专项提升训练：因数与倍数计算题（考点梳理+例题讲解+考点练习）2025-2026学年五年级下册数学苏教版

专项提升训练：因数与倍数计算题 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 考点一、因数与倍数的计算基础 1 考点二、2、3、5的倍数特征 2 考点三、质数与合数 2 考点四、分解质因数 2 考点五、最大公因数与最小公倍数的计算 3 考点六、计算中的黄金关系与验证技巧 3 例题讲解 4 题型一、找一个数的因数 4 题型二、找一个数的倍数 4 题型三、2、3、5的倍数特征综合 4 题型四、质数与合数的认识 4 题型五、分解质因数 5 题型六、最大公因数与最小公倍数的计算 5 考点练习 5 练习一、找一个数的因数 5 练习二、找一个数的倍数 6 练习三、2、3、5的倍数特征综合 6 练习四、质数与合数的认识 7 练习五、分解质因数 8 练习六、最大公因数与最小公倍数的计算 9 考点梳理 考点一、因数与倍数的计算基础 1.基本概念与计算关系 (1)在 （ 均为非0自然数）中， 和 是 的因数， 是 和 的倍数。 (2)因数与倍数是相互依存的关系，不能单独存在，计算时必须明确"谁是谁的因数/倍数"。 (3)计算前提：研究范围限定在非0自然数内，0不能作为因数或倍数参与计算。 2.因数与倍数的计算特征 (1)因数特征： ①　一个数的因数个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身。 ②　求因数时应采用成对列举法，避免遗漏或重复。 (2)倍数特征： ①　一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 ②　求倍数时需注意题目是否限定范围，通常只需写出前几个或规定范围内的倍数。 考点二、2、3、5的倍数特征 1.2、3、5的倍数特征（计算题核心技巧） (1)2的倍数：个位是0、2、4、6、8的数，即偶数。 (2)5的倍数：个位是0或5的数。 (3)3的倍数：各位数字之和是3的倍数，而非看个位数字。 (4)综合判断： ①　同时是2和5的倍数：个位必须是0。 ②　同时是2、3、5的倍数：个位是0，且各位数字之和是3的倍数。 2.其他常见倍数特征（拓展计算能力） (1)4的倍数：末两位是4的倍数。 (2)6的倍数：同时是2和3的倍数。 (3)8的倍数：末三位是8的倍数。 (4)9的倍数：各位数字之和是9的倍数。 考点三、质数与合数 1.核心概念与计算意义 (1)质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数，最小质数是2（唯一偶质数）。 (2)合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数，最小合数是4。 (3)特殊数：1既不是质数也不是合数，这是计算中必须牢记的前提。 2.100以内质数表（计算必备工具） (1)共25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 (2)计算技巧：判断一个数是否为质数，只需检查小于等于其平方根的质数能否整除它。 考点四、分解质因数 1.定义与计算 (1)将一个合数写成几个质数相乘的形式，是求最大公因数和最小公倍数的基础。 (2)计算意义：将复杂合数"拆解"为质数"积木"，为后续计算提供清晰结构。 2.分解方法与规范 (1)短除法：从最小质数2开始试除，依次进行，直到商为质数为止。 (2)书写规范：将要分解的数写在等号左边，分解得到的质数用连乘形式写在右边，如 。 (3)计算技巧：分解时应按质数从小到大顺序试除，避免遗漏。 考点五、最大公因数与最小公倍数的计算 1.最大公因数（GCD）计算 (1)定义：两个或多个数的公有因数中最大的一个，记作 。 (2)计算方法： ①　列举法：分别列出各数的因数，找出最大的公共因数（适合小数）。 ②　短除法：用公有质因数连续去除，直到商互质，所有除数相乘即为最大公因数。 ③　分解质因数法：取各数中共有质因数的最低次幂相乘。 (3)特殊情况： ①　两数成倍数关系：最大公因数是较小数。 ②　两数互质：最大公因数为1。 2.最小公倍数（LCM）计算 (1)定义：两个或多个数的公有倍数中最小的一个，记作 。 (2)计算方法： ①　列举法：列出倍数，找最小公共项（适合小数）。 ②　短除法：用公有质因数去除，直到商互质，所有除数与最后的商相乘即为最小公倍数。 ③　分解质因数法：取共有质因数的最高次幂与各自独有的质因数相乘。 (3)特殊情况： ①　两数成倍数关系：最小公倍数是较大数。 ②　两数互质：最小公倍数是它们的乘积。 考点六、计算中的黄金关系与验证技巧 1.核心关系式 (1)两个数的乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数，即 。 (2)此关系可用于快速验证计算结果的正确性。 2.计算验证技巧 (1)求出最大公因数后，可检查它是否能整除两数。 (2)求出最小公倍数后，可检查它是否是两数的倍数。 (3)利用"乘积关系"反向验证：若 ，则计算有误。 例题讲解 题型一、找一个数的因数 【例题1】54的全部因数是( )。 【练习1】写出下列数的所有因数。 12的因数有：     16的因数有： 18的因数有：     60的因数有： 题型二、找一个数的倍数 【例题2】27以内4的倍数有( )。 【练习2】从小到大写出5个9的倍数。 题型三、2、3、5的倍数特征综合 【例题3】一个五位数“23□5□”，既是2的倍数，又是3和5的倍数，这个数最小是( )。 【练习3】在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，分别满足以下的条件。 (1)是2的倍数的最小三位数( )。 (2)是3的倍数的最小三位数( )。 (3)同时是2，3和5的倍数的最大三位数( )。 题型四、质数与合数的认识 【例题4】在括号里填上适当的质数。 24＝( )＋( )        91＝( )×( ) 【练习4】在（    ）里填上合适的质数。 26＝( )×( )                26＝( )＋( ) 25＝( )＋( )                66＝( )×( )×( ) 题型五、分解质因数 【例题5】把下列各数分解质因数 18    81    100    129 【练习5】先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。 24         45         91         89         63         53 题型六、最大公因数与最小公倍数的计算 【例题6】写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和18                81和7                15和20 【练习6】求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 21和39      24和48       11和13       17和34 考点练习 练习一、找一个数的因数 1．15的因数有( )；16的因数有( )。 2．72的全部因数是( )。 3．28的因数有( )，其中最小的是( )，最大的是( )。 4．你能分别说出下面各数的因数吗？ 10    12    15    23    24    30    49 练习二、找一个数的倍数 1．40以内9的倍数有( )个。 2．100以内8的倍数有( )个。 3．100以内7的最大的倍数是( )，最小的倍数是( )。 4．在下面的里填上合适的数。      28的因数         50以内7的倍数      36的因数         20以内4的倍数 练习三、2、3、5的倍数特征综合 1．要使三位数75□是3的倍数，□里可以填的数有( )；是2、3、5的倍数□可以填( )。 2．在0、3、5、6、9中选出3个数字，组成三位数。既是3的倍数，又是5的倍数有( )个，其中最小的是( )。 3．187至少减去( )就是2的倍数，至少减去( )就是5的倍数，至少加上( )就是3的倍数，至少加上( )就是2和5的共同倍数。 4．□里可以填几？ (1)2□3是3的倍数，□里最小填( )。 (2)18□既是2的倍数，又是3的倍数，□里最大填( )。 (3)43□既是3的倍数，又是5的倍数，□里填( )。 (4)69□同时是2、3和5的倍数，□里填( )。 5．把下面各数填在合适的框里。 18   24   75   50   65   125   240   375   432   996   90   1800 练习四、质数与合数的认识 1．在（    ）里填上合适的质数。 20＝( )×( )×( )         30＝( )＋( )＝( )＋( ) 2．在括号里填上合适的质数。 38＝( )×( )，12＝( )＋( )，15＝( )＋( )。 3．在括号里填上合适的质数。 12＝( )＋( )             28＝( )＋( ) 24＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( ) 4．我国著名数学家陈景润对于哥德巴赫猜想的偶数情形得出如下证明结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上不超过两个质数的乘积的形式，通常称“1＋2”。公式如下：一个偶数＝一个质数＋一个质数×一个质数。照样子，写一写。 ( )( )( ) ( )( )( )。 练习五、分解质因数 1．先圈出下面的合数，再分解质因数。 49    73    91    89    60 2．先从下面各数中圈出合数，再把圈出的合数分解质因数。 12  13  18  29  35  42  47  70 3．先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。 17    27    32    47    51    63    97 4．先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。 20   29   45   53   91   102   117 练习六、最大公因数与最小公倍数的计算 1．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 6和18    25和45     19和17 2．求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 3和11              10和25                17和51 3．我出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 13和5            25和16            17和51            24和36 4．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 （16，24）＝        （13，91）＝        （12，13）＝ ［16，24］＝        ［13，91］＝        ［12，13］＝ 5．写出每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和3     9和10      13和1 12和20    24和16    3和5 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练：因数与倍数计算题 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 考点一、因数与倍数的计算基础 1 考点二、2、3、5的倍数特征 2 考点三、质数与合数 2 考点四、分解质因数 2 考点五、最大公因数与最小公倍数的计算 3 考点六、计算中的黄金关系与验证技巧 3 例题讲解 4 题型一、找一个数的因数 4 题型二、找一个数的倍数 5 题型三、2、3、5的倍数特征综合 5 题型四、质数与合数的认识 7 题型五、分解质因数 8 题型六、最大公因数与最小公倍数的计算 9 考点练习 11 练习一、找一个数的因数 11 练习二、找一个数的倍数 12 练习三、2、3、5的倍数特征综合 14 练习四、质数与合数的认识 18 练习五、分解质因数 19 练习六、最大公因数与最小公倍数的计算 22 考点梳理 考点一、因数与倍数的计算基础 1.基本概念与计算关系 (1)在 （ 均为非0自然数）中， 和 是 的因数， 是 和 的倍数。 (2)因数与倍数是相互依存的关系，不能单独存在，计算时必须明确"谁是谁的因数/倍数"。 (3)计算前提：研究范围限定在非0自然数内，0不能作为因数或倍数参与计算。 2.因数与倍数的计算特征 (1)因数特征： ①　一个数的因数个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身。 ②　求因数时应采用成对列举法，避免遗漏或重复。 (2)倍数特征： ①　一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 ②　求倍数时需注意题目是否限定范围，通常只需写出前几个或规定范围内的倍数。 考点二、2、3、5的倍数特征 1.2、3、5的倍数特征（计算题核心技巧） (1)2的倍数：个位是0、2、4、6、8的数，即偶数。 (2)5的倍数：个位是0或5的数。 (3)3的倍数：各位数字之和是3的倍数，而非看个位数字。 (4)综合判断： ①　同时是2和5的倍数：个位必须是0。 ②　同时是2、3、5的倍数：个位是0，且各位数字之和是3的倍数。 2.其他常见倍数特征（拓展计算能力） (1)4的倍数：末两位是4的倍数。 (2)6的倍数：同时是2和3的倍数。 (3)8的倍数：末三位是8的倍数。 (4)9的倍数：各位数字之和是9的倍数。 考点三、质数与合数 1.核心概念与计算意义 (1)质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数，最小质数是2（唯一偶质数）。 (2)合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数，最小合数是4。 (3)特殊数：1既不是质数也不是合数，这是计算中必须牢记的前提。 2.100以内质数表（计算必备工具） (1)共25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 (2)计算技巧：判断一个数是否为质数，只需检查小于等于其平方根的质数能否整除它。 考点四、分解质因数 1.定义与计算 (1)将一个合数写成几个质数相乘的形式，是求最大公因数和最小公倍数的基础。 (2)计算意义：将复杂合数"拆解"为质数"积木"，为后续计算提供清晰结构。 2.分解方法与规范 (1)短除法：从最小质数2开始试除，依次进行，直到商为质数为止。 (2)书写规范：将要分解的数写在等号左边，分解得到的质数用连乘形式写在右边，如 。 (3)计算技巧：分解时应按质数从小到大顺序试除，避免遗漏。 考点五、最大公因数与最小公倍数的计算 1.最大公因数（GCD）计算 (1)定义：两个或多个数的公有因数中最大的一个，记作 。 (2)计算方法： ①　列举法：分别列出各数的因数，找出最大的公共因数（适合小数）。 ②　短除法：用公有质因数连续去除，直到商互质，所有除数相乘即为最大公因数。 ③　分解质因数法：取各数中共有质因数的最低次幂相乘。 (3)特殊情况： ①　两数成倍数关系：最大公因数是较小数。 ②　两数互质：最大公因数为1。 2.最小公倍数（LCM）计算 (1)定义：两个或多个数的公有倍数中最小的一个，记作 。 (2)计算方法： ①　列举法：列出倍数，找最小公共项（适合小数）。 ②　短除法：用公有质因数去除，直到商互质，所有除数与最后的商相乘即为最小公倍数。 ③　分解质因数法：取共有质因数的最高次幂与各自独有的质因数相乘。 (3)特殊情况： ①　两数成倍数关系：最小公倍数是较大数。 ②　两数互质：最小公倍数是它们的乘积。 考点六、计算中的黄金关系与验证技巧 1.核心关系式 (1)两个数的乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数，即 。 (2)此关系可用于快速验证计算结果的正确性。 2.计算验证技巧 (1)求出最大公因数后，可检查它是否能整除两数。 (2)求出最小公倍数后，可检查它是否是两数的倍数。 (3)利用"乘积关系"反向验证：若 ，则计算有误。 例题讲解 题型一、找一个数的因数 【例题1】54的全部因数是( )。 【答案】1、2、3、6、9、18、27、54 【分析】一个数的因数个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 确定一个数的所有因数，可以通过从1开始的乘法来找。 【详解】1×54＝54 2×27＝54 3×18＝54 6×9＝54 54的全部因数是1、2、3、6、9、18、27、54。 【练习1】写出下列数的所有因数。 12的因数有：     16的因数有： 18的因数有：     60的因数有： 【答案】1、2、3、4、6、12；1、2、4、8、16； 1、2、3、6、9、18；1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60 【分析】根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数有：1、2、3、4、6、12； 16＝1×16＝2×8＝4×4 16的因数有：1、2、4、8、16； 18＝1×18＝2×9＝3×6 18的因数有：1、2、3、6、9、18； 60＝1×60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×10 60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。 题型二、找一个数的倍数 【例题2】27以内4的倍数有( )。 【答案】4、8、12、16、20、24 【分析】根据倍数的定义，一个整数能被4整除就是4的倍数，用4依次乘1、2、3……，并判断结果是否小于27来确定。 【详解】4的倍数有： 4×1＝4 4×2＝8 4×3＝12 4×4＝16 4×5＝20 4×6＝24 4×7＝28（超过27，舍去） 所以27以内4的倍数有：4、8、12、16、20、24。 【练习2】从小到大写出5个9的倍数。 【答案】9、18、27、36、45（答案不唯一） 【分析】根据求一个数的倍数方法，9的几倍，就是9乘几，则分别用9×1，9×2，9×3，9×4，9×5，写出5个9的倍数即可。（答案不唯一） 【详解】9的倍数有：9、18、27、36、45。（答案不唯一） 题型三、2、3、5的倍数特征综合 【例题3】一个五位数“23□5□”，既是2的倍数，又是3和5的倍数，这个数最小是( )。 【答案】23250 【分析】根据题意，要确定这个五位数 “23□5□”，需结合2、3、5的倍数特征。2和5的倍数特征是个位数字是0，所以先确定个位为0；再根据3的倍数特征，即各位数字之和是3的倍数，计算已知数字的和，进而确定百位上的最小数字。据此解答。 【详解】因为这个数是2和5的倍数，所以个位一定是0。此时这个数为23□50，各位数字之和为2＋3＋□＋5＋0＝10＋□。因为这个数是3的倍数，所以10＋□是3的倍数，□可以是2、5、8，其中最小的是2。 所以这个数最小是23250。 【练习3】在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，分别满足以下的条件。 (1)是2的倍数的最小三位数( )。 (2)是3的倍数的最小三位数( )。 (3)同时是2，3和5的倍数的最大三位数( )。 【答案】(1)304 (2)345 (3)540 【分析】（1）2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8的数。在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，要使这个三位数是2的倍数且最小，那么百位上的数是0除外的最小的数即3，十位上的数是0，5，4中最小的数即0，个位上的数是5，4当中的偶数4，所以是2的倍数的最小三位数是304； （2）3的倍数特征：各个数位上的数字之和能被3整除。在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，要使这个三位数是3的倍数且最小，那么百位上的数是0除外的最小的数即3，3能被3整除，所以确保十位和个位上的数字之和能被3整除且取和最小的两个数字，按十位上的数字小于个位上的数字排列。十位和个位上的数字之和可能是0＋5＝5、0＋4＝4、4＋5＝9，在5、4、9中，只有9能被3整除，因为4＜5，所以十位上的数字是4，个位上的数字是5，所以是3的倍数的最小三位数是345； （3）同时是2，3和5的倍数特征：个位上的数是0，且各个数位上的数字之和能被3整除。在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，要使这个三位数同时是2，3和5的倍数且最大，那么个位上的数是0，所以确保十位和百位上的数字之和能被3整除且取和最大的两个数字，按百位上的数字大于十位上的数字排列。十位和百位上的数字之和可能是3＋5＝8、3＋4＝7、4＋5＝9，在8、7、9中，只有9能被3整除，因为5＞4，所以百位上的数字是5，十位上的数字是4，所以同时是2，3和5的倍数的最大三位数540。 【详解】（1）根据分析： 在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，是2的倍数的最小三位数304。 （2）根据分析： 在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，是3的倍数的最小三位数345。 （3）根据分析： 在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，同时是2，3和5的倍数的最大三位数540。 题型四、质数与合数的认识 【例题4】在括号里填上适当的质数。 24＝( )＋( )        91＝( )×( ) 【答案】 5 19 13 7 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；找出24以内的质数，找出两个质数的和为24即可（答案不唯一）；分解91为两个质数之积时，需找到能整除91的质数对。 【详解】24以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23。 24＝5＋19 91＝13×7 24＝5＋19       91＝13×7 【练习4】在（    ）里填上合适的质数。 26＝( )×( )                26＝( )＋( ) 25＝( )＋( )                66＝( )×( )×( ) 【答案】 2 13 3 23 2 23 2 3 11 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数，按顺序列举出26以内的所有质数，再把符合条件的质数填入加号两边的括号里；分解质因数通常用短除法，从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，把这个数写成所有除数和商连乘的形式，据此把26和66分解质因数，即可求得。 【详解】26以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23。 26＝3＋23＝7＋19＝13＋13 25＝2＋23 26＝2×13 66＝2×3×11 所以，26＝2×13，26＝3＋23（答案不唯一），25＝2＋23，66＝2×3×11。 题型五、分解质因数 【例题5】把下列各数分解质因数 18    81    100    129 【答案】18＝2×3×3                 81＝3×3×3×3 100＝2×2×5×5         129＝3×43 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，据此把题中几个数字分解质因数。 【详解】 18＝2×3×3                 81＝3×3×3×3 100＝2×2×5×5         129＝3×43 【练习5】先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。 24         45         91         89         63         53 【答案】见详解 【分析】除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；分解质因数可以把一个合数写成几个质数连乘的形式，叫做把这个合数分解质因数；由此解答。 【详解】根据分析，合数有：24、45、91、63 圈数如下： 分解质因数： 24＝2×2×2×3 45＝3×3×5 91＝7×13 63＝3×3×7 题型六、最大公因数与最小公倍数的计算 【例题6】写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和18                81和7                15和20 【答案】6，36；1，567；5，60 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最大公因数：2×3＝6 12和18的最小公倍数：2×2×3×3＝36 81和7互质， 81和7的最大公因数：1 81和7的最小公倍数：81×7＝567 15＝3×5 20＝2×2×5 15和20的最大公因数：5 15和20的最小公倍数：2×2×3×5＝60 【练习6】求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 21和39      24和48       11和13       17和34 【答案】21和39的最大公因数是3；最小公倍数是273； 24和48的最大公因数是24，最小公倍数是48； 11和13的最大公因数是1，最小公倍数是143； 17和34的最大公因数是17，最小公倍数是34 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积； 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】（1）21＝3×7 39＝3×13 21和39的最大公因数是3； 21和39的最小公倍数是3×7×13＝273。 （2）24和48是倍数关系； 24和48的最大公因数是24，最小公倍数是48。 （3）11和13是互质数； 11和13的最大公因数是1，最小公倍数是11×13＝143。 （4）17和34是倍数关系； 17和34的最大公因数是17，最小公倍数是34。 考点练习 练习一、找一个数的因数 1．15的因数有( )；16的因数有( )。 【答案】 1、3、5、15 1、2、4、8、16 【分析】找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此解答。 【详解】15＝1×15＝3×5，则15的因数有：1、3、5、15； 16＝1×16＝2×8＝4×4，则16的因数有：1、2、4、8、16。 2．72的全部因数是( )。 【答案】1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72 【分析】因数是指能整除一个数的整数。要求72的全部因数，可以通过列举法，从1开始逐个检查能否整除72，并成对找出所有因数。 【详解】72÷1＝72，所以1和72是72的因数； 72÷2＝36，所以2和36是72的因数； 72÷3＝24，所以3和24是72的因数； 72÷4＝18，所以4和18是72的因数； 72÷6＝12，所以6和12是72的因数； 72÷8＝9，所以8和9是72的因数。 72的全部因数是：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72。 3．28的因数有( )，其中最小的是( )，最大的是( )。 【答案】 1、2、4、7、14、28 1 28 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就，是这个数的因数。 【详解】28＝1×28＝2×14＝4×7 28的因数有1、2、4、7、14、28，其中最小的是1；最大的是28。 4．你能分别说出下面各数的因数吗？ 10    12    15    23    24    30    49 【答案】见详解 【分析】找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此解答。 【详解】10＝1×10＝2×5 12＝1×12＝2×6＝3×4 15＝1×15＝3×5 23＝1×23 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 49＝1×49＝7×7 所以 10的因数：1、2、5、10； 12的因数：1、2、3、4、6、12； 15的因数：1、3、5、15； 23的因数：1、23； 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24； 30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30； 49的因数：1、7、49。 练习二、找一个数的倍数 1．40以内9的倍数有( )个。 【答案】4 【分析】求9的倍数，就是用9依次乘1，2，3，4…并判断结果是否在40以内，从而确定40以内9的倍数个数。 【详解】9×1＝9 9×2＝18 9×3＝27 9×4＝36 当9×5＝45时，45已经超过40了。 所以40以内9的倍数有9，18，27，36，共4个。 40以内9的倍数有4个。 2．100以内8的倍数有( )个。 【答案】12 【分析】要求100以内8的倍数的个数，即找出所有不超过100的正整数中，能被8整除的数。可以用8乘倍数来得出100以内的8倍数。据此可计算得出答案。 【详解】100以内的8的倍数有：8×1＝8，8×2＝16，8×3＝24，8×4＝32，8×5＝40，8×6＝48，8×7＝56，8×8＝64，8×9＝72，8×10＝80，8×11＝88，8×12＝96。 即100以内8的倍数有：8、16、24、32、40、48、56、64、72、80、88、96。共12个。 3．100以内7的最大的倍数是( )，最小的倍数是( )。 【答案】 98 7 【分析】一个数的最小倍数是它本身，100以内7的最大倍数，可以把100以内7的倍数都写出来（7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98），找出最大的。 【详解】分析可知，100以内7的最大的倍数是98，最小的倍数是7。 4．在下面的里填上合适的数。      28的因数         50以内7的倍数      36的因数         20以内4的倍数 【答案】1、2、4、7、14、28；7、14、21、28、35、42、49 1、2、3、4、6、9、12、18、36；4、8、12、16、20 【分析】因数：若整数a÷能被b整除（b≠0），则b是a的因数，因数成对出现（如a×b＝n，则a、b都是n的因数）。 倍数：若整数a能被b整除（a＝ b×k，k 为整数，b≠0），则a是b的倍数，倍数可通过b×1， b×2…枚举。 【详解】因为28÷1＝28、28÷2＝14、28÷4＝7，28的因数有1、2、4、7、14、28。 1×7＝7，2×7＝14，3×7＝21，4×7＝28，5×7＝35，6×7＝42，7×7＝49，8×7＝56…，50以内7的倍数有7、14、21、28、35、42、49。 因为36÷1＝36、36÷2＝18、36÷3＝12、36÷4＝9、36÷6＝6，36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。 1×4＝4、2×4＝8、3×4＝12、3×4＝12、4×4＝16、5×4＝20、6×4＝24…，20以内4的倍数4、8、12、16、20。 练习三、2、3、5的倍数特征综合 1．要使三位数75□是3的倍数，□里可以填的数有( )；是2、3、5的倍数□可以填( )。 【答案】 0、3、6、9 0 【分析】3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。7＋5＝12，12是3的倍数，说明要使三位数75□是3的倍数，个位上的数是0或3的倍数。 2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数。要使三位数75□是2、3、5的倍数，则个位上应是0。 【详解】7＋5＝12 要使三位数75□是3的倍数，□里可以填的数有3、6、9；是2、3、5的倍数□可以填0。 2．在0、3、5、6、9中选出3个数字，组成三位数。既是3的倍数，又是5的倍数有( )个，其中最小的是( )。 【答案】 6 360 【分析】既是3的倍数，又是5的倍数的特征是末尾是5或者0，且各个数位加起来的和是3的倍数； 给出的5个数字当中有0和5，则分情况讨论即可。 【详解】个位为0的情况：剩余两位从3、5、6、9中选，且数字之和为3的倍数。 3和6：和为9，组成360、630 3和9：和为12，组成390、930 6和9：和为15，组成690、960 共6个数：360、630、390、930、690、960。 个位为5的情况： 剩余两位从0、3、6、9中选，且数字之和加5为3的倍数。 所有组合（如305、365等）的和均不满足3的倍数，故无符合条件的数。 则既是3的倍数，又是5的倍数有6个，其中最小的是360。 3．187至少减去( )就是2的倍数，至少减去( )就是5的倍数，至少加上( )就是3的倍数，至少加上( )就是2和5的共同倍数。 【答案】 1 2 2 3 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数。 3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数的数是3的倍数。 2和5的共同倍数特征：个位是0的数是2和5的共同倍数。 【详解】187的个位是7，要变成2的倍数，需要减去1，使个位变为6，即187－1＝186，186是2的倍数。 187的个位是7，要变成5的倍数，需要减去2，使个位变为5，即187－2＝185，185是5的倍数。 187各位数字之和为1＋8＋7＝16，比16大且最接近的3的倍数是18，所以需要加上18－16＝2，即187＋2＝189，189是3的倍数。 187的个位是7，要变成个位为0的数，需要加上3，即187＋3＝190，190是2和5的共同倍数。 所以187至少减去1就是2的倍数，至少减去2就是5的倍数，至少加上2就是3的倍数，至少加上3就是2和5的共同倍数。 4．□里可以填几？ (1)2□3是3的倍数，□里最小填( )。 (2)18□既是2的倍数，又是3的倍数，□里最大填( )。 (3)43□既是3的倍数，又是5的倍数，□里填( )。 (4)69□同时是2、3和5的倍数，□里填( )。 【答案】(1)1 (2)6 (3)5 (4)0 【分析】（1）3的倍数特征：各个数位上数字相加的和是3的倍数，从最小的自然数0开始按顺序计算找出符合条件的数字； （2）同时是2和3的倍数的特征：个位数字是0、2、4、6、8，各个位上数字相加的和是3的倍数，从8开始按顺序计算找出符合条件的数字； （3）同时是3和5的倍数的特征：个位数字是0或5，各个数位上数字相加的和是3的倍数； （4）同时是2、3、5的倍数的特征：个位数字是0，各个数位上数字相加的和是3的倍数，据此解答。 【详解】（1）□里为0时，2＋0＋3＝5，5不是3的倍数，不符合条件； □里为1时，2＋1＋3＝6，6是3的倍数，符合条件。 所以，□里最小填1。 （2）□里为8时，1＋8＋8＝17，17不是3的倍数，不符合条件； □里为6时，1＋8＋6＝15，15是3的倍数，符合条件。 所以，□里最大填6。 （3）□里为0时，4＋3＋0＝7，7不是3的倍数，不符合条件； □里为5时，4＋3＋5＝12，12是3的倍数，符合条件。 所以，□里填5。 （4）□里为0时，6＋9＋0＝15，15是3的倍数，符合条件。 所以，□里填0。 5．把下面各数填在合适的框里。 18   24   75   50   65   125   240   375   432   996   90   1800 【答案】见详解 【分析】既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数，据此解答。 【详解】 练习四、质数与合数的认识 1．在（    ）里填上合适的质数。 20＝( )×( )×( )         30＝( )＋( )＝( )＋( ) 【答案】 2 2 5 7 23 13 17 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；据此找出三个质数的乘积是20；找出30以内的质数，找出两个质数的和是30即可解答（答案不唯一）。 【详解】20＝2×2×5 30以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29。 30＝7＋23＝13＋17（答案不唯一） 20＝2×2×5 30＝7＋23＝13＋17 2．在括号里填上合适的质数。 38＝( )×( )，12＝( )＋( )，15＝( )＋( )。 【答案】 2 19 5 7 2 13 【分析】每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数，把38分解质因数即可；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数，先按顺序列举出15以内的所有质数，再找出符合题意的质数填入对应的括号中，据此解答。 【详解】分析可知，38＝2×19，15以内的质数有2，3，5，7，11，13，12＝5＋7，15＝2＋13。 3．在括号里填上合适的质数。 12＝( )＋( )             28＝( )＋( ) 24＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( ) 【答案】 5 7 5 23 5 19 7 17 11 13 【分析】30以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29；从这些质数中选择两个质数相加，求出和分别是12、28、24即可。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 【详解】12＝5＋7 28＝5＋23或28＝11＋17 24＝5＋19＝7＋17＝11＋13 4．我国著名数学家陈景润对于哥德巴赫猜想的偶数情形得出如下证明结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上不超过两个质数的乘积的形式，通常称“1＋2”。公式如下：一个偶数＝一个质数＋一个质数×一个质数。照样子，写一写。 ( )( )( ) ( )( )( )。 【答案】 11 5 5 23 5 5 【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。据此将36和48拆成“一个质数＋一个质数×一个质数”的形式。解题时需先确定第一个质数，再验证剩余部分是否能分解为两个质数的乘积。 【详解】11＋5×5＝3＋3×11＝2＋2×17 23＋5×5＝13＋5×7 练习五、分解质因数 1．先圈出下面的合数，再分解质因数。 49    73    91    89    60 【答案】见详解 【分析】合数是指除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的自然数；质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。然后找出合数，再把合数分解成几个质数相乘的形式，这就是分解质因数。 【详解】49除了能被1和49整除外，还能被7整除，所以49是合数。 73只能被1和73整除，所以73是质数。 91除了能被1和91整除外，还能被7和13整除，所以91是合数。 89只能被1和89整除，所以89是质数。 60除了能被1和60整除外，还能被2、3、4、5、6等数整除，所以60是合数。 综上，合数有49、91、60。 49＝7×7 91＝7×13 60＝2×2×3×5 2．先从下面各数中圈出合数，再把圈出的合数分解质因数。 12  13  18  29  35  42  47  70 【答案】合数有：12，18，35，42，70 ；；；； 【分析】合数是指在大于1的自然数中，除了含有1和本身两个因数以外，还含有其他的因数。例如，4除了有1和4这两个因数外，还含有2这个因数，因此4是合数。由此判断即可。 【详解】12除了含有1和12两个因数外，还含有2，3，6，4这些因数，因此是合数； 13只含有1和13两个因数，因此是质数； 18除了含有1和18两个因数外，还含有2，3，6，9这些因数，因此是合数； 29只含有1和29两个因数，因此是质数； 35除了含有1和35两个因数外，还含有5，7两个因数，因此是合数； 42除了含有1和42两个因数外，还含有2，3，6，7，14，21这些因数，因此是合数； 70除了含有1和70两个因数外，还含有2，5，7，10，14，35这些因数，因此是合数； 综上，合数有：12，18，35，42，70； 12＝2×2×3 18＝2×3×3 35＝5×7 42＝2×3×7 70＝2×5×7 3．先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。 17    27    32    47    51    63    97 【答案】见详解 【分析】一个数（0除外）除了1和它本身两个因数以外，还有别的因数，这样的数叫合数，据此圈出合数；所谓分解质因数就是把一个合数写成几个质因数相乘的形式，据此解答。 【详解】如图所示： 27＝3×3×3 32＝2×2×2×2×2 51＝3×17 63＝3×3×7 4．先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。 20   29   45   53   91   102   117 【答案】见详解 【分析】一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数；每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数，分解质因数通常用短除法，从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，把这个数写成所有除数和商连乘的形式，据此解答。 【详解】 20＝2×2×5 45＝3×3×5 91＝7×13 102＝2×3×17 117＝3×3×13 练习六、最大公因数与最小公倍数的计算 1．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 6和18    25和45     19和17 【答案】 6，18；5，225；1，323 【分析】求两数的最大公因数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最大公因数是1；两个数为倍数关系，则最大公因数为较小的数；两个数有公因数的，最大公因数是两个数公有质因数的乘积。求两数的最小公倍数，两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公因数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积。据此解答。 【详解】因为18÷6＝3，所以6和18的最大公因数是6，最小公倍数是18； 25＝5×5，45＝3×3×5，所以25和45的最大公因数是5，最小公倍数是3×3×5×5＝225； 因为19和17互质，所以19和17的最大公因数是1，最小公倍数是19×17＝323。 2．求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 3和11              10和25                17和51 【答案】最大公因数1；最小公倍数33；最大公因数5；最小公倍数50；最大公因数17；最小公倍数51 【分析】（1）如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积； （2）把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数；最后把所有除数和商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数； （3）如果两个数是倍数关系，那么最大公因数是两个数中的较小数，最小公倍数是两个数中的较大数，据此解答。 【详解】（1）3和11 3×11＝33 3和11是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是33。 （2）10和25 5×2×5＝50 10和25的最大公因数是5，最小公倍数是50。 （3）17和51 51÷17＝3 51是17的倍数，17和51的最大公因数是17，最小公倍数是51。 3．我出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 13和5            25和16            17和51            24和36 【答案】13和5的最大公因数和最小公倍数分别是：1，65； 25和16的最大公因数和最小公倍数分别是：1，400； 17和51的最大公因数和最小公倍数分别是：17，51； 24和36的最大公因数和最小公倍数分别是：12，72 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】13和5互质， 13×5＝65 13和5的最大公因数和最小公倍数分别是：1，65； 25和16互质， 25×16＝400 25和16的最大公因数和最小公倍数分别是：1，400； 51÷17＝3 51和17是倍数关系，它们的最大公因数和最小公倍数分别是：17，51； 24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 2×2×3＝12 2×2×2×3×3＝72 24和36的最大公因数和最小公倍数分别是：12，72。 4．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 （16，24）＝        （13，91）＝        （12，13）＝ ［16，24］＝        ［13，91］＝        ［12，13］＝ 【答案】8；13；1； 48；91；156 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】16＝2×2×2×2 24＝2×2×2×3 16和24的最大公因数：2×2×2＝8 16和24的最小公倍数：2×2×2×2×3＝48 91÷13＝7 91和13是倍数关系， 91和13的最大公因数是13，最小公倍数是91； 12和13互质， 12×13＝156 12和13的最大公因数是1，最小公倍数是156。 5．写出每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和3     9和10      13和1 12和20    24和16    3和5 【答案】12和3的最大公因数是3；最小公倍数是12 9和10的最大公因数是1；最小公倍数是90 13和1的最大公因数是1；最小公倍数是13 12和20的最大公因数是4；最小公倍数是60 24和16的最大公因数是8；最小公倍数是48 3和5的最大公因数是1；最小公倍数是15 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积； 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】（1）12和3是倍数关系，所以12和3的最大公因数是3，最小公倍数是12。 （2）9和10是互质数，所以9和10的最大公因数是1，最小公倍数是9×10＝90。 （3）13和1是倍数关系，所以13和1的最大公因数是1，最小公倍数是13。 （4）12＝2×2×3，20＝2×2×5 12和20的最大公因数是2×2＝4，最小公倍数是2×2×3×5＝60。 （5）24＝2×2×2×3，16＝2×2×2×2 24和16的最大公因数是2×2×2＝8，最小公倍数是2×2×2×2×3＝48。 （6）3和5是互质数，所以3和5的最大公因数是1，最小公倍数是3×5＝15。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $