精品解析：河北省承德市2025-2026学年高一上学期1月学情检测数学试题

2025－2026学年高一年级1月学情检测 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数为奇函数，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 4. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～79mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每100mL血液中的酒精含量上升到了360mg，在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度下降，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待（ ）（参考数据：，） A. 13小时 B. 11小时 C. 12小时 D. 10小时 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 8. 已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 函数上单调递减 C. 函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 关于的方程有两个不等的正实数根的充要条件是 10. 下列命题为真命题的有（ ） A. 若第一象限角，则 B. 终边经过点的角的集合是 C. 若，则恒成立 D. 若角，，则角的最大负角为 11. 已知函数若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象关于点对称，则的值为______． 13. 已知函数是定义在上的奇函数，．若且，都有，则不等式的解集为______． 14. 已知函数，．若，且，，使得成立，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，，其中． （1）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围． 16. 近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗．哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力．为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章（万件），其他成本为（万元），且经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完． （1）求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； （2）2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 17. 已知函数，． （1）当时，求函数的值域； （2）如果，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数的部分图象如图． （1）求函数解析式； （2）解不等式； （3）若关于方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围． 19. 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”. （1）试判断函数是否是“函数”，并说明理由； （2）若函数（其中为自然对数的底数，）为“函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为“函数”，且，求证：对任意，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年高一年级1月学情检测 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解一元二次不等式和绝对值不等式，再由集合交集运算即可求解. 【详解】由，解得，所以． 由，解得，所以集合， 所以． 故选：A． 2. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数定义、诱导公式结合余弦二倍角公式即可求解. 【详解】由题意，， 所以． 故选：B． 3. 若函数为奇函数，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数为奇函数， 所以必有成立，即，解得， 所以，定义域为． 又因为， 所以函数为奇函数， 所以符合题意. 4. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～79mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每100mL血液中的酒精含量上升到了360mg，在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度下降，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待（ ）（参考数据：，） A. 13小时 B. 11小时 C. 12小时 D. 10小时 【答案】A 【解析】 【分析】依题意列出不等式，再由对数运算法则代入参考数据计算可得结果. 详解】设至少需要等待小时， 依题意可得，则， 两边取对数得， 即小时， 所以想要在不违法的情况下驾驶汽车，至少需要等待13小时. 故选：A． 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶性以及时，的范围排除错误选项可得答案. 【详解】由函数，得定义域为，关于原点对称． 又因为， 所以函数为上的奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，故A，D错误． 当时，，， 所以，即； 当时，，， 所以，即． 所以由图象可知，C错误，B正确． 故选：B 6. 若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的分布以及复合函数单调性法则可得答案. 【详解】由函数的值域为， 得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点， 即方程有实根， 所以，解得或； 由函数在上单调递增， 而函数在定义域上单调递增， 则函数在上单调递增且恒为正， ，解得； 综上，实数的取值范围是. 故选：A． 7. 已知满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】令，则，化简，利用基本不等式即可 【详解】由，得． 令，则，解得， 则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6． 故选：D． 8. 已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】用代替得到，联立即可得，再通过换元，得到结合对勾函数单调性即可求解. 【详解】因为，① 所以用代替得．② ①②得． 设．当时，； 当时，可转化为函数． 又因为在单调递减，在单调递增，当时，得到最小值2， 所以当时，，则， 因为在单调递减，在单调递增，当时，得到最大值， 当时，，则， 综上，当时，取得最大值，为． 所以当时，取得最大值，为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 函数在上单调递减 C. 函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 关于的方程有两个不等的正实数根的充要条件是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据同一函数定义、反比例函数的单调性，结合复合函数定义域的性质、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，根据函数的图象可知， 在和上单调递减，故B正确； 对于C，在函数中，，则， 所以函数的定义域为，故C正确； 对于D，若方程有两个不等的正实数根， 则解得，故D正确． 故选：BCD 10. 下列命题为真命题的有（ ） A. 若是第一象限角，则 B. 终边经过点的角的集合是 C. 若，则恒成立 D. 若角，，则角的最大负角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由，得到，可判断，对于B，点的角的终边落在第一、三象限的角平分线上，即可判断，对于C，由同角三角函数平方关系，结合，即可判断，对于D，由即可判断. 【详解】对于A，若是第一象限角，则，，所以，． 当，时，，，为第一象限角； 当，时，，，为第三象限角． 所以是第一或第三象限角，故，故A正确． 对于B，终边经过点的角的终边落在第一、三象限的角平分线上， 即角的集合是，故B正确． 对于C，当时，，则恒成立，故C正确． 对于D，因为，， 所以当时，角的最大负角为，故D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合函数的图象，对数的运算性质、二次函数的对称性、对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】如图，作出函数的大致图象． 设．因为， 所以由图象可知，当时，直线与函数的图象有4个交点． 已知4个交点的横坐标分别为，且， 所以． 由关于直线对称，得，故A错误． 由，得，即，即， 所以，解得，故B正确． 由图象知，，则 ，故C正确． 由图象知，，即，得， 则， 因为函数在时，单调递减， 所以， 因此，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象关于点对称，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据即可求出. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，，所以，． 又因为，所以． 故答案为： 13. 已知函数是定义在上的奇函数，．若且，都有，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，即可判断为偶函数且在上单调递增，不等式即，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】设， 由且，， 得，所以在上单调递增． 因为为奇函数，所以， 所以，即为偶函数． 因为，所以， 所以不等式，即， 所以． 又因为在上单调递增，所以，即，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 14. 已知函数，．若，且，，使得成立，则的最大值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据的单调性求出，结合的单调性以及即可求出. 详解】． ∵函数在上单调递增，函数在上单调递减， ∴函数在上单调递增． ∴当时，，即． 因为，，使得成立， 所以， ， 由对勾函数的性质得，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为． 令，即，解得或， 则，故的最大值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，，其中． （1）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，由题意可得是的真子集，列不等式求参数范围； （2）根据原命题为真则否命题为假，计算时的取值范围，由（1）可得或，讨论、列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题意． “”是“”的必要而不充分条件，是的真子集． ，解得， 即实数的取值范围为； 【小问2详解】 若“，使得”是假命题，则． 由（1）得，或． ①当时，，解得，此时满足题意； ②当时，则，无解； 即当命题为假命题时，实数的取值范围为， ∴当命题为真命题时，实数的取值范围为． 16. 近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗．哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力．为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章（万件），其他成本为（万元），且经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完． （1）求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； （2）2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为4万件时，利润最大，最大为25万元 【解析】 【分析】（1）由题意，确定总收入为，再结合成本即可求解； （2）由（1）分段计算最值即可求解. 【小问1详解】 由题意，总收入为（万元）． 当时，； 当时，． 所以2026年的利润 【小问2详解】 当时，，当时，利润最大，最大为万元． 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，最大为25万元． 因为，所以年产量为4万件时，利润最大，最大为25万元． 17. 已知函数，． （1）当时，求函数的值域； （2）如果，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将函数解析式化简变形，再利用换元法以及二次函数性质求值域即可； （2）将不等式化简分离参数，再利用基本不等式求出最值即可求出实数的取值范围． 【小问1详解】 易知，， 则． 令．由，得， 则； 当，即时，； 当，即时，． 所以函数的值域为． 【小问2详解】 不等式，即． 令．由，得，则， 即． 令，，则． 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围是． 18. 已知函数的部分图象如图． （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象，先确定和周期，从而得到的值，再代入点，确定的值； （2）利用余弦函数的性质解不等式； （3）通过换元，将问题转化为二次函数，再通过分离参数讨论，求出参数的取值范围. 【小问1详解】 由图象可知，，周期，所以，所以． 代入的坐标，得，所以，， 解得，． 因为，所以令，则，所以． 【小问2详解】 由，得，即． 则有，，解得，， 所以不等式的解集为． 【小问3详解】 由， 得， 即方程在上有四个不同的实数根． 令，则． 由于，则．令，则， 如图， 所以． 要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根，所以． 当时，无解，所以，则． 令，则且，所以． 令，且，因为函数在上单调递减， 所以至多有一个实数根，不符合题意，所以． 当时，， ， 当且仅当时，等号成立，所以实数的取值范围是． 19. 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”. （1）试判断函数是否是“函数”，并说明理由； （2）若函数（其中为自然对数的底数，）为“函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为“函数”，且，求证：对任意，都有. 【答案】（1）是“L函数”，理由见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据“L函数”的定义分析判断即可； （2）由为“L函数”，可得，则，得，可得，得，从而可求出实数a的取值范围； （3）由函数f（x）为“L函数”，可得对任意整数，有，再讨论是否为整数，结合“L函数”定义即可证得，从而得出结论. 【小问1详解】 对于，当 时，，， 因为， 所以， 所以是“L函数”； 【小问2详解】 当 时，由是“L函数”，得 ，即对一切正数恒成立， 因为，所以对一切正数恒成立， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 由对一切正数恒成立， 所以，即， 综上可知，实数a的取值范围为； 【小问3详解】 因为函数f（x）为“L函数”， 所以对于任意正数都有，，且， 所以 所以对任意整数，有， 若 为整数，显然， 若 不为整数，设 , 则，，， 又因为 所以， 所以对任意，都有. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，然后结合已知条件求解即可，考查理解能力和运算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $