专题12不等式与不等式组题型突破讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题12不等式与不等式组题型突破讲义 基础 过关题 1.不等式的定义 2.不等式的解集 3.不等式的性质 4.一元一次不等式定义 5.求一元一次不等式解集 6.数轴表示不等式解集 能力 提升题 7.求一元一次不等式整数解 8.求一元一次不等式最值 9.列一元一次不等式 拓展 拔高题 10.一元一次不等式解实际问题 11.一元一次不等式解几何问题 一.不等式 1.不等式的定义：用 **＞、＜、≥、≤、≠** 表示不等关系的式子，叫不等式 2.不等式的解：使不等式成立的单个未知数的值（如 x=3 是 x+3＞5 的一个解）。 3.不等式的解集：使不等式成立的所有未知数的值的集合（如 x＞2 是 x+3＞5 的解集），解集可在数轴上表示： ＞/＜：画空心圆圈，向对应方向画折线； ≥/≤：画实心圆点，向对应方向画折线。 4.不等式的基本性质（核心，区别于等式）： 性质 1：两边加或减同一个数（或式子），不等号方向不变（如 a＞b → a±c＞b±c）； 性质 2：两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变（如 a＞b，c＞0 → ac＞bc、＞）； 性质 3：两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变（如 a＞b，c＜0 → ac＜bc、＜）。 二. 一元一次不等式 1.一元一次不等式的定义：只含一个未知数，未知数的次数是 1，且两边都是整式的不等式，标准形式：ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）。 2.解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程类似，关键注意性质 3）： 1.去分母（乘负数时，不等号方向改变）； 2.去括号（注意符号）； 3.移项（移项变号，不等号方向不变）； 4.合并同类项； 5.系数化为 1（除以负数时，不等号方向改变）。 3.一元一次不等式的实际应用： 审：找不等关系（关键词：至少、最多、不超过、不低于等）； 设：设未知数； 列：根据不等关系列一元一次不等式； 解：解不等式，求解集； 答：结合实际意义取符合条件的解（如人数、物品数为正整数） 【题型1.不等式的定义】 1．如图，天平右盘中每个砝码的重量都是，如图中显示出某药品A重量的范围是（    ） A．大于 B．小于 C．大于且小于 D．大于或小于 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的应用，解决问题的关键是读懂图意． 根据图形就可以得到药品A的质量的范围． 【详解】解： 由第一个图可知药品A质量大于2克，由第二个图可知药品A质量小于3克，故药品A质量范围是大于2克且小于3克． 故选：C． 2．用不等式表示“的平方与的平方之差是非负数”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，根据“x的平方与的平方之差是非负数”，即“x与a的平方差大于等于0”即可． 【详解】解：x的平方与的平方之差是非负数可表示为：， 故答案为：． 3．在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的定义，掌握含有不等号（如＞、＜、≠、≥、≤）的式子是不等式成为解题的关键． 根据不等式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，含“＞”号，属于不等式； ②，含“＞”号，属于不等式； ③，含“=”号，属于等式，不是不等式； ④是代数式，不属于不等式； ⑤，含“≠”号，属于不等式； ⑥，含“＞”号，属于不等式． 综上，属于不等式的有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选C． 4．五一节为吸引顾客，某商场举办千元现金返现活动．顾客只要购买一定金额的商品后就可以获得一次抽奖机会．抽奖箱里有三张奖券，分别标有一等奖，二等奖，三等奖．抽到一等奖返现30元，二等奖返现20元，三等奖返现10元．三天后商场对抽奖活动进行了统计．统计如下：五月2号抽到一等奖的次数是五月一号的3倍，抽到二等奖的次数是五月一号的2倍，抽到三等奖的次数是五月一号的4倍．五月3号抽到一等奖的次数与五月一号相同，抽到二等奖的次数是五月一号的4倍，抽到三等奖的次数是五月一号的2倍．三天下来，商场返现的总金额刚好1000元，五月3号的返现金额比五月一号多220元，则五月2号的返现金额是 元． 【答案】460 【分析】设五月一号一等奖、二等奖、三等奖的次数分别为a、b、c，可得二号和三号的一等奖、二等奖、三等奖的次数，根据返现金额关系列出方程组，化为二元一次方程并求得方程的整数解即可； 【详解】解：设五月一号一等奖、二等奖、三等奖的次数分别为a、b、c， 则五月一号返现金额=30a+20b+10c， 五月二号一等奖、二等奖、三等奖的次数分别为3a、2b、4c， 则五月二号返现金额=90a+40b+40c， 五月三号一等奖、二等奖、三等奖的次数分别为a、4b、2c， 则五月三号返现金额=30a+80b+20c， 由题意得：， c=22-6b代入15a+14b+7c=100得： b=， ∵150a≤1000，且a为整数， ∴a=0，1，2，3，4，5，6， 将a的值代入，仅当a=2时，b=3为整数， ∴c=22-18=4， ∴五月二号返现金额=90×2+40×3+40×4=460元， 故答案为：460； 【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，不等式的应用；掌握二元一次方程整数解的求法是解题关键． 【题型2.不等式的解集】 5．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中不包含，不符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中包含，符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：C． 6．已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是的整式方程是一元一次方程，可得，且，据此即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，且， 解得， 故答案为：． 7．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 8．已知是关于x，y的二元一次方程，则 （填“是”或“不是”）不等式的解． 【答案】不是 【分析】先根据二元一次方程的定义求出k值，从而得k+1的值，再把k+1代入不等式检验，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴，解得：k=-5， ∴k+1=-5+1=-4， 把x=k+1=-4代入不等式左边得-4+2=-2, 把x=k+1=-4代入不等式右边得2×(-4)-1=-9, ∵-2>-9， ∴k+1不是不等式的解， 故答案为：不是． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，判定一个数是否是不等式的解，求出k值是解题的关键． 【题型3.不等式的性质】 9．已知，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，不等式性质1：在不等式两侧同时加或减同一个数，不等号的方向不改变；不等式性质2：在不等式两侧同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式性质3：在不等式两侧同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的基本性质进行分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，选项ABD正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴ ，故C错误，符合题意； 故选：C 10．如图中数轴上标有字母的各点与实数对应的是 ．（填“A”或“B”或“C”或“D”） 【答案】A 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 先估算出的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴实数对应的是点， 故答案为：． 11．下列说法正确的是（    ） ①最小的整数是0；            ②数轴上表示数2和的点到原点的距离相等； ③当时，成立；    ④一定比a大． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查整数的概念、数轴上点的距离、绝对值的性质以及不等式的性质．通过逐个判断每个说法的正确性，即可得出答案． 【详解】解：①∵整数包括负整数、0和正整数，且负整数均小于0， ∴不存在最小的整数，故①错误； ②∵数轴上点到原点的距离是该数的绝对值，且，， ∴距离相等，故②正确； ③∵当时，根据绝对值的性质，有，∴成立，故③正确； ④∵，∴恒成立，故④正确． 综上，正确的说法有②③④，共3个． 故选：C． 12．有四名候选人A，B，C，D参加学生会选举，已知候选人D得票比B得票多，候选人A，B得票之和超过C，D得票之和，候选人A，C得票之和与B，D得票之和相等，则四人得票数由高到低的排列次序是 ． 【答案】，，， 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 不等式两边加上或减去同一个数或者式，不等式仍成立，根据不等式的性质比较每个人得票的数量即可． 【详解】解：设四名候选人A，B，C，D得票数分别为，，，， 由题意可知， ， 将，得， ， 化简，得， 将，得， ， 化简，得， 综上，． 故答案为：，，，． 解答题 13．已知：a、b、m、n四个数中，， (1)比较与的大小； (2)若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明： 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）利用不等式的性质即可求得答案； （2）利用不等式的性质易得，，然后利用不等式的传递性即可证得结论． 【详解】（1）解：解：， 两边同时乘以得； （2）解：，m是正数， ， ，b是正数， ， 【题型4.一元一次不等式定义】 14．下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义， 根据一元一次不等式的定义逐个判断，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 【详解】解：因为不是一元一次不等式，所以A不符合题意； 因为是二元不等式，所以不符合题意； 因为是二次不等式，所以C不符合题意； 因为是一元一次不等式，所以D符合题意. 故选：D. 15．若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可得，则，再解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， ∴原不等式为， 解得， 故答案为：． 16．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意得：且，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式的解集为， ∴ ，且 ， ∴ ，解得： ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ，即 ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解集的定义，解不等式，不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解集的定义，解不等式的基本步骤是解题的关键． 17．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可求出的值，再代入不等式即可求出不等式的解集，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得， ∴不等式为， 解得， 故答案为：，． 【题型5.求一元一次不等式解集】 18．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据一元一次不等式解法即可求解，掌握一元一次不等式解法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 19．若关于x的方程的解是不等式的一个解，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程与一元一次不等式的综合应用，掌握先分别求解方程和不等式，再根据解的关系建立新不等式求参数范围是解题的关键． 先解方程得到 关于 的表达式，再解不等式得到 的取值范围，最后根据方程的解是不等式的一个解，建立关于 的不等式并求解． 【详解】解：解方程 ， 得 ； 解不等式 ， 得 ； 由题意，， 解得 ． 故答案为：． 20．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法以及绝对值的性质是正确解答的关键． 先根据的取值范围化简绝对值，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：当时，，， 恒成立． ∴． 当时，，， ，解得． ∴． 当时，，， ，无解． 综上所述，． 故选：C． 21．已知二元一次方程的一个解为，则关于b的不等式的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，一元一次不等式，正确的计算是解题的关键． 由方程的解可得，代入不等式并化简，求解关于的不等式即可． 【详解】解：∵ ， 是方程 的解， ∴． 代入不等式 ，得 ， 即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 解答题 22．解下列不等式，并把解集表示在数轴上． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，表示见解析 (2)，表示见解析 (3)，表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示，掌握解一元一次不等式的步骤，以及数轴上实心点与空心点的区别是解题的关键． （1）先去括号化简不等式，再通过移项、合并同类项将不等式化为标准形式，最后系数化为求出解集，并在数轴上用实心点表示包含等号的解集； （2）先去分母消去分数，再移项、合并同类项求出解集，数轴上用空心点表示不包含等号的解集； （3）先去分母，再移项、合并同类项，注意系数化为时，若系数为负数要改变不等号方向，最后在数轴上表示解集． 【详解】（1）解：去括号得． 移项得． 合并同类项得． 系数化为1得． 不等式的解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母得． 移项、合并同类项得． 不等式的解集在数轴上表示如图所示． （3）解：去分母，得． 移项得． 合并同类项得． 系数化为1得． 不等式的解集在数轴上表示如图所示． 【题型6.数轴表示不等式解集】 23．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的数轴表示，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式在数轴上表示出来，再比较得到答案． 【详解】将不等式表示在数轴上，如图所示： 故选：D． 24．若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集，理解数轴上不等式的解集，解一元一次方程式关键． 根据数轴上的解集得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，数轴上不等式的解集为， ∴， 解得， 故答案为： ． 25．关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴表示解集、不等式的整数解、解不等式组等知识点，根据不等式的解集情况得到关于m的不等式组成为解题的关键． 根据不等该不等式的负整数解有且只有四个，可知这四个负整数解为；再根据数轴可得，进而得到关于m的不等式组求解即可． 【详解】解：∵该不等式的负整数解有且只有四个， ∴这四个负整数解为， 由数轴可知不等式解集为：， ∴，即． 故选：A． 26．在实数范围内规定新运算“”，规则是：，若不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 【答案】-5 【分析】先根据运算法则变形不等式，然后再进行计算即可． 【详解】解： 2x-k≥3 x≥ ∵x≥-1 ∴=-1，解得k=-5． 故填-5． 【点睛】本题考查了在教轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式等知识点，区分在表示解集时 “空心”和“实心”是解答本题的关键． 【题型7.求一元一次不等式整数解】 27．不等式的非负整数解有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，进一步得出非负整数解即可．熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 所以不等式的非负整数解有0，1，2，3，4，共5个． 故选：B． 28．按如图所示的程序进行运算时，发现输入的整数恰好经过2次运算输出，则输入的的最小整数值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据程序流程图结合题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴输入的的最小整数值是， 故答案为：． 29．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 通过解方程组得到和关于的表达式，代入不等式，解关于的不等式，确定其最小整数解． 【详解】解： 得 ， 即， ∵， ∴， 解得， ∴m的最小整数解为． 故选：B． 30．若不等式的最小整数解是关于的方程的解，则式子的值为 ． 【答案】2025 【分析】先解不等式，求出它的最小整数解；再将这个最小整数解代入方程，求出的值；最后把的值代入代数式计算出最终结果． 【详解】解：①解不等式： ． ∴该不等式的最小整数解为． ②代入方程求： 将代入方程 ． ③计算代数式的值： 将代入 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法、一元一次方程的解法以及代数式求值，解题关键是按“解不等式→求最小整数解→代入方程求→代入代数式求值”的步骤有序计算，确保每一步的准确性． 解答题 31．解不等式： (1)，并写出非负整数解； (2)． 【答案】(1)，不等式的非负整数解为， (2) 【分析】本题考查了解不等式的知识点，解题的关键在于熟知解不等式的步骤，其中系数化1，移项变号都是易错点． （1）移项，合并同类项可解，系数化，再根据要求写成非负整数解； （2）去分母，移项，合并同类项，系数化即可解． 【详解】（1）解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化得， 不等式的非负整数解为，； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化得． 【题型8.求一元一次不等式最值】 32．已知的最小值为，的最大值为，则 ． 【答案】 【详解】求一元一次不等式解的最值、已知字母的值 ，求代数式的值 略 33．按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 【答案】A 【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x． 【详解】当时，第1次运算结果为， ∴当时，输出结果是1； 由题意，得 ， 解得， ∴使代数式的值小于20的最大整数x是7， 故选A． 【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键． 34．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 解答题 35．规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3)1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得，即， ， ， ， 的最大整数值是1． 【题型9.列一元一次不等式】 36．嘉嘉在期末体测中一分钟跳绳超过180个，若用x（个）表示嘉嘉一分钟的跳绳个数，则x应满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列不等式． 根据题意列不等式即可． 【详解】解：∵嘉嘉在期末体测中一分钟跳绳超过180个， ∴， 故选：D． 37．某校航空兴趣小组开展了航空航天知识竞赛，共有20道题目，答对一题得5分，答错一题扣3分，小颖的得分在76分以上（含76分），则她至少答对了 道题． 【答案】17 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据得分条件建立不等式是解题的关键．设答对题数为x，根据小颖“得分在76分以上（含76分）”使用符号列不等式求解即可． 【详解】解：设她答对了x道题，根据题意，得 ， 解得，， 故答案为：． 38．某品牌运动鞋的进价为每双200元，售价为每双300元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的运动鞋打折销售，则能正确表示该商店的促销方式的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用——销售问题．熟练掌握打折销售，“利润售价进价”，运用不等关系列不等式，是解决问题的关键． 根据打x折销售，利润率不低于，列出不等式即可． 【详解】∵这种品牌的运动鞋售价为每双300元，打折销售， ∴打折后实际售价为每双元， ∵利润率不低于， ∴利润不低于元， ∴能正确表示该商店的促销方式的不等式是：． 故选：B． 解答题 39．用不等式表示下列数量关系： (1)a是正数； (2)x比－3小； (3)两数m与n的差大于5 【答案】(1)a > 0 (2)x <-3 (3)m-n >5 【解析】略 【题型10.一元一次不等式解实际问题】 40．在一场篮球比赛中，某队罚篮得分为分，投进分球和分球共个．如果这支球队在本场比赛中总得分超过分，那么他们至少投进（   ）个分球． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是找出数量关系，设投进个分球，则分球投进个，根据总得分超过分立不等式，求解后确定的最小整数值． 【详解】解：设投进个分球，则分球投进个， 根据题意得： 解得： 为整数， 至少投进个分球。 故选：C． 41．某小区王先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，王先生要求装修公司再派一支乙工程队与甲工程队合作完成此项工程，乙工程队单独完成此项工程需30天．甲、乙工程队每天施工费分别为800元和1000元，若王先生要求施工费用不能超过34000元，则甲工程队至多工作 天． 【答案】20 【分析】本题考查工程问题与一元一次不等式的结合应用，掌握用工作量表示工作天数的方法，以及根据费用约束建立不等式的思路是解题的关键． 设甲工程队工作天，根据工程完成条件，乙工程队工作天数为，再根据施工费用限制列出不等式求解． 【详解】解：设甲工程队工作天，则乙工程队工作天数为 天． 总施工费用为 ． 化简得 ， 即 ， 所以 ， 解得 ． 故甲工程队至多工作天． 故答案为：． 42．甲、乙两名同学各提一个水桶在同一个水龙头前打水．如果甲打满一桶水需要分钟，乙打满一桶水需分钟，要使两人都打满一桶水所用时间和（包括等待时间）最少，应如何安排？（  ） A．安排甲先打水 B．安排乙先打水 C．甲、乙的打水顺序不影响总时间 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要查了不等式的应用，解题关键是熟练掌握作差法，通过比较单次打水时间，依据让用时短者先打水可最小化总等待时间的原则，计算并对比不同顺序的总时间来确定最优安排 ； 分两种情况讨论：若甲先打水，和若乙先打水，分别求出两人都打满一桶水所用时间和，比较即可求解． 【详解】∵， 由于，故， 即乙的单次打水时间比甲短． 故乙的打水时间总比甲短． 甲打水时间为分钟，乙打水时间为分钟．乙等待甲打水的时间∶分钟，加上乙自己打水的时间b分钟， 此时两人都打满一桶水所用时间和为分钟； 若乙先打水， 乙打水时间∶分钟，甲等待乙打水的时间∶分钟，加上甲自己打水的时间钟， 此时两人都打满一桶水所用时间和为分钟； ∴ ∴乙先打水时总时间更短． 故选：B． 解答题 43．温州一条道路长米，小华准备在道路两旁栽树起点一端都不栽，他决定每隔米种树，每隔米种树，种了树的地方不再种树；若种一棵树元，一棵树元． (1)一共要种多少棵树和多少棵树？ (2)不改变原来树的棵数，小华计划花费不超过元，则他最多种多少棵树？ 【答案】(1)树要种棵，树要种棵； (2)棵． 【分析】本题主要考查有理数乘除法的运用，一元一次不等式的应用，正确求出树的数量是解题的关键． （）根据道路长米，每隔米种树，且起点一端都不栽可求出在路的一旁种树的数量，再乘以即可得出种树的总数量；然后再用同样的方法求出种树的总数量即可； （）设最多可种棵树，则可种树数量为棵，根据计划花费元以下列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ∴道路一旁树的数量为棵， ∵是在道路两旁栽树， ∴树总数量为棵； ∵种了树的地方不再种树， ∴每隔米即和的最小公倍数种树，不种树， ∴道路一旁实际树数量为棵， ∴道路两旁树总数量为棵； 答：树要种棵，树要种棵； （2）解：设最多可种棵树，则可种树数量为棵， ∴， ∴， 答：小华最多种棵树． 【题型11.一元一次不等式解几何问题】 44．2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏： ①画一条数轴，在数轴上用点A，B，C分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示； ②将这条数轴在点A处剪断，点A右侧的部分称为数轴I，点A左侧的部分称为数轴Ⅱ； ③平移数轴Ⅱ使点A位于点B的正下方，如图2所示； ④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧． 则整数k的最小值为（　　） A．511 B．510 C．509 D．500 【答案】A 【分析】根据题意可得，列出不等式，求得最小整数解即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧， ， 即， 解得， 为正整数， ∴的最小值为， 故选A． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次不等式的应用，根据题意得出是解题的关键． 45．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 解答题 46．如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． （1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， m最小取． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题12不等式与不等式组题型突破讲义 01 题型梳理 1.不等式的定义 2.不等式的解集 基础 3.不等式的性质 4.一元一次不等式定义 过关题 5.求一元一次不等式解集 6数轴表示不等式解集 能力 7.求一元一次不等式整数解 8.求一元一次不等式最值 提升题 9.列一元一次不等式 拓展 10.一元一次不等式解实际问题 11.一元一次不等式解几何问题 拔高题 02 重点内容 不等式 1.不等式的定义： 用**>、<、≥、≤、≠*表示不等关系的式子，叫不等式 2.不等式的解：使不等式成立的单个未知数的值（如x=3是x+3>5的一个解） 3.不等式的解集：使不等式成立的所有未知数的值的集合（如x>2是x +3>5的解集)，解集可在数轴上表示： >/<:画空心圆圈，向对应方向画折线： ≥≤：画实心圆点，向对应方向画折线。 4.不等式的基本性质（核心，区别于等式）： 性质1：两边加或减同一个数（或式子），不等号方向不变（如a>b→a士c >b士c); 性质2：两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变（如a>b,c>0→ac >bc、是>是)； 性质3：两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变（如a>b,c<0→ac <bc、是<g)。 试卷第1页，共3页 一元一次不等式 L.一元一次不等式的定义：只含一个未知数，未知数的次数是1，且两边都是 整式的不等式，标准形式：ax+b>0或ax+b<0(a≠0)。 2.解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程类似，关键注意性质3）： 1.去分母（乘负数时，不等号方向改变）； 2.去括号（注意符号）； 3.移项（移项变号，不等号方向不变）； 4.合并同类项； 5.系数化为1（除以负数时，不等号方向改变）。 3.一元一次不等式的实际应用： 审： 找不等关系（关键词：至少、最多、不超过、不低于等）； 设： 设未知数； 列： 根据不等关系列一元一次不等式： 解 解不等式，求解集； 答： 结合实际意义取符合条件的解（如人数、物品数为正整数）》 基础过关题 【题型1.不等式的定义】 1.如图，天平右盘中每个砝码的重量都是g,如图中显示出某药品A重量的范围是() A.大于2g B.小于3g C.大于2g且小于3g D.大于2g或小于3g 2.用不等式表示“x的平方与a的平方之差是非负数”为 3.在①-3>0；②3x+4y>0;③x=3;④x2+y+y2;⑤x≠5；⑥x+2>y+3中，属于 不等式的有() A.1个 B.3个 C.4个 D.5个 4.五一节为吸引顾客，某商场举办千元现金返现活动.顾客只要购买一定金额的商品后就 试卷第1页，共3页 可以获得一次抽奖机会.抽奖箱里有三张奖券，分别标有一等奖，二等奖，三等奖.抽到一 等奖返现30元，二等奖返现20元，三等奖返现10元.三天后商场对抽奖活动进行了统计.统 计如下：五月2号抽到一等奖的次数是五月一号的3倍，抽到二等奖的次数是五月一号的2 倍，抽到三等奖的次数是五月一号的4倍.五月3号抽到一等奖的次数与五月一号相同，抽 到二等奖的次数是五月一号的4倍，抽到三等奖的次数是五月一号的2倍.三天下来，商场 返现的总金额刚好1000元，五月3号的返现金额比五月一号多220元，则五月2号的返现 金额是元 【题型2.不等式的解集】 5,若x=1是某不等式的一个解，则该不等式可以是() A.x>2 B.x>3 C.x<3 D.x<1 6.已知关于x的方程(a-2)x1-3=0是一元一次方程，则a=一 7.下列说法中，正确的是() A.x=1是不等式x<2的一个解 B.x=2是不等式3x>5的解集 C.不等式3x>9的解集是x=4 D.x<5是不等式x-5>0的解集 8.已知(k-5)x料4-2y=1是关于x,y的二元一次方程，则k+1_ (填“是”或“不是”) 不等式x+2<2x-1的解. 【题型3.不等式的性质】 9.已知a>b,则下列结论错误的是() A.a+3>b+3B.3a>3b C.3-a>3-b D.-3+a>-3+b 10.如图中数轴上标有字母的各点与实数-√3对应的是·（填“A”或“B”或C或“D”) 4 B C.D -2-101234 11.下列说法正确的是() ①最小的整数是0： ②数轴上表示数2和-2的点到原点的距离相等： ③当a≤0时，la=-a成立；④a+5一定比a大. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.有四名候选人A,B,C,D参加学生会选举，己知候选人D得票比B得票多，候选人 A,B得票之和超过C,D得票之和，候选人A,C得票之和与B,D得票之和相等，则四人 得票数由高到低的排列次序是 试卷第1页，共3页 解答题 13.己知：a、b、m、n四个数中，a>b,m>n. (1)比较-2a与-2b的大小： (2)若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明：am>bn. 【题型4.一元一次不等式定义】 14.下列选项中是一元一次不等式的是() A.7>4 B.x+y>1 C.x2+3>2x D.3x≥2 15.若m-2)x2m1-1<5是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为_ 16.已知关于的不等式2a-0x+a-56>0的解集为x<9,则关于的不等式as>6-口的 解集为() A.x<-3 B.x>-5 2 C.x<- D.x>- 5 17.已知2020是关于的一元-次不等式，则c的值为」 不等式的解集 为」 【题型5.求一元一次不等式解集】 18.不等式2x-5<1的解集是() A.x<3 B.x>3 C.x<2 D.x>2 19.若关于x的方程2+ +m=2的解是不等式2(x-4)≤3x-10的一个解，则m的取值范 3 围为 20.不等式|xx+51的解集为() A.r 2 B.x>5 72 C.x<-2 5 D月 21.已知二元一次方程2x+3y-1=0的一个解为 =6,则关于b的不等式 x=a 2a+4b+2026≤2025的解是」 解答题 22.解下列不等式，并把解集表示在数轴上， 试卷第1页，共3页 (1)2(x-3)-2≤0. ②4r-1-x>1. 3 -1s 2 【题型6.数轴表示不等式解集】 23.不等式x≤3的解集在数轴上表示正确的是() A.01234 B. 01234 C. 01234 D. 01234 24.若关于x的不等式x≤。的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为 32-1012→ 25.关于x的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则m 的取值范围是() m-1 0 A.-4<m≤-3 B.-6≤m<-5 C.-5<m≤-4 D.-3<m<-2 26.在实数范围内规定新运算“△”，规则是：ab=2a-b,若不等式x△k≥3的解集在数轴 上如图表示，则k的值是一 -2 -101 能力提升题 【题型7.求一元一次不等式整数解】 27.不等式2(x-1)≤6的非负整数解有() A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 28.按如图所示的程序进行运算时，发现输入的整数x恰好经过2次运算输出，则输入的x 的最小整数值是 试卷第1页，共3页 输入x ×2 >45 输出x 否 3x+y=4 29.若关于x,y的方程组 的解满足x-二>-5，则m的最小整数解为() x+2y=-3m+2 A.0 B.-3 C.-4 D.-5 30.若不等式2(x+)-5<3(x-+4的最小整数解是关于x的方程)x-mr=5的解，则式子 m2-2m+2025的值为_ 解答题 31.解不等式： (1)4x<10-x,并写出非负整数解； ②. 3-2 【题型8.求一元一次不等式最值】 32.己知x4的最小值为a,x-7的最大值为b,则ab= 33.按照下面给定的计算程序，当x=-2时，输出的结果是 使代数式2x+5的值小 于20的最大整数x是(). 是 输入x 计算2x+5的值 <20 输出结果 A.1,7 B.2,7 C.1,-7 D.2,-7 34.已知关于x的不等式组 x-a<0, 的解集中至少有5个整数解，则整数α的最小值为() 2x+3>0 A.2 B.3 C.4 D.5 解答题 35.规定新运算：x*y=ax-by,其中Q、b是常数，己知2*1=-4，-1*3=9. (1)求a、b的值 m*n=-1 (2)若 (2m)*n） 求m,的值： 2 4’ (3)若3x*y=1-71,(2)x*(-3)y=41-3,且3x+4y<6,求t的最大整数值. 试卷第1页，共3页 【题型9.列一元一次不等式】 36.嘉嘉在期末体测中一分钟跳绳超过180个，若用x(个)表示嘉嘉一分钟的跳绳个数， 则x应满足的关系为() A.x≤180 B.x2180 C.x<180 D.x>180 37.某校航空兴趣小组开展了航空航天知识竞赛，共有20道题目，答对一题得5分，答错 一题扣3分，小颖的得分在76分以上（含76分），则她至少答对了 道 题 38.某品牌运动鞋的进价为每双200元，售价为每双300元，该商店准备举行打折促销活动， 要求利润率不低于15%，如果将这种品牌的运动鞋打x折销售，则能正确表示该商店的促销 方式的不等式是() A.200x≥200×15% B.300×X-200≥200×159% 10 C.300×≥200x159% D.300x-200≥200×15% 10 解答题 39,用不等式表示下列数量关系： (1)a是正数： (2)x比-3小； (3)两数m与n的差大于5 拓展拔高题 【题型10.一元一次不等式解实际问题】 40.在一场篮球比赛中，某队罚篮得分为10分，投进2分球和3分球共48个.如果这支球 队在本场比赛中总得分超过115分，那么他们至少投进()个3分球. A.8 B.9 C.10 D.11 41,某小区王先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程.甲工程队单独完成 此项工程需50天，由于工期过长，王先生要求装修公司再派一支乙工程队与甲工程队合作 完成此项工程，乙工程队单独完成此项工程需30天.甲、乙工程队每天施工费分别为800 元和1000元，若王先生要求施工费用不能超过34000元，则甲工程队至多工作 天 42.甲、乙两名同学各提一个水桶在同一个水龙头前打水.如果甲打满一桶水需要4(1+a2) 试卷第1页，共3页 分钟，乙打满一桶水需(22+1)分钟，要使两人都打满一桶水所用时间和（包括等待时间） 最少，应如何安排？() A.安排甲先打水 B.安排乙先打水 C.甲、乙的打水顺序不影响总时间D.无法确定 解答题 43.温州一条道路长840米，小华准备在道路两旁栽树（起点一端都不栽），他决定每隔8米 种A树，每隔12米种B树，种了B树的地方不再种A树；若种一棵A树50元，一棵B树60元. (1)一共要种多少棵A树和多少棵B树？ (2)不改变原来树的棵数，小华计划花费不超过15000元，则他最多种多少棵B树？ 【题型11.一元一次不等式解几何问题】 44.2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利 用相关数字做游戏： ①画一条数轴，在数轴上用点A,B,C分别表示-20,2022，-24，如图1所示； ②将这条数轴在点A处剪断，点A右侧的部分称为数轴I,点A左侧的部分称为数轴Ⅱ： ③平移数轴Ⅱ使点A位于点B的正下方，如图2所示； ④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧 则整数k的最小值为( ) 数轴Ⅱ-24-20 数轴I 2022 C 图1 -20 2022 B 数轴I 241 数轴Ⅱ A 图2 A.511 B.510 C.509 D.500 45.将长为6，宽为a(a大于3且小于6)的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平， 剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的 方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下 去若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止.当n=3时，a的值为 试卷第1页，共3页 ① ② 解答题 46.如图，数轴上点0为原点，点A、B、C表示的数分别是m+1,2-m,9-4m· 9-4m 2-m m+1 C A (I)AB=-·(用含m的代数式表示) 2当BC-AB≥)时，求m的最小值. 试卷第1页，共3页