数学二模模拟卷02（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第二次模拟考试 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（    ） A．10 B．15 C．30 D．31 4．已知向量的夹角为锐角，且满足，则向量的模长可以为（     ） A． B．2 C． D．2 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（    ） A． B． C． D．1 7．已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆的方程为：，为坐标原点，点，点P为卵圆上任意一点，则下列说法中不正确的是（    ） A．卵圆关于轴对称 B．卵圆上不存在两点关于直线对称 C．线段长度的取值范围是 D．的面积最大值为1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某高校组织全体学生参加以“庆祝中华人民共和国成立75周年”为主题的知识竞赛，随机抽取了100名学生的成绩（单位：分）进行统计，按成绩分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图. 根据图中数据，下列结论正确的是（    ） A．这100名学生成绩的中位数约为75 B．这100名学生成绩的平均数约为78 C．从100名学生中随机抽取一名，估计其成绩不低于70分的概率为0.7 D．从该校学生中随机抽取两名，在这两名学生成绩都不低于70分的条件下，恰有一名学生成绩在内的概率估计值为 10．如图，在直棱柱中，，是中点，则下列结论正确的是（   ） A． B．四点共面 C．直棱柱不存在外接球 D．棱的中点在平面内 11．已知定义域为R的函数f(x)满足下列条件：（1）对任意的，都有（2）当时，.则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的图象关于y轴对称 C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有 种. 13．已知是函数的极大值点，若在有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为 14．已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等比数列中，，．在与之间插入个数，使得这个数依次构成一个公差为的等差数列． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在三个不同的正整数，，，且，使得数列中的三项，，成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 16．（15分）如图，在三棱锥中，点分别是的中点，平面平面．    (1)判断直线与直线的位置关系，并给出证明； (2)若平面平面，，是直线上的一点，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 17．（15分）某校举办知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． (1)已知甲先上场，，，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； (2)如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，说明理由． 18．（17分）已知函数，其中. (1)当时，求函数的最小值； (2)设函数. （i）讨论的单调性； （ii）证明：存在，使得在区间内恒成立，且函数在上的零点唯一. 19．（17分）如图，，分别为双曲线的左、右焦点.分别为双曲线左、右支上位于轴上方的点，且满足，设直线与相交于点.    (1)若，求直线的斜率； (2)当点在双曲线上运动时， （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）证明：点在一个椭圆上运动，并求出该椭圆方程. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（    ） A．10 B．15 C．30 D．31 4．已知向量的夹角为锐角，且满足，则向量的模长可以为（     ） A． B．2 C． D．2 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（    ） A． B． C． D．1 7．已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆的方程为：，为坐标原点，点，点P为卵圆上任意一点，则下列说法中不正确的是（    ） A．卵圆关于轴对称 B．卵圆上不存在两点关于直线对称 C．线段长度的取值范围是 D．的面积最大值为1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某高校组织全体学生参加以“庆祝中华人民共和国成立75周年”为主题的知识竞赛，随机抽取了100名学生的成绩（单位：分）进行统计，按成绩分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图. 根据图中数据，下列结论正确的是（    ） A．这100名学生成绩的中位数约为75 B．这100名学生成绩的平均数约为78 C．从100名学生中随机抽取一名，估计其成绩不低于70分的概率为0.7 D．从该校学生中随机抽取两名，在这两名学生成绩都不低于70分的条件下，恰有一名学生成绩在内的概率估计值为 10．如图，在直棱柱中，，是中点，则下列结论正确的是（   ） A． B．四点共面 C．直棱柱不存在外接球 D．棱的中点在平面内 11．已知定义域为R的函数f(x)满足下列条件：（1）对任意的，都有（2）当时，.则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的图象关于y轴对称 C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有 种. 13．已知是函数的极大值点，若在有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为 14．已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等比数列中，，．在与之间插入个数，使得这个数依次构成一个公差为的等差数列． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在三个不同的正整数，，，且，使得数列中的三项，，成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 16．（15分）如图，在三棱锥中，点分别是的中点，平面平面． (1)判断直线与直线的位置关系，并给出证明； (2)若平面平面，，是直线上的一点，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 17．（15分）某校举办知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． (1)已知甲先上场，，，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； (2)如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，说明理由． 18．（17分）已知函数，其中. (1)当时，求函数的最小值； (2)设函数. （i）讨论的单调性； （ii）证明：存在，使得在区间内恒成立，且函数在上的零点唯一. 19．（17分）如图，，分别为双曲线的左、右焦点.分别为双曲线左、右支上位于轴上方的点，且满足，设直线与相交于点. (1)若，求直线的斜率； (2)当点在双曲线上运动时， （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）证明：点在一个椭圆上运动，并求出该椭圆方程. / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A]B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解不等式得，故， 解不等式得或，故， 所以 故选：C 2．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，则，， 所以. 故选：C. 3．已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（    ） A．10 B．15 C．30 D．31 【答案】D 【详解】因为数列为正项等比数列，设公比为， 又是与的等差中项，所以，即， 解得或（舍去）， 所以由解得， 所以该数列的前5项和， 故选：D 4．已知向量的夹角为锐角，且满足，则向量的模长可以为（     ） A． B．2 C． D．2 【答案】D 【详解】设向量的夹角为，因为向量的夹角为锐角，所以， 因为，所以， 所以. 故选：D. 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据对数定义，， 因为，所以， 又，在第二象限，所以，即， ， 而，所以，，所以， 因此． 故选：C． 6．已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为，且角A的平分线交边BC于D，且， 所以，即， 又，所以，所以，， 由余弦定理得， 所以，即， 故选：A． 7．已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点为直线与直线的交点， 所以由可得，且过定点，过定点， 所以点的轨迹是以点与点为直径端点的圆(去除)，圆心为， 半径. 而圆的圆心为，半径为， 所以两个圆心的距离，且，所以两圆相离， 所以的最大值为：， 因为不在圆上，故， 所以的取值范围是. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据直线垂直以及过定点得到点的轨迹是圆，从而得解. 8．卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆的方程为：，为坐标原点，点，点P为卵圆上任意一点，则下列说法中不正确的是（    ） A．卵圆关于轴对称 B．卵圆上不存在两点关于直线对称 C．线段长度的取值范围是 D．的面积最大值为1 【答案】B 【详解】对于A，设是卵圆上的任意一个点， 因为，所以点也在卵圆上， 又点和点关于轴对称， 所以卵圆关于轴对称，故A正确； 对于B，设在卵圆上，关于直线对称的点也在卵圆上， 则，解得或， 所以卵圆上存在两点关于直线对称，故B错误； 对于C，由，得， 所以，所以， 设点， 则， 令， 则， 令，则或， 当或时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 又， 且， 所以，即， 所以，故C正确； 对于D，点， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 此时的面积取得最大值，故D正确. 故选为：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某高校组织全体学生参加以“庆祝中华人民共和国成立75周年”为主题的知识竞赛，随机抽取了100名学生的成绩（单位：分）进行统计，按成绩分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图. 根据图中数据，下列结论正确的是（    ） A．这100名学生成绩的中位数约为75 B．这100名学生成绩的平均数约为78 C．从100名学生中随机抽取一名，估计其成绩不低于70分的概率为0.7 D．从该校学生中随机抽取两名，在这两名学生成绩都不低于70分的条件下，恰有一名学生成绩在内的概率估计值为 【答案】BC 【详解】对于A，前组的频率之和为，所以样本数据的中位数约为80，故A错误； 对于B，这100名学生成绩的平均数约为. 故B正确； 对于C，成绩不低于70分的频率为， 所以从100名学生中随机抽取一名，估计其成绩不低于70分的概率为0.7，故C正确； 对于D，成绩在内的频率为，成绩在的频率为0.5， 设“两名学生成绩都不低于70分”为事件，“恰有一名学生成绩在内”为事件， ， ， 根据条件概率公式，故D错误． 故选：BC． 10．如图，在直棱柱中，，是中点，则下列结论正确的是（   ）    A． B．四点共面 C．直棱柱不存在外接球 D．棱的中点在平面内 【答案】ABC 【详解】在直棱柱中，平面， 又，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则， ， 对于A，因为， 所以， 所以，所以，A正确； 对于B， ，即，又直线， 因此，即四点共面，B正确； 对于C，在梯形中，， 则为锐角，，因此， 所以梯形无外接圆，则直棱柱没有外接球，C正确； 对于D，棱的中点， ， 假设棱的中点M在平面内， 则有，即，该方程组无解， 所以棱的中点不在平面内，D错误. 故选：ABC 11．已知定义域为R的函数f(x)满足下列条件：（1）对任意的，都有（2）当时，.则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的图象关于y轴对称 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对任意的，都有， 对于A，令，则，令，得，则， 令，得，则，因此，A正确； 对于B，令，得， 即，因此，函数是奇函数，其图象关于原点对称，B错误； 对于C，令，即，取，则， 于是，即，当时，，， 则，此时，当时，由奇函数的性质得，则， 因此，，C正确； 对于D，令，则，当时，， 任取，， 由，得，则，而，因此， 即，此时，而，则，即， 因此函数在上单调递减，由奇函数性质得在上单调递减， 由，得，则，D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有 种. 【答案】120 【详解】总共有 8 股股道，要停放 4 列火车，那么剩下的空股道有股. 这 4 股空股道排好后，会形成 个可以插入火车的 “空隙”（包括两端）. 首先，从 5 个空隙中选 4 个，有 种选法， 然后，将 4 列不同的火车在这 4 个位置上进行全排列，有种排法. 总的方法数是选位置的方法数乘以排列的方法数，即： 种. 故答案为：120. 13．已知是函数的极大值点，若在有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为 【答案】 【详解】因为是的极大值点， 所以，，即， 又，故，所以， 当时，，在有两个零点和三条对称轴， 所以，解得. 故答案为： 14．已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，则，， 因为，所以为的中点， 因为为的中点，所以‖，， 所以， 设，则，， 因为，所以， 所以， 在中，由，得， 化简整理得，解得或， 当时，，不合题意，舍去， 所以， 所以， 在中，由，得， 则，得， 即的离心率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的定义的应用，解题的关键是取的中点为，由已知条件结合圆的知识得为的中点，再应用三角形中位线定理和勾股定理求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等比数列中，，．在与之间插入个数，使得这个数依次构成一个公差为的等差数列． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在三个不同的正整数，，，且，使得数列中的三项，，成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）设等比数列的公比为， 则， 1分 又， 所以，所以， 2分 所以． 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列， 则， 4分 即， 则． 6分 （2）不存在，理由如下： 假设在数列中存在三项，，成等比数列， 则， 即，即． 8分 因为， 所以， 即， 即， 10分 联立解得， 12分 与题设矛盾， 故在数列中不存在三项，，成等比数列． 13分 16．（15分）如图，在三棱锥中，点分别是的中点，平面平面．    (1)判断直线与直线的位置关系，并给出证明； (2)若平面平面，，是直线上的一点，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【详解】（1）． 证明：因为点分别是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 2分 因为平面平面，平面，所以． 4分 （2）因为，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，又 7分 所以以为原点，分别以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，所以，又， 则． 9分 ， 设平面的法向量为， 则，不妨设，解得． 11分 由（1）可知，设， 得，所以． 13分 设直线与平面所成角为， 则， 得或， 所以线段的长度为或． 15分 17．（15分）某校举办知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． (1)已知甲先上场，，，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； (2)如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，说明理由． 【详解】（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P， 则． 2分 ②依题可知，X的可能取值为0，1，2， 则由①知， 3分 ， ， 6分 ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴； 9分 （2）甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同，理由如下： 设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为， 则， 11分 13分 ∵， ， ∴， 因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同． 15分 18．（17分）已知函数，其中. (1)当时，求函数的最小值； (2)设函数. （i）讨论的单调性； （ii）证明：存在，使得在区间内恒成立，且函数在上的零点唯一. 【详解】（1）由题意， 1分 令，得， 当，所以在区间上单调递减； 当，所以在区间上单调递增； 3分 所以当时，取到最小值. 4分 （2）（i）由已知，函数. 令， 所以. 当时，（即）在区间上单调递增，在区间上单调递减； 6分 当时，（即）在区间上单调递增.     8分 （ii）由，解得. 令， 则， 故存在，使得. 11分 令. 由知，函数在区间上单调递增. 所以. 即. 当时，有， 14分 由（i）知，函数在区间上单调递增. 故当时，有，从而； 当时，有，从而； 所以，当时，. 综上所述，存在，使得在区间内恒成立，函数的零点唯一. 17分 19．（17分）如图，，分别为双曲线的左、右焦点.分别为双曲线左、右支上位于轴上方的点，且满足，设直线与相交于点.    (1)若，求直线的斜率； (2)当点在双曲线上运动时， （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）证明：点在一个椭圆上运动，并求出该椭圆方程. 【详解】（1）双曲线两个焦点坐标为， 由可知，，故， 两条平行线设为， 2分 分别与联立，得， 进而有 将②-①×9得，，代入①式得， 5分 因为，所以，故，所求斜率为. 6分 （2）（ⅰ）分别延长线段与双曲线交于，由于， 由双曲线的对称性可知，，四边形是平行四边形，其中心为原点， 关于原点对称，故， 设，且， 8分 联立，，， 10分 所以. 由两点距离公式，， 所以， 由韦达定理，， 13分 （ⅱ）设，由(i)知，即：， 由双曲线的定义知，， 由于，根据平面几何知识，， 所以， ， 15分 由椭圆定义知，点在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 由得，其方程为， 所以当点在双曲线上运动时，点在椭圆上运动. 17分      / 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 7 C C D D C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BC ABC ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.120 「17π5π 13.23 14.7 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【详解】(1)设等比数列an}的公比为9， 则g=4=18=3, .1分 a26 又a2=a19=3a1=6, 所以a1=2,所以0。=2X30-,.2分 所以a1=2×3”. 在an与a1之间插入n个数组成一个公差为dn的等差数列， 则a1=an+(n+2-1)dn, 4分 即2×3”=2×3+(n+1)d。, 则dn=4×3 6分 n+1 (2)不存在，理由如下： 1/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 假设在数列(dn}中存在三项dm,d,d。成等比数列， 则(d)=dndp, 即4x312 4x3m-14×3P-1 24-2 3m+p-2 k+1 m+1*p+1’即 (k+12(m+1(p+ …8分 因为m+p=2k, 所以(k+1)2=(m+1)(p+1), 即k2+2k+1=mp+m+p+1, 即k2=mp,… 10分 联立 (k2 =mp, 解得m=p=k, 12分 2k=m+p, 与题设矛盾， 故在数列{dn}中不存在三项dm,d,4,成等比数列. 13分 16.【详解】(1)DE/l. 证明：因为点D,E分别是AC,BC的中点，所以DE∥AB, 因为ABC平面PAB,DEC平面PAB,所以DE∥平面PAB,…2分 因为平面PABA平面PDE=1,DEC平面PDE,所以DEIl..4分 (2)因为PA=PC,点D为AC的中点，所以PD⊥AC, 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PDc平面PAC, 所以PD⊥平面ABC, 因为BDC平面ABC,所以PD上BD,又BD⊥AC7分 所以以D为原点，分别以DA,DB,DP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， D B 因为PA⊥PC,PA=PC=√2，所以PD=AD=CD=1,又BD=2, 2/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则D(0,0,0),A(1,0,0,B0,2,0,C-1,0,0,P0,0,1. …9分 PB=(0,2,-1),PC=(-1,0,-1, 设平面PBC的法向量为i=(x,y,z, PB.i=2y-z=0 则 不妨设y=1,解得i=-2,l,2). 11分 PC.ii=-x-z=0 由(1)可知1∥AB,设PO=入AB, 得O9=(-元，22,1，所以CQ=(1-2,22,1. …13分 设直线C2与平面PBC所成角为O, -2×1-元)+1×22+2×1 4 则sin0=cos CO, i.co V1-)+(2+1P×V-22+1+29' 得元=或2=-1， 2 所以线段PQ的长度为5或、5. 2 15分 17.【详解】(1)①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P, 则P1-91-g-号子片 2分 ②依题可知，X的可能取值为0,1,2， 则h0鬼PX=0小- 3分 1x2x3+2x1x3_117 Px==p1-P1-9+(1-pq1-g)=3×号×4+5×446+824 Px=2=p+pl-g*l--周周- .6分 X的分布列为 X 0 1 2 7 5 2 24 24 .E(X)=0 2+1×24 517 +2× 2424 9分 (2)甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同，理由如下： 3/7 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设甲先出场成功概率为P,乙先出场成功概率为乃， 则P=p+p-1-p)g+p"-2(1-p)g2+…+p(1-p)g"-+(1-p)g”, =(p”+p"-q+p"-2q2++p9-+g）-pp"-q+p"-2q2+…+pg"-1+g） =(p”+p-q+p8-2q2+…+pg"-+g"）-(p^q+p"-q2+…+pg+pg）… 11分 P2=g"+g-(1-qp+g"-2(1-qp2+…+q1-qp"-+(1-qp =(q+gp+g"-2p2+…+qp"-+p）-qq-p+g-2p2+…+gp-1+p） =(g+q-p+g-2p2+…+qp-+p）-(qp+g"-p2+…+g2p-+9p）…13分 :p”+p"-q+p-2q2++pg"-1+g”=g+g"-p+g"-2p2++gp-1+p, pg+p"-q2+…+p2q"-+pg"=q"p+q-p2+…+g2p-1+qp, .P=B, 因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同.…15分 18.【详解】（1)由题意f(x)=2xlnx(x>0),f(x)=2(lnx+1),…1分 1 令f'(x)=2lnx+)=0,得x=三， 当xor0,所以e在区同og 上单调递减； 当xe+>0,所以)在区间上单调递塔： 3分 所以当所，)取到最小首得 2n1-2 4分 ee (2)(i)由已知，函数h(x)=x2-2ax-2a2+a-2(x+a)lnx,x>0. 令的==2x-2a-2nx-20+9, 所w2-2之 xx 上单调递增，在区间 1--4a1+1-4a 22 上单调递减；6分 4/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当a≥4时，y(即()在区间0，+切)上单调递增 8分 由6闭=2-2a-2血-2+=0，解得a=n 1+x 0-n-- e-2 e-2=_e(e-2 <0, 故存在x0∈（们，C),使得pX0=0..11分 令4，=51-h,=x-1-nxx≥》 1+x0 由w)=1≥0知，函数)在区间，+四)上单调递增 所以0=0u(x) +11+<we⊙=e-21 1+e11+e1 即a∈(0,1). 当a=a0时，有h'(x）=0,h(xg=9x)=0,…14分 由(i)知，函数h(x)在区间(L,+o)上单调递增 故当xe1,x)时，有h'x<0,从而h(x)>h(xo)=0; 当xe(xo,+o)时，有h'(x)>0,从而h(x)>h(xo)=0; 所以，当x∈(1，+o)时，h(x)≥0 综上所述，存在ae(0,),使得h(x)≥0在区间(L,+∞)内恒成立，函数h(x)的零点唯一.…17分 19.【详解】(1)双曲线两个焦点坐标为F(-2,0),F(2,0), 由MF IINF可知，MF:NF=PFNP=1:3,故yw=3yw>0, 两条平行线设为MF:x=my-2,NF2:x=my+2, 2分 m2-1y2-4myw+2=0 分别与x2-y2=2联立，得(m2-1)%+4myw+2=0, yN =3yM (m2-1y-4myw+2=0① 进而有 9(m2-1%+12myw+2=0…② 5/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 将②-①×9得，3myM=1,代入①式得m2= 7， …5分 为w>0,m心M=>0,所以m>0,改m万所求斜率为 3 6分 m (2)(i)分别延长线段MF,NF,与双曲线交于G,H,由于MENF, 由双曲线的对称性可知，MG=NH,四边形MNHG是平行四边形，其中心为原点， G,N关于原点对称，故NF,=GF, 设MF:x=my-2,M(,y),G(x2,y2,N(-x2,-y2)，且%>0>y2,…8分 联立 x2-=2'(m2-y2-4my+2=0,y+⅓= x=my-2 m21= 2<0,110分 m2-1 所以m2-1<0,m∈-1,1. 由两点距离公式，MF=Vx+22+y=m2+1,NF=G=V,+2)+片=-Vm2+1, 所以、1 1 1 1 =y-y2 +-4, ME NF2 y vm2+1 yaVm2+1-ym2+1 -yiy2Vm2+1 2W2√m2+1 由韦达定理， 1-m2=2, M阿+N阿_2、 13分 m-1Vo+i （i)设MR=rNF-5,O蜘上+=2，即：r+5=2, 由双曲线的定义知，ME=r+22,WF=s+2√2， 由于MENF,根据平面几何知识，PF:PN=PM:PF,=MF:NF=r:s, 所以PF=,本Nl=本s+2HPF=,本M=,本+2， r+S p阳+g=7+2+,4+2同-2w+23+-2+2w5=, .15分 r+S r+s 由椭圆定义知，点P在以F,F2为焦点，长轴长为3√2的椭圆上， x2y2 的a三3√2.2得b=5,其方程为91 =1 22 x2 y2 所以当点M,N在双曲线上运动时，点P在椭圆9+了=1上运动.…1门分 22 6/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 y米 N M P F 0 F2 H 7/7 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $