精品解析：江苏扬州市2025-2026学年度第一学期高二期末调研数学试题

江苏扬州市2025-2026学年度第一学期高二期末调研数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）． A. 0或2 B. 0 C. 1或2 D. 1 2. 设直线的斜率为，在轴上的截距为，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值（ ） A. 1 B. C. D. -1 4. 若圆与圆相交，则正整数的值为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 若复数满足，则|z|的最大值为（ ）． A. B. C. D. 6. 古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为．以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线在第一象限的交点为．若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）． A. B. C. 2 D. 8. 已知等比数列中，，则（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的有（ ）． A. B. C. D. 已知函数在上可导，若，则 10. 已知数列的前项和为，则下列命题中正确的是（ ）． A. 若，则是等差数列 B. 若，则等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若等比数列，且，则 11. 已知曲线的方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线与坐标轴有3个公共点 C. 曲线上任意一点的横坐标的取值范围是 D. 曲线上任意一点纵坐标的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数满足，则__________. 13. 已知抛物线的准线方程为，则实数的值为__________． 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知点为圆上的两动点，且．某数学兴趣小组研究发现，线段PQ的中点的轨迹为圆，则该圆的面积为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列满足，前4项和． （1）求通项公式； （2）设等比数列满足，求数列的前项和． 16. 已知抛物线，经过其焦点作斜率大于0直线，与抛物线交于A，B两点．设A，B两点的横坐标分别为，且的等差中项为3． （1）求直线的方程； （2）若线段的垂直平分线与轴交于点，求三角形的面积． 17. 已知圆过与两点，且关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求的方程； （3）过点的直线与圆交于E，F两点，且为线段AF的中点，求的斜率． 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）记，求的前项和； （3）记，求证：． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若的左、右顶点分别为A，B，P，Q是轴上异于原点以及的上、下顶点的两点，且满足，直线，分别交于点M，N（M与N不重合）． ①若直线AN，BM的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②证明：直线过定点，并求出该定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏扬州市2025-2026学年度第一学期高二期末调研数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）． A. 0或2 B. 0 C. 1或2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义列出等式，然后计算即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 2. 设直线的斜率为，在轴上的截距为，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线的一般式方程化为斜截式方程，进而求解. 【详解】由，所以，所以， 故选：C. 3. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值（ ） A. 1 B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】设切线的斜率为， ，，将代入，得， 又切线与直线垂直，则，，解得. 故选：C. 4. 若圆与圆相交，则正整数的值为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先求圆心坐标，再求圆心距，再利用两圆相交得，解出即可求解. 【详解】圆的圆心，半径为，圆，所以， 所以圆心，半径为， 所以， 由圆与圆相交，所以， 即，解得，又，所以， 故选：B. 5. 若复数满足，则|z|的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数模长的几何意义可求答案. 【详解】由题意的几何意义为复数对应复平面内的点到点的距离为3， 点到原点的距离为， 所以的最大值为. 故选：D 6. 古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为．以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线在第一象限的交点为．若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）． A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，可知，求出点坐标，利用面积公式建立方程，化简即可求出离心率. 【详解】如图， 设双曲线的半焦距为，由题意知， 设，，， 因为，又点在的渐近线上， 所以，可得，即. 所以， 所以，即， 所以，解得或（舍去）， 故或（舍去） 故选：C 8. 已知等比数列中，，则（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，得到，此时，，两式相除得，分和，求得的值，进而得到的值. 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 可得且， 当时，，可得，显然不成立； 当时，由， ， 两式相除，可得， 若，可得，解得，此时； 若，可得，解得，此时. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的有（ ）． A. B. C. D. 已知函数在上可导，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的概念结合导数的运算法则逐项验证即可求解. 详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知数列的前项和为，则下列命题中正确的是（ ）． A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用和的关系即可判断A,B选项；利用等差数列的求和公式即可判断C选项；通过举例即可判断D选项. 【详解】对于A，当时，，所以，当时，， 当时，， 所以，所以从第二项开始是等差数列，故A错误； 对于B，当时，，所以， 当时，， 当时，，所以是等比数列，故B正确； 对于C，若是等差数列，所以，所以，故C正确； 对于D，若是等比数列，且，当时，满足， 所以，所以，故D错误； 故选：BC. 11. 已知曲线的方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线与坐标轴有3个公共点 C. 曲线上任意一点的横坐标的取值范围是 D. 曲线上任意一点的纵坐标的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，将点代入方程检验即可判断；分别令，解方程即可判断；对于C，由题设可得，进而求解判断即可；对于D，由题设可得，令，，则，进而结合二次函数的性质讨论求解即可. 【详解】对于A，对于曲线上的任意一点，满足， 而点关于轴对称的点为， 将点代入方程得，，也满足方程， 则曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，由，令，得，即， 令，得，令，则，即或（舍去）， 则，即， 综上所述，曲线与坐标轴有4个公共点，故B错误； 对于C，由，得， 则，即曲线上任意一点的横坐标的取值范围是，故C正确； 对于D，由，得，即， 令，，则， 当时，函数开口向下，对称轴为， 则时，，或1时，，则； 当时，函数开口向下，对称轴为， 则时，，时，，则， 综上所述，曲线上任意一点的纵坐标的取值范围是，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数满足，则__________. 【答案】i 【解析】 【分析】根据复数的除法及乘法运算化简，再应用共轭复数定义计算求解. 【详解】复数满足，则， 所以. 故答案为： 13. 已知抛物线的准线方程为，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的准线得出参数. 【详解】抛物线的准线方程为，故抛物线开口向上，则， 故，则实数的值为. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知点为圆上的两动点，且．某数学兴趣小组研究发现，线段PQ的中点的轨迹为圆，则该圆的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，连接，得，，进而得，利用两点间的距离公式即可得圆的方程，再由圆的面积公式即可求解. 【详解】设，则，连接，如图， 由为线段中点，所以，又，所以， 在中， ， 所以， 化简整理得：， 所以圆的半径为，所以该圆的面积为， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列满足，前4项和． （1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过等差数列的通项公式和前项和公式建立方程组，求解首项与公差，进而得到通项公式； （2）利用（1）的结果求出等比数列的两项，计算出公比和首项，再代入等比数列前项和公式求出. 【小问1详解】 设公差为，则解得 所以，即； 【小问2详解】 由（1）， 设公比为，则，解得 所以． 16. 已知抛物线，经过其焦点作斜率大于0的直线，与抛物线交于A，B两点．设A，B两点的横坐标分别为，且的等差中项为3． （1）求直线的方程； （2）若线段的垂直平分线与轴交于点，求三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：设，然后与抛物线方程联立消去，结合韦达定理和已知条件，求出直线的方程；方法二：设，然后与抛物线方程联立消去，结合韦达定理和已知条件，求出直线的方程. （2）先求出的垂直平分线方程，然后求得点到直线的距离，进而可求出的面积. 【小问1详解】 方法一：由题知． 因为斜率大于0，所以设． 由，消得，所以． 因为A，B两点的横坐标分别为，且的等差中项为3，所以． 所以直线的方程为. 方法二：由题知． 因为斜率大于0，所以设． 由，消得，所以． 因为A，B两点的横坐标分别为，且的等差中项为3， 所以，所以． 所以，直线的方程为． 【小问2详解】 的垂直平分线方程为，即， 所以，点到直线的距离， 所以． 17. 已知圆过与两点，且关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求的方程； （3）过点的直线与圆交于E，F两点，且为线段AF的中点，求的斜率． 【答案】（1） （2）或 （3）1或 【解析】 【分析】（1）方法一：设圆的方程为，根据题意列方程组求解即可； 方法二：根据题设，先求出圆心及半径，进而求解即可； （2）分斜率不存在、存在两种情况讨论求解即可； （3）方法一：设EF中点为，则，设，结合勾股定理可得，设直线的方程为，进而列方程求解即可； 方法二：设，可得，由于E，F均在圆上，代入可得或，进而求解即可. 【小问1详解】 方法一：设圆的方程为， 根据题意可得，解得， 故圆的方程为. 方法二：两点与的中垂线的方程为， 由解得，所以圆心的坐标为， 则圆的半径为，故圆的方程为． 【小问2详解】 圆的方程可化为，则圆心为，半径为2， 当的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为2，满足题意； 当的斜率存在时，设，即， 由，解得，故． 综上所述，直线的方程为或． 【小问3详解】 方法一：设EF中点为，则． 设，由为线段AF的中点得． 在和中， 由得，解得． 由题可知直线的斜率存在，设其方程为，即． 则，解得或． 故直线斜率为1或． 方法二：设，因为为线段AF的中点，所以． 由题可知E，F均在圆上，所以， 即 ①②得，则， 代入①式得，即， 解之得或，则或． 所以或，故直线的斜率为1或． 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）记，求的前项和； （3）记，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用计算得出等比数列，再应用等比数列通项公式计算求解； （2）应用错位相减计算求解； （3）应用裂项相消法计算证明. 【小问1详解】 因为①， 所以②， ①-②得：，即， 又，所以． 所以是以1为首项，为公比的等比数列． 所以． 【小问2详解】 ， ， ， ①-②得： ， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以． . 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若的左、右顶点分别为A，B，P，Q是轴上异于原点以及的上、下顶点的两点，且满足，直线，分别交于点M，N（M与N不重合）． ①若直线AN，BM的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②证明：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1） （2）①存在，②证明见解析，定点坐标 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和经过的点坐标计算即可. （2）①根据向量共线先求出直线的方程为，将其与椭圆方程联立，求得的坐标，进而求得，从而求得结果；②方法一：根据①中求出的的坐标，进而求得直线的方程，从而得到定点；方法二：设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据，并结合韦达定理求出直线的方程为，进而得到定点坐标. 【小问1详解】 由题可知，，即， 又，所以， 又因为点在椭圆上，故， 所以，解得． 所以， 故椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 ①因为P，Q是轴上异于原点以及的上下顶点的两点，且， 所以可设，且． 又， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由，得，所以， 所以，同理解得． 所以， 所以． ②方法一：由①知， 所以直线的方程为， 即，则直线过定点． 方法二：由①知，所以， 设直线的方程为， 由，得， 即， 则，且，即． 所以， 即， 则， 即， 又，所以， 解之得，则直线的方程为，过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $