专题01 二次根式的化简与运算（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

专题01 二次根式的化简与运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、最简二次根式（常考点） 1 题型二、分母有理化 3 题型三、二次根式的运算（重点） 5 题型四、二次根式运算的实际应用（重点） 8 题型五、二次根式运算的综合探究与运用（难点） 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、最简二次根式 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 最简二次根式的被开方数不含能开尽方的因数或因式，且不含分母，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式； 选项B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项C、，被开方数不含能开尽方的因数，是最简二次根式； 选项D、 ，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：C． 2．（20-21八年级下·湖北武汉·月考）若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先化简，然后依据是正整数可得到问题的答案． 【详解】解： ， ∵是正整数， ∴为完全平方数， ∴的最小值是． 故选：D. 3．（2025·河北石家庄·模拟预测）若，其中为最简二次根式，为有理数， ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质化简，涉及最简二次根式定义、利用二次根式性质化简等知识，先得到，再由最简二次根式定义及题意即可得到答案．熟记最简二次根式定义、利用二次根式性质化简是解决问题的关键． 【详解】解：， 若，其中为最简二次根式，为有理数，则， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 题型二、分母有理化 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键． 通过分子分母同时乘以 ，消除分母中的根号，实现分母有理化． 【详解】解：， ∴ 分母有理化的结果为， 故选： A． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的性质． 利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可． 【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确； ∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确； ∴ 甲、乙两种方法均正确， 故选：A． 3．（25-26八年级上·河北张家口·月考）分母有理化： ， ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键． 根据二次根式的性质，分数的基本性质，利用平方差公式消除分母中的根号，即可求解． 【详解】解：对于，分子和分母同乘以， 得； 对于，分子和分母同乘以， 得； 故答案为：；． 4．（25-26八年级上·上海·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤． 首先展开不等式右边，然后移项合并同类项，注意到系数为负，除以负数时不等式方向反转，最后再分母有理化即可． 【详解】解： ∴原不等式的解集为， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海虹口·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值和二次根式的分母有理化，掌握完全平方式的因式分解，分式的约分和二次根式的分母有理化方法是解题关键． 先因式分解，再约分化简分式，再化简x的值，最后代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是正确化简二次根式． 先分母有理化，化简二次根式，再进行加减计算． 【详解】解： ． 题型三、二次根式的运算 1．（25-26八年级上·四川成都·期末）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的乘法、除法运算．根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的乘法运算对D选项进行判断． 【详解】解：、与不能合并，所以该选项符合题意； B、，所以该选项不符合题意； C、，所以该选项不符合题意； D、，所以该选项不符合题意； 故选：． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，二次根式的加减法，解题的关键是掌握对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 先将边长化简，等腰三角形可能有两种情况，分别以化简后的边长为腰或底，计算周长并验证三角形不等式． 【详解】解：∵ ，， 情况一：腰长为，底边为，，能构成三角形， 周长为 ； 情况二：腰长为，底边为，，能构成三角形， 周长为． ∴ 周长为或， 故选：A． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与完全平方公式的应用，解题关键是先正确展开完全平方公式，再化简二次根式的乘法，最后合并同类二次根式与常数项． 先利用完全平方公式进行计算，再计算二次根式的乘法，最后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·广东江门·月考）计算 (1) ； (2) ； (3) ； (4)； (5)  ； (6) ； (7)  ； (8) ． 【答案】(1) (2)10 (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘法法则求解即可； （2）根据二次根式的乘法法则求解即可； （3）首先计算平方差公式和完全平方公式，然后合并即可； （4）首先化简二次根式，计算平方差公式，然后合并即可； （5）首先计算平方差公式，然后化简即可； （6）首先化简二次根式，然后合并即可； （7）首先化简二次根式，然后合并即可； （8）首先化简二次根式，然后去括号合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 题型四、二次根式运算的实际应用 1．（25-26八年级上·浙江·假期作业）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积． 【详解】解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4， ∴ ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·广西来宾·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，剩余部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根在几何图形中的应用，二次根式的运算等知识，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据开方运算，可得阴影的边长，根据二次根式的乘法，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案． 【详解】解：两个空白小正方形的面积是、， 两个空白小正方形的边长是、， 大正方形的边长是， 大正方形的面积是， 阴影部分的面积是． 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）电流通过导线时会产生热量．电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流I为 A．（结果用二次根式表示） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解一元二次方程——直接开平方法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据公式，代入导线的电阻，的时间导线产生的热量，求出电流I． 【详解】解：因为导线的电阻，的时间导线产生的热量， 所以， 解得：（负值舍去）， 则电流I为． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·全国·周测）现将一个面积为的正方形的一组对边缩短，就成为一个长方形，这个长方形的面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了正方形及长方形的面积公式、二次根式的混合运算，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 先求出正方形的边长，再根据缩短后的对边长度计算长方形的面积． 【详解】解：正方形的面积为，故边长为 = cm． 将一组对边缩短 cm， 则缩短后的对边长度为 = cm． 另一组对边长度不变，仍为 cm． 因此长方形的面积为 = = = cm²． 故答案为：60． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)铺完整个通道，购买地砖需要花费元 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式的性质与化简、最简二次根式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键； 依据题意得，矩形绿地 的周长 ，即可得解； 依据题意，购买地砖需要花费，进一步计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，矩形绿地的周长 ； （2）解：由题意，购买地砖需要花费 元， 答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元； 题型五、二次根式运算的综合探究与运用 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键． 先将化为，然后根据积的乘方与幂的乘方运算法则，结合平方差公式，进行计算即可解答． 【详解】原式 = = = = = = ． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则当 时，有最小值，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算和平方的非负性，将给定分式化简为，仿照材料中的例子，利用配方法求的最小值，进而得到整个表达式的最小值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 当且仅当，即时最小值，最小值为， 则， 那么，， 故当时，原式取得最小值． 3．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）规律探究：设，，，…，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律和二次根式的化简求值，先根据已知规律求出的表达式，再将展开，利用裂项相消法计算即可． 【详解】解：∵， ， ， …， ∴ ∴， ∴ ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）如图，、分别是长方形的边、上的两个点，，． (1)求证：； (2)若，求长方形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理、二次根式的应用，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据长方形的性质得到，则，利用勾股定理的逆定理得到，则，得到，再利用判定定理即可证明； （2）根据长方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到， 利用勾股定理求出的长，最后利用长方形的周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵长方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵长方形， ∴，， 由（1）得，， ∴， 在中，， ∴， ∴长方形的周长为． 5．（25-26八年级上·陕西西安·周测）为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． (1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________； (2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值． (3)若，为正实数，且．求的最小值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，二次根式的混合运算，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． （1）连接，根据两点之间线段最短，得到的最小值为的长，作，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）仿照题干方法，将代数式的最小值转化为两条线段和最小的问题，利用勾股定理进行求解即可； （3）根据，得到，进而将转化为，类比题干方法进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，作，由题意，得， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为10； （2）解：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为． 6．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【详解】（1）解：分子分母同乘： 原式 ． （2）解：分子分母同乘​： 原式 ． （3）解：原式 ． 7．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简与大小比较，核心是利用完全平方公式将根号内的式子配成完全平方式，再结合二次根式的性质进行化简，同时运用分母有理化来比较大小． （1）先观察根号内的代数式，将其拆分为两个数的平方和与这两个数乘积的倍的形式，凑成完全平方式，再根据二次根式的性质去掉外层根号完成化简； （2）先对两个分式的分母进行化简，同样通过配方法将分母根号内的式子配成完全平方式，再进行分母有理化，最后根据化简后的结果比较两个数的大小． 【详解】（1）解：① ． ② ； （2）解： ． 1．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·陕西西安·周测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键． 直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别计算，进而得出答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、 ，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级上·重庆·期末）估计的值应在（     ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算． 先计算，得到，然后通过估计的值确定范围 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴值在8和9之间． 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的非负性求出a和b的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】∵ ， ∴，， 解得，， ∴ ， 故选：A． 5．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的概念及可合并二次根式的条件，解题的关键是明确可合并的二次根式需满足被开方数相同，且均为最简二次根式，需先将非最简二次根式化为最简形式再分析． 先将化为最简二次根式，得到其被开方数；因是最简二次根式且能与合并，故两者被开方数相同，由此确定m的值． 【详解】解：，其被开方数为2． ∵最简二次根式与可以合并， ∴，则 故选：C． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A． B． C．2026 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式与幂的运算，解题关键是通过拆分指数，结合平方差公式简化高次幂的计算． 利用同底数幂的运算法则，将指数拆分后结合平方差公式简化计算． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 7．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 8．（22-23八年级下·浙江·月考）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 9．（25-26八年级上·上海普陀·月考）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用算术平方根的性质，将根式内的乘积分解为各因数的算术平方根的乘积，并根据条件 简化表达式． 【详解】解：因为 ，所以 ， 则 ， 故答案为 ． 10．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）计算：的结果是 ． 【答案】31 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的化简与运算法则． 先化简，再计算，最后进行减法运算； 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据完全平方公式可以计算出题目中式子的结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·云南昆明·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确解出，的值是解答本题的关键．根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，从而确定的值，再代入求的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意，得 且， ． 当时，， ． 故答案为：． 13．（23-24八年级上·上海金山·月考）最简根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查同类二次根式，同类二次根式要求被开方数相同，据此列方程求解，并验证被开方数的非负性． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴， 解得 或 检验：当 时，，；当 时，，不符合二次根式定义， 故 ． 故答案为：10． 14．（25-26八年级下·全国·周测）已知，当分别取1，2，3，…，2025时，所对应的值的总和是 ． 【答案】2027 【分析】本题考查了二次根式的化简、绝对值的分段化简与分段函数的求和，掌握将二次根式化为绝对值形式后，根据字母取值范围分段计算是解题的关键． 先将根号内的式子化为完全平方式，转化为绝对值形式，再根据与的大小关系分情况化简函数，最后分别计算不同取值对应的值，求和得到结果． 【详解】解：由 ，因 ，故 当 时，， ； 当 时，， ； 取时：；；总和为． 取到时，共个值，每个，总和为． 故所有值的总和为． 故答案为 ：． 15．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可得到结论．熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意求出，根据勾股定理求出，进而求出，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·河北邢台·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则和灵活运用乘方公式是解题关键． （）先根据二次根式的性质化简，分母有理化进行计算，最后合并计算即可； （）先利用完全平方公式展开和分母有理化计算，零次幂，再根据二次根式混合运算法则计算即可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品． (1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）； (2)求用于张贴学生作品的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减和乘法的实际应用，解题关键是正确列出算式． （1）利用长方形的周长＝2（长+宽）即可求解； （2）将大长方形面积减去阴影面积即可求解． 【详解】（1）解：（）． 答：长方形宣传栏的周长为． （2）（）． 答：用于张贴学生作品的面积为． 18．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 19．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方式，二次根式的性质，因式分解，整体代入的思想方法，准确利用整体代入的思想方法解答是解题的关键； 将代数式适当变形后利用整体代入的方法解答即可； 利用完全平方式的特征与整体代入的方法解答即可； 利用二次根式的性质和整体代入的方法解答即可； 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ， ， ； （3）解：，， ，， ， 由知：， 则， 原式； 20．（25-26八年级上·重庆·期中）我们常用的计算三角形面积的方法，需知道三角形的一边及这边上的高，其实已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，也可以求其面积，中外数学家就这个问题曾经进行过深入的研究． 古希腊的几何学家海伦给出过求其面积的海伦公式： ，其中； 我国南宋时期的数学家秦九韶曾经提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式：， 从以上两个公式中选择恰当的公式，解决以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别为2，3，4，求此三角形的面积； (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积； (3)若一个等腰三角形的腰和底边之和为，它们的积为1，求这个等腰三角形面积的平方． 【答案】(1)此三角形的面积为； (2)此三角形的面积为； (3)此三角形的面积的平方为． 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． （1）根据海伦公式求这个三角的面积； （2）把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可； （3）把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：一个三角形的三边长分别为2，3，4， ， ， 此三角形的面积为； （2）解：由题意，令，，， ； 此三角形的面积为； （3）解：设等腰三角形的腰长为x，底边为y，则，， 由秦九韶公式得：， ， ， ， 将代入中：， 或不合题意，舍去， ， ，， ， 此三角形的面积的平方为． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式的化简与运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、最简二次根式（常考点） 1 题型二、分母有理化 1 题型三、二次根式的运算（重点） 2 题型四、二次根式运算的实际应用（重点） 3 题型五、二次根式运算的综合探究与运用（难点） 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、最简二次根式 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级下·湖北武汉·月考）若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A．0 B．2 C．4 D．6 3．（2025·河北石家庄·模拟预测）若，其中为最简二次根式，为有理数， ． 4．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 题型二、分母有理化 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 3．（25-26八年级上·河北张家口·月考）分母有理化： ， ． 4．（25-26八年级上·上海·期末）不等式的解集是 ． 5．（25-26八年级上·上海虹口·期中）已知，求的值． 6．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）计算：． 题型三、二次根式的运算 1．（25-26八年级上·四川成都·期末）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 4．（24-25八年级下·广东江门·月考）计算 (1) ； (2) ； (3) ； (4)； (5)  ； (6) ； (7)  ； (8) ． 题型四、二次根式运算的实际应用 1．（25-26八年级上·浙江·假期作业）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 2．（25-26八年级上·广西来宾·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，剩余部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）电流通过导线时会产生热量．电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流I为 A．（结果用二次根式表示） 4．（25-26八年级下·全国·周测）现将一个面积为的正方形的一组对边缩短，就成为一个长方形，这个长方形的面积为 ． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 题型五、二次根式运算的综合探究与运用 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 2．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则当 时，有最小值，最小值为 ． 3．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）规律探究：设，，，…，则的值为 ． 4．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）如图，、分别是长方形的边、上的两个点，，． (1)求证：； (2)若，求长方形的周长． 5．（25-26八年级上·陕西西安·周测）为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． (1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________； (2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值． (3)若，为正实数，且．求的最小值． 6．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 7．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 1．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·周测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·重庆·期末）估计的值应在（     ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 5．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A． B． C．2026 D．2025 7．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·浙江·月考）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·上海普陀·月考）化简： ． 10．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）计算：的结果是 ． 11．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）计算的结果是 ． 12．（25-26八年级上·云南昆明·期末）已知，则 ． 13．（23-24八年级上·上海金山·月考）最简根式与是同类二次根式，则 ． 14．（25-26八年级下·全国·周测）已知，当分别取1，2，3，…，2025时，所对应的值的总和是 ． 15．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则 ． 16．（25-26八年级上·河北邢台·月考）计算： (1)； (2)． 17．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品． (1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）； (2)求用于张贴学生作品的面积． 18．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 19．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 20．（25-26八年级上·重庆·期中）我们常用的计算三角形面积的方法，需知道三角形的一边及这边上的高，其实已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，也可以求其面积，中外数学家就这个问题曾经进行过深入的研究． 古希腊的几何学家海伦给出过求其面积的海伦公式： ，其中； 我国南宋时期的数学家秦九韶曾经提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式：， 从以上两个公式中选择恰当的公式，解决以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别为2，3，4，求此三角形的面积； (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积； (3)若一个等腰三角形的腰和底边之和为，它们的积为1，求这个等腰三角形面积的平方． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $