第1章 二次根式（知识清单）数学新教材浙教版八年级下册

第1章 二次根式 1.二次根式的概念：像这样，表示算术平方根的代数式叫作二次根式。根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数 零。 2.式子(a≥0)既表示二次根式，也表示非负数a的算术平方根。因此a 0, 0。二次根式具有双重非负性。当式子有意义时，a一定表示一个非负数，即 . 3.二次根式有意义的条件 二次根式 条件 字母表示 有意义 被开方数为非负数 有意义⇔a≥0 无意义 被开方数为负数 无意义⇔a<0 4.二次根式的求值实际上就是求代数式的值，即将字母的值代入二次根式中，一般先算根号内的式子，再求算术平方根。 5.()2=a(a≥0)。即：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 6.根据算术平方根的意义，无论a是正数、0或负数，a2的算术平方根都可以记作。当a≥0时，；当a＜0时， 。综上所述：即：一个数的平方的算术平方根等于这个数的 。 7.()2与的区别与联系 名称 ()2 区别 意义不同 表示非负实数a的算术平方根的平方 表示实数a的平方的算术平方根 取值范围不同 a≥0 a为任意实数 运算顺序不同 对非负数a先求算术平方根再平方 对实数a先平方再求算术平方根 运算结果不同 ()2=a(a≥0) 作用不同 ()2=a(a≥0)正向运用可化简二次根式，逆向运算可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆向运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内。 联系 （1）()2和都要进行平方与求算术平方根运算； （2）结果均为非负数； （3）当a≥0时，()2和=a。 8.当根号下是两个正数的积的形式时，可转化成两个正数的算术平方根的积，即二次根式有以下性质：= (a≥0,b≥0)。 即：积的算术平方根等于积中各因式算术平方根的积。 9.当根号下是一个非负数和一个正数的商的形式时，可以转化成这两个数的算术平方根的商。= （a≥0，b＞0）即：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 10.像，，，，这样，在根号内不含分母，也不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式我们就说它是 。 11.二次根式的乘法法则：= (a≥0,b≥0)。即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 12.二次根式的除法法则：= （a≥0，b＞0）。即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 13.二次根式的除法运算，通常采用把分子、分母同乘一个式子化去分母中的根号的方法来进行，把分母的根号化去，叫作 。 14.分母有理化时，所乘的式子叫分母的有理化因式，分母有理化的关键是确定分母的有理化因式。 15.二次根式的加减运算，通常应先将每个二次根式化成最简二次根式或整式，再将被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变。一般步骤： (1)去括号，如果有括号，根据去括号法则去掉括号； (2)化简，把不是最简二次根式的进行化简； (3)合并，合并被开方数相同的二次根式。 16.二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先算 ，再算 ，最后算加减，有括号的先算括号里面的。 17.在修路、挖河、开渠和筑坝中，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。如图所示，斜坡上两点之间的高度差与水平距离的比叫作坡面的 (或坡度),坡面与水平面的夹角叫作坡角。 18.在日常生活和生产实践中,我们在解决一些问题,经常用到二次根式及其运算。常见的题型如： （1）实际应用问题中，已知带字母参数的二次根式相关的计算公式，代入求值； （2）关于图形问题尤其是面积问题或勾股定理求边长的问题时，进行二次根式的化简与运算； （3）其他存在明确数量关系实际应用问题。 （4）海伦—秦九韶公式及相关问题的实际应用，公式如下： 如果三角形的三边长分别为a，b，c， ①秦九韶公式：三角形的面积. ②海伦公式：三角形的面积，其中. 1.中a的非负性 易错点：表示求a的算术平方根，因此a≥0，这就体现了a的非负性。在题干中，常常出现如：“、、”等二次根式的代数表示，一定要注意代数式中未知数的取值范围，在解题时列出：a≥0,2026－x≥0和a²－1≥0... 例1 （24-25八年级下·河南商丘·月考）完成如下学习表： 阅读 若和在实数范围内都有意义，求的值． 解：和在实数范围内都有意义， ①且②． 由①得：，由②得：， ∴取公共解集得：． 应用 若实数，满足，求： （）的值； （）的值． 2.的非负性 易错点：不但中的a具有非负性，本身是求a的算术平方根，因此≥0，这就是的双重非负性。 例2 （25-26八年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 3.化简时的讨论 易错点：的化简结果是|a|，不是a，因此的化简结果还要看a的正负，如果a≥0，则=a（即|a|=a）；但如果a＜0，则=﹣a（即|a|=﹣a）。 例3 （25-26八年级上·上海黄浦·月考）化简： ． 4.根据综合性知识的题干信息化简 易错点：我们知道了在化简时要注意a的正负，a的正负有可能藏在题干中，比如另一个二次根式，比如数轴。在确定了a的正负后，才能进行最终化简，千万不能与混淆，直接等于a是因为中隐含了条件：a在根号下，则a≥0. 例4 （25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ． 例5 （25-26八年级上·四川成都·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 5.化为最简二次根式 易错点：化简二次根式的一般方法方法 方法 举例 将被开方数(式)中能开得尽方的因数或因式求算术平方根 化去根号下的分母 若被开方数(式)中含有带分数，应先将带分数化成假分数 若被开方数(式)中含有小数，应先将小数化成分数 若被开方数(式)是分式，应先将分式的分母化成偶数次因数(式)的形式，再求算术平方根 被开方数是多项式的要先进行因式分解，再求偶数次因数(式)的算术平方根 ，（其中y＞2） 例6 （25-26八年级上·全国·课后作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2) (3)； (4)． 例7 （25-26八年级上·上海宝山·月考）化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 6.二次根式的乘除运算 易错点：二次根式的乘除法运算，要遵循运算法则，在乘除法混合运算时要从左到右运算，遇到除法的，也可以先转化成乘以这个数的倒数，再计算。 例8 （25-26八年级上·全国·假期作业）化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 7.二次根式的加减运算 易错点：二次根式的加减运算，其实就是合并同类二次根式，要判断同类二次根式，则需要先化简所有二次根式为最简二次根式。因此，二次根式的加减运算的步骤为：①去括号；②化为最简二次根式；③合并同类二次根式。 例9 （25-26八年级上·山东济南·期末）计算： (1)； (2)． 8.二次根式的混合运算 易错点：二次根式的混合运算要注意以下几点： （1）遵循运算律和运算顺序：先算括号内，再算乘方，然后是乘除，再加减。 （2）注意结合多项式的乘除的运算法和乘法公式，方便运算。 （3）注意最后一定要化为最简二次根式，方便检验是否合并完全。 例10 （25-26八年级上·河北张家口·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 9.复式二次根式的化简 易错点：二次根式中还有二次根式，要化简就要去掉外面的二次根式，采用，即将内部配成完全平方式，举例如下： 关于化简： ①可以将15分为两个因子，两个因子的和为8，即15=3×5； ②将8分为8=3+5= ③原式 例11 （25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 10.先化简，再代入二次根式的值求值 易错点：类似于我们学习过的整式的化简再求值和分式中的化简再求值。步骤是先化简代数式，然后代入未知数的值，或代入未知数表示的整体代数式的值，再进行二次根式的运算即可。 例12 （24-25八年级下·四川广安·月考）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：，其中，． 11.结合完全平方式中ab，a±b和a²+b²的相互关系化简求值 易错点：当已知a和b的值比较复杂时，要求关于代数ab，a±b或a²+b²等相关代数式的值时，可以先化简a和b，计算得到ab和a±b的值，再对所求代数式进行因式分解，或结合完全平方式，转化成用ab和a±b表示的形式，结合整体思想代入即可。具体方式如例题步骤。 例13 （25-26八年级上·上海·期末）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 12.二次根式代入求值相关的实际应用 易错点：在实际应用中，会给出应用问题相关的具体公式，比如物理中的一些公式，比如海伦-秦九韶三角形面积公式。解决这类问题，最主要学会两个重点： （1）确定公式每个字母表示的实际含义，防止代入出错； （2）学会代数式的表示转换，比如在公式中，要用其他字母表示I时，要会按照计算步骤正确转换成，然后再代入计算。 例14 （2025-2026学年度上学期八年级期末质量监测数学试题）喜欢观察的小张同学发现座钟发出的嘀嗒声并不一定是每秒发出一次．他通过查询资料得到如下信息：座钟的摆针摆动一个来回的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），取，．假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，求该座钟在一分钟内大约发出多少次嘀嗒声？（结果取整数，参考数据：） 例15 （25-26八年级上·河南郑州·期中）海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为，，，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）． 已知的三边长分别为，，；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积，并说说你选择的理由． 13.二次根式运算相关的几何面积应用 易错点：几何面积问题除了基本的运用二次根式的计算外，还要学习掌握等面积法求三角形高线长。 例16 （25-26八年级上·浙江·假期作业）如图等腰三角形中，与分别是的高，已知，， (1)求的面积 (2)求的长． 例17 （24-25八年级下·贵州遵义·期末）在如图1的网格中，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．小雨同学利用勾股定理求出． (1)填空：______，_____； (2)在如图2的长方形网格中，每个小长方形的长均为2，宽为1．格点上的点，如图，点在格点上，满足，．请在网格中画出，并求的面积． 1．（25-26九年级上·山东聊城·月考）函数 的自变量x的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D．且 2．（25-26八年级上·湖南永州·期末）下列为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简后等于（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在等腰中，，点在线段上，过点作，交延长线于点，过点作交于点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·广东中山·月考）当时，二次根式的值为 ． 8．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ． 9．（25-26八年级上·上海普陀·期末）不等式的解集是 ． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ． 11．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）在直角三角形中，，，，平分交于点，则的长为 ． 12．（25-26八年级上·山东青岛·月考）计算： (1) (2) (3) 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求，的值及的平方根． 14．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 15．（25-26八年级上·广西桂林·期末）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 二次根式 1.二次根式的概念：像这样，表示算术平方根的代数式叫作二次根式。根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数 大于或等于 零。 2.式子(a≥0)既表示二次根式，也表示非负数a的算术平方根。因此a ≥ 0, ≥ 0。二次根式具有双重非负性。当式子有意义时，a一定表示一个非负数，即 a≥0 . 3.二次根式有意义的条件 二次根式 条件 字母表示 有意义 被开方数为非负数 有意义⇔a≥0 无意义 被开方数为负数 无意义⇔a<0 4.二次根式的求值实际上就是求代数式的值，即将字母的值代入二次根式中，一般先算根号内的式子，再求算术平方根。 5.()2=a(a≥0)。即：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 6.根据算术平方根的意义，无论a是正数、0或负数，a2的算术平方根都可以记作。当a≥0时，；当a＜0时， 。综上所述：即：一个数的平方的算术平方根等于这个数的 绝对值 。 7.()2与的区别与联系 名称 ()2 区别 意义不同 表示非负实数a的算术平方根的平方 表示实数a的平方的算术平方根 取值范围不同 a≥0 a为任意实数 运算顺序不同 对非负数a先求算术平方根再平方 对实数a先平方再求算术平方根 运算结果不同 ()2=a(a≥0) 作用不同 ()2=a(a≥0)正向运用可化简二次根式，逆向运算可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆向运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内。 联系 （1）()2和都要进行平方与求算术平方根运算； （2）结果均为非负数； （3）当a≥0时，()2和=a。 8.当根号下是两个正数的积的形式时，可转化成两个正数的算术平方根的积，即二次根式有以下性质：= (a≥0,b≥0)。 即：积的算术平方根等于积中各因式算术平方根的积。 9.当根号下是一个非负数和一个正数的商的形式时，可以转化成这两个数的算术平方根的商。= （a≥0，b＞0）即：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 10.像，，，，这样，在根号内不含分母，也不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式我们就说它是 最简二次根式 。 11.二次根式的乘法法则：= (a≥0,b≥0)。即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 12.二次根式的除法法则：= （a≥0，b＞0）。即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 13.二次根式的除法运算，通常采用把分子、分母同乘一个式子化去分母中的根号的方法来进行，把分母的根号化去，叫作 分母有理化 。 14.分母有理化时，所乘的式子叫分母的有理化因式，分母有理化的关键是确定分母的有理化因式。 15.二次根式的加减运算，通常应先将每个二次根式化成最简二次根式或整式，再将被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变。一般步骤： (1)去括号，如果有括号，根据去括号法则去掉括号； (2)化简，把不是最简二次根式的进行化简； (3)合并，合并被开方数相同的二次根式。 16.二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先算 乘方 ，再算 乘除 ，最后算加减，有括号的先算括号里面的。 17.在修路、挖河、开渠和筑坝中，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。如图所示，斜坡上两点之间的高度差与水平距离的比叫作坡面的 坡比 (或坡度),坡面与水平面的夹角叫作坡角。 18.在日常生活和生产实践中,我们在解决一些问题,经常用到二次根式及其运算。常见的题型如： （1）实际应用问题中，已知带字母参数的二次根式相关的计算公式，代入求值； （2）关于图形问题尤其是面积问题或勾股定理求边长的问题时，进行二次根式的化简与运算； （3）其他存在明确数量关系实际应用问题。 （4）海伦—秦九韶公式及相关问题的实际应用，公式如下： 如果三角形的三边长分别为a，b，c， ①秦九韶公式：三角形的面积. ②海伦公式：三角形的面积，其中. 1.中a的非负性 易错点：表示求a的算术平方根，因此a≥0，这就体现了a的非负性。在题干中，常常出现如：“、、”等二次根式的代数表示，一定要注意代数式中未知数的取值范围，在解题时列出：a≥0,2026－x≥0和a²－1≥0... 例1 （24-25八年级下·河南商丘·月考）完成如下学习表： 阅读 若和在实数范围内都有意义，求的值． 解：和在实数范围内都有意义， ①且②． 由①得：，由②得：， ∴取公共解集得：． 应用 若实数，满足，求： （）的值； （）的值． 【答案】（）；（） 【分析】（）仿照阅读解答即可； （）由（）所求的值求出的值，进而代入二次根式计算即可求解； 本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：（）由题意得，①且②， 由①得，， 由②得， ∴取公共解集得，； （）∵， ∴， ∴． 2.的非负性 易错点：不但中的a具有非负性，本身是求a的算术平方根，因此≥0，这就是的双重非负性。 例2 （25-26八年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两数之和为，结合二次根式有意义的条件与绝对值的非负性，得到两个非负数相加为0的等式，从而建立二元一次方程组求解． （2）将（1）中求得的的值代入代数式，进行计算求值． 【详解】（1）解：与互为相反数， ． ，， 解得 （2）解：由（1）得，， ． 3.化简时的讨论 易错点：的化简结果是|a|，不是a，因此的化简结果还要看a的正负，如果a≥0，则=a（即|a|=a）；但如果a＜0，则=﹣a（即|a|=﹣a）。 例3 （25-26八年级上·上海黄浦·月考）化简： ． 【答案】 【分析】利用算术平方根的性质 ，判断 的符号后去绝对值即可． 本题考查二次根式的基本性质，掌握二次根式的概念进行化简是解题关键． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 4.根据综合性知识的题干信息化简 易错点：我们知道了在化简时要注意a的正负，a的正负有可能藏在题干中，比如另一个二次根式，比如数轴。在确定了a的正负后，才能进行最终化简，千万不能与混淆，直接等于a是因为中隐含了条件：a在根号下，则a≥0. 例4 （25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ． 【答案】2 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简式子． 【详解】解：由有意义，得，即． 化简： ∵， ∴，故：． 化简： 根据二次根式的性质，， ∴． 因此，原式． 故答案为：． 例5 （25-26八年级上·四川成都·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质和绝对值化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 5.化为最简二次根式 易错点：化简二次根式的一般方法方法 方法 举例 将被开方数(式)中能开得尽方的因数或因式求算术平方根 化去根号下的分母 若被开方数(式)中含有带分数，应先将带分数化成假分数 若被开方数(式)中含有小数，应先将小数化成分数 若被开方数(式)是分式，应先将分式的分母化成偶数次因数(式)的形式，再求算术平方根 被开方数是多项式的要先进行因式分解，再求偶数次因数(式)的算术平方根 ，（其中y＞2） 例6 （25-26八年级上·全国·课后作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）把32写成，然后化简； （2）分子分母都乘以，然后化简． （3）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以，然后化简； （4）分子分母都乘以，然后化简． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 例7 （25-26八年级上·上海宝山·月考）化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查化简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 6.二次根式的乘除运算 易错点：二次根式的乘除法运算，要遵循运算法则，在乘除法混合运算时要从左到右运算，遇到除法的，也可以先转化成乘以这个数的倒数，再计算。 例8 （25-26八年级上·全国·假期作业）化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)6 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查二次根式的乘法、积的算术平方根，掌握二次根式的乘法是解题的关键． 对每一个式子利用乘除法法则进行化简，过程中注意． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式； （5）解：原式， ∵， ∴， ∴； （6）解：原式． 7.二次根式的加减运算 易错点：二次根式的加减运算，其实就是合并同类二次根式，要判断同类二次根式，则需要先化简所有二次根式为最简二次根式。因此，二次根式的加减运算的步骤为：①去括号；②化为最简二次根式；③合并同类二次根式。 例9 （25-26八年级上·山东济南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算顺序和法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． （2）先进行乘除运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ． 8.二次根式的混合运算 易错点：二次根式的混合运算要注意以下几点： （1）遵循运算律和运算顺序：先算括号内，再算乘方，然后是乘除，再加减。 （2）注意结合多项式的乘除的运算法和乘法公式，方便运算。 （3）注意最后一定要化为最简二次根式，方便检验是否合并完全。 例10 （25-26八年级上·河北张家口·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，乘法公式和解分式方程，掌握好相关知识是解题关键． （1）按照二次根式混合运算的法则进行计算即可； （2）按照二次根式混合运算的法则进行计算即可； （3）运用乘法公式进行展开，再按照二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 9.复式二次根式的化简 易错点：二次根式中还有二次根式，要化简就要去掉外面的二次根式，采用，即将内部配成完全平方式，举例如下： 关于化简： ①可以将15分为两个因子，两个因子的和为8，即15=3×5； ②将8分为8=3+5= ③原式 例11 （25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 10.先化简，再代入二次根式的值求值 易错点：类似于我们学习过的整式的化简再求值和分式中的化简再求值。步骤是先化简代数式，然后代入未知数的值，或代入未知数表示的整体代数式的值，再进行二次根式的运算即可。 例12 （24-25八年级下·四川广安·月考）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，分式混合运算法则． （1）先根据整式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可； （2）先根据分式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式． （2）解： ， 当，时，原式． 11.结合完全平方式中ab，a±b和a²+b²的相互关系化简求值 易错点：当已知a和b的值比较复杂时，要求关于代数ab，a±b或a²+b²等相关代数式的值时，可以先化简a和b，计算得到ab和a±b的值，再对所求代数式进行因式分解，或结合完全平方式，转化成用ab和a±b表示的形式，结合整体思想代入即可。具体方式如例题步骤。 例13 （25-26八年级上·上海·期末）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． 【详解】（1）解：， ， 故， ， ； （2）解：， 且， ． 12.二次根式代入求值相关的实际应用 易错点：在实际应用中，会给出应用问题相关的具体公式，比如物理中的一些公式，比如海伦-秦九韶三角形面积公式。解决这类问题，最主要学会两个重点： （1）确定公式每个字母表示的实际含义，防止代入出错； （2）学会代数式的表示转换，比如在公式中，要用其他字母表示I时，要会按照计算步骤正确转换成，然后再代入计算。 例14 （2025-2026学年度上学期八年级期末质量监测数学试题）喜欢观察的小张同学发现座钟发出的嘀嗒声并不一定是每秒发出一次．他通过查询资料得到如下信息：座钟的摆针摆动一个来回的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），取，．假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，求该座钟在一分钟内大约发出多少次嘀嗒声？（结果取整数，参考数据：） 【答案】42次 【分析】本题考查了二次根式的应用，先理解题意，再代入数值到，求出，再结合一分钟，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，，取， 则， ∵一分钟， ∴， 即该座钟在一分钟内大约发出次嘀嗒声． 例15 （25-26八年级上·河南郑州·期中）海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为，，，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）． 已知的三边长分别为，，；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积，并说说你选择的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是理解“海伦公式”及“秦九韶公式”；因此此题可根据“海伦公式”及“秦九韶公式”直接代值求解即可． 【详解】解：的三边长分别为，，，， 则 ； 的三边长分别为，，， 则 ． 计算的面积时，由于三边长为整数，且为整数，使用海伦公式计算较为简便；计算的面积时，由于三边长为二次根式，使用秦九韶公式可以先对边长进行平方运算，从而简化计算． 13.二次根式运算相关的几何面积应用 易错点：几何面积问题除了基本的运用二次根式的计算外，还要学习掌握等面积法求三角形高线长。 例16 （25-26八年级上·浙江·假期作业）如图等腰三角形中，与分别是的高，已知，， (1)求的面积 (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”性质以及勾股定理，关键是结合等腰三角形的性质确定线段长度，再通过面积的不同表示方法求解． （1）运用三角形面积公式，以为底边、为对应高，代入已知的边长和高的数值，通过二次根式的乘法运算即可求出三角形的面积； （2）结合等腰三角形“三线合一”的性质，先确定是的中点，从而得到的长度，再在直角三角形中，用勾股定理算出腰的长度；之后利用三角形面积相等建立方程，解出的长度． 【详解】（1）解：∵是的高，，， ∴的面积； （2）解：∵是等腰三角形，， ∴是的中点，， 在中，由勾股定理得， 又∵是的高，面积， ∴，解得． 例17 （24-25八年级下·贵州遵义·期末）在如图1的网格中，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．小雨同学利用勾股定理求出． (1)填空：______，_____； (2)在如图2的长方形网格中，每个小长方形的长均为2，宽为1．格点上的点，如图，点在格点上，满足，．请在网格中画出，并求的面积． 【答案】(1)； (2)图见解析，5 【分析】题目主要考查网格与勾股定理，理解题意熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）利用网格及勾股定理求解即可； （2）根据题意画出三角形，然后再由勾股定理逆定理确定为直角三角形，求面积即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为：； （2）如图所示，即为所求； 其中，， ∴， ∴为直角三角形， ∴的面积为：． 1．（25-26九年级上·山东聊城·月考）函数 的自变量x的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，掌握知识点是解题的关键． 根据分母不为零和平方根的被开方数为非负数，列式求解即可． 【详解】解：∵分母， ∴； ∵分子中的要求； ∴且． 故选C． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期末）下列为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式：被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，由已知可得，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴，， ∴， 故选：． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的性质，二次根式的加减乘除，根据二次根式的性质和二次根式的加减乘除运算法则逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 5．（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简后等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件．由题意得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵被开方数非负， ∴， ∵， ∴，即， ∴且， ∴， 故选：C． 6．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在等腰中，，点在线段上，过点作，交延长线于点，过点作交于点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．过点作于点，先利用勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再利用勾股定理可得的长，则可得的长，然后利用的面积计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 7．（24-25八年级下·广东中山·月考）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 8．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴的应用，二次根式的化简，绝对值的化简，根据数轴判断字母的符号是解题关键． 根据数轴可知，，，据此进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可知，，，则， ∴． 故答案为： 9．（25-26八年级上·上海普陀·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，首先判断系数的符号，由于，故系数为负数；不等式两边除以负数时，不等号方向改变；然后有理化分母得到解集，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值、二次根式的性质/完全平方公式，解题的关键是根据的取值范围判断绝对值内代数式的正负性． 根据二次根式的定义，被开方数必须非负，因此 ，即 ，此时化简各部分即可． 【详解】解：由题意，，即 ； ；； 当 时，； 故原式 ． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）在直角三角形中，，，，平分交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，过点D作于点E，利用勾股定理求出的长，由角平分线的性质得到，根据求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E， ∵在中，，，， ∴， ∵平分交于点，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·山东青岛·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法、乘法，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （3）化简二次根式，并利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求，的值及的平方根． 【答案】，，的平方根是． 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入求出的值，最后计算的平方根． 【详解】解：根据二次根式的被开方数非负，可得： 解得：． 将代入原式，得： 解得：． ． ∵的平方根是， ∴的平方根是． 14．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算． （1）先利用逆定理判定三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形，再套用公式①求解即可； （2）直接套用公式②求解即可； （3）连接，利用勾股定理求出，当假设在中，，，时，利用公式①或公式②，求出的面积，再利用即可求解． 【详解】（1）解：∵；；；， ∴根据勾股定理的逆定理可知：三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形， ∴当假设在这个三角形中，，时， 则， ∴根据公式①，得该三角形的面积 ； （2）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴当假设，，时， 根据公式②，得该三角形的面积 ； （3）解：方法一：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时，根据公式②，得该三角形的面积 ， ∴． 方法二：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时， 则 ，根据公式①，得该三角形的面积 = = = =， ∴． 15．（25-26八年级上·广西桂林·期末）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 14 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $