. 3．（2026高一·吉林长春·月考）若四边形满足，则此四边形为（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 【答案】B 【分析】由得到且，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形. 【详解】因为， 所以，即且， 所以四边形的一组对边平行且相等， 所以四边形是平行四边形， 故选：B． 4．（2026高一·江苏徐州·期中）在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算即可求解． 【详解】由题意，画出图象如下： 可得． 故选：D． 5．（2026高一·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理求解. 【详解】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 6．（2026高一·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 【答案】C 【分析】根据向量共线的线性表示，可得，使，在利用向量相等的条件构建方程组，解方程组即可. 【详解】因为向量，不共线，所以， 又向量与共线， 所以，使， 则，解得或2. 故选：C. 7．（2026高一·湖北·月考）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据，判断出四边形的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在四边形中，若，则四边形为平行四边形， 若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形， 若四边形是正方形时，必有，即有， 故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. 8．（2026高一·福建三明·期末）化简等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法直接得到答案. 【详解】. 故选：C. 9．（2026高一·北京·月考）若是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合，设，，根据充分性和必要性两个角度分别判断即得. 【详解】如图作，设，， 由向量加法的平行四边形法则知：由可得是菱形， 因菱形的对角线不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立； 又由可得是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等， 故也不一定成立，即必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 10．（2026高一·广东佛山·期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理即可求解. 【详解】向量，是两个不共线的向量，， ，存在唯一实数使得，即， ，. 故选：A. 11．（2026高一·全国·课堂例题）在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A 12．【多选】（2026高一·江苏常州·月考）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据向量的线性运算依次判断即可. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，不正确. 故选：ABC. 13．【多选】（2026高一·四川德阳·月考）下列关于向量的加、减运算的结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用平面向量的加减法逐项判断即可. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项，. 故选：ABD. 14．【多选】（2026高一·河北承德·月考）如图，在正六边形中，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量与向量是平行向量 【答案】AD 【分析】由平面向量加、减法的运算，结合平行向量的定义以及向量模的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，，由正六边形的性质可知，即，故A正确； 对于B，设正六边形每条边长为，则，故B错误； 对于C，根据平行四边形法则有，与共线但方向相反，故C错误； 对于D，根据平行四边形法则有，与方向相同，故D正确. 故选：AD. 15．（2026高一·浙江宁波·开学考试）化简 . 【答案】 【分析】根据向量的加法、减法运算可得答案. 【详解】 . 故答案为：. 16．（2026高一·甘肃天水·月考）已知非零向量、满足，且，则与的夹角为 （用弧度表示）． 【答案】/ 【分析】由题意得，，然后再结合夹角公式即可求解. 【详解】因为，且， 所以，所以， 因为，所以. 故答案为：. 17．（2026高一·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算化简即可； （2）根据向量的线性运算化简即可； （3）根据向量的加法法则化简即可. 【详解】（1）. （2）. （3） . 18．（2026高一·黑龙江鸡西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）根据向量的数乘运算求解； （2）根据向量的数乘和加减法运算律求解即可； （3）根据向量的数乘和加减法运算律求解即可； （4）（5）根据向量的加减法法则求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4）； （5） 19．（2026高一·上海奉贤·期中）如图，在中，分别是的中点，，． (1)用表示； (2)求证：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量线性运算即可求解； （2）由平面向量线性运算得出，且有公共点，即可证明． 【详解】（1）因为分别是的中点， 所以，， 又， 所以． （2）证明：由（1）得，， ， 所以，且有公共点， 所以三点共线． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $