精品解析：山东省青岛市2025-2026学年高一年级2月测试数学试题

2026年高一年级测试 数学试题 2026.02 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求值 【详解】由诱导公式可知，. 故选：A 2. 若命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定， 由命题，，则为，. 故选：D 3. 已知关于的一元二次方程，条件，条件：方程有一个正根一个负根．则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由韦达定理及判别式代入计算，结合充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】若关于的一元二次方程有一个正根一个负根， 得，则； 反之，若，则，，， 此时方程有一个正根一个负根， 所以是的充要条件. 故选：C 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合对数函数性质分析当时，，判断函数在上的单调性，结合零点存在性定理判断结论. 【详解】当时，，所以， 故，所以函数在上没有零点， 设，且， 则， 故，， 所以，故函数在上单调递增， 又，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 5. 将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的平移及诱导公式得到，再结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】由题意，， 令，得， 结合选项，函数的一个单调递增区间为. 故选：A 6. 英国经济学家马尔萨斯提出了自然状态下人口增长模型：（其中表示经过的时间，表示当时的人口数，表示人口的增长率），2025年5月联合国经济和社会事务部下属的人口司宣布，全球人口总数将于2025年底达到80亿，2100年底达到100亿．则2025年底到2100年底这段时间内的人口增长率约为（ ）（，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记2025年底全球人口总数为，由题意得当时，，代入函数模型求解即可得到答案. 【详解】记2025年底全球人口总数为，则， 由题意得当时，， 代入得， 则， 即2025年底到2100年底这段时间内的人口增长率约为. 故选：B. 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设结合平方关系求得，再根据降幂公式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 又，则， 解得或（舍去），则， 所以， 又，则. 故选：C 8. 已知函数，若实数满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的定义域为，证明，从而得到，其中，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】函数的定义域为， 由得， ， 由，所以，其中， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性判断A；根据不等式的基本性质利用作差法判断B；根据对数函数的单调性判断C；根据对勾函数的单调性判断D. 【详解】对于A，由，且函数在上为减函数， 则，故A错误； 对于B，由，则， 所以，故B正确； 对于C，由，且函数在上为增函数， 则，故C正确； 对于D，由对勾函数的性质可知，函数在上为增函数， 而，则，故D正确. 故选：BCD 10. 已知，，则（ ） A. B. C. 的增区间为， D. 有4个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据三角恒等变换公式化简可得，再结合函数的周期公式判断A；由题设可得，进而可得，即可判断B；再根据正弦函数的性质求解判断C；结合图象判断D. 【详解】由， 则函数的最小正周期为，故A错误； 因为，所以， 则，解得，则，故B正确； 令，得， 所以的增区间为，，故C正确； 对于D，令，则， 又，，，， 作出函数与的大致图象： 由图可知，函数与有5个交点，则有5个零点，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题设分析可得，进而判断A；由的图象关于直线对称，可得，进而得到，，即可判断C，并且得到函数是以4为周期的函数，由可得函数也是以4为周期的函数，进而求解判断BD. 【详解】对于A，由，得，即， 由，得， 则，即， 则的图象关于点对称，故A正确； 对于C，因为的图象关于直线对称，所以， 又，所以， 所以，而 则，即， 则，即， 所以，则函数是以4为周期的函数， 由，， 得，则， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于BD，由， 则函数也是以4为周期的函数， 由，得， 即，则 由，得， 而，故B错误，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 写出一个定义域为，且单调递增的奇函数______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意求解即可. 【详解】由题意，如，定义域为，且在上单调递增，为奇函数. 故答案为：（答案不唯一）. 13. 已知，，，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据结合换底公式可得或，由两边取对数，再结合换底公式可得，进而得到或，进而求解即可. 【详解】因为，所以， 则，解得或， 又，，则，即， 所以， 则或，即或， 解得或，则. 故答案为：8. 14. 已知，对，有恒成立，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对不等式化简，令，由题意得，恒成立，令，分为和两种情况分别求最大值，即可求出答案. 【详解】因为， 所以不等式可化为， 令， 则可化为， 由题意得，恒成立， 令， 因为，则函数开口向下，图象的对称轴为，， 当时，即时，函数在上单调递减， 则，即， 又，两式相加得，当且仅当，即时等号成立， 故此时的最大值为； 当时，即时，函数上单调递增，在上单调递减， 则，即， 则，解得，则， 则， 令，则， 因为，则， 则， 其中，， 所以当时，取得最大值为， 此时，则， 则，当且仅当，时，等号成立，满足， 故此时的最大值为， 又， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解指数不等式求出集合，再根据集合的运算即可求解； （2）解指数不等式求出集合，根据列不等式，求解即可得到答案. 【小问1详解】 因为，所以或， 当时，不等式 可化为，解得， 故， 所以或. 【小问2详解】 不等式可化为，解得， 即， 因为，所以或， 解得或， 所以实数的取值范围为． 16. （1）在, 与均有意义时，利用两角和的正弦、余弦公式，推导出用角的正切表示的公式； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据公式结合商数关系推导即可； （2）先根据两角和的正切公式得到，再代入求解即可. 详解】（1）已知， ， 所以， 分子分母同时除以得： ． （2）因为， 所以， 则． 17. 某型号电动汽车配备智能续航预估系统．系统根据实时车速（千米／小时）与路面状况，计算出一个低电量警报阈值距离（千米）．当系统估算的剩余可行驶距离低于时，将向驾驶员发出低电量警报．为以下四项阈值的总和：基础阈值、匀速行驶阈值、车载设备阈值、风阻与滚动阈值．其中风阻与滚动阈值与车速的平方成正比，且受路面系数影响（与路面坡度、粗糙度有关，满足）．当车辆以不超过90千米／小时的速度匀速行驶时，各部分的阈值距离如下表所示： 阈值 基础阈值 匀速行驶阈值 车载设备阈值 风阻与滚动阈值 距离（千米） （1）请写出与的函数关系式．若某次行驶中，当系统恰好发出低电量警报，求车辆剩余可行驶的最短时间． （结果精确到0.01，参考数据） （2）要求在复杂路面条件下，均不超过60千米，求车速的最大值． 【答案】（1），，0.55小时 （2）50千米／小时 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解即可，再结合基本不等式求车辆剩余可行驶的最短时间； （2）由题意得对任意恒成立，进而可得，再解不等式即可. 小问1详解】 由题意，低电量警报阈值距离为： ，， 当时，． 系统发出警报时，车辆剩余可行驶时间为： 小时，当且仅当， 所以车辆剩余可行驶的最短时间为0.55小时． 【小问2详解】 由题意对任意恒成立，则， 为的减函数， 则，化简得，即， 所以车速的最大值为50千米／小时． 18. 已知单位圆与轴正半轴分别交于两点，过线段上一点作轴的垂线交单位圆于点（在第一象限），延长至点，使得为的中点，连接．设． （1）若，求； （2）求取得最大值时的值； （3）若，设的面积为，线段与劣弧围成的图形面积是，记，求的值域． 参考公式： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意结合二倍角公式求解即可； （2）根据题意，先表示出，，令，则，可得，进而根据二次函数的性质求解即可； （3）根据题意，先表示出，，利用函数的单调性的定义证明在上单调递增，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，在中，由， 则. 【小问2详解】 在中，，，由为的中点， 可得， 在中，， 所以，， 令，则， 所以，， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，此时． 【小问3详解】 梯形的面积为，扇形的面积为， 所以，， 所以，， 先证当时，，由的面积小于扇形的面积，即，所以， ，且， ， 因为，，所以，， 所以 ，则， 所以在上单调递增，又，， 所以的值域为． 19. 函数定义域为，对于，，，． （1）若，求实数的值； （2）若．证明： （ⅰ）；； （ⅱ）当时，；当时，． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题设可得对于任意正数，，进而得到，由恒成立可得，进而得到； （2）（ⅰ）由，可得，再得到，进而求证即可； （ⅱ）证法1：结合（ⅰ）分、且可证明当时，，分、且可证明当时，； 证法2：先利用函数单调性的定义证明在上单调递增，再分情况证明即可. 【小问1详解】 因为对于任意正数，，所以，所以． 当，时，． 因为，，所以，所以，所以， 综上所述，． 【小问2详解】 （ⅰ）证明：，． 则， 所以， 而， 则， 所以，． （ⅱ）证法1：若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得，， ，， 综上，，， 若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得，， 则； 综上，，， 证法2：任意，， ， 所以，则在上单调递增． 若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得， 由单调性可得， 综上所述，，． 若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得， 由单调性可得； 综上所述，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一年级测试 数学试题 2026.02 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 （ ） A. B. C. D. 2. 若命题，，则为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知关于的一元二次方程，条件，条件：方程有一个正根一个负根．则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 英国经济学家马尔萨斯提出了自然状态下人口增长模型：（其中表示经过的时间，表示当时的人口数，表示人口的增长率），2025年5月联合国经济和社会事务部下属的人口司宣布，全球人口总数将于2025年底达到80亿，2100年底达到100亿．则2025年底到2100年底这段时间内的人口增长率约为（ ）（，） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，若实数满足，则的最小值为（ ） A 5 B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10 已知，，则（ ） A. B. C. 的增区间为， D. 有4个零点 11. 已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. 的图象关于直线对称 D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 写出一个定义域为，且单调递增的奇函数______． 13. 已知，，，则______． 14. 已知，对，有恒成立，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）在, 与均有意义时，利用两角和的正弦、余弦公式，推导出用角的正切表示的公式； （2）求的值． 17. 某型号电动汽车配备智能续航预估系统．系统根据实时车速（千米／小时）与路面状况，计算出一个低电量警报阈值距离（千米）．当系统估算的剩余可行驶距离低于时，将向驾驶员发出低电量警报．为以下四项阈值的总和：基础阈值、匀速行驶阈值、车载设备阈值、风阻与滚动阈值．其中风阻与滚动阈值与车速的平方成正比，且受路面系数影响（与路面坡度、粗糙度有关，满足）．当车辆以不超过90千米／小时的速度匀速行驶时，各部分的阈值距离如下表所示： 阈值 基础阈值 匀速行驶阈值 车载设备阈值 风阻与滚动阈值 距离（千米） （1）请写出与的函数关系式．若某次行驶中，当系统恰好发出低电量警报，求车辆剩余可行驶的最短时间． （结果精确到0.01，参考数据） （2）要求在复杂路面条件下，均不超过60千米，求车速的最大值． 18. 已知单位圆与轴正半轴分别交于两点，过线段上一点作轴的垂线交单位圆于点（在第一象限），延长至点，使得为的中点，连接．设． （1）若，求； （2）求取得最大值时的值； （3）若，设的面积为，线段与劣弧围成的图形面积是，记，求的值域． 参考公式： 19. 函数定义域为，对于，，，． （1）若，求实数的值； （2）若．证明： （ⅰ）；； （ⅱ）当时，；当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $