第3章 第13讲 二次函数的图象与性质(3～10分)（课件PPT）-【中考通】2026年中考数学分层学案（河南专用）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数核心考点，明确其在中考中3~10分的考查权重。通过知识梳理分概念、图象性质等知识点，对接中考说明，归纳表达式确定、图象与系数关系等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于河南中考真题训练与分层讲练结合，如典例2通过图象分析系数关系培养数学思维，典例4用数形结合比较函数值大小示范解题技巧。帮助学生掌握得分方法，教师可依此制定冲刺计划，提升复习效率。

中考通 数学 2026 封面版式 软件使用 本课件使用office软件制作，建议老师使用相应软件打开 编辑修改 本课件全文可单击进行编辑修改 便捷操作 快速核答案题号以及返回图标等都有超链接 点击即可跳转至相应页面 封面版式 第三章　函数 第13讲　二次函数的图象与性质(3～10分) 目录 知识梳理·查漏补缺 01 核心考点·分层讲练 02 聚焦河南·感知中招 03 大目录，语文主要配色：黄+蓝 答案速核 知识梳理·查漏补缺 [1]　y＝ax2＋bx＋c [2]　减小 [3]　增大 [4]　增大 [5]　减小 [6]　 [7]　x＝h [8]　 [9]　 [10]　(h，k) [11]　 [12]　k [13]　 [14]　k [15]　越小 [16]　＝ [17]　左 [18]　右 [19]　正半轴 [20]　负半轴 [21]　两个 [22]　没有 [23]　y＝a(x－h＋m)2＋k [24]　y＝a(x－h)2＋k－m 返回目录 核心考点·分层讲练 典例1　(2)y＝(x－2)2－1.　(3)(5，－2)　y＝(x－5)2－2　 (4)y＝(x－2)2－4 跟踪训练 [1]　y＝－x2＋x＋2(答案不唯一) [2]　y＝x2－2x－8 [3]　y＝x2－x－2. [4]　C [5]　D [6]　A [7]　－3 [8]　(1，0) [9]　8 [10]　B [11]　A 典例2　①②③⑤ 典例3　(1)x＝1　 (2)(－1，0)　 (3)2　 (4)2　 (5)－2≤yQ≤1　－2≤yQ≤2. 典例4　(1)y＝x2－4x＋3　(2，－1)　 (2)y2＜y3＜y1　 (3)－1≤y＜15　x≤0或x≥4　 (4)－2＜m＜6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 教材基础练 [1](1)详见解图　 (2)　上　(0，3)　x＝－1　 (3)　y＝＋1　(－1，1)　(4)　≤－1　≥－1 　 (5)　－1　1　(6)　1≤y≤9 [2]　(1)＜　＜　＜　＝　 (2)＞　＞　＜　＞　＜　＝ [3]　(1)y＝2x2　(2)y＝－x2＋2x＋3　(3)y＝－x2＋4x－3　 (4)y＝－(x＋1)(x－3) 1 2 3 返回目录 聚焦河南·感知中招 [1]　D [2]　(1)y＝x2＋2x－2.　(2)略. 　(3)1或4－. [3]　(1)m＝－2　b＝2.　(2)x＜－1或x＞2.　(3)－1≤xM＜2或xM＝3. [4]　(1)(1，4)　(2)－21≤yQ≤－5. 1 2 3 4 返回目录 知识点1　二次函数的概念及表达式 1.二次函数的概念　 一般地，形如① (a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. 知识梳理·查漏补缺 y＝ax2＋bx＋c 2.二次函数表达式的三种形式　　   表达式 使用场景——求函数表达式 一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 已知图象上任意三个点的坐标 顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 已知图象的顶点坐标(h，k) 交点式 (两根式) y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 已知图象与x轴的交点坐标 (x1，0)，(x2，0) 返回目录 知识点2　二次函数的图象与性质 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a＞0，开口向上 a＜0，开口向下   增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而② ； 在对称轴右侧，y随x的增大而③ . 在对称轴左侧，y随x的增大而④ ； 在对称轴右侧，y随x的增大而⑤ . 对称轴 (1)对称轴公式：直线x＝⑥ . (2)对于顶点式y＝a(x－h)2＋k，对称轴为直线⑦ . (3)利用对称性：直线x＝⑧ ，其中x1，x2是图象上关于对称轴对称的两点的横坐标 减小 增大 增大 减小 x＝h 返回目录 顶点坐标 (1)顶点坐标公式：. (2)对于顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为⑩ . 最值 a＞0，当x＝时，y有最小值⑪ ； 或当x＝h时，y有最小值⑫ ； a＜0，当x＝⑬ 时，y有最大值； 或当x＝h时，y有最大值⑭ . (h，k) k k 返回目录 知识点3　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数的关系 a决定抛物线的形状和开口方向 (1)a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下. (2)越大，抛物线的开口⑮ . a，b共同决定对称轴的位置(同左异右) (1)b⑯ 0⇔对称轴为y轴. (2)a，b同号，即ab＞0⇔对称轴在y轴的⑰ 侧. (3)a，b异号，即ab＜0⇔对称轴在y轴的⑱ 侧 c决定与y轴的交点位置 (1)c＝0⇔抛物线经过原点. (2)c＞0⇔抛物线与y轴⑲ 相交. (3)c＜0⇔抛物线与y轴⑳ 相交 b2－4ac决定与x轴交点个数 (1)b2－4ac＝0⇔抛物线与x轴有唯一交点(即顶点). (2)b2－4ac＞0⇔抛物线与x轴有㉑ 交点. (3)b2－4ac＜0⇔抛物线与x轴㉒ 交点 越小 ＝ 左 右 正半轴 负半轴 两个 没有 返回目录 知识拓展　 含系数a，b，c的关系式与0的关系 1.若出现2a＋b，则比较与1； 若出现2a－b，则比较与－1. 2.若出现a＋b＋c，则令x＝1，看纵坐标； 若出现a－b＋c，则令x＝－1，看纵坐标. 3.若出现4a＋2b＋c，则令x＝2，看纵坐标； 若出现4a－2b＋c，则令x＝－2，看纵坐标 返回目录 知识点4　二次函数图象的变化 平移前表达式 平移方向及距离m(m＞0) 平移后表达式 口诀 y＝a(x－h)2＋k (a≠0) 向左平移m个单位长度 ㉓ . 左“＋” 右“－” 向右平移m个单位长度 y＝a(x－h－m)2＋k 向上平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k＋m 上“＋” 下“－” 向下平移m个单位长度 ㉔ . 温馨提示 二次函数图象平移的实质是图象上点的整体平移，平移过程中a不变，所以可先利用点的平移规律求出平移后的顶点坐标，再根据顶点式即可得到平移后的函数表达式 y＝a(x－h＋m)2＋k y＝a(x－h)2＋k－m 返回目录 知识拓展 抛物线的对称变化 变化前表达式 变化形式 变化后顶点坐标 变化后表达式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 关于x轴对称 (h，－k) y＝－a(x－h)2－k 关于y轴对称 (－h，k) y＝a(x＋h)2＋k 关于原点对称 (－h，－k) y＝－a(x＋h)2－k 返回目录 1.一题串知识 已知二次函数y＝2x2＋4x＋3. (1)在如图平面直角坐标系中画出函数的大致图象. (2)该二次函数的图象开口向_____，与y轴的交点坐标为 _______，对称轴为直线________. (3)该二次函数表达式化为顶点式为_________________， 顶点坐标为__________. (4)当x______时，y随x的增大而减小；当x______时， y随x的增大而增大. (5)当x＝____时，y有最小值为___. (6)当－2≤x≤1时，函数值y的取值范围是___________. 教材基础练 1 2 3 上 (0，3) x＝－1 y＝＋1 (－1，1) ≤－1 ≥－1 －1 1 1≤y≤9 返回目录 2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0). (1)若该二次函数的图象如图1所示，则a___0；ab___0； c___0；b2－4ac___0(填“＞”“＜”或“＝”). (2)若该二次函数的图象如图2所示，则a___0；ab___0； c___0；b2－4ac___0；a－b＋c___0；2a－b___0(填“＞” “＜”或“＝”). 3.根据下列条件，求抛物线的函数表达式. (1)抛物线的顶点在原点，且过点(2，8)：_________. (2)抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点(－1，0)，(0，3)：_______________. (3)抛物线的顶点坐标是(2，1)，且经过点(1，0)：________________. (4)抛物线与x轴交于点(－1，0)，(3，0)，且经过点(0，2)：_________________. ＜ ＜ ＜ ＝ ＞ ＞ ＜ ＞ ＜ ＝ y＝2x2 y＝－x2＋2x＋3 y＝－x2＋4x－3 y＝－(x＋1)(x－3) 1 2 3 返回目录 考点1　二次函数表达式的确定(含图象变化) 典例1　已知y与x满足二次函数关系，x与y的几组对应值如下表： 核心考点·分层讲练 x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … (1)请在如下平面直角坐标系中描出对应点，并画出函数的大致图象. 返回目录 (2)求y与x之间的函数表达式. 解：由表格，知函数图象的顶点坐标为(2，－1)， 设函数表达式为y＝a(x－2)2－1(a≠0). 把(1，0)代入，得a－1＝0，解得a＝1. ∴y与x之间的函数表达式为y＝(x－2)2－1. (3)若将该函数图象向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的顶点坐标为__________，平移后的函数表达式为______________. (4)将该函数图象向下平移m(m＞0)个单位长度后，与x轴交于A，B两点，若AB＝4，则平移后的函数表达式为______________. (5，－2) y＝(x－5)2－2 y＝(x－2)2－4 返回目录 跟踪训练 1.(2025·广东)已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____________________ _______(写出一个即可). 2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(1，－9)，与x轴的两个交点间的距离为6，则该抛物线的函数表达式为_____________. y＝－x2＋x＋2(答案不 唯一) y＝x2－2x－8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 3.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于A，B两点(A，B分别在原点左、右两侧)，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC＝2OA.求二次函数的表达式. 解：由题意，得C(0，c)，c＜0. ∵OB＝OC＝2OA，∴B(－c，0)，A. 设二次函数的表达式为y＝(x＋c)＝x2cxc2， ∴c2＝c，解得c1＝0(舍去)，c2＝－2. ∴二次函数的表达式为y＝x2－x－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 考点2　二次函数图象与系数的关系 典例2　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴 为直线x＝1，下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③2a＋b＝0； ④4a－2b＋c＞0；⑤ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝3. 其中正确的是___________(填序号). ①②③⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 跟踪训练 4.一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 5.(2025·泸州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝－1时，y＞0，下列结论正确的是(　　) A.2a＝b　 B.b2－4ac＜0　 C.a－2b＋4c＜0　　 D.8a＋c＞0 6.已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围是(　　) A.1≤a＜ B.0＜a＜ C.0＜a＜ D.1≤a＜ D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 考点3　二次函数的对称性 典例3　一题串考法 已知抛物线y＝－ax2＋2ax＋1. 基础过关 (1)抛物线的对称轴为直线_______. (2)若该抛物线与x轴的一个交点的坐标为(3，0)，则该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为__________. (3)已知抛物线经过点A(x1，n)，B(x2，n)，则x1＋x2的值为_____. (4)已知抛物线与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，则线段CD的长为_____. x＝1 (－1，0) 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 能力提升 (5)当a＝1时，抛物线为y＝－x2＋2x＋1，如图所示.点M，N是抛物线上两点，点M到抛物线对称轴的距离为1，点N到抛物线对称轴的距离为2，点Q是抛物线上M，N之间的一个动点(含点M，N)，点Q的纵坐标为yQ，求yQ的取值范围. 解：①如解图1所示，若点M，N位于对称轴的同侧， 则yQ的取值范围是－2≤yQ≤1； ②如解图2，3所示，若点M，N位于对称轴的两侧， 则yQ的取值范围是－2≤yQ≤2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 方法总结　　　　 抛物线的对称性 抛物线是轴对称图形，对称轴为y轴或平行于y轴的直线.抛物线上纵坐标相等的两点必关于对称轴对称.可根据纵坐标相等的两点确定对称轴的位置，或可根据对称轴的位置与其中一点坐标，求出关于对称轴对称的另一点的坐标. 返回目录 跟踪训练 7.(2025·福建节选)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx－2的图象过点A(1，t)，B(2，t)，则的值为______. 8.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点的 横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则抛物线与x轴的另一个 交点的坐标为_________. 9.如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为_____. －3 (1，0) 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 考点4　二次函数的增减性 典例4　一题串考法 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c 与x轴交于点 (1，0)，与y轴交于点(0，3). (1)该抛物线的函数表达式为_____________，顶点 坐标为__________. (2)若点(－3，y1)，(0，y2)，(5，y3)在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是____________(用“＜”连接). (3)①当－2＜x＜4时，y的取值范围是___________； ②当y≥3时，x的取值范围是___________. (4)若点M(m，y1)，N(6，y2)在抛物线上，且y1＜y2，则m的取值范围为__________. y＝x2－4x＋3 (2，－1) y2＜y3＜y1 －1≤y＜15 x≤0或x≥4 －2＜m＜6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 跟踪训练 10.已知抛物线y＝x2－2x－4的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是(　　) A.y2＜y3＜y1 B.y2＜y1＜y3 C.y1＜y2＜y3 D.y3＜y1＜y2 11.(2025·广州)在平面直角坐标系中，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝ax2－2ax(a＞0)上，则下列结论中正确的是(　　) A.当x1＜0且y1·y2＜0时，则0＜x2＜2 　 B.当x1＜0且y1·y2＞0时，则0＜x2＜2 C.当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 D.当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 方法总结　　 二次函数中比较函数值大小的方法(数形结合) 方法1：利用对称性将点转化到对称轴同侧，再根据增减性比较大小. 方法2：利用点到对称轴的距离. a＞0，离对称轴越远y值越大； a＜0，离对称轴越远y值越小. 方法3(特殊值法)：代入特殊值进行比较. 返回目录 命题点　二次函数的图象与性质 6年4考 1.(2023·河南第9题)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝x＋b的图象一定不经过(　　) A.第一象限　 B.第二象限　 C.第三象限　 D.第四象限 聚焦河南·感知中招 1 2 3 4 D 返回目录 2.(2025·河南第22题)在二次函数y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如下表所示. x … －2 0 1 … y … －2 －2 1 … (1)求二次函数的表达式. 解：(1)把(－2，－2)，(1，1)代入y＝ax2＋bx－2， 得解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－2. 1 2 3 4 返回目录 (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象. 解：(2)∵y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3， ∴二次函数图象的顶点坐标为(－1，－3). 画出二次函数的图象如图. 1 2 3 4 返回目录 解：(3)1或4　 【提示】二次函数的图象向右平移n个单位长度后，函数表达式为y＝(x＋1－n)2－3，对称轴为直线x＝－1＋n，函数图象开口向上. 分情况讨论：①当－1＋n≥3，即n≥4时，如解图1. 当x＝0时，y取最大值为(1－n)2－3； 当x＝3时，y取最小值为(4－n)2－3. ∵最大值与最小值的差为5， ∴(1－n)2－3－(4－n)2＋3＝5，解得n(不符合题意，舍去). (3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值. 1 2 3 4 返回目录 ②当－1＋n≤0，即n≤1时，如解图2.当x＝0时，y取最小值；当x＝3时，y取最大值.∴(4－n)2－3－(1－n)2＋3＝5，解得n(不符合题意，舍去). ③当≤－1＋n＜3，即≤n＜4时，如解图3.当x＝0时，y取最大值； 当x＝－1＋n时，y取最小值为－3.∴(1－n)2－3＋3＝5， 解得n＝1或n＝1(不符合题意，舍去). ④当0＜－1＋n＜，即1＜n＜时，如解图4.当x＝－1＋n时，y取最小值－3；当x＝3时，y取最大值.∴(4－n)2－3＋3＝5，解得n＝4(不符合题意，舍去)或n＝4. 综上所述，n的值为1或4－. 1 2 3 4 返回目录 3.(2021·河南第22题)如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b交于点A(2，0)和点B. (1)求m和b的值. 解：(1)∵抛物线y＝x2＋mx经过点A(2，0)， ∴4＋2m＝0，解得m＝－2. ∵直线y＝－x＋b经过点A(2，0)， ∴－2＋b＝0，解得b＝2. 1 2 3 4 返回目录 (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式 x2＋mx＞－x＋b的解集. 解：(2)当x2－2x＝－x＋2时，解得x1＝－1，x2＝2. ∴点B的横坐标为－1. 当x＝－1时，y＝－x＋2＝3， ∴点B的坐标为(－1，3). 结合图象，可知不等式x2＋mx＞－x＋b的解集为x＜－1或x＞2. (3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移 3个单位长度得到点N.若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围. 解：(3)－1≤xM＜2或xM＝3. 1 2 3 4 返回目录 4.(2020·河南第21题)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式及点G的坐标. 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与y轴正半轴交于点B， ∴点B的坐标为(0，c).∴OB＝c. ∵OB＝OA，∴A(c，0). ∵抛物线y＝－x2＋2x＋c经过点A， ∴－c2＋2c＋c＝0，解得c1＝0(舍去)，c2＝3. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线顶点G的坐标为(1，4). 1 2 3 4 返回目录 (2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围. 解：(2)易得抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1. ∵点M，N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度， ∴点M的横坐标为－2或4，点N的横坐标为－4或6. ∴点M的纵坐标为－5，点N的纵坐标为－21. 又∵点M在点N的左侧， ∴当点M的坐标为(－2，－5)时，点N的坐标为(6，－21)， 此时－21≤yQ≤4； 当点M的坐标为(4，－5)时，点N的坐标为(6，－21)， 此时－21≤yQ≤－5. 1 2 3 4 返回目录 $