6.2.2 向量的减法运算 （教学课件）数学人教A版必修第二册

第6章 平面向量及其应用 6.2.2 向量的 减法运算 人教A版·必修第二册· 学习目标 1.理解平均变化率、瞬时变化率的概念，能识别生活和学科中的变化率问题（如运动速度、切线斜率）。 2.能根据函数表达式计算平均变化率，掌握利用极限思想求瞬时速度和抛物线切线斜率的方法。 3.能运用变化率知识解决简单的实际问题（如求特定时刻的瞬时速度、某点处的切线方程），掌握核心求解步骤。 4.体验从具体实例到抽象概念的思维过程，感受极限思想的本质，提升数学抽象和逻辑推理素养。 目录 CATALOG 01.类比数的减法运算定义向量的减法运算 03.题型强化训练 02.向量减法的几何意义 04.小结及随堂练习 6.2.2 向量的减法运算 01 类比数的减法运算定义向量的减法运算 导入新知1：校园路线规划中的向量减法 同学们，每天我们都要在校园里穿梭往返于不同地点。假设教学楼为点O，图书馆为点A，食堂为点B。早上你从教学楼出发，先走到图书馆，对应的向量是OA（记作向量a）；下午你从教学楼出发，直接走到食堂，对应的向量是OB（记作向量b）。 如果放学后你从图书馆直接前往食堂，这段路程对应的向量应该如何表示呢？它和我们已经学过的向量a（OA）、b（OB）之间存在怎样的关系？ 若你先从图书馆走到食堂（向量AB），再从食堂返回教学楼（向量BO），这两段路程的合向量又是什么？我们知道向量加法可以表示“连续移动”的效果，那这种“从一个地点到另一个地点，再返回”的过程，是否对应一种新的向量运算呢？ 导入新知2：购物称重中的向量平衡 同学们在超市购物时，经常会用到弹簧秤称重。假设弹簧秤的自然长度对应原点O，当我们在秤上放一个5N的砝码时，弹簧被拉长，指针指向点A，此时弹簧受到的拉力可以用向量OA表示（记作向量a，方向向下，模为5）；若我们再在这个砝码下方挂一个3N的钩码，弹簧进一步拉长，指针指向点B，此时总的拉力向量为OB（记作向量b，方向向下，模为8）。 1.如果我们取下后来挂的3N钩码，弹簧会缩短，指针从点B回到点A，这个“缩短过程”对应的向量是什么？它与a、b之间有什么联系？ 2.若弹簧秤下挂一个4N的物体（向量c），再用一个向上的2N的力拉这个物体（向量d），此时弹簧的实际受力效果对应的向量如何表示？这个过程是否涉及“用一个向量抵消另一个向量的部分效果”？ 学习新知 思考： 在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？ 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量． 学习新知 求两个向量差的运算叫做向量的减法． 我们看到，向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的法则、向量减法的法则 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的法则、向量减法的法则 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的法则、向量减法的法则 02 向量减法的 几何意义 6.2.2 向量的减法运算 学习新知 向量减法的几何意义是什么？ 探究 图6.2-10 O A B C D 学习新知 O A B 图6.2-11 同起点、连终点、指向被减 学习新知 思考： O A B 图6.2-11 学习新知 思考： 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的法则、向量减法的法则 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的法则、向量减法的法则 学习新知 O A B C D (1) (2) 图6.2-12 例3： 学习新知 学习新知 【对于相反向量的两点说明】 (1)相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量． (2)避免一个误区：即将相反向量等同于方向相反的向量，而是方向相反且模相等的向量． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的法则、向量减法的法则 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量减法法则的几何应用、向量减法的法则 学习新知 A B C D 图6.2-13 例4： 学习新知 学习新知 学习新知 向量的加法与减法运算法则比较 向量的加法 向量的减法 定义 三角形 法则 平行四边形法则 内在联系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量的模、向量减法法则的几何应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 相等向量、向量减法法则的几何应用 03 题型强化训练 6.2.2 向量的减法运算 能力提升 题型一：向量的减法运算 能力提升 题型一：向量的减法运算 能力提升 题型二：向量减法的几何意义 能力提升 题型二：向量减法的几何意义 能力提升 题型三：用已知向量表示其他向量 能力提升 题型三：用已知向量表示其他向量 能力提升 题型四：向量加减法的综合应用 能力提升 题型四：向量加减法的综合应用 04 小结及随堂练习 6.2.2 向量的减法运算 课堂总结1 课堂总结1 课堂总结2 课堂总结 1．知识清单： (1)三角函数在生活中的应用． (2)三角函数在几何中的应用． 2．方法归纳：数学建模、数形结合． 3．常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题． 作业 教材第12〜13页练习第1,2题. 习题6.2、4(5)、(6)、(7) 6.2.2 向量的减法运算 练习(第12页) (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) 练习(第12页) 练习(第12页) O A B C D E F G H 人教A版·选择性必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 1. （   ） A． B． C． D． 【详解】． 故选：A 2.（25-26高二上·广东东莞·月考） （    ） A． B． C． D． 【详解】. 故选：D. 3.（24-25高一下·湖北·月考）化简 （    ） A． B．0 C． D． 【详解】. 故选：D. 4.（25-26高三上·宁夏陕西·月考）在 中，点 满足 ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】． 故选：B 5.（24-25高一下·陕西榆林·期中）在菱形 中， （   ） A． B． C． D． 【详解】. 故选：A. 【详解】(1)因为 . (2)因为 . (3)因为 . (4)因为 . 【变式】如图所示，解答下列各题： (1)用 表示 ； (2)用 表示 ； (3)用 表示 ； (4)用 表示 . 6.（24-25高一下·北京丰台·期中） （    ） A． B． C． D． 【详解】. 故选：C. 7.化简 所得的向量是（   ） A． B． C． D． 【详解】. 故选：B. 【解析】(1) (2) (3) 【变式】如图,已知 , , , ,试用 表示以下向量： (1) ； (2) ； (3) . 【对向量减法的三点说明】 (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义， ，就可以把减法转化为加法. (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点． (3)向量减法满足三角形法则. 在用三角形法则作向量减法时， 要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确 判断，防止混淆． 8.（24-25高三下·福建宁德·开学考试）在平行四边形 中， 为线段 的中点，且 ，则（    ） A． 为线段 的中点 B． 为线段 的中点 C． 为线段 的中点 D． 为线段 的中点 【详解】如图，在平行四边形中，由向量的减法法则得，因为，所以， 因为为线段的中点，所以， 由平行四边形性质得，故， 则为线段的中点，故C正确. 故选：C 9.已知向量 ，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由， 可得． 故选：C 10.（24-25高一下·广西柳州·期中）四边形 中，O为任意一点，若 ，则四边形 一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 【练习1】如图，向量 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量减法法则的几何应用 【解析】根据向量的减法法则可得选项． 【详解】由向量的减法得 ， 故选：A． 【反思感悟】　 1．向量减法运算的常用方法 2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用． 【练习2】下列命题正确的是（    ） B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ， ， ． 故选：D． 【反思感悟】求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b， 然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向 量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 【练习3】在 中,点D为AB边上一点,且 ,则 ( ) B． C． D． 【知识点】用基底表示向量、向量减法的法则 【解析】由题 ,则 . 故选：A 【反思感悟】利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意 (1)一个关键 一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)三点注意 ①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系； ②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律； ③注意在封闭图形中利用多边形法则．　 【练习4】在平行四边形 中,E为对角线AC上一点,且 , 则 ( ) B． C． D． 【详解】 . 故选：A. 【反思感悟】 (1)解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量 以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向 量的转化渠道． (2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交 换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则， 提升逻辑推理素养． 1.相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 设向量 ，我们把与 长度相同，方向相反的向量叫做 的相反向量。 记作： 。 规定： 的相反向量仍是 。 2.向量减法的概念：向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a－b＝a＋(－b), 因此减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，求两个向 量差的运算叫做向量的减法． 3.向量减法的几何意义： 4.注意点： (1)零向量的相反向量仍是零向量． (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0． (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0． $