突破讲练二 鸡兔同笼问题（五大题型讲练+优选题拔尖练 共40题）-苏教版数学六年级下册专项培优讲练

该小学数学讲义以“鸡兔同笼问题”为核心，通过“知识点梳理-题型讲练-拔尖提升”三级体系构建知识框架，用步骤分解（如假设法四步解题）、对比表格（如列表法数据对比）呈现列表法、假设法、方程法的内在逻辑，明确各方法的适用场景与重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础列表法到综合分组法（如三种动物腿与翅膀问题），结合典例与变式训练（如竞赛得分方程题），培养学生推理意识与模型意识。优选题限时练习满足不同层次需求，助力教师精准教学，支持学生自主构建解决问题的策略体系。

突破讲练二 鸡兔同笼问题 （第三单元 解决问题的策略） 【解析版】 技巧点拨 1 知识点一：列表法 1 知识点二：假设法 知识点三：方程法 2 题型讲练 2 题型一：列表法解鸡兔同笼 2 题型二：假设法解鸡兔同笼 9 题型三：方程法解鸡兔同笼 11 题型四：用假设法解决含有两个未知量的实际问题 14 题型五：用分组法解鸡兔同笼问题 16 优选题拔尖练（限时30分钟） 18 知识点一：列表法 列表法解鸡兔同笼问题是一种通过列出鸡和兔不同数量组合，并计算对应腿的总数，从而找到符合题目条件的鸡兔数量的解题方法。 知识点二：假设法 1. 假设法 假设法是先将鸡兔同笼问题中的两个事物（鸡和兔）全部假设为同一事物，然后根据已知条件进行推理，通过比较假设情况与实际情况的差异来求解鸡和兔各自数量的方法。 2. 解题步骤 （1）进行假设 将鸡和兔这两个事物假设为其中一个，例如可以假设笼中全是鸡或者全是兔。 （2）计算假设总和 根据假设的情况和已知的头的总数，求出另一个属性（脚的数量）的假设总和。例如：已知笼子里鸡和兔共有8个头，若假设全是鸡，因为每只鸡有2只脚，所以全是鸡时脚的个数为2×8=16只；若假设全是兔，每只兔有4只脚，那么全是兔时脚的个数为4×8=32只。 （3）比较并计算差值 拿算出的假设脚的数量与实际脚的数量进行比较，计算出两者的差值，例如实际有26只脚，假设全是鸡时算出16只脚，相差26−16=10只脚。 （4）分析原因并求解 分析产生差值的原因，一只兔子看成一只鸡，会少4−2=2只脚，根据这个差值和每只鸡兔脚数的差异，就可以求出兔或鸡的数量，例如前面假设全是鸡时脚少了10只，一只兔子看成鸡少2只脚，所以兔的数量为10÷2=5只，进而鸡的数量为8−5=3只。 3. 注意事项 假设法需要已知两个事物（如鸡和兔）的两种属性（如头的数量和脚的数量）各自的总和，满足这样特征的问题才可以考虑用假设法求解。 知识点三：方程法 1. 方程法：方程法解鸡兔同笼问题是指通过设未知数，依据鸡兔的头和脚的数量关系建立方程，再求解方程得出鸡和兔各自数量的解题方法。 2. 解题步骤 （1）设未知数：有两种常见的设未知数方式，通常建议设脚数多的兔为未知数，这样在解方程过程中会更简便。 （2）找等量关系：根据鸡兔同笼问题的实际情况，等量关系为“鸡脚总数 + 兔脚总数 = 脚的总只数”。 （3）列方程：根据等量关系列出方程。 （4）解方程：运用等式的基本性质对方程进行求解。 （5）求出另一个未知数：将求出的x的值代入式子，从而得到鸡或兔的另一个数量。 3. 注意事项：方程法适用于所有鸡兔同笼问题及其变形问题，但要注意设脚数更多的动物为未知数。 题型一：列表法解鸡兔同笼 【典例精讲】仪器架上有大、小两种药水瓶18个，共装药水3000毫升。每个大瓶装药水250毫升，每个小瓶装药水100毫升。大、小药水瓶各有多少个？（在表中填一填，想一想，找出答案） 大药水瓶数/个 小药水瓶数/个 药水的毫升数/毫升 与3000毫升比较 【答案】大药水瓶：8个；小药水瓶：10个；填表见详解 【思路引导】根据题意，每个大药水瓶的容量×大药水瓶的个数＋每个小药水瓶的容量×小药水瓶的个数＝药水的毫升数，据此可以用分段举例的方法，可以先假设大药水瓶有2个，则小药水瓶有18－2＝16个，再根据等量关系算出此时药水的毫升数，再用减法求出与给出的药水总量3000毫升相差多少；据此用列表法求解，直到找出药水总量是3000毫升的药水瓶数即可。 【规范解答】①小药水瓶的个数：18－2＝16（个） 药水的毫升数：2×250＋16×100 ＝500＋1600 ＝2100（毫升） 2100＜3000 3000－2100＝900（毫升） ②小药水瓶的个数：18－4＝14（个） 药水的毫升数：4×250＋14×100 ＝1000＋1400 ＝2400（毫升） 2400＜3000 3000－2400＝600（毫升） ③小药水瓶的个数：18－6＝12（个） 药水的毫升数：6×250＋12×100 ＝1500＋1200 ＝2700（毫升） 2700＜3000 3000－2700＝300（毫升） ④小药水瓶的个数：18－8＝10（个） 药水的毫升数：8×250＋10×100 ＝2000＋1000 ＝3000（毫升） 3000＝3000 填表如下： 大药水瓶数/个 小药水瓶数/个 药水的毫升数/毫升 与3000毫升比较 2 16 2100 少900毫升 4 14 2400 少600毫升 6 12 2700 少300毫升 8 10 3000 相等 答：大药水瓶有8个，小药水瓶有10个。 【变式训练1】王叔叔用100个轮子装配自行车和三轮车，一共装配了38辆，王叔叔装配的三轮车和自行车各有多少辆？ 自行车辆数 三轮车辆数 轮子总个数 与100个轮子比较 （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） 王叔叔装配的自行车有（    ）辆，装配的三轮车有（    ）辆。 【答案】见详解 【思路引导】第一栏自行车24辆，三轮车14辆，轮子总数比100个少10个，说明自行车辆数多了；第二栏要减少自行车的辆数，增加三轮车的辆数；直到轮子数正好是100个，这样就能确定自行车和三轮车的辆数。 【规范解答】 自行车辆数 三轮车辆数 轮子总个数 与100个轮子比较 24 14 90 少10个 19 19 95 少5个 14 24 100 相等 王叔叔装配的自行车有14辆，装配的三轮车有24辆。 【变式训练2】动物园里有长颈鹿和鸵鸟共20只，一共有56只脚，长颈鹿和鸵鸟各有多少只？ （1）假设20只全部是长颈鹿，那么一共有（        ）只脚，就多了（        ）只脚；1只长颈鹿比1只鸵鸟多了（        ）只脚，也就是有（        ）÷2＝（        ）只（        ）。所以动物园里有（        ）只长颈鹿，（        ）只鸵鸟。 （2）假设20只中，一半是长颈鹿，一半是鸵鸟，请你在下面的表中根据脚的只数进行调整。 长颈鹿/只 鸵鸟/只 脚的总只数 和56只脚比较 10 10 由表可知：鸵鸟有（        ）只，长颈鹿有（        ）只。 【答案】（1）80；24；2；24；12；鸵鸟；8；12 （2）60；多4只 12；8 【思路引导】（1）1只长颈鹿有4只脚，1鸵鸟有2只脚，1只长颈鹿比1只鸵鸟多4－2＝2只脚。假设20只全部是长颈鹿，那么共有20×4＝80只脚，多出了（80－56）只脚，用多出的脚数除以1只长颈鹿比1只鸵鸟多的脚数即可求出鸵鸟有多少只，进而求出长颈鹿的数量。 （2）假设20只中，10只是长颈鹿，10只是鸵鸟，那么脚的总只数是（10×4＋10×2）只，即60只，比56多，就减少长颈鹿的数量，增加鸵鸟的数量，直到脚的总只数是56即可。 【规范解答】（1）假设20只全部是长颈鹿，那么 20×4＝80（只） 80－56＝24（只） 4－2＝2（只） 24÷2＝12（只） 20－12＝8（只） 即假设20只全部是长颈鹿，那么一共有80只脚，就多了24只脚；1只长颈鹿比1只鸵鸟多了2只脚，也就是有24÷2＝12只鸵鸟。所以动物园里有8长颈鹿，12只鸵鸟。 （2）假设20只中，一半是长颈鹿，一半是鸵鸟，那么共有： 10×4＋10×2 ＝40＋20 ＝60（只） 60－56＝4（只） 如果20只中，9只是长颈鹿，11只是鸵鸟，那么共有： 9×4＋11×2 ＝36＋22 ＝58（只） 58－56＝2（只） 如果20只中，8只是长颈鹿，12只鸵鸟，那么共有： 8×4＋12×2 ＝32＋24 ＝56（只） 长颈鹿/只 鸵鸟/只 脚的总只数 和56只脚比较 10 10 60 多4只 9 11 58 多2只 8 12 56 相等 由表可知：鸵鸟有12只，长颈鹿有8只。 【变式训练3】为缓解市区内道路交通压力，鼓励市民乘坐公共交通工具出行，市政府在郊区的地铁站周围建成了不少小型停车场。 （1）地铁2号线西流湖站的停车场内，车辆管理员查看了一下，共有电动车和小轿车17辆，共有50个轮子。这个停车场里的电动车和小轿车各有多少辆？（用列表法解决） 电动车/辆 小轿车/辆 总车轮数 （2）笑笑的爸爸每天开车上班，都要把车停在这个停车场，他停入车位的时间是13：30，当天17：30开车离开车位，一共需要交多少元停车费？ 停车时间 收费标准 白天（7：00～19：00） 1小时以内（含1时） 4元 超过1时的部分 每0.5时2.5元 夜间（19：00（不含）～次日7：00） 每次20元 【答案】（1）电动车9辆；小轿车8辆；见详解 （2）19元 【思路引导】（1）根据“电动车的数量×每辆电动车的轮子数量＋小轿车的数量×每辆小轿车的轮子数量＝电动车和小轿车轮子的总数量”，据此列表解答。 （2）笑笑的爸爸每天停入车位的时间是13：30～17：30，共停车4小时，按白天停车时间收费，4小时＞1小时，所以分两段收费： 第一段，停车1小时，收费4元； 第二段，停车超过1小时的部分，每0.5小时收2.5元，先看（4－1）小时里面有几个0.5小时，再乘2.5元，即是这一段的费用； 最后把这两段的停车费相加，就是一共需要交的停车费。 【规范解答】（1）假设电动车有1辆，小轿车有16辆，则轮子共有： 1×2＋16×4 ＝2＋64 ＝66（个） 假设电动车有3辆，小轿车有14辆，则轮子共有： 3×2＋14×4 ＝6＋56 ＝62（个） 假设电动车有5辆，小轿车有12辆，则轮子共有： 5×2＋12×4 ＝10＋48 ＝58（个） 假设电动车有7辆，小轿车有10辆，则轮子共有： 7×2＋10×4 ＝14＋40 ＝54（个） 假设电动车有9辆，小轿车有8辆，则轮子共有： 9×2＋8×4 ＝18＋32 ＝50（个） 如下表： 电动车/辆 小轿车/辆 总车轮数 1 16 66 3 14 62 5 12 58 7 10 54 9 8 50 答：这个停车场里的电动车有9辆，小轿车有8辆。 （2）17时30分－13时30分＝4小时 4＋（4－1）÷0.5×2.5 ＝4＋3÷0.5×2.5 ＝4＋6×2.5 ＝4＋15 ＝19（元） 答：一共需要交19元停车费。 题型二：假设法解鸡兔同笼 【典例精讲】两个大篮和三个小篮一共装了186千克，每个大篮比每个小篮多装18千克。假设都是大篮，装的总质量比186千克多( )千克，一个大篮可以装( )千克；假设都是小篮，装的总质量比186千克少( )千克，一个小篮可以装( )千克。 【答案】 54 48 36 30 【思路引导】假设都是大篮，把3个小篮换成3个大篮，每换1个就多装18千克，一共有3个小篮，就多装3个18千克，用18×3列式解答装的总质量比186千克多多少千克，此时的总质量是（2＋3）个大篮的质量，也就是两个大篮和三个小篮一共装的186千克与多装的3个18千克的和，用这个和除以（2＋3）就是一个大篮可以装的千克数；假设都是小篮，把2个大篮换成三个小篮，每换1个就少装18千克，一共有2个大篮，就少装2个18千克，列式为18×2，此时的总质量是186千克减去2个18千克，再除以小篮的个数（2＋3）即可解答。 【规范解答】18×3＝54（千克） （186＋54）÷（2＋3） ＝240÷5 ＝48（千克） 18×2＝36（千克） （186－36）÷（2＋3） ＝150÷5 ＝30（千克） 所以假设都是大篮，装的总质量比186千克多54千克，一个大篮可以装48千克，假设都是小篮，装的总质量比186千克少36千克，一个小篮可以装30千克。 【变式训练1】学校体育组这学期共买了20个篮球和足球，总价是1220元，已知篮球每个70元，足球每个40元，这20个球中有( )个篮球，( )个足球。 【答案】 14 6 【思路引导】根据鸡兔同笼问题，通过假设全部是足球，计算总价差值，再根据每个篮球与足球的差价，求出篮球数量，进而求出足球数量。 【规范解答】假设全部是足球，则总价为20×40＝800（元）。 实际总价为1220元，差值为1220－800＝420（元）。 每个篮球比足球贵70－40＝30（元） 所以篮球数量为420÷30＝14（个） 足球数量为20－14＝6（个） 因此，这20个球中有14个篮球，6个足球。 【变式训练2】光明小学六（2）班为跳绳比赛获奖的同学发奖品，有单价为6元和10元的两种笔记本，张老师买笔记本正好花了56元，可以有( )种不同的买法。 【答案】2 【思路引导】由题意张老师买笔记本正好花了56元，两种笔记本的单价分别是6元和10元，把两种笔记本看作“两种动物”，总价看作“总脚数”，单价看作“每只动物的脚数”，利用鸡兔同笼思想，通过假设法来分析。 【规范解答】设全部买的是10元的笔记本， 10×6＝60元，60＞56 所以最多买5本10元的笔记本。 假设买5本10元的：花费10×5＝50元，剩余56－50＝6元，6÷6＝1（本），即能买1本6元的，这是一种买法。 假设买4本10元的：花费10×4＝40元，剩余56－40＝16元，16÷6不是整数，不符合。 假设买3本10元的：花费10×3＝30元，剩余56－30＝26元，26÷6不是整数，不符合。 假设买2本10元的：花费10×2＝20元，剩余56－20＝36元，36÷6＝6（本），即能买6本6元的，这是第二种买法。 假设买1本10元的：花费10×1＝10元，剩余56－10＝46元，46÷6不是整数，不符合。 所以单价6元的买1本、10元的买5本；或单价6元的买6本、10元的买2本；所以共有2种购买方法。 所以可以有2种不同的买法。 【变式训练3】南北朝时期，中国出现了一部数学著作，它的作者是“孙子”， 在这部著作中最著名的一个问题就是“鸡兔同笼”问题。这个问题对整个世界的数学界都有很大影响。书中是这样记载的，“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下九十四足。问雉、兔各几何？”意思是说：现在笼子里有鸡（雉）和兔子在一起。从上面数一共有三十五个头，从下面数一共有九十四只脚，问一共有多少只鸡、多少只兔子？你会用两种不同的方法解决这个问题吗？ 【答案】鸡23只；兔子12只 【思路引导】解决“鸡兔同笼”问题，最常用的两种方法是算术法（假设法）和方程法。 方法一：算术法（假设法），假设全是鸡，若35只全是鸡，每只鸡2只脚，则总脚数为：35×2＝70（只）。实际总脚数是94只，比假设的70只多：94－70＝24（只）。每把1只兔当成1只鸡，会少算4－2＝2只脚（兔比鸡多2只脚）。因此，多出来的24只脚，是由“把兔当成鸡”导致的，兔子的数量为：24÷2＝12（只）。总只数是35只，减去兔子的12只，就是鸡的数量。 方法二：方程法，设兔子有x只，因为总头数是35只，所以鸡有（35－x）只。每只兔4只脚，共4x只兔的脚数，每只鸡2只脚，共2（35－x）只。总脚数是94只，根据“鸡的脚数＋兔的脚数＝总脚数”可列方程：4x＋2（35－x）＝94，然后解方程即可。 【规范解答】方法一：假设法，假设全是鸡。 35×2＝70（只） 94－70＝24（只） 4－2＝2（只） 24÷2＝12（只） 35－12＝23（只） 方法二：方程法 解：设兔子有x只。 4x＋2（35－x）＝94 4x＋70－2x＝94 2x＋70＝94 2x＝94－70 2x＝24 x＝24÷2 x＝12 35－12＝23（只） 答：鸡有23只，兔子有12只。 题型三：方程法解鸡兔同笼 【典例精讲】海亮小学2024年组织校级数学知识竞赛。共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答倒扣1分，小海同学最终得分76分，那么本次竞赛他答对( )题。 【答案】16 【思路引导】根据“共有20道题”，可以设小海答对题，则答错或不答的有（20－）题；根据“每一题答对得5分”可知答对的题得分是5分，根据“答错或不答倒扣1分”可知答错或不答的题扣分是（20－）×1分；得出等量关系：答对题的得分－答错或不答题的扣分＝总分，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设小海答对题，则答错或不答的有（20－）题。 5－（20－）×1＝76 5－20＋＝76 6－20＝76 6＝76＋20 6＝96 ＝96÷6 ＝16 那么本次竞赛他答对16题。 【变式训练1】小明把720毫升果汁倒入5个小杯和2个大杯，正好都倒满。一个大杯的容量是一个小杯容量的2倍，一个小杯和一个大杯的容量各是多少毫升？ 【答案】80毫升；160毫升 【思路引导】设一个小杯的容量是x毫升，则一个大杯的容量是2x毫升，根据小杯容量×小杯个数＋大杯容量×大杯个数＝果汁体积，列出方程求出x的值是小杯容量，小杯容量×2＝大杯容量。 【规范解答】解：设一个小杯的容量是x毫升。 5x＋2x×2＝720 5x＋4x＝720 9x＝720 9x÷9＝720÷9 x＝80 80×2＝160（毫升） 答：一个小杯和一个大杯的容量各是80毫升、160毫升。 【变式训练2】某小学46名师生去滨湖生态公园野营，一共租了10顶帐篷，正好全部住满。大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 【答案】大帐篷3顶；小帐篷7顶 【思路引导】大帐篷和小帐篷一共10顶，假设大帐篷有顶，则小帐篷有顶。大帐篷限住6人，小帐篷限住4人，可知大帐篷×6＋小帐篷×4＝总人数，据此列方程解答即可。 【规范解答】解：设大帐篷租了顶，则小帐篷租了顶。                                                                 小帐篷：（顶） 答：大帐篷租了3顶，小帐篷租了7顶。 【变式训练3】端午节东茂超市举办满赠活动。赵阿姨抢到了“满180减40元”和“满100减20元”的券共7张，满减后需个人支付800元。赵阿姨共抢到“满180减40元”和“满100减20元”的券各几张？请说明理由。 【答案】“满180减40元”券4张；“满100元减20元”券3张；理由见详解 【思路引导】设抢到“满180减40元”券有x张，则抢到“满100元减20元”券有（7－x）张；抢到“满180减40元”需要支付（180－40）x元，抢到“满100元减20元”需要支付（100－20）×（7－x）元；减满后需个人支付800元，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设抢到“满180减40元”有x张，则抢到“满100元减20元”有（7－x）张。 （180－40）x＋（100－20）×（7－x）＝800 140x＋80×（7－x）＝800 140x＋80×7－80x＝800 60x＋560＝800 60x＝800－560 60x＝240 x＝240÷60 x＝4 7－4＝3（张） 答：赵阿姨共抢到“满180减40元”的券4张，“满100减20元”的券3张。 题型四：用假设法解决含有两个未知量的实际问题 【典例精讲】先填空，再解答。 (1)假设黄气球、蓝气球都与红气球的个数同样多，三种气球一共有( )个。 (2)你能算出三种气球各有多少个吗？ 【答案】(1)210 (2)红气球70个，黄气球115个，蓝气球130个 【思路引导】（1）假设黄气球、蓝气球都与红气球的个数同样多，则要从总数315中，将黄气球、蓝气球比红气球多的数量去掉，用315减去45和60即可。 （2）用（1）中所求的假设的总数除以3，求出红气球的数量，分别加上45、60即可求得黄气球和蓝气球的数量。 【规范解答】（1）315－45－60 ＝270－60 ＝210（个） 则三种气球一共有210个。 （2）210÷3＝70（个） 70＋45＝115（个） 70＋60＝130（个） 答：红气球有70个，黄气球有115个，蓝气球有130个。 【变式训练1】某饮品店有大、小两种规格的饮料杯，3小杯正好可以装满1大杯，1800毫升的饮料正好可以装满4个小杯和2个大杯。一个大杯的容量是 毫升，一个小杯的容量是 毫升；1800毫升饮料如果全部装进大杯里，至少要 大杯。 【答案】 540 180 4 【思路引导】3小杯正好可以装满1大杯，即1大杯相当于3小杯，则2个大杯相当于6个（3×2＝6）小杯；1800毫升的饮料正好可以装满4个小杯和2个大杯，即可以装满10个（4＋6＝10）小杯，求出1个小杯的容量为1800÷10＝180（毫升），1个大杯的容量为180×3＝540（毫升）。 1800毫升饮料如果全部装进大杯里，用总容量除以大杯的容量即可求出所需大杯数量，由于剩余部分也需要1个大杯来装，所以采用“进一法”取整，据此解答。 【规范解答】3×2＝6（个） 4＋6＝10（个） 1800÷10＝180（毫升） 180×3＝540（毫升） 1800÷540≈4（个） 因此，一个大杯的容量是540毫升，一个小杯的容量是180毫升；1800毫升饮料如果全部装进大杯里，至少要4大杯。 【变式训练2】如下图每个大筐比每个小筐多装10千克。 (1)如果都换成大筐，总数比原来多了( )千克。 (2)如果都换成小筐，总数比原来的少了( )千克。 【答案】(1)20(2)30 【思路引导】（1）如果都换成大筐，即2个小筐换成2个大筐，已知每个大筐比每个小筐多装10千克，根据乘法的意义，用10乘2即可求出总数比原来多了多少千克。 （2）如果都换成小筐，即3个大筐换成3个小筐，每个小筐比每个大筐少装10千克，用10乘3即可求出总数比原来少了多少千克。 【规范解答】（1）10×2＝20（千克），则总数比原来多了20千克。 （2）10×3＝30（千克），则总数比原来的少了30千克。 【变式训练3】商店里运来苹果、梨和橘子共730千克，梨比苹果多50千克，橘子比苹果多80千克，苹果有多少千克？梨有多少千克？橘子呢？ 【答案】200千克；250千克；280千克 【思路引导】假设梨、橘子都和苹果一样多，则水果的总千克数是730－50－80＝600千克，用600÷3＝200千克即可求出苹果的千克数；再根据梨比苹果多50千克，用200＋50求出梨的千克数，根据橘子比苹果多80千克，用200＋80求出橘子的千克数。据此解答。 【规范解答】假设梨、橘子都和苹果一样多： 苹果： （730－50－80）÷3 ＝600÷3 ＝200（千克） 梨：200＋50＝250（千克） 橘子：200＋80＝280（千克） 答：苹果有200千克，梨有250千克，橘子有280千克。 题型五：用分组法解鸡兔同笼问题 【典例精讲】有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？ 【答案】7只 【思路引导】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）. 【规范解答】解：假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有腿：6×18=108（条） 有蜘蛛： （118-108）÷（8-6）=5（只） 蜻蜓、蝉一共有： 18-5=13（只） 假设蜻蜓也是一对翅膀，应该有翅膀：1×13=13（对） 蜻蜓：20-13）÷ 2-1）= 7（只） 答：蜻蜓有7只. 【变式训练1】鸡、兔共有130条腿，鸡比兔多5只，鸡和兔各有多少只？ 【答案】兔：20只    鸡：25只 【思路引导】假设鸡减少5只，则鸡兔只数相同，此时一共有130-5×2=120条腿，将一鸡一兔捆绑在一起，则每一份有6条腿，120÷6=20份，即兔有20只，鸡有20+5=25只． 【规范解答】解：假设鸡减少5只，则鸡兔只数相同． 兔：（130-5×2）÷（4+2）=20（只） 鸡：20+5=25（只） 【变式训练2】赵会计去银行取2000元补助费，他只想要2元、5元、10元的人民币，并想使2元、5元的人民币张数相等，且总张数为213张，那么2元、5元、10元的人民币各有多少张？ 【答案】2元、5元各有10张，10元的有193张 【思路引导】本题有3个未知数，由于2元、5元的张数相等，实际上有两个未知数，如果假设这个213张都是2元的，那么减少的2000－2×213=1574（元）钱里面既有5元变成2元减少的，也有10元变成2元减少的，同时又没有其他已知条件，这样是无法解答的，如果假设这213张人民币都是5元的，同上面的分析一样，这道题也无法解答． 如果假设这213张人民币都是10元的，那么多出的10×213－2000=130（元）钱里面既有2元变成10元而增加的，也有5元钱变成10元而增加的，由于2元的张数与5元的同样多，所以我们把1张2元和1张5元的合在一起看成1份，这1份有2+5=7（元），假设变成10元后，这1份是10×2=20（元），每份增加了20－7=13（元），一共增加130元，就可以求出有130÷13=10（张），也就是求出了2元、5元各有10张，用213－10×2=193（张），这就是10元的张数． 【规范解答】解：2元、5元的张数：（10×213－2000）÷（10×2－2－5）=（2130－2000）÷（20－7）=130÷13=10（张） 10元的张数：213－10×2=193（张） 答：2元、5元各有10张，10元的有193张． 【变式训练3】有16位教授，他们之中有人带1个研究生，有人带2个研究生，也有人带3个研究生，其中带1个研究生的教授人数与带2个和3个研究生的教授总数的比是1：1，经统计他们共带了27个研究生．问：带2个研究生的教授有几人？ 【答案】答：带2个研究生的教授有5人． 【规范解答】试题分析：先把16位教授平均分成2部分，第一部分带1个研究生，另一部分带2和3个研究生，每一部分有8人；这样第一部分就带了8个研究生，第二部分一共带27﹣8=19个研究生；再根据研究生和教授的人数进行讨论． 解：16÷2=8（人）， 8个教授带1个研究生，8个教授带2个或3个研究生；那么后8个教授共带的研究生数是： 27﹣8×1=19（个）， 假设8个教授都带3个研究生，那么就应该有： 3×8=24（个）， 缺了：24﹣19=5（个）； 把带两个研究生的教授算成带三个的了，相差了： 3﹣2=1（人）， 所以带2个研究生的教授有： 5÷1=5（人）． 答：带2个研究生的教授有5人． 点评：先求出带2个和3个研究生的教授一共带的研究生数，再根据研究生的人数差来求解． 1．有5个大盒和2个小盒共装了190个球，1个大盒比1个小盒多装10个。假设7个都是大盒，装球的个数会怎么样？（    ） A．比190个多20个 B．比190个少50个 C．比190个少20个 D．不变 【答案】A 【思路引导】假设7个都是大盒，相当于把原来的2个小盒全部换成大盒。已知1个大盒比1个小盒多装10个，那么替换后装球的总个数会比原来的190个多，多出的数量就是2个大盒比2个小盒多装的数量，据此分析解答。 【规范解答】2个大盒比2个小盒多装的个数：10×2＝20（个） 假设7个都是大盒，装球的个数比190个多20个。 故答案为：A 2．在小学数学的学习中，我们经常用一些巧妙的方法，将看似复杂的问题化繁为简。以下几个常见的问题中，哪个不能使用“假设法”来解决？（    ） A．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只？ B．已知（a、b、c均不为0），将a、b、c按从大到小的顺序排列。 C．单独做一项工作，甲需要5天，乙需要4天，两人合作需要几天？ D．一个三角形的面积是48cm2，底是10cm，高是多少？ 【答案】D 【思路引导】鸡兔同笼问题，可以通过假设全是鸡或者全是兔，通过脚的数量差异计算鸡兔数量，属于假设法的应用； 假设a×＝b×＝c×的乘积都为1，直接计算出a、b、c的值，再进行比较即可； 假设工作总量为单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，求出甲、乙的工作效率后，再求出两人的合作效率，最后求出两人合作所需的时间； 已知三角形的面积和底，求高，根据三角形的面积公式：底×高÷2，直接可以求出三角形的高，据此解答。 【规范解答】A．鸡兔同笼问题中，假设全是鸡或全是兔，如假设全是鸡，脚的数为35×2＝70（只），比实际少94－70＝24（只），每只兔比鸡多4－2＝2（只）脚，兔的数量为24÷2＝12（只），鸡的数量为35－12＝23（只），可以用假设法； B．假设等式结果为1，a×＝1，a＝1÷＝1×2＝2，b×＝1，b＝1÷＝1×3＝3，c×＝1，c＝1÷＝1×4＝4，4＞3＞2，则c＞b＞a，可以用假设法； C．假设工作总量为1，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，甲效率为1÷5＝，乙效率为1÷4＝，合作效率为：＋＝＋＝，合作时间为：1÷＝1×＝（天），可以用假设法； D．根据三角形的面积＝底×高÷2，已知面积和底求高时，直接通过公式变形：高＝面积×2÷底，48×2÷10＝96÷10＝9.6（cm），直接公式计算，不可用假设法。 故答案为：D 3．一个水族箱里有8条腕足的章鱼和10条腕足的鱿鱼共20只。如果它们的腕足总共有186条，那么章鱼有（    ）只。 A．7 B．13 C．2 【答案】A 【思路引导】由题目可知章鱼腕足数加鱿鱼条数等于186，所以设章鱼有只，那么鱿鱼有（）只，据此列出方程即可，据此解答。 【规范解答】解：设章鱼有只，鱿鱼有（）只。                                                                                 故答案为：A 4．有6张桌子可以下跳棋和象棋，跳棋1张桌子6人，象棋1张桌子2人，共有28人下跳棋和象棋，其中（    ）人下跳棋，（    ）人下象棋。 A．24；4 B．24；6 C．6；4 D．2；4 【答案】A 【思路引导】属于“鸡兔同笼”的题，使用假设法做，可以假设6张桌子都用来下跳棋，则假设的总人数就为桌子的总数量乘下跳棋的1张桌子的人数，而实际人数与假设人数相差的部分就是实际下跳棋的桌子比实际下象棋的桌子多的人数，两个量相除即为下象棋的桌子数，用总桌子数减去下象棋的桌子数就可以求出下跳棋的桌子数，最后用下跳棋的1张桌子的人数乘下跳棋的桌子数，用下象棋的1张桌子的人数乘下象棋的桌子数即可解答。 【规范解答】假设6张桌子都用来下跳棋： （人） （人） （张） （人） （张） （人） 故答案为：A 5．快递公司为客户运送500只玻璃杯。为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱。如果快递公司共得运费87元，请问快递公司至少损坏（    ）。 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【思路引导】本题可通过假设法，先算出全部不损坏时的运费，再对比实际运费，结合损坏一只玻璃杯少得的费用，进而求出损坏的玻璃杯数量。 【规范解答】 假设500只玻璃杯都没损坏，可得运费：（元） 实际运费是87元，少得的运费：（元） 每损坏1只，不仅拿不到0.2元运费，还要赔偿0.8元，总共损失：（元） 损坏的玻璃杯数量：（只） 故答案为：D 6．钢笔每支12元，圆珠笔每支7元，一共买了6支笔，用了52元，钢笔买了（    ）支。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】假设都买钢笔，则需要12×6＝72元，每支圆珠笔多算了12－7＝5元，所以，圆珠笔的支数＝（假设的金额－实际的金额）÷两支笔的差价，据此列式计算。 【规范解答】12×6＝72（元） 12－7＝5（元） （72－52）÷5 ＝20÷5 ＝4（支） 6－4＝2（支） 所以，钢笔买了2支。 故答案为：B 【考点再现】此类题可以假设全部为其中一种，然后根据差距与实际情况求解。 7．数学竞赛共10道题，做对一题得8分，做错一题（或不做）倒扣5分，小明得41分，他共做错（或不做）了（    ）道题。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】根据题意，假设10道题全做对，则得（分），这样就少得（分）；实际做错一题比做对一题少（分），那么做错的题数（道），据此解答。 【规范解答】假设全部做对，那么答错（或不做）的题数： （道） 数学竞赛共10道题，做对一题得8分，做错一题（或不做）倒扣5分，小明得41分，他共做错（或不做）了（3）道题。 故答案为：B 【考点再现】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。 8．一个笼子里有8条腿的蜘蛛和6条腿的蚱蜢共25只。如果它们的总数有170条，那么蜘蛛和蚱蜢各有（    ）只。 A．10，15 B．10，12 C．12，15 【答案】A 【思路引导】假设笼子里都是蚱蜢，那么就有25×6＝150（条）腿，这样实际就比假设多170－150＝20（条）腿；因为一只蜘蛛比一只蚱蜢多8－6＝2（条）腿，所以就有20÷2＝10（只）蜘蛛；进而求得蚱蜢的只数。 【规范解答】蜘蛛：（170－25×6）÷（8－6） ＝20÷2 ＝10（只） 蚱蜢：25－10＝15（只） 蜘蛛有10只，蚱蜢有15只。 故答案为：A。 【考点再现】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设法，也可以用方程进行解答。 9．校足球队买了20套训练服和12套比赛服，共付4680元。每套训练服比每套比赛服便宜70元，每套训练服( )元，每套比赛服( )元。 【答案】 120 190 【思路引导】可通过假设法解题。先根据“每套训练服比比赛服便宜70元”，假设购买的20套训练服全部换成比赛服，这样总价会增加20×70＝1400（元），此时总价格变为4680＋1400＝6080（元），对应的服装总数量是20＋12＝32（套），这32套全部为比赛服，用调整后的总价除以总数量就能算出比赛服的单价，再用比赛服的单价减去70元，即可得到训练服的单价。 【规范解答】假设购买的20套训练服全部换成比赛服。 （4680＋20×70）÷（20＋12） ＝（4680＋1400）÷32 ＝6080÷32 ＝190（元） 训练服：190－70＝120（元） 每套训练服120元，每套比赛服190元。 10．某学校有30间宿舍，全部住满，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人。已知这些宿舍中共住了168人，其中有( )间大宿舍。 【答案】24 【思路引导】假设30间全是小宿舍，每间住 4 人，则总人数为：（人），实际住了 168 人，比假设的总人数多：（人）； 每间大宿舍比小宿舍多住：（人），多出来的 48 人，需要通过大宿舍来补足，因此大宿舍数量为：（间） 【规范解答】由分析可得： 某学校有30间宿舍，全部住满，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人。已知这些宿舍中共住了168人，其中有24间大宿舍。 11．奇思储蓄罐里五角和一元的硬币共有40枚，价值25元，五角硬币共有( )枚。 【答案】30 【思路引导】设五角硬币共有x枚，则一元的硬币有（40－x）枚，五角＝0.5元，根据五角硬币的数量×0.5元＋一元硬币的数量×1元＝25元，列出方程求出x的值即可。 【规范解答】解：设五角硬币共有x枚。 0.5x＋（40－x）×1＝25 0.5x＋40－x＝25 40－0.5x＝25 40－0.5x＋0.5x＝25＋0.5x 25＋0.5x＝40 25＋0.5x－25＝40－25 0.5x＝15 0.5x÷0.5＝15÷0.5 x＝30 五角硬币共有30枚。 12．红旗小学六（1）班王老师、李老师带领45个学生去公园春游，大船每条船坐7人，小船每条船坐4人，共有8条船，则大船有 条，小船有 条。 【答案】 5 3 【思路引导】由题意可知，总人数是（45＋2）人，把大船的数量设为未知数，小船的数量＝船的总数量－大船的数量，等量关系式：大船的数量×每条大船坐的人数＋小船的数量×每条小船坐的人数＝总人数，据此列方程解答。 【规范解答】解：设大船有条，则小船有条。 8－5＝3（条） 所以，大船有5条，小船有3条。 13．小明用A、B两种积木相接但没有规律地拼成一个大长方体（如图），已知大长方体的长是26厘米，一共用了10块积木，那么A积木用了( )块。 【答案】6 【思路引导】假设全部用的B积木拼搭，则大长方体长度为（2×10）厘米，比实际长度26厘米短了（26－2×10）厘米，是因为每块A积木比B积木长（3－2）厘米，用比实际长度26厘米短的长度除以每块A积木比B积木长的部分即是A积木使用的块数，据此解答。 【规范解答】（26－2×10）÷（3－2） ＝（26－20）÷1 ＝6÷1 ＝6（块） A积木用了6块。 【考点再现】本题的关键是用假设法，设都是A积木或都是B积木，然后根据多或少的长度，求出一种积木的块数，再求另一种积木的块数。 14．有3个小杯和2个大杯，一共能装880毫升。 (1)每个小杯比大杯少140毫升，大杯和小杯的容量各是多少毫升？ (2)大杯的容量是小杯的4倍，大杯和小杯的容量各是多少毫升？ 【答案】(1) 大杯容量260毫升；小杯容量120毫升 (2) 大杯容量320毫升；小杯容量80毫升 【思路引导】（1）把所有杯子都假设成小杯。因为每个大杯比小杯多140毫升，所以2个大杯换成小杯后，总容量会减少2个140毫升，此时总容量对应的就是（3＋2）个小杯的容量，用减少后的总容量除以小杯总数，就能得到小杯的容量，再加上140毫升就是大杯的容量。 （2）把所有杯子都换算成小杯来计算。1个大杯相当于4个小杯，那么2个大杯就相当于4×2＝8个小杯，这样总容量就对应（3＋8）个小杯的容量，用总容量除以总小杯数，就能得到小杯的容量，再乘4就是大杯的容量。 【规范解答】（1）880－140×2 ＝880－280 ＝600（毫升） 600÷（3＋2） ＝600÷5 ＝120（毫升） 120＋140＝260（毫升） 答：大杯的容量是260毫升，小杯的容量是120毫升。 （2）3＋4×2 ＝3＋8 ＝11（杯） 880÷11＝80（毫升） 80×4＝320（毫升） 答：大杯的容量是320毫升，小杯的容量是80毫升。 15．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，一支小学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【答案】9场 【思路引导】鸡兔同笼问题，可采用假设法解题。 已知：足球队参加了15场比赛，负了4场，假设其余都胜利，即胜利：15－4＝11（场），应得分：11×3＝33分。又知：胜一场记3分，平一场记1分，所以将一场平局算作一场胜利的话，总分会多：3－1＝2（分）。假设的得分33分与实际得分29分，相差几个2分，就说明将几场平局算成了胜利，据此分析即可 【规范解答】假设足球队负了4场其余都胜利 应得： （15－4）×3 ＝11×3 ＝33（分） 平的场数： （33－29）÷（3－1） ＝4÷2 ＝2（场） 胜的场数： 15－4－2 ＝11－2 ＝9（场） 答：这支球队胜了9场。 16．松鼠妈妈采松子。晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，问这几天当中有几天是雨天？ 【答案】6天 【思路引导】先用总采量除以平均每天采量求出总天数为8天。设雨天有天，则晴天为（）天，根据总采量112个列方程求解。 【规范解答】总天数：（天） 解：设雨天有天，则晴天为（）天。 答：这几天当中有6天是雨天。 17．你知道我国银行残币兑换的方法吗？一起来看看吧！ 某银行的一家分行全额兑换和半额兑换100元的残币共32张，一共支付了2300元。在兑换的100元残币中，全额兑换的有多少张？ 全额兑换：能辨别面额，票面剩余四分之三（含四分之三）以上，其图案和字能按原样连接的残缺、污损人民币。半额兑换：能辨别面额，票面剩余二分之一（含二分之一）至四分之三以下，其图案和文字能按原样连接的残缺、污损人民市。（全额兑换指残损100元兑换100元；半额兑换指残损100元兑换50元） 【答案】14张 【思路引导】这道题可以运用假设法来求解。先假设所有残币都是半额兑换的，算出此时应支付的金额，与实际支付金额对比，找出差异。全额兑换100元残币得100元，半额兑换得50元，所以每张全额兑换比半额兑换多100－50＝50元，根据全额兑换和半额兑换金额的差值，用除法计算，求出全额兑换的张数。 【规范解答】假设全是半额兑换的残币。 50×32＝1600（元） 2300－1600＝700（元） 全额兑换的张数： 700÷（100－50） ＝700÷50 ＝14（张） 答：全额兑换的有14张。 18．六1班两位老师带42名学生去划船，租10条船正好坐满。每条大船坐5人，每条小船坐3人。租的大船、小船各有多少条？ 【答案】大船7条；小船3条 【思路引导】两位老师带42名学生去划船，一共有2＋42＝44（人）。假设租的10条船都是大船，一共可以坐10×5＝50（人），比实际人数多50－44＝6（人）。这是因为把小船当作大船来算，每条小船多算了5－3＝2（人），那么用6除以2即可求出小船的条数。再用10减去租小船的条数，即可求出租大船的条数。 【规范解答】假设租的10条船都是大船。 42＋2＝44（人） 10×5＝50（人） 小船：（50－44）÷（5－3） ＝6÷2 ＝3（条） 大船：10－3＝7（条） 答：租大船7条，小船3条。 19．张师傅1小时的工作量小李要做2小时，而小李4小时的工作量小王要做5小时。现在张师傅做了8小时，小李做了12小时，小王做了10小时，师徒三人一共加工了1080个零件。他们每小时各加工多少个零件？ 【答案】 小李：30个；张师傅：60个；小王：24个。 【思路引导】张师傅1小时的工作量小李要做2小时，则张师傅8小时的工作量小李要做（8×2）小时；小李4小时的工作量小王要做5小时，则小王10小时的工作量小李要做（10÷5×4）小时。假设1080个零件全部由小李做，小李一共要做（8×2＋12＋10÷5×4）小时，由此可求出小李每小时加工的零件个数，然后用小李每小时加工的零件个数×2可得出张师傅每小时加工的零件个数、用小李每小时加工的零件个数×4÷5可得出小王每小时加工的零件个数。 【规范解答】小李： （个） 张师傅：（个） 小王：（个） 答：小李每小时加工30个零件，张师傅每小时加工60个零件，小王每小时加工24个零件。 【考点再现】根据题中数量关系把张师傅、小王的工作时间转变成小李的工作时间。 20．某公司以每吨500元的价格收购了100吨某种药材原料、该公司决定加工成成品再出售，相关信息如下表（注：出品率；加工后的废品不产生效益） 工艺 每天可加工药材的吨数 出品率 售价/（元/吨） 粗加工 13 80% 5000 精加工 8 60% 9000 （1）如果将100吨药材原料全部进行粗加工，能加工成多少吨成品药材？ （2）如果将100吨药材原料精加工后全部出售，一共可以获得利润多少元？ （3）根据市场对成品药材的需要，该公司确定了如下方案：先部分粗加工，再将剩余部分精加工，刚好10天完成对该批药材原料的加工，求精加工了多少吨药材原料？ 【答案】（1）80吨（2）490000元（3）48吨 【思路引导】（1）粗加工的出品率80%，表示加工的成品药材是原材料的80%，据此用100吨乘80%即可求出能加工成多少吨成品药材。 （2）精加工的出品率是60%，先用100乘60%求出能加工成的成品药材的吨数，再乘每吨的单价求出成品药材的售价，最后再减去原材料的进价500×100＝50000（元）即可求出利润。 （3）本题属于鸡兔同笼问题。假设这10天全部进行粗加工，则一共可以加工13×10＝130（吨），比实际的药材原材料多130－100＝30（吨），这是因为把精加工的天数当作粗加工，粗加工每天比精加工多13－8＝5（吨），则精加工的天数为30÷5＝6（天）。精加工每天可加工药材原料8吨，用8乘6即可求出精加工了多少吨药材原料。 【规范解答】（1）100×80%＝80（吨） 答：能加工成80吨成品药材。 （2）500×100＝50000（元） 100×60%×9000＝540000（元） 540000－50000＝490000（元） 答：一共可以获得利润490000元。 （3）假设这10天全部进行粗加工。 13×10＝130（吨） 130－100＝30（吨） 精加工的天数：30÷（13－8）＝6（天） 8×6＝48（吨） 答：精加工了48吨药材原料。 【考点再现】本题考查百分率问题、经济问题和鸡兔同笼问题的综合应用。要熟练掌握出品率、利润的意义等相关知识和鸡兔同笼问题的解题方法并灵活运用。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 突破讲练二 鸡兔同笼问题 （第三单元 解决问题的策略） 【原卷版】 技巧点拨 1 知识点一：列表法 1 知识点二：假设法 知识点三：方程法 2 题型讲练 2 题型一：列表法解鸡兔同笼 2 题型二：假设法解鸡兔同笼 4 题型三：方程法解鸡兔同笼 5 题型四：用假设法解决含有两个未知量的实际问题 6 题型五：用分组法解鸡兔同笼问题 7 优选题拔尖练（限时30分钟） 8 知识点一：列表法 列表法解鸡兔同笼问题是一种通过列出鸡和兔不同数量组合，并计算对应腿的总数，从而找到符合题目条件的鸡兔数量的解题方法。 知识点二：假设法 1. 假设法 假设法是先将鸡兔同笼问题中的两个事物（鸡和兔）全部假设为同一事物，然后根据已知条件进行推理，通过比较假设情况与实际情况的差异来求解鸡和兔各自数量的方法。 2. 解题步骤 （1）进行假设 将鸡和兔这两个事物假设为其中一个，例如可以假设笼中全是鸡或者全是兔。 （2）计算假设总和 根据假设的情况和已知的头的总数，求出另一个属性（脚的数量）的假设总和。例如：已知笼子里鸡和兔共有8个头，若假设全是鸡，因为每只鸡有2只脚，所以全是鸡时脚的个数为2×8=16只；若假设全是兔，每只兔有4只脚，那么全是兔时脚的个数为4×8=32只。 （3）比较并计算差值 拿算出的假设脚的数量与实际脚的数量进行比较，计算出两者的差值，例如实际有26只脚，假设全是鸡时算出16只脚，相差26−16=10只脚。 （4）分析原因并求解 分析产生差值的原因，一只兔子看成一只鸡，会少4−2=2只脚，根据这个差值和每只鸡兔脚数的差异，就可以求出兔或鸡的数量，例如前面假设全是鸡时脚少了10只，一只兔子看成鸡少2只脚，所以兔的数量为10÷2=5只，进而鸡的数量为8−5=3只。 3. 注意事项 假设法需要已知两个事物（如鸡和兔）的两种属性（如头的数量和脚的数量）各自的总和，满足这样特征的问题才可以考虑用假设法求解。 知识点三：方程法 1. 方程法：方程法解鸡兔同笼问题是指通过设未知数，依据鸡兔的头和脚的数量关系建立方程，再求解方程得出鸡和兔各自数量的解题方法。 2. 解题步骤 （1）设未知数：有两种常见的设未知数方式，通常建议设脚数多的兔为未知数，这样在解方程过程中会更简便。 （2）找等量关系：根据鸡兔同笼问题的实际情况，等量关系为“鸡脚总数 + 兔脚总数 = 脚的总只数”。 （3）列方程：根据等量关系列出方程。 （4）解方程：运用等式的基本性质对方程进行求解。 （5）求出另一个未知数：将求出的x的值代入式子，从而得到鸡或兔的另一个数量。 3. 注意事项：方程法适用于所有鸡兔同笼问题及其变形问题，但要注意设脚数更多的动物为未知数。 题型一：列表法解鸡免同笼 【典例精讲】仪器架上有大、小两种药水瓶18个，共装药水3000毫升。每个大瓶装药水250毫升，每个小瓶装药水100毫升。大、小药水瓶各有多少个？（在表中填一填，想一想，找出答案） 大药水瓶数/个 小药水瓶数/个 药水的毫升数/毫升 与3000毫升比较 【变式训练1】王叔叔用100个轮子装配自行车和三轮车，一共装配了38辆，王叔叔装配的三轮车和自行车各有多少辆？ 自行车辆数 三轮车辆数 轮子总个数 与100个轮子比较 （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） 王叔叔装配的自行车有（    ）辆，装配的三轮车有（    ）辆。 【变式训练2】动物园里有长颈鹿和鸵鸟共20只，一共有56只脚，长颈鹿和鸵鸟各有多少只？ （1）假设20只全部是长颈鹿，那么一共有（        ）只脚，就多了（        ）只脚；1只长颈鹿比1只鸵鸟多了（        ）只脚，也就是有（        ）÷2＝（        ）只（        ）。所以动物园里有（        ）只长颈鹿，（        ）只鸵鸟。 （2）假设20只中，一半是长颈鹿，一半是鸵鸟，请你在下面的表中根据脚的只数进行调整。 长颈鹿/只 鸵鸟/只 脚的总只数 和56只脚比较 10 10 由表可知：鸵鸟有（        ）只，长颈鹿有（        ）只。 【变式训练3】为缓解市区内道路交通压力，鼓励市民乘坐公共交通工具出行，市政府在郊区的地铁站周围建成了不少小型停车场。 （1）地铁2号线西流湖站的停车场内，车辆管理员查看了一下，共有电动车和小轿车17辆，共有50个轮子。这个停车场里的电动车和小轿车各有多少辆？（用列表法解决） 电动车/辆 小轿车/辆 总车轮数 （2）笑笑的爸爸每天开车上班，都要把车停在这个停车场，他停入车位的时间是13：30，当天17：30开车离开车位，一共需要交多少元停车费？ 停车时间 收费标准 白天（7：00～19：00） 1小时以内（含1时） 4元 超过1时的部分 每0.5时2.5元 夜间（19：00（不含）～次日7：00） 每次20元 题型二：假设法解鸡免同笼 【典例精讲】两个大篮和三个小篮一共装了186千克，每个大篮比每个小篮多装18千克。假设都是大篮，装的总质量比186千克多( )千克，一个大篮可以装( )千克；假设都是小篮，装的总质量比186千克少( )千克，一个小篮可以装( )千克。 【变式训练1】学校体育组这学期共买了20个篮球和足球，总价是1220元，已知篮球每个70元，足球每个40元，这20个球中有( )个篮球，( )个足球。 【变式训练2】光明小学六（2）班为跳绳比赛获奖的同学发奖品，有单价为6元和10元的两种笔记本，张老师买笔记本正好花了56元，可以有( )种不同的买法。 【变式训练3】南北朝时期，中国出现了一部数学著作，它的作者是“孙子”， 在这部著作中最著名的一个问题就是“鸡兔同笼”问题。这个问题对整个世界的数学界都有很大影响。书中是这样记载的，“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下九十四足。问雉、兔各几何？”意思是说：现在笼子里有鸡（雉）和兔子在一起。从上面数一共有三十五个头，从下面数一共有九十四只脚，问一共有多少只鸡、多少只兔子？你会用两种不同的方法解决这个问题吗？ 题型三：方程法解鸡免同笼 【典例精讲】海亮小学2024年组织校级数学知识竞赛。共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答倒扣1分，小海同学最终得分76分，那么本次竞赛他答对( )题。 【变式训练1】小明把720毫升果汁倒入5个小杯和2个大杯，正好都倒满。一个大杯的容量是一个小杯容量的2倍，一个小杯和一个大杯的容量各是多少毫升？ 【变式训练2】某小学46名师生去滨湖生态公园野营，一共租了10顶帐篷，正好全部住满。大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 【变式训练3】端午节东茂超市举办满赠活动。赵阿姨抢到了“满180减40元”和“满100减20元”的券共7张，满减后需个人支付800元。赵阿姨共抢到“满180减40元”和“满100减20元”的券各几张？请说明理由。 题型四：用假设法解决含有两个未知量的实际问题 【典例精讲】先填空，再解答。 (1)假设黄气球、蓝气球都与红气球的个数同样多，三种气球一共有( )个。 (2)你能算出三种气球各有多少个吗？ 【变式训练1】某饮品店有大、小两种规格的饮料杯，3小杯正好可以装满1大杯，1800毫升的饮料正好可以装满4个小杯和2个大杯。一个大杯的容量是 毫升，一个小杯的容量是 毫升；1800毫升饮料如果全部装进大杯里，至少要 大杯。 【变式训练2】如下图每个大筐比每个小筐多装10千克。 (1)如果都换成大筐，总数比原来多了( )千克。 (2)如果都换成小筐，总数比原来的少了( )千克。 【变式训练3】商店里运来苹果、梨和橘子共730千克，梨比苹果多50千克，橘子比苹果多80千克，苹果有多少千克？梨有多少千克？橘子呢？ 题型五：用分组法解鸡兔同笼问题 【典例精讲】有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？ 【变式训练1】鸡、兔共有130条腿，鸡比兔多5只，鸡和兔各有多少只？ 【变式训练2】赵会计去银行取2000元补助费，他只想要2元、5元、10元的人民币，并想使2元、5元的人民币张数相等，且总张数为213张，那么2元、5元、10元的人民币各有多少张？ 【变式训练3】有16位教授，他们之中有人带1个研究生，有人带2个研究生，也有人带3个研究生，其中带1个研究生的教授人数与带2个和3个研究生的教授总数的比是1：1，经统计他们共带了27个研究生．问：带2个研究生的教授有几人？ 1．有5个大盒和2个小盒共装了190个球，1个大盒比1个小盒多装10个。假设7个都是大盒，装球的个数会怎么样？（    ） A．比190个多20个 B．比190个少50个 C．比190个少20个 D．不变 2．在小学数学的学习中，我们经常用一些巧妙的方法，将看似复杂的问题化繁为简。以下几个常见的问题中，哪个不能使用“假设法”来解决？（    ） A．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只？ B．已知（a、b、c均不为0），将a、b、c按从大到小的顺序排列。 C．单独做一项工作，甲需要5天，乙需要4天，两人合作需要几天？ D．一个三角形的面积是48cm2，底是10cm，高是多少？ 3．一个水族箱里有8条腕足的章鱼和10条腕足的鱿鱼共20只。如果它们的腕足总共有186条，那么章鱼有（    ）只。 A．7 B．13 C．2 4．有6张桌子可以下跳棋和象棋，跳棋1张桌子6人，象棋1张桌子2人，共有28人下跳棋和象棋，其中（    ）人下跳棋，（    ）人下象棋。 A．24；4 B．24；6 C．6；4 D．2；4 5．快递公司为客户运送500只玻璃杯。为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱。如果快递公司共得运费87元，请问快递公司至少损坏（    ）。 A．10 B．11 C．12 D．13 6．钢笔每支12元，圆珠笔每支7元，一共买了6支笔，用了52元，钢笔买了（    ）支。 A．1 B．2 C．3 D．4 7．数学竞赛共10道题，做对一题得8分，做错一题（或不做）倒扣5分，小明得41分，他共做错（或不做）了（    ）道题。 A．2 B．3 C．4 D．5 8．一个笼子里有8条腿的蜘蛛和6条腿的蚱蜢共25只。如果它们的总数有170条，那么蜘蛛和蚱蜢各有（    ）只。 A．10，15 B．10，12 C．12，15 9．校足球队买了20套训练服和12套比赛服，共付4680元。每套训练服比每套比赛服便宜70元，每套训练服( )元，每套比赛服( )元。 10．某学校有30间宿舍，全部住满，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人。已知这些宿舍中共住了168人，其中有( )间大宿舍。 11．奇思储蓄罐里五角和一元的硬币共有40枚，价值25元，五角硬币共有( )枚。 12．红旗小学六（1）班王老师、李老师带领45个学生去公园春游，大船每条船坐7人，小船每条船坐4人，共有8条船，则大船有 条，小船有 条。 13．小明用A、B两种积木相接但没有规律地拼成一个大长方体（如图），已知大长方体的长是26厘米，一共用了10块积木，那么A积木用了( )块。 14．有3个小杯和2个大杯，一共能装880毫升。 (1)每个小杯比大杯少140毫升，大杯和小杯的容量各是多少毫升？ (2)大杯的容量是小杯的4倍，大杯和小杯的容量各是多少毫升？ 15．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，一支小学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 16．松鼠妈妈采松子。晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，问这几天当中有几天是雨天？ 17．你知道我国银行残币兑换的方法吗？一起来看看吧！ 某银行的一家分行全额兑换和半额兑换100元的残币共32张，一共支付了2300元。在兑换的100元残币中，全额兑换的有多少张？ 全额兑换：能辨别面额，票面剩余四分之三（含四分之三）以上，其图案和字能按原样连接的残缺、污损人民币。半额兑换：能辨别面额，票面剩余二分之一（含二分之一）至四分之三以下，其图案和文字能按原样连接的残缺、污损人民市。（全额兑换指残损100元兑换100元；半额兑换指残损100元兑换50元） 18．六1班两位老师带42名学生去划船，租10条船正好坐满。每条大船坐5人，每条小船坐3人。租的大船、小船各有多少条？ 19．张师傅1小时的工作量小李要做2小时，而小李4小时的工作量小王要做5小时。现在张师傅做了8小时，小李做了12小时，小王做了10小时，师徒三人一共加工了1080个零件。他们每小时各加工多少个零件？ 20．某公司以每吨500元的价格收购了100吨某种药材原料、该公司决定加工成成品再出售，相关信息如下表（注：出品率；加工后的废品不产生效益） 工艺 每天可加工药材的吨数 出品率 售价/（元/吨） 粗加工 13 80% 5000 精加工 8 60% 9000 （1）如果将100吨药材原料全部进行粗加工，能加工成多少吨成品药材？ （2）如果将100吨药材原料精加工后全部出售，一共可以获得利润多少元？ （3）根据市场对成品药材的需要，该公司确定了如下方案：先部分粗加工，再将剩余部分精加工，刚好10天完成对该批药材原料的加工，求精加工了多少吨药材原料？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $