精品解析：江苏扬州市邗江区2025-2026学年七年级上学期期末数学试题

2025-2026年度第一学期七年级数学学科期末试卷 （总分150分 时间120分钟） 注意事项 1．答卷前，考生务必把姓名、学校、准考证号在答题纸上填涂清楚． 2．选择题答案用2B铅笔填涂．非选择题用0.5mm黑水笔在每题对应答题框内作答，超出答题框作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2. 如图，天平从左到右的变化情况，与下列式子的变形意义相同的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等式的基本性质1：等式两边同时加或减同一个数或式子，等式仍然成立；熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．结合图形前后变化和等式的基本性质，即可得解； 【详解】解：由图可知：设小正方块为，小球为，圆柱体为， 由左图可知：， 由右图可知： 故选：A． 3. “像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着．”，朱自清把雨比作“牛毛”“花针”和“细丝”，形象地说明了（ ） A. 两点确定一条直线 B. 面动成体 C. 线动成面 D. 点动成线 【答案】D 【解析】 【分析】雨滴落下时，视觉上形成线状，体现了点动成线的几何概念． 【详解】雨滴可视为点，下落过程中连续移动形成的轨迹像线， 形象地说明了“点动成线”的原理． 4. 若，为有理数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，有理数的乘方运算，解题的关键是掌握非负性的意义． 根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零，则每个部分均为零，从而求出a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ 且，且， ∴且， ∴且， ∴，代入得， ． 故选：B． 5. 如图是一个程序图，若输入的，则输出的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，先根据已知条件中的，按照程序图的步骤进行计算，直到满足输出条件即可． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴最后输出的结果是15， 故选：C． 6. 2026年春节即将到来，八年级一班同学准备制作中国结装饰教室．若每名同学制作7个中国结，总数比原计划多了20个；若每名同学制作5个中国结，总数比原计划少了60个．设八年级一班有x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据计划量是相等的去建立等式解答即可． 【详解】解：根据题意得. 故：A． 7. 一副三角板如图摆放，，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角板中的角度运算，熟练掌握角的和差是解题的关键； 利用角的和与差推出，由题意得，，即可解答． 【详解】解：由图可知， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 8. 在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文．现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的个小写字母依次对应这个自然数，见以下表格： 现给出一个公式：，将明文字母对应的数字A按以上公式计算得到密文字母对应的数字，比如明文字母为，，所以明文字母对应的密文字母为若密文是，则对应的明文是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值， 先确定密文字母对应的数字，再代入关系式，求出A的值，然后确定明文对应的字母即可． 【详解】解：因为密文字母为d，对应的数字是4， 所以， 解得，其对应的明文字母是g； 因为密文字母为h，对应的数字是8， 所以， 解得，其对应的明文字母是o； 因为密文字母为o，对应的数字是15， 所以， 解得，其对应的明文字母是d， 所以对应的明文是． 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 中国科学院力学研究所研发的一款高超音速无人飞行器速度最高可达7马赫，即每小时飞行距离可达8570000米，数据8570000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 10. 若，则的补角的度数为__________________． 【答案】##112度 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个角的补角的度数，度数之和为180度的两个角互补，据此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角的度数为， 故答案为：． 11. 若单项式与是同类项，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同类项，由同类项的定义可先求得m和n的值，从而求出代数式的值． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴， 故答案为：2． 12. 已知，，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的加法、乘法法则确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故答案为：7． 13. 已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据一元一次方程的解求参数，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 先解方程得到，由于两方程解互为相反数，故第一个方程的解为，代入第一个方程求解． 【详解】解：解方程，得； ∵ 两方程的解互为相反数， ∴ 方程的解为， 将代入方程，得， 即， 移项得， 即 ， 解得． 故答案为：1． 14. 如图，，直线与射线相交于点，若，则______． 【答案】##125度 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，根据平行线性质求得，再结合邻补角性质求解，即可解题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，数轴上的点对应的数分别为，且，则代数式的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，数轴上两点之间的距离，掌握利用整体法求解代数式的值是解本题的关键． 用数轴上两点之间的距离等于坐标差的绝对值能求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵数轴上的点对应的数分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，五边形中，，分别是的外角，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，根据两直线平行，同旁内角互补得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：延长，，如图： ， ∵， ∴， 根据多边形的外角和定理可得， ∴． 故答案为：． 17. 定义运算“*”对于任意有理数a与b，满足，例如：，若有理数x满足，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解新定义运算法则． 根据运算定义，分两种情况讨论：当时和当时，分别求解方程，并验证是否满足条件． 【详解】解：若有理数x满足， ①当时，， 即， 解得，符合； ②当时，， 即， 解得，但不满足，故舍去； 因此，x的值为4， 故答案为：4． 18. 如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒个单位和每秒个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则 ______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用代数式表示，整式加减中的无关问题，先求出，再设经过t秒，即可表示出，， 然后分两种情况：若时，可知，接下来根据当可得答案；若时，根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点表示的数是，点表示的数是4， 设经过t秒，则，， 若时， ， 当时，即时，的值不随着t的变化而变化； 若时， ， 当时，即时，的值不随着t的变化而变化． 所以若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） ； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算乘方，再计算乘法和除法，最后进行加减运算即可得到答案； （2）原式运用乘法分配律进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程： （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 【小问1详解】 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得 【小问2详解】 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得 21. 先化简，再求值：，其中 【答案】，0 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值， 先去括号，再合并同类项，然后代入求值即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 22. 如图，已知点，，，，请按要求画出图形． （1）画直线和射线； （2）连接，请用尺规作图，在线段上找一点，使得；（要求保留作图痕迹） （3）在直线上确定一点，使得该点与的距离之和最短，画出点并写出此画图的依据是 ． 【答案】（1） 如图所示，直线和射线即为所求． （2） 如图所示，点即为所求． （3） 如图所示，点即为所求． 两点之间，线段最短． 【解析】 【分析】本题主要考查基本几何图形： （1）根据直线和射线的定义作图即可； （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与线段的交点即为点； （3）依据“两点之间，线段最短”，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作图依据为：两点之间，线段最短． 23. 如图两点把线段分成三部分，，为的中点． （1）判断线段与的大小关系，说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） 理由如下： ∵， ∴设， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， （1）先设，可得，再根据中点定义得，然后表示出，，最后根据得出答案即可； （2）由（1）可知，求出，再根据得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， 解得：， 则． 24. 如图，点在线段上，点在线段上，，． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若平分，，，求的度数． 【答案】（1） 证明：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂直定义， 对于（1），先根据“两直线平行，内错角相等”得，进而得出，再根据“同位角相等，两直线平行”得出答案； 对于（2），先根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再根据角平分线定义得，然后根据垂直定义得，最后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 25. 第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进吉祥物“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶一共100个，其中一个“喜洋洋”玩偶进价40元，一个“乐融融”玩偶进价42元，总共花费4080元． （1）求购进“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶各多少个？ （2）“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶标价分别为元/个、元/个，销售过程中，“喜洋洋”玩偶全部按标价售完，“乐融融”玩偶售出一部分后进行促销，剩余的九折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是元，求“乐融融”玩偶打折前卖出多少个？ 【答案】（1）购进“喜洋洋”个，则购进“乐融融”个 （2）“乐融融”玩偶打折前卖出30个 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， （1）设购进“喜洋洋”x个，则购进“乐融融”个，根据题意列出方程，求出解即可； （2）设“乐融融”玩偶打折前卖出个 ，根据题意列出方程求出解即可． 【小问1详解】 解：设购进“喜洋洋”x个，则购进“乐融融”个， 根据题意，得 解得：， 则， 答：购进“喜洋洋”个，则购进“乐融融”个； 【小问2详解】 解：设“乐融融”玩偶打折前卖出个 ， 根据题意，得， 解得， 答：“乐融融”玩偶打折前卖出30个． 26. 【动手操作】 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． （1）按照图2的方式裁剪，若原长方形卡纸长为，求出原卡纸宽的长度？ （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 ． 【拓展延伸】 (3) 若有盖长方体的长、宽、高分别为将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 ． 【答案】（1）该长方形卡纸宽是15cm；（2）C；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠， （1）根据折叠和正方形的性质得，即可得出，则此题可解； （2）根据四个字的位置特点可得对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，进而得出答案； （3）根据长方体的棱最短的剪的越少，展开图的外围周长越大解答即可． 【详解】解：（1）如图所示，根据折叠的性质得，且， ∴． ∵四边形是正方形，且， ∴． ∵， ∴， 即； （2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，且对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，结合选项可知，只有C符合题意； 故答案为：C； （3）如图所示，周长为， 所以长方体表面展开图的最大外围周长为92． 故答案为：92． 27. 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ． ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【答案】(1) ；（2）；（3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． （1）根据所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合上面发现的规律进行计算即可； （3）根据所给等式，发现规律，并据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知：，，⋯⋯， 所以，， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①因为；；；… 所以，， 故答案为：； ② ． 28. 【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为 °． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 （3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出t的值． 【答案】【操作拼图】；【问题探究】或；【拓展延伸】，， 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确判断角的数量关系是本题解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）根据，的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）∵与直线重合， ∴， ∵， ∴ 故答案为：75； （2）三角板以每秒的速度顺时针旋转t秒后， ，， ， ； ∵， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，t的值为9或17； （3）∵三角板顺时针旋转，三角板逆时针旋转， ∴，， 当时， ∵，， 又， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得， 综上，t的值为5，10或20． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度第一学期七年级数学学科期末试卷 （总分150分 时间120分钟） 注意事项 1．答卷前，考生务必把姓名、学校、准考证号在答题纸上填涂清楚． 2．选择题答案用2B铅笔填涂．非选择题用0.5mm黑水笔在每题对应答题框内作答，超出答题框作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，天平从左到右的变化情况，与下列式子的变形意义相同的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. “像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着．”，朱自清把雨比作“牛毛”“花针”和“细丝”，形象地说明了（ ） A. 两点确定一条直线 B. 面动成体 C. 线动成面 D. 点动成线 4. 若，为有理数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个程序图，若输入的，则输出的结果是（　　） A. B. C. D. 6. 2026年春节即将到来，八年级一班同学准备制作中国结装饰教室．若每名同学制作7个中国结，总数比原计划多了20个；若每名同学制作5个中国结，总数比原计划少了60个．设八年级一班有x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 一副三角板如图摆放，，，，则（　　） A. B. C. D. 8. 在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文．现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的个小写字母依次对应这个自然数，见以下表格： 现给出一个公式：，将明文字母对应的数字A按以上公式计算得到密文字母对应的数字，比如明文字母为，，所以明文字母对应的密文字母为若密文是，则对应的明文是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 中国科学院力学研究所研发的一款高超音速无人飞行器速度最高可达7马赫，即每小时飞行距离可达8570000米，数据8570000用科学记数法表示为________． 10. 若，则的补角的度数为__________________． 11. 若单项式与是同类项，则的值是______． 12. 已知，，且，，则______． 13. 已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则____． 14. 如图，，直线与射线相交于点，若，则______． 15. 如图，数轴上的点对应的数分别为，且，则代数式的值是___________． 16. 如图，五边形中，，分别是的外角，则___________． 17. 定义运算“*”对于任意有理数a与b，满足，例如：，若有理数x满足，则x的值为______． 18. 如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒个单位和每秒个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则 ______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） ； （2） 20. 解方程： （1）； （2） 21. 先化简，再求值：，其中 22. 如图，已知点，，，，请按要求画出图形． （1）画直线和射线； （2）连接，请用尺规作图，在线段上找一点，使得；（要求保留作图痕迹） （3）在直线上确定一点，使得该点与的距离之和最短，画出点并写出此画图的依据是 ． 23. 如图两点把线段分成三部分，，为的中点． （1）判断线段与的大小关系，说明理由； （2）若，求的长． 24. 如图，点在线段上，点在线段上，，． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若平分，，，求的度数． 25. 第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进吉祥物“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶一共100个，其中一个“喜洋洋”玩偶进价40元，一个“乐融融”玩偶进价42元，总共花费4080元． （1）求购进“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶各多少个？ （2）“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶标价分别为元/个、元/个，销售过程中，“喜洋洋”玩偶全部按标价售完，“乐融融”玩偶售出一部分后进行促销，剩余的九折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是元，求“乐融融”玩偶打折前卖出多少个？ 26. 【动手操作】 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． （1）按照图2的方式裁剪，若原长方形卡纸长为，求出原卡纸宽的长度？ （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 ． 【拓展延伸】 (3) 若有盖长方体的长、宽、高分别为将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 ． 27. 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ． ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 28. 【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为 °． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 （3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $