精品解析：重庆大足区2025-2026学年度上期期末质量监测九年级数学试卷

2025~2026学年度上期期末质量监测 九年级数学试题卷 注意事项： 1．测试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：8页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5mm签字笔． 4．答题前，务必将自己的姓名、监测号填写在答题卡规定的位置上． 5．测试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 大足是石刻之乡，小五金之乡．为了吸引更多的人关注大足，到大足投资、观光旅游，我区的宣传口号是“常来大足，人生幸福”．请选出下面是轴对称的字为（ ） A. 来 B. 足 C. 生 D. 福 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、“来”是轴对称图形，符合题意； B、“足”不是轴对称图形，不符合题意； C、“生”不是轴对称图形，不符合题意； D、“福”不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列是不可能事件的是（ ） A. 通常加热到，水会沸腾 B. 打开电视，正好播放新闻联播 C. 在一个全是黑球的袋子里，摸出一个白球 D. 三角形的内角和为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：、通常加热到，水会沸腾是必然事件，该选项不符合题意； 、打开电视，正好播放新闻联播是随机事件，该选项不符合题意； 、在一个全是黑球的袋子里，摸出一个白球是不可能事件，该选项符合题意； 、三角形的内角和为是必然事件，该选项不符合题意； 故选：． 3. 如图，已知及其所在平面内的4个点，若半径为6，则到圆心O距离为5的点可能是（ ） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为d，半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】解：∵半径为6，点到圆心O距离为5， ∴该点在圆内， ∵， ∴该点在圆内，且到圆心距离大于到圆的距离， ∴该点可能是点P， 故先：C． 4. 方程的解正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用直接开方法解方程，即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 5. 我国古代数学在方程领域有着辉煌的成就．《九章算术》中记载：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？翻译后为：有一扇门，高比宽多6尺8寸，对角线距离恰好1丈．问门的高和宽各是多少？设宽为尺，则依题意列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，一元二次方程的应用，设门宽为尺，则高为尺，对角线为10尺，根据勾股定理，宽与高的平方和等于对角线平方即可列出方程． 【详解】解：设宽为尺，则高为尺，对角线为10尺， ∴根据勾股定理得， 故选：A． 6. 高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面宽，净高，则此圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆的综合运用，熟练掌握垂径定理是解题的关键，先设此圆的半径为，则，，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设此圆的半径为，则，， ∵， ∴米， 在中， ∴， 即， 解得米， 故选：A． 7. 如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 8. 如图所示：小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺放置于桌面上，并量出，则此光盘的直径是（ ）． A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，含直角三角形的性质，以及勾股定理．连接，根据题意求出，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得，从而得出光盘的直径． 【详解】解：设圆心为点，连接． ∵， ∴， ∵和与相切， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴光盘的直径是． 故选：C． 9. 如图是二次函数图像的一部分，对称轴为，经过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；其中说法正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据图象得出二次函数的开口向下，与轴的交点在轴上方，即可得出，，根据抛物线的对称轴得出，即可判断①②，根据抛物线的对称轴得出抛物线与轴的另一个交点为，结合抛物线的图象即可得出当时，，进而判断③，结合，到对称轴的距离，结合抛物线的性质即可判断④． 【详解】解：根据图象可得：二次函数的开口向下，与轴的交点在轴上方， 故，； ∵二次函数对称轴为， ∴， 即； 故，①说法错误． ∵ ， 故，②说法正确． ∵二次函数的对称轴为，经过点， 故抛物线与轴的另一个交点为， 对于抛物线，当时，； 故当时，，故③说法错误． ，是抛物线上两点，抛物线的开口向下，对称轴是， ∵，， ∵， 故点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴；故④说法错误； 故说法正确的是②． 故选：B． 10. 已知关于的整式，其中系数，，均为非负整数．该整式满足．请判断下列说法的正误：①满足条件的整式中，其常数项的值共有5种可能；②满足条件的整式中，若是单项式，则这样的共有3个；③满足条件的整式中，若恰好是二次三项式，则这样的共有4个；④满足条件的整式中，若能被整除，则这样的共有3个．以上正确的个数有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了多项式的系数和次数，由得，且系数均为非负整数．分别验证四个说法：①求的可能值；②求单项式情况；③求二次三项式情况；④求能被x整除情况． 【详解】解：∵，其中系数，，均为非负整数，， ∴， ①的可能值为0，1，2，3，4，共5种，故①正确； ②∵满足条件的整式中，若是单项式， ∴系数，，中有2个为0，另一个为4， ∴或或，共3个，故②正确； ③∵满足条件的整式中，若恰好是二次三项式， ∴系数，，都不为0，且， ∴系数，，中有2个为1，另一个为2， ∴或或，共3个，故③错误； ④∵满足条件的整式中，若能被整除， ∴， ∵， ∴， ∴或或或或， ∴或或或或，共5个，故④错误． ∴正确说法有2个． 故选：B． 二．填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 11. 喜欢数学的小荷说“”（即：数学是我的菜！）从组成“”的所有字母中随机抽一个字母（不分大小写），抽中“i”的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了随机抽样的概率的求法，掌握概率公式是解题的关键． 计算“”四个单词的总字母数，以及字母“i”的出现次数，再求概率即可． 【详解】解：∵“”字母总数为，字母“i”仅出现1次， ∴概率为． 故答案为：． 12. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后得到的抛物线的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解． 【详解】解：抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的解析式为：， 故答案为： ． 13. 已知是方程的一个根，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的化简求值，由已知条件是方程的根，可得 ，将所求表达式通分并化简，利用 代入计算，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 由是方程的根， 可得，得， 所以原式， 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程有两个实数根，且使关于的一元一次不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了已知一元二次方程的解求参数，一元二次方程的定义，解不等式组，已知不等式组的解集求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．首先根据一元二次方程有两个实数根的条件，得到且判别式，解得，再根据不等式组有且只有4个整数解，解得m的取值范围为，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， ∴，且 ∵， ∴由得， ∴由得， 因此不等式组的解集为， ∵该解集有且只有4个整数解， 则整数解为1，2，3，4， 故需满足， 解得， ∵m为整数，，且 ∴， 经检验：当时，方程化为，判别式，有两个实数根；不等式组解集为，整数解为1，2，3，4，满足条件． 故答案为：3． 15. 如图，在中，为圆心，为圆上两动点，连接，过作，为上一点，且，，则的半径为_____，的取值范围是_____． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，半圆（直径）所对的圆周角是直角，点与圆上一点的最值问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用勾股定理求得的半径，再确定点C所在的圆，根据圆外一点到圆上任一点的距离，确定的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形，为斜边，且长度不变， ∴点在以为直径的圆上，如图， 取的中点E，连接，并延长与圆E交于点F、G， 则， 所以， 所以，， 所以， 故答案为：． 16. 对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字各不相同且均不为0，它的千位数字加个位数字等于14，百位数字与十位数字之和为12，那么称这个数为“王子数”．对于一个“王子数”，将它前后两位分别拆分成两个两位数，我们将千位和百位组成的两位数与十位和个位组成的两位数之和记为，将千位和百位组成的两位数与十位和个位组成的两位数之差记为．例如：8756，因为，，各数位上数字各不相同且均不为0，所以8756是“王子数”．最大的四位“王子数”是_____．若是“王子数”，且满足是一个完全平方数，求等于_____． 【答案】 ①. 9845 ②. 161 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减运算的应用，二元一次方程的解，解题的关键是正确计算． 设四位自然数W的千位、百位、十位、个位数字分别为a、b、c、d，根据题意得到，，为求最大四位数，a取最大值9，则，b取8，则，故最大数为9845； 表示出，根据题意设，m为整数，得到，然后根据为两位数得到或4或5或6或7，然后分别代入求解即可． 【详解】解：设四位自然数W的千位、百位、十位、个位数字分别为a、b、c、d，且a、b、c、d均为1到9的正整数，且互异，均不为0， 根据题意得，，， ∵要求最大的四位“王子数” ∴a取最大值9，即 ∴， ∴b取8时， ∴ ∴最大“王子数”为9845； ∵，， ∴， 根据题意得，， ∴ ∵是一个完全平方数， ∴设，m为整数， ∴ ∴ ∵为两位数 ∴或4或5或6或7， ∴当时，， ∴，， ∴，（不符合题意，应舍去）； 当时，， ∴，， ∴（不符合题意，应舍去），； 当时，， ∴，（不符合题意，应舍去）； 当时，， ∴，， ∴（不符合题意，应舍去），； 当时，， ∴，， ∴，，符合题意 ∴． 故答案为：9845，161． 三．解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 已知关于的一元二次方程的两根分别为和，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题是一元二次方程根与系数的关系的有关知识．解答本题的关键是熟知一元二次方程的定义，根与系数的关系完全平方公式变形求值．依据一元二次方程定义解出a的值，a值代入把方程化成最简一般形式，根据根与系数的关系求得，得，即得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴原方程为， 化简，得， ∴， ∴， ∴． 18. 从特殊到一般是科学研究中常用的重要思想方法．为了探究点绕原点顺时针分别旋转对应的坐标分别是多少．小雨采取先在平面直角坐标系中选取点分别按点的旋转方式进行探究．通过操作、观察、分析、比较、归纳后她发现了点旋转后的坐标特征． （1）请按小雨的思路在平面直角坐标系中作出点旋转后的各点； （2）结合作图，请完成下表的填写． 旋转的角度 点对应点的坐标 点对应点的坐标 【答案】（1）解：如图，点即为所求； （2）由（1）可得点绕原点顺时针分别旋转对应的点坐标分别为，，； 如图所示，设点的坐标在第一象限， 将点P绕原点顺时针旋转后的点记为点，过点分别作轴的垂线，垂足为， 则， 由旋转可得， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 同理绕原点顺时针旋转得到对应点的坐标为，绕原点顺时针旋转得到对应点的坐标为； ∴填表为： 旋转的角度 点对应点的坐标 点对应点的坐标 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）根据题意结合旋转作图的步骤即可作图； （2）先由（1）的作图即可确定点对应点的坐标，然后通过作垂线构造全等三角形结合旋转的性质求解点对应点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每个小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在对应的位置上． 19. 如图，是正方形中边上任意一点，是正方形的对角线． （1）在内尺规作图作交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，请根据小何的思路完成的证明． 证明：延长至，使，连接 四边形是正方形 ∴_____①_________②_____ _____③_____° _____④_____° 【答案】（1） 如图， （2）①；②；③；④； 【解析】 【分析】本题考查作一个角等于已知角，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，角度的和差运算； （1）按照作一个角等于已知角的步骤画图即可； （2）根据三角形全等的判定条件，以及正方形的性质进行角度运算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：延长至，使，连接，如图， 四边形是正方形 ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 20. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．我们将人工智能市场分为：．决策类人工智能，．人工智能机器人，．语言类人工智能，．视觉类人工智能四大类型．某班在班内调查了同学们对这四大类人工智能的喜爱情况，根据调查结果绘制了如下不完整的统计图．说明：参与本次调查的所有同学只选择一种喜爱的类型． （1）补全条形统计图．并完成填空_____，_____． （2）若该年级有人，估计喜爱视觉类人工智能的人数有多少？ （3）将四种类型依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】（1）条形统计图如图： ，； （2）估计人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用条形统计图中机器人类的人数除以扇形统计图中机器人类的百分比可得参与本次调查的同学总人数；分别求出决策类和语言类的人数，再补全条形统计图即可；用除以参与本次调查的同学总人数即可求出视觉类所占的百分比，用除以参与本次调查的同学总人数即可求出机器人所占的百分比； （2）用该年级的总人数乘以视觉类所占的百分比，即可求解； （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取到的两张卡片内容一致的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：参与本次调查的同学共有（人）． 扇形统计图中决策类的人数：（人）， 扇形统计图中语言类的人数：（人）， 扇形统计图中视觉类所占百分比：， 扇形统计图中语言类所占百分比：． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：（人）． 故喜爱视觉类人工智能的估计有人． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果有种， ∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 21. 在设计人体雕塑时，为了增加视觉美感，雕塑师在雕刻时将雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比．美学家认为这个比值是黄金分割数，它能增加美感．据说一些名画和雕塑中的人体大体都符合这个比． （1）如图，，线段上有一点把线段分成两段，其中是较小的一段，且满足，求的值． （2）雷锋精神代代传．在辽宁抚顺雷锋纪念馆前有一座高2米的雷锋雕像就是按以上的比例进行雕刻的．应用上面的结论，请问雕塑上部（上部比下部短）是多少米？ 【答案】（1）的长为 （2）雕塑的上部是 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设为，则，根据列出方程，求解即可； （2）设上部为，则下部为，根据（1）中线段的比列出方程，求解并根据实际取舍即可解答． 【小问1详解】 解：设为，则， ∵， ∴， 即， 解得，， ∵， ∴， 答：的长为． 【小问2详解】 解：设上部为，则下部为，根据题意，得 ， 即， 解得，， ∵，不合题意，舍去， ∴， 答：雕塑的上部是． 22. 《大足县志》记载，清末宣统年间，大足就有羊皮税．证明了大足黑山羊已有百年育种养殖历史．大足黑山羊以铁山、季家镇最佳．大足区季家村民东东为响应政府返乡创业的号召，因地制宜修建黑山羊圈，如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形羊圈．设羊圈的宽为，面积为． （1）求与的函数解析式，写出的取值范围．并在平面直角坐标系中画出该函数图像． （2）当取何值时，羊圈的面积最大？最大为多少？ 【答案】（1），， 列表为： 描点、连线作出图象为： （2）当时，羊圈的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）由题意得，，再由长方形面积公式建立函数解析式，根据墙的最大长度为以及矩形羊圈的长大于零建立不等式组求解的取值范围，再由列表、描点、连线即可作图； （2）根据二次函数的性质即可求解最值． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 解：， ∵，在范围内， ∴当时，取得最大值为． 23. 如图，内接于为直径，是的弦，的切线与的延长线交于点． （1）求证： （2）若，垂足为，，求的长． 【答案】（1）证明：连接． ∵是的切线， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，由圆的切线可得，由圆周角定理得到，然后结合等边对等角导角证明即可； （2）根据垂径定理可得，从而得到，从而得到是等边三角形，进而得到，在中，根据锐角三角函数可得，再在中，根据锐角三角函数，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． ∴在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，垂径定理等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线解析式为交轴于两点，与轴交于点，连接． （1）求三点的坐标； （2）如图1，是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，求的最大值及点的坐标． （3）如图2，将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上的一个动点．当时，请直接写出所有符合条件点的坐标． 【答案】（1），， （2）的最大值为1，点的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】（1）令，求出的坐标，令，求出的坐标； （2）通过证明是等腰直角三角形，得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，其中，进而表示出，再利用二次函数的性质即可求解； （3）根据二次函数平移的性质得到新抛物线，由题意得，再分2种情况讨论：①当在轴上方时；②当在轴下方时，分别求出对应直线的解析式，再联立直线与抛物线的解析式，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则，其中， 则 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：， ∵，， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴将抛物线向上平移2个单位长度，向右平移1个单位长度得到新抛物线， ∴， ∵， ∴， ①当在轴上方时，记此时点为， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（舍去）， ∴； ②当在轴下方时，记此时点为， 延长与交于点， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 综上，所有符合条件点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合、抛物线与坐标轴的交点、二次函数的最值问题、等腰直角三角形的性质与判定、求一次函数解析式，运用数形结合思想是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合和分类讨论能力，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生． 25. 在菱形中，对角线与交于点． （1）如图1，若，求菱形的面积； （2）如图2，若为延长线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接．所在直线交延长线于点，延长至点，使得为延长线上一点，且，求证：． （3）如图3，若，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，连接，请直接写出的最大值． 【答案】（1）40 （2） 解：∵将绕点顺时针旋转至， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，，平分和， ∴， ， ， ∴， ∴，即． 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在菱形中，， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可； （2）由旋转得到，，又菱形的性质得到，，，进而得到．连接，可证得，得到，，由，，得到，再证，从而有，得到，再在菱形中，求得，即可得证结论； （3）由勾股定理得，根据，可求出，根据，且的值随着的值增大而增大，得到当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，有最大值．过点B作于M，作于点N，由菱形的面积可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵在菱形中，，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴ ， ∵，且的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，有最大值． 过点B作于M，作于点N， ∵， ∴， 又，即， ∴， ∴由轴对称的性质可得， ∵在中，， ∴当有最小值时，有最小值， ∵由垂线段最短可知， ∴当点P与点N重合时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，勾股定理，轴对称图形的性质，垂线段最短等，熟练运用相关知识，掌握转化思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度上期期末质量监测 九年级数学试题卷 注意事项： 1．测试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：8页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5mm签字笔． 4．答题前，务必将自己的姓名、监测号填写在答题卡规定的位置上． 5．测试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 大足是石刻之乡，小五金之乡．为了吸引更多的人关注大足，到大足投资、观光旅游，我区的宣传口号是“常来大足，人生幸福”．请选出下面是轴对称的字为（ ） A. 来 B. 足 C. 生 D. 福 2. 下列是不可能事件的是（ ） A. 通常加热到，水会沸腾 B. 打开电视，正好播放新闻联播 C. 在一个全是黑球的袋子里，摸出一个白球 D. 三角形的内角和为 3. 如图，已知及其所在平面内的4个点，若半径为6，则到圆心O距离为5的点可能是（ ） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 4. 方程的解正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 我国古代数学在方程领域有着辉煌的成就．《九章算术》中记载：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？翻译后为：有一扇门，高比宽多6尺8寸，对角线距离恰好1丈．问门的高和宽各是多少？设宽为尺，则依题意列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面宽，净高，则此圆的半径为（ ） A. B. C. D. 7. 如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 8. 如图所示：小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺放置于桌面上，并量出，则此光盘的直径是（ ）． A. B. C. D. 6 9. 如图是二次函数图像的一部分，对称轴为，经过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；其中说法正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10. 已知关于的整式，其中系数，，均为非负整数．该整式满足．请判断下列说法的正误：①满足条件的整式中，其常数项的值共有5种可能；②满足条件的整式中，若是单项式，则这样的共有3个；③满足条件的整式中，若恰好是二次三项式，则这样的共有4个；④满足条件的整式中，若能被整除，则这样的共有3个．以上正确的个数有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 11. 喜欢数学的小荷说“”（即：数学是我的菜！）从组成“”的所有字母中随机抽一个字母（不分大小写），抽中“i”的概率为_____． 12. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后得到的抛物线的函数表达式为___________． 13. 已知是方程的一个根，则的值是_____． 14. 若关于的一元二次方程有两个实数根，且使关于的一元一次不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数的值为_____． 15. 如图，在中，为圆心，为圆上两动点，连接，过作，为上一点，且，，则的半径为_____，的取值范围是_____． 16. 对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字各不相同且均不为0，它的千位数字加个位数字等于14，百位数字与十位数字之和为12，那么称这个数为“王子数”．对于一个“王子数”，将它前后两位分别拆分成两个两位数，我们将千位和百位组成的两位数与十位和个位组成的两位数之和记为，将千位和百位组成的两位数与十位和个位组成的两位数之差记为．例如：8756，因为，，各数位上数字各不相同且均不为0，所以8756是“王子数”．最大的四位“王子数”是_____．若是“王子数”，且满足是一个完全平方数，求等于_____． 三．解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 已知关于的一元二次方程的两根分别为和，求． 18. 从特殊到一般是科学研究中常用的重要思想方法．为了探究点绕原点顺时针分别旋转对应的坐标分别是多少．小雨采取先在平面直角坐标系中选取点分别按点的旋转方式进行探究．通过操作、观察、分析、比较、归纳后她发现了点旋转后的坐标特征． （1）请按小雨的思路在平面直角坐标系中作出点旋转后的各点； （2）结合作图，请完成下表的填写． 旋转的角度 点对应点的坐标 点对应点的坐标 四、解答题：（本大题7个小题，每个小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在对应的位置上． 19. 如图，是正方形中边上任意一点，是正方形的对角线． （1）在内尺规作图作交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，请根据小何的思路完成的证明． 证明：延长至，使，连接 四边形是正方形 ∴_____①_________②_____ _____③_____° _____④_____° 20. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．我们将人工智能市场分为：．决策类人工智能，．人工智能机器人，．语言类人工智能，．视觉类人工智能四大类型．某班在班内调查了同学们对这四大类人工智能的喜爱情况，根据调查结果绘制了如下不完整的统计图．说明：参与本次调查的所有同学只选择一种喜爱的类型． （1）补全条形统计图．并完成填空_____，_____． （2）若该年级有人，估计喜爱视觉类人工智能的人数有多少？ （3）将四种类型依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 21. 在设计人体雕塑时，为了增加视觉美感，雕塑师在雕刻时将雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比．美学家认为这个比值是黄金分割数，它能增加美感．据说一些名画和雕塑中的人体大体都符合这个比． （1）如图，，线段上有一点把线段分成两段，其中是较小的一段，且满足，求的值． （2）雷锋精神代代传．在辽宁抚顺雷锋纪念馆前有一座高2米的雷锋雕像就是按以上的比例进行雕刻的．应用上面的结论，请问雕塑上部（上部比下部短）是多少米？ 22. 《大足县志》记载，清末宣统年间，大足就有羊皮税．证明了大足黑山羊已有百年育种养殖历史．大足黑山羊以铁山、季家镇最佳．大足区季家村民东东为响应政府返乡创业的号召，因地制宜修建黑山羊圈，如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形羊圈．设羊圈的宽为，面积为． （1）求与的函数解析式，写出的取值范围．并在平面直角坐标系中画出该函数图像． （2）当取何值时，羊圈的面积最大？最大为多少？ 23. 如图，内接于为直径，是的弦，的切线与的延长线交于点． （1）求证： （2）若，垂足为，，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线解析式为交轴于两点，与轴交于点，连接． （1）求三点的坐标； （2）如图1，是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，求的最大值及点的坐标． （3）如图2，将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上的一个动点．当时，请直接写出所有符合条件点的坐标． 25. 在菱形中，对角线与交于点． （1）如图1，若，求菱形的面积； （2）如图2，若为延长线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接．所在直线交延长线于点，延长至点，使得为延长线上一点，且，求证：． （3）如图3，若，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，连接，请直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $