精品解析：江西九江市武宁尚美中学2025-2026年学年度上学期2月期末考试高一数学试题

江西省九江市武宁尚美中学2025-2026年学年度上学期2月期末考高一数学试题 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在上存在零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 7. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数（）的图象如图，下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. 的图象关于对称 C. 的图象关于对称 D. 将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 定义在上的连续奇函数，满足且在上单调递减，，则（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的周期为4 C. D. 设和的图象所有交点横坐标之和为 10. 已知函数，则（ ） A. 若，则 B. 若有2个不相等实数根，则 C. 若在的值域为，则的取值范围是 D. 函数的单调递增区间为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与的图象关于轴对称 B. 函数且恒过定点 C. 已知命题：，则的否定为： D. 函数的单调递减区间为． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. ______. 13. 已知函数是幂函数，则________. 14. 若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）化简求值：； （2）计算：． 16. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性（不需证明，写出结论即可）；若对，恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数过定点，函数的定义域为． （1）求定点并判断函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）解不等式． 18. 如图，已知在四面体中，，. （1）求证：直线在平面上的射影平分； （2）记直线与平面所成的角为，求证：； （3）若，，二面角为直二面角，求棱的长度的取值范围. 19. 已知函数的图象如图所示． （1）求函数的解析式及最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值； （3）在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省九江市武宁尚美中学2025-2026年学年度上学期2月期末考高一数学试题 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】易知的定义域为，所以， 又，所以， 故选：C. 2. 已知函数在上存在零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据零点存在定理及函数单调性可知,,解不等式组即可求得的取值范围. 【详解】因为在上单调递增, 根据零点存在定理可得, 解得. 故选:A 【点睛】本题考查了函数单调性的判断,零点存在定理的应用,根据零点所在区间求参数的取值范围,属于基础题. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据，以及同角三角函数的关系和角的范围求出，再根据即可求解. 【详解】解：， ，又， ，，即， . 故选：B. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可. 【详解】，，， 所以. 故选：B. 6. 若，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由，可得；由，可得， 因为⫋， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 7. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数“同增异减”的性质，结合对数函数与二次函数的性质确定的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 令，而函数在定义域内单调递减， 所以在区间上单调递减， 又因为，有恒成立， 则，求解可得 所以． 故选：D 8. 函数（）的图象如图，下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. 的图象关于对称 C. 的图象关于对称 D. 将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数图像求得函数，根据函数性质判断选项即可. 【详解】解：根据的图象，结合五点法作图可得， ∴，故. 故它的周期为，故A错误； 令，求得，故B错误； 令，求得，为最大值，故C正确； 将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，故D错误， 故选：C. 【点睛】求三角函数的解析式时，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 定义在上的连续奇函数，满足且在上单调递减，，则（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的周期为4 C. D. 设和的图象所有交点横坐标之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：将变形为即可判断；B：根据的大小关系可作出判断；C：根据B中计算出的周期化简，结合的奇偶性可判断结果；D：先分析的图象的对称性，然后作出在同一坐标系下的图象，根据图象的交点个数作出判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为，所以， 又因为是R上的奇函数，所以，所以， 所以，所以的一个周期为， 又因为，所以，所以的周期不可能为，故B错误； 对于C：因为的一个周期为，所以， 因为是R上的奇函数，所以，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，所以， 所以的图象关于对称， 又因为，所以， 所以的图象也关于对称， 作出在同一平面直角坐标系中的图象如下图所示： 由图象可知：有两个交点，且交点关于对称， 所以的图象所有交点横坐标之和为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 若，则 B. 若有2个不相等实数根，则 C. 若在的值域为，则的取值范围是 D. 函数的单调递增区间为 【答案】BCD 【解析】 【分析】解方程求出方程的根，结合基本不等式判断AB；由值域确定范围判断C；利用复合函数单调性，结合对数函数单调性求出单调区间判断D. 【详解】对于A，函数，由，得或，则或，A错误； 对于B，由，得或，由有两个不等实数根， 得，，B正确； 对于C，函数在上单调递减，在上单调递增， 由在的值域为，得，此时，则， 由，得或，则当时，，； 当时，，，因此的取值范围是，C正确； 对于D，，， 由，得，解得，即函数定义域为， 由，得，即函数是偶函数， 当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上递增， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由偶函数性质得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则函数的单调递增区间为，D正确. 故选：BCD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与的图象关于轴对称 B. 函数且恒过定点 C. 已知命题：，则的否定为： D. 函数的单调递减区间为． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断，判断A选项；令，由此确定出所过定点坐标，判断B选项；通过修改量词否定结论可得结果，判断C选项；由函数定义域及复合函数单调性得出函数递减区间，判断D选项. 【详解】对于A，对于函数上任意一点，其关于的对称点，在函数图象上，A选项正确； 对于B，令，则，，则函数恒过定点，B选项错误； 对于C，：，则的否定为：，C选项正确； 对于D，∵，即，所以， 所以函数的定义域为， 因为二次函数开口向下，对称轴为， ∴时，单调递增，即单调递增， 时，单调递减，即单调递减， ∴函数的单调递减区间为，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. ______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式计算，整理即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 已知函数是幂函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义即可求出参数. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解之可得，则. 故答案为： 14. 若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据函数过点求出参数的值，即可得到函数解析式，从而判断其单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式即可求解. 【详解】设，则，即，所以，解得， 所以，则在定义域上单调递增； 所以由得，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）化简求值：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简求值即可； （2）利用根式运算性质、指数运算性质和对数运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2） . 16. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性（不需证明，写出结论即可）；若对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义得出，结合指数幂的运算性质可得出关于的等式，解之即可； （2）判断出是上的单调增函数，将所求不等式变形为，可得出对恒成立，结合可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 为奇函数，， 又 . ，即. 【小问2详解】 是上的单调增函数，理由如下： 任取、且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数， 等价于， ，即对恒成立， ，解得，故实数的取值范围是. 17. 已知函数过定点，函数的定义域为． （1）求定点并判断函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1）定点为，奇函数； （2） 在上单调递增. 证明：任取，且， 则. ，， ，， ，即， 函数在区间上是增函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得证； （2）利用定义法即可证明的单调性； （3）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案. 【小问1详解】 函数过定点，定点为， ，定义域为， . 函数为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，即， 函数为奇函数，， 在上为单调递增函数， ， ，解得：. 故不等式的解集为：. 18. 如图，已知在四面体中，，. （1）求证：直线在平面上的射影平分； （2）记直线与平面所成的角为，求证：； （3）若，，二面角为直二面角，求棱的长度的取值范围. 【答案】（1） 如图，过点作平面交平面于点，连接， 则直线为直线在平面内的射影. 在平面内，过点作交于点， 过点作交于点，连接、. 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证. 又，，所以，所以. 又，所以，所以， 即为的角平分线，故直线在平面上的射影平分. （2） 由（1）可知，，，. 所以，即. （3） 【解析】 【分析】（1）过点作平面交平面于点，连接，则直线为直线在平面内的射影.在平面内，过点作交于点，过点作交于点，连接、，证明出，可得出，再证明出，可得出，即可证得结论成立； （2）由（1）得，结合锐角三角函数的定义可证得结论成立； （3）在平面中，作交于点，由面面垂直的性质定理得出平面，设，由得出，代入得出，结合可求得的取值范围，即为所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示，在平面中，作交于点， 因为二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面平面，，平面， 由面面垂直的性质定理得：平面，由（1）知平分. 设，在中，因为， 所以. 即，所以①， 又由（2）得：，所以②， 将②代入①得：，即，所以. 又，所以，故棱的长度的取值范围为. 19. 已知函数的图象如图所示． （1）求函数的解析式及最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值； （3）在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求的值． 【答案】（1） （2）当时，的最小值为 （3）或． 【解析】 【分析】（1）由图像求即可求解 （2）利用图像变换先求，进而得，由三角恒等变换化简即可求解； （3）令，可得，令，得，利用二次方程根的分布即可求解. 【小问1详解】 由图可得，最小正周期，则， 由，可得 又，所以，，所以， 【小问2详解】 由题意得， ， 所以的最小值为，当，即； 【小问3详解】 ， 令，可得，令，得， 由于，故方程必有两个不同的实数根，，且， 由知异号，不妨设， 若，则，无解， 在内有四个零点，不符题意； 若，则在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意，此时，得； 若在有4个零点， 故在内应恰有2个零点，，此时 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $