专题1.4 线段的垂直平分线（寒假预习讲义）（5大知识点预习+ 8大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期

专题1.4 线段的垂直平分线 知识点1：线段垂直平分线的性质定理 1.核心内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 2.符号语言：如图，直线垂直平分线段，垂足为，点在上，则。 3.注意事项：“点”是直线上任意一点，距离指线段长度；可直接用于证明两条线段相等，是常用辅助线依据。 知识点2：线段垂直平分线的判定定理 1.核心内容：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2.符号语言：若，则点在线段的垂直平分线上。 3.注意事项：需证明直线上两点到线段两端距离相等，才能判定该直线是线段的垂直平分线（两点确定一条直线）。 知识点3：性质与判定定理对比表 类别 核心逻辑 应用场景 关键区别 性质 垂直平分线→距离相等 已知垂直平分线，求线段相等 由“线”推“点到点的距离” 判定 距离相等→垂直平分线 已知线段相等，判定直线是垂直平分线 由“点到点的距离”推“线” 知识点4：三角形三边垂直平分线的性质 1.核心内容：三角形三条边的垂直平分线相交于一点（称为三角形的外心），且该点到三个顶点的距离相等。 2.外心位置： 锐角三角形：内部； 直角三角形：斜边中点； 钝角三角形：外部。 3.应用：求三角形内到三个顶点距离相等的点（如建售票中心、公园设施）。 知识点5：尺规作图（线段垂直平分线相关） 作线段的垂直平分线： ①以线段两端（A、B）为圆心，大于线段长为半径画弧，两弧交于两点； ②过两点作直线，即为垂直平分线。 2.过直线上/外一点作直线的垂线：借助线段垂直平分线的作图方法，以点为圆心画弧交直线于两点，再作这两点连线的垂直平分线。 3.作等腰三角形：已知底边和底边上的高，先作底边的垂直平分线，再在垂线上截取高，连接顶点得等腰三角形。 【基础必考题型】 【题型1】利用性质求线段长度 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质定理（）； 等腰三角形的性质。 2.解题方法技巧 直接转化：垂直平分线上的点到两端点距离相等，将所求线段转化为已知线段（如垂直平分，则，周长）； 设未知数：复杂图形中设未知边为，结合性质列方程求解。 【例题1】.（25-26八年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，垂直平分，连接，的周长为20，的周长比四边形的周长多10，则线段的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．先根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用的周长为20得到，接着利用得到，所以，然后解方程即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∵的周长为20， ∴， ∴， ∵的周长比四边形的周长多10， ∴， 即， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，是边的垂直平分线，，，求的长． 【答案】7 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．由线段垂直平分线的性质可得，根据求出的长即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：7． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，若，的周长为8，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了线段的垂直平分线，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质解题即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：14 ． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质， 先根据勾股定理求得，再根据中垂线的性质得，然后根据的周长为得出答案． 【详解】解：∵， 根据勾股定理，得． ∵是的中垂线， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 【题型2】利用性质求角度 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质（→）； 三角形内角和定理。 2.解题方法技巧 等边对等角：由线段相等转化为角相等，再结合内角和求未知角（如垂直平分，，则，进而求）； 标注等量关系：明确垂直平分线带来的边相等，再推导角的关系。 【例题2】.（19-20八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，连接，若，，则的度数为（　　） A．24° B．30° C．32° D．48° 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，再另一条角平分线的定义得到，然后根据三角形内角和可计算出的度数． 本题考查了线段的垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【详解】解：∵点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式题2-1】.（24-25八年级上·广东东莞·月考）如图所示，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．先根据线段垂直平分线及等腰三角形的性质得出，再根据，可设出，再根据直角三角形的性质列出方程，求出的度数即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 即， 故选：B． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，垂直平分交于点，连接，求的度数． 【答案】 【分析】先由垂直平分线性质得到，进而由等边对等角得到，再由外角性质得到，在中，由直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】解：垂直平分， ， ， 是的一个外角， ， 在中，，则． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E．已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．先求出，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 【题型3】判定线段垂直平分线 1.核心知识点 线段垂直平分线的判定定理（两点到两端点距离相等）； 全等三角形的性质。 2.解题方法技巧 两点验证：证明直线上两个点到线段两端距离相等（如，，则直线垂直平分）； 结合定义：证明直线过线段中点且垂直于线段（需验证垂直和平分两个条件）。 【例题3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟练掌握该知识点是解题的关键． 由，，得到，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到结论． 【详解】解：， 而， ， ∴点在的垂直平分线上． 故选：B． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·北京·期末）如图，，，连接，交于点．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定；先证明是的垂直平分线，可求出，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：，， 是的垂直平分线， ， ，， 是等边三角形， ， 故答案为：6． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，点E是线段上任意一点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 连接，证得是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质证得即可． 【详解】证明：连接， ，， 在线段的垂直平分线上，B在线段的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线， 在上， ． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，为的中点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的定义可得，即可求证； （）先根据垂直定义可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，从而可得，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可求解； 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵，为的中点， ∴平分， ∴， ∴． 【题型4】基础尺规作图（作垂直平分线/垂线） 1.核心知识点 尺规作图的原理（线段垂直平分线的判定）； 作图规范（半径大于线段长）。 2.解题方法技巧 作垂直平分线：严格遵循“两弧相交”，确保半径足够（否则两弧无交点）； 作垂线：先找点再作垂直平分线，保留作图痕迹（弧、交点、直线）。 【例题4】.（25-26八年级上·广西防城港·期末）根据条件画图，并回答问题： (1)画一个锐角三角形三边均不相等)； (2)作出边上的中线和高； 【答案】(1)三角形见解析(答案不唯一)； (2) 见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图，掌握垂直平分线的尺规作图是解题的关键． （1）根据锐角三角形的定义，画出三个内角均为锐角且三边不等的三角形即可； （2）用尺规作出线段的垂直平分线与边的交点，从而确定的中点，连接得到中线；再用尺规作过点且垂直于的线段，得到高． 【详解】（1）解：如图，即为所求锐角三角形(答案不唯一)； （2）解：①分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接两点的直线交于(为中点)，连接，则为边上的中线； ②以为圆心，任意长为半径画弧，与直线交于两点，再分别以这两点为圆心，大于它们距离的一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接该点与点，并延长交于，则，为边上的高； 边上的中线和高如图所示： 【变式题4-1】.（2024·福建泉州·二模）如图，中，． (1)用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； (2)在（1）条件下，连接，当，时，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为． 【分析】本题考查了尺规作图——垂直平分线的作法、勾股定理、三角形的周长，掌握垂直平分线的作图技巧及勾股定理的应用是解题关键． (1)根据垂直平分线的定义，利用尺规作图技巧作图即可； (2)由，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，再利用垂直平分线的性质得出，最后，运用三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，分别交于，交于，连接． ∴边上的垂直平分线，如图所示： （2）解：∵，，， ∴ ． ∵垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河北沧州·期末）尺规作图要求：已知，直线和点，作，使其与全等且一条边在直线上，一条边过点，右图是小红的作图痕迹，小林说：“小红的作图完全正确，作图依据是．”下列判断正确的是（    ） A．小林说的完全正确 B．小林只说对一半，作图依据应是 C．小林只说对一半，作图依据应是 D．小林说的完全不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定以及尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法以及三角形全等的判定定理． 由作法得：，，即可解答． 【详解】解：由作法得：，， 在和中， ∵， ∴， ∴小林只说对一半，作图依据应是． 故选：C 【变式题4-3】.（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知：在中，，平分交于点． (1)用尺规作图：过点作于点，并交于点（不要求写作法，但保留作图痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，三角形外角的性质，全等三角形的性质和判定，等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）以点C为圆心任意长为半径画弧交于，再以为圆心，大于的长为半径分别画弧交于点K，连接交于点，即为所求． （2）在上截取，连接，证明，得出，根据三角形外角的性质得出，再证明，证出，即可得，即可证明． 【详解】（1）解：如图，点，点即为所求． （2）证明：在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【培优高频题型】 【题型5】折叠问题中的垂直平分线 1.核心知识点 折叠的性质（对应边相等、对应点连线被折痕垂直平分）； 线段垂直平分线的性质与判定。 2.解题方法技巧 标注折叠关系：折叠后重合的点，其连线的垂直平分线为折痕（如折叠点到，折痕垂直平分）； 转化线段/角：利用性质将折叠后的线段转化为已知线段，结合勾股定理求解。 【例题5】.（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，若点与点恰好重合，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，连接，延长交于，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质得到，，由折叠的性质，三角形外角的性质得到，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长交于， ∵，是的角平分线，， ∴，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，则， ∴，， ∵将沿（在上，在上）折叠，若点与点恰好重合， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定，三角形外角的性质，折叠的性质的综合，掌握等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，折叠的性质，得到是解得的关键． 【变式题5-1】.（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，点为内一点，过点的直线分别交于点M，N，且点在的垂直平分线上，点沿折叠后与点重合，连接，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键． 由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得∶，，推出 ，再结合三角形的外角性质可得，最后根据，即可求解． 【详解】解:∵， ∴， ∵点A沿折叠后与点P重合，N在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴ ． 故选B． 【变式题5-2】.（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿着折叠，点恰好和点重合，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】先利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而利用三角形的外角可得，然后利用折叠的性质可得，从而可得，最后根据三角形内角和定理可得，从而进行计算即可解答． 【详解】解：点在的垂直平分线上， ， ， 是的一个外角， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及折叠的性质是解题的关键． 【变式题5-3】.（23-24八年级下·湖北荆州·月考）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 【答案】（1）5（2）（3）t的值为2.5或10 【分析】（1）由折叠的性质得到：由折叠的性质得：，设，则，利用勾股定理即可求解； （2）根据长方形的性质与折叠的性质易得：，设，则，在中，由勾股定理得：，即可求解； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为5， （秒）； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为， （秒）； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，t的值为2.5秒或10秒． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 【题型6】垂直平分线交点的实际应用 1.核心知识点 三角形三边垂直平分线的性质（交点到三顶点距离相等）； 尺规作图找外心。 2.解题方法技巧 作图步骤：连接任意两边，作其垂直平分线，交点即为所求。 【例题6】.（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，A、B两镇位于国道l的同侧，两镇距离国道分别有数公里．随着经济发展，过往车辆增多，政府规划在国道l上新建一座多功能加油站，既为车辆提供便利，又促进两镇资源互通．如果你是工程师，请解决以下规划问题： (1)公平选址：确定加油站位置P，使得加油站到A、B两镇的距离相等； (2)路径优化：从A镇前往B镇，需途径加油站加油．确定加油站位置Q，使得总路程最短：请分别作出上述两种情况下的加油站P、Q的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹并写出结论，不用证明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂线和线段垂直平分线的尺规作图，线段的尺规作图，线段垂直平分线的性质，轴对称最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交直线l于P，则点P即为所求； （2）过点A作于T，在上截取，连接交直线l于Q，则点Q即为所求． 【详解】（1）如图所示，点P即为所求； （2）解；如图所示，点Q即为所求； 【变式题6-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）情境应用某镇三个村庄，，的位置如图所示，镇政府联合企业对三个村庄展开安置房修建工作．由于施工需要大量用水，为了缓解当地的用水压力，同时避免污染当地河流等自然水源，镇政府准备打井供给施工用水．若想使水井到三个村庄的距离相等，则适合挖井的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的作法以及其性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 利用垂直平分线的性质和作法，作出线段，的垂直平分线，即可得出水井位置． 【详解】解，如图所示，线段，的垂直平分线交于点，点即为水井位置． 故选：A． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔E．按照设计要求，发射塔与两个城镇A，B的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等．发射塔E应修建在什么位置？在图上标出发射塔E的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，尺规作图作垂直平分线． 分别作的垂直平分线，的角平分线，交点处即为发射塔E的位置． 【详解】解：发射塔E的位置如图所示． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在直角中，． (1)在内找一点，使点到点、距离相等且到边、的距离相等．（利用直尺圆规作图） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）作平分，作线段的垂直平分线，直线交射线于点，点即为所求； （2）由作图可知，推出，求出可得结论． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：，， ， 平分， ， 垂直平分线段， ， ， ． 【压轴素养题型】 【题型7】动态问题中的存在性探究 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质； 分类讨论思想。 2.解题方法技巧 设定动点：如点在线段（垂直平分线）上运动，探究为等腰三角形的情况； 分类讨论：以、、为条件，结合性质列方程求解，验证合理性。 【例题7】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，以为边画等腰三角形，使点P在的边上，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义，运用分类思想解答即可． 本题考查了等腰三角形的定义，分类思想，熟练掌握定义和分类思想是解题的关键． 【详解】解：根据等腰三角形的定义，运用分类思想作图如下： 如图，,符合题意的点P有4个， 故选：C． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江苏苏州·周测）如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，在图中标出所有符合条件的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形，垂直平分线的性质，圆的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图： 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，则点，即为所求； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； 当时，作线段的垂直平分线，则点，即为所求； 综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为5个． 【变式题7-2】.（24-25八年级上·江苏无锡·月考）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在如图2中，作出的“双等腰线”，并标出各内角度数或作必要的标注； (2)如图3，已知在中，，点是的中点，过点作，交的延长线于点D，边上的一点恰好在的垂直平分线上，求证：线段、是的“三等腰线”； (3)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，直接写出它的底角度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解三角形的“双等腰线”，“三等腰线”的定义，属于中考创新题型． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）证明，，都是等腰三角形即可； （3）设底角度数为x，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】（1）解：如图，取，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形， ∴为的“双等腰线”； 如图，作的垂直平分线，交于D，交于E，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形， ∴是的“双等腰线”； （2）证明：∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，都是等腰三角形， ∴线段、是的“三等腰线”． （3）解：①设是以、为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ②设是以、为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ③设是以、为腰的直角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时，为的垂直平分线， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ④设顶角为x， 可得，， 解得：， ∴ 故答案为：或或或． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”． (1)如图1，三角形内角分别为，这个三角形_____（填“存在”或“不存在”）“准黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条“准黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【答案】(1)存在 (2)见解析 (3)或或或 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定即可解答； （2）设，则，分别证明和都是等腰三角形，即可解答； （3）当是一个等腰三角形，且它是“准黄金三角形”时，有四种情形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于点，连接， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， 是等腰三角形， 这个三角形存在“准黄金线”； 故答案为：存在； （2）证明：如图2，设，则， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 和都是等腰三角形， 是的一条“准黄金线”； （3）解：一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，有以下四种情况： ①如图3，，， ， 是一个“准黄金三角形”， 和都是等腰三角形， ， 此时等腰三角形的顶角为； ②如图4，设， ， ， 则， 解得， 此时等腰三角形的顶角为； ③如图5，，， ， ， ， ， ， ； 此时等腰三角形的顶角为； ④如图6，， ， ， ， ， ， ， 此时等腰三角形的顶角为； 综上，符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义—“准黄金线”，“准黄金三角形”的理解和运用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，正确地理解题意是解题的关键． 【题型8】最值问题 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质； 两点之间线段最短。 2.解题方法技巧 对称转化：作其中一点关于垂直平分线的对称点（如作关于直线的对称点）； 求最短路径：连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求（与的交点，最短）。 【例题8】.（25-26八年级上·江苏南通·月考）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值． (2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． (3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 【答案】(1)3 (2)3 (3)5 【分析】（1）连接，可得点B，C关于对称，则，那么，故就是的最小值，然后根据等边三角形的性质得到，再根据等边三角形的高即可求解； （2）过点作于点，可得平分，，，，则，那么，即可求解最小值； （3）分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接，则，，然后得到是等边三角形，则，，而，故点共线时，周长取得最小值即为，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵是等边三角形，是边上的高， ∴点B，C关于对称，， ∴， ∴ ∴就是的最小值． ∵在等边三角形中，E是的中点， ∴， 而是边上的高 ∴， ∴的最小值为3． （2）解：如图，过点作于点， ∵为等边三角形的高， ∴平分，， ∴，， ∴， ∴， 故其最小值为3； （3）解：如图，分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接． ∵点P关于的对称点为E， ∴． ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴当点共线时，周长取得最小值即为 ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）八年级某班在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题：    (1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点、，直线与、的位置如图所示，点P是直线上一动点，则的最小值为 ，在网格内画出点P； (2)几何应用：如图3，在中，，边的垂直平分线交于点E，垂足为D．若，点P是直线上的动点，求的最小值． 【答案】(1)，见解析 (2)9 【分析】（1）作点B关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据等边对等角和三角形内角和定理可得；由线段垂直平分线的性质可得，则可推出，可得，；可证明，则当P、B、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为9． 【详解】（1）解：如图所示，作点B关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求， 此时的最小值即为线段的长，即的最小值为；    （2）解：∵在中，， ∴； ∵边的垂直平分线交于点E，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接，则， ∴， ∴当P、B、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为9．    【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理等等，正确理解题意确定线段之和取得最小值的情形是解题的关键． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·陕西西安·月考）“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； (2)应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，则周长的最小值为______． ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是多少？此时为多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)①12②， 【分析】本题考查的是轴对称的性质−最短路径问题，掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出图形； （2）①分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到，等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（），作点A关于的对称的，连接交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，． 【详解】（1）解：作图如下： （2）①分别作P关于、的对称点M、N， 连接，交、于C、D，则的周长最小， 连接，如图， 由轴对称的性质可知，， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； 故答案为：12； ②、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ∵是上的中线，即， ， 点在射线上运动（）， 作点A关于的对称的，连接交于，如图， 此时的值最小，此时点E和点重合，， ，， 是等边三角形， ， ， 周长的最小值是，． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是__________米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若． （1）求的最小值，并说明理由； （2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 【答案】任务1：520米 任务2：（1）6，理由见解析      （2）10 任务3：9 【分析】本题考查了最短路径问题（涉及轴对称、垂直平分线的性质），解题的关键是利用轴对称或垂直平分线“到线段两端点距离相等”的性质，将折线路径转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解． 任务1通过作对称点，结合中点与的条件转化路径求最短距离； 任务2利用垂直平分线性质转化线段，结合线段最短求及三角形周长的最小值； 任务3作对称点转化折线路径，结合角度条件求面积和． 【详解】任务1 解：作关于河岸的对称点，设的中点为M，连接， ∵，且点到中点的距离为米， ∴到该中点的距离为米， ∵， ∴， ∴，， 又点C、M、D在同一条直线上，则, ∴, ∴点在同一条直线上， 最短距离（米）． 故答案为：． 任务2 （1）解：由“两点之间线段最短”，当在与直线的交点时， ∴的最小值为． （2）解：∵直线是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的最小值为, ∴的最小值为6, ∴周长最小值． 任务3 解：作关于的对称点，关于的对称点，连接交于、交于，则此时，取得最小值．连接． 则，，，， ，， ∵，， ∴． 易错点 1.混淆性质与判定：误将“距离相等→垂直平分线”说成性质，或“垂直平分线→距离相等”说成判定； 2.尺规作图失误：作垂直平分线时半径小于线段长，导致两弧无交点； 3.忽略外心位置：误认为三角形外心一定在内部（钝角三角形外心在外部，直角三角形在斜边中点）； 4.判定垂直平分线不严谨：仅证明一个点到两端距离相等，就判定直线是垂直平分线（需两个点）。 重点 1.掌握线段垂直平分线的性质与判定定理，能灵活转化边与线的关系； 2.熟练掌握尺规作图（作垂直平分线、垂线、等腰三角形），保留规范痕迹； 3.理解三角形外心的定义、位置及性质，解决实际选址问题； 4.能结合折叠、全等、传统文化等情境，应用定理解决综合问题。 难点 1.动态问题中的分类讨论：动点运动时，结合垂直平分线性质探究等腰、直角三角形的存在性； 2.最值问题的转化：利用垂直平分线和对称思想，解决“将军饮马”类最短路径问题； 3.跨学科与综合应用：将实际情境（建筑、传统文化）转化为几何模型，结合全等、勾股定理求解； 4.探究式问题的证明：根据已知性质拓展猜想，通过逻辑推导验证结论。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得，进而等量代换求解的周长即可． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为 ． 故选：D． 2．如图所示，在中，，垂直平分，交于点，垂足为，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质定理，由含度角的直角三角形的性质，由垂直平分线的性质，得到，再由含度角的直角三角形的性质即可求出的长度． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． ∵在中，，则， ∴； 故选：C． 3．如图，在中，为边的垂直平分线，为线段 的垂直平分线，若，，则 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得，，进而可得，再根据线段的关系，即可求解． 【详解】解：∵为边的垂直平分线，为线段 的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ 故选：B． 4．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 5．如图，在中，，，，点D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 延长到点，使得，则直线是线段的垂直平分线，连接，于是得到，于是，根据点到直线的距离垂线段最短，得到的最小值就是的高，过点作于点，求即可． 【详解】解：延长到点，使得， ， ∴直线是线段的垂直平分线， 连接， ， ， 根据点到直线的距离垂线段最短，得到的最小值就是的高， 过点作于点， ， ， ， ， ， 故选： B． 二、填空题 6．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点，连接，交于点D，连接，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．分别求出，的大小，可得结论． 【详解】解：∵，， ∴． 由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，是等边三角形，是的高，边的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，线段垂直平分线的性质，连接，由等边三角形的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，则根据等边对等角和角之间的关系可求出，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，是的高， ∴， ∵边的垂直平分线分别交于点E、F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 8．如图，在中，，，，，平分，分别是、边上的动点，求的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，直角三角形的等面积法求斜边上的高，属于综合题，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交于，交于，连接， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∵是边上的动点， ∴， ∴， ∴、、三点在一条直线上，且时，有最小值， ∵，，，， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为． 故答案为： 9．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，若，的周长为15，则的周长是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查的是垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，则，然后结合题意求解即可． 【详解】解：∵的周长为15， ∴， ∵， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴． 故答案为：9． 10．如图，中，直线是边的垂直平分线，若直线上存在点，使得均为等腰三角形，则满足条件的点的个数共有 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的定义等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 先说直线上的所有点都能使一定是等腰三角形；再分、、三种情况确定点P即可解答． 【详解】解：∵直线是边的垂直平分线， ∴直线上存在点到点A、B的距离相等，即直线上的所有点都能使一定是等腰三角形； ∵是等腰三角形， ∴如图：当时，点P为线段的垂直平分线与直线l的交点； 如图：当时，以A为圆心，以为半径画弧，与直线l的交点有两个． 如图：当时，以C为圆心，以为半径画弧，与直线l的交点有两个． 综上，满足条件的点的个数共有5个， 故答案为：5． 三、解答题 11．如图，已知，P为边上一点．尺规作图：作直线，使得点A与点P关于直线对称，直线交直线于点E，交直线于点F．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作线段的垂直平分线，掌握作垂直平分线的步骤是解题关键． 要使得点A与点P关于直线对称，作的垂直平分线即可． 【详解】解：如图，直线即为所求． 12．在中，，，为中点，于，交的延长线于． (1)求证：． (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由同角的余角相等得出，由平行线的性质得出，再利用即可证明； （2）连接，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，结合题意得出，即可得出为等腰直角三角形，证明平分，再结合等腰三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：如图：连接， 由（1）可得：， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 由等腰三角形三线合一的性质可得：垂直平分． 13．如图，在中，，， 边的垂直平分线分别交，于点，，连接，， 求的度数及边的长． 【答案】，． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟记等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．先根据三角形的内角和定理和等腰三角形的等边对等角性质可以求出的度数，再根据垂直平分线定理得出，，然后求出外角，最后根据等腰三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵的垂直平分线分别交，于点，，，   ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请回答下列问题： (1)作关于x轴的对称图形，其中点的对称点分别为，并写出点的坐标 (2)在直线（直线上各点的横坐标为1上找出一点，使最短． (3)若格点到点，的距离相等，则在第二象限内满足条件的格点共有_____个． 【答案】(1)作图见解析，，， (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查作轴对称图形，轴对称的性质，垂直平分线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再根据坐标系写出点的坐标即可； （2）作点C关于直线m的对称点，连接，交直线m于点Q，则为最短，即点Q为所求； （3）根据网格特点作出线段的垂直平分线l，根据垂直平分线的性质得到点T在直线l上，结合图形找出格点即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求． ，，． （2）解：如图，点Q为所求． （3）解：如图，直线l是线段的垂直平分线，则直线l上的点到点，的距离相等，即点T在直线l上， ∴在第二象限内满足条件的格点为或，，共3个． 故答案为：3． 15．在平面直角坐标系中，若满足，且，则称为“关于点的等腰三角形”，简称为“等腰三角形”． (1)如图，已知，，，请判断是否为“等腰三角形”，并说明理由； (2)如图，已知，，，点在直线上．若存在为“等腰三角形”，求的取值范围； (3)如图，点， ，点在轴正半轴上，满足．若存在点使为“等腰三角形”，求点的纵坐标的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】(1)是“等腰三角形”，理由见解析； (2)或 (3)，且 【分析】（1）作轴，垂足为，根据所给的点的坐标，容易证明和是等腰直角三角形，则也是等腰直角三角形，因此得证； （2）以为斜边向上和向下构造等腰直角三角形，结合题干对于“等腰三角形”的定义，可判断出点在线段上，因此点在线段上，且和端点以及中点都不重合； （3）先以为边向上和向下构造等边和等边，类比（2）可得，点要在线段上，且不与中点重合．以为边向上构造等边三角形，通过证明，可判断出、、三点共线．在直角和直角使用含的直角三角形的性质，依次计算出、、，进而求出点的纵坐标．使用中点公式，求出的中点的纵坐标，容易证明出点也是的中点，从而计算出点的纵坐标，最终得出点的纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：是“等腰三角形”，理由如下： 作轴，垂足为， ∵，轴， ∴点的坐标为，， ∵，， ∴， ∴、都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴是“等腰三角形”； （2）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，在的垂直平分线上取两点、，使得， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理，，，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是“等腰三角形”， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段上， ∴直线在直线和直线之间， ∴点在线段上， ∵， ∴ 当时，点与点重合，故舍去； 当时，点与点重合，故舍去； ∴的取值范围为或； （3）解：如图，以为边向上作等边，向下作等边，取的中点，连接，， ∵，是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴，， ∴、、三点共线，即， ∴是线段的垂直平分线， ∵是“等腰三角形”， ∴，且， ∴点在线段上，且不与点重合， 如图，以为边向上作等边，连接，作轴，垂足为， ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在直角中，， ∴，， ∴， ∵， ∴、、三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即点为的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上，且不与点重合， ∴，且． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质并构造对应的等腰三角形是解题关键． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 线段的垂直平分线 知识点1：线段垂直平分线的性质定理 1.核心内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 2.符号语言：如图，直线垂直平分线段，垂足为，点在上，则。 3.注意事项：“点”是直线上任意一点，距离指线段长度；可直接用于证明两条线段相等，是常用辅助线依据。 知识点2：线段垂直平分线的判定定理 1.核心内容：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2.符号语言：若，则点在线段的垂直平分线上。 3.注意事项：需证明直线上两点到线段两端距离相等，才能判定该直线是线段的垂直平分线（两点确定一条直线）。 知识点3：性质与判定定理对比表 类别 核心逻辑 应用场景 关键区别 性质 垂直平分线→距离相等 已知垂直平分线，求线段相等 由“线”推“点到点的距离” 判定 距离相等→垂直平分线 已知线段相等，判定直线是垂直平分线 由“点到点的距离”推“线” 知识点4：三角形三边垂直平分线的性质 1.核心内容：三角形三条边的垂直平分线相交于一点（称为三角形的外心），且该点到三个顶点的距离相等。 2.外心位置： 锐角三角形：内部； 直角三角形：斜边中点； 钝角三角形：外部。 3.应用：求三角形内到三个顶点距离相等的点（如建售票中心、公园设施）。 知识点5：尺规作图（线段垂直平分线相关） 作线段的垂直平分线： ①以线段两端（A、B）为圆心，大于线段长为半径画弧，两弧交于两点； ②过两点作直线，即为垂直平分线。 2.过直线上/外一点作直线的垂线：借助线段垂直平分线的作图方法，以点为圆心画弧交直线于两点，再作这两点连线的垂直平分线。 3.作等腰三角形：已知底边和底边上的高，先作底边的垂直平分线，再在垂线上截取高，连接顶点得等腰三角形。 【基础必考题型】 【题型1】利用性质求线段长度 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质定理（）； 等腰三角形的性质。 2.解题方法技巧 直接转化：垂直平分线上的点到两端点距离相等，将所求线段转化为已知线段（如垂直平分，则，周长）； 设未知数：复杂图形中设未知边为，结合性质列方程求解。 【例题1】.（25-26八年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，垂直平分，连接，的周长为20，的周长比四边形的周长多10，则线段的长是 ． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，是边的垂直平分线，，，求的长． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，若，的周长为8，则的周长为 ． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为 ． 【题型2】利用性质求角度 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质（→）； 三角形内角和定理。 2.解题方法技巧 等边对等角：由线段相等转化为角相等，再结合内角和求未知角（如垂直平分，，则，进而求）； 标注等量关系：明确垂直平分线带来的边相等，再推导角的关系。 【例题2】.（19-20八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，连接，若，，则的度数为（　　） A．24° B．30° C．32° D．48° 【变式题2-1】.（24-25八年级上·广东东莞·月考）如图所示，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知，则是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，垂直平分交于点，连接，求的度数． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E．已知，求的度数． 【题型3】判定线段垂直平分线 1.核心知识点 线段垂直平分线的判定定理（两点到两端点距离相等）； 全等三角形的性质。 2.解题方法技巧 两点验证：证明直线上两个点到线段两端距离相等（如，，则直线垂直平分）； 结合定义：证明直线过线段中点且垂直于线段（需验证垂直和平分两个条件）。 【例题3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（   ） A． B． C． D．不确定 【变式题3-1】.（25-26八年级上·北京·期末）如图，，，连接，交于点．若，，则 ． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，点E是线段上任意一点，连接，．求证：． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，为的中点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【题型4】基础尺规作图（作垂直平分线/垂线） 1.核心知识点 尺规作图的原理（线段垂直平分线的判定）； 作图规范（半径大于线段长）。 2.解题方法技巧 作垂直平分线：严格遵循“两弧相交”，确保半径足够（否则两弧无交点）； 作垂线：先找点再作垂直平分线，保留作图痕迹（弧、交点、直线）。 【例题4】.（25-26八年级上·广西防城港·期末）根据条件画图，并回答问题： (1)画一个锐角三角形三边均不相等)； (2)作出边上的中线和高； 【变式题4-1】.（2024·福建泉州·二模）如图，中，． (1)用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； (2)在（1）条件下，连接，当，时，求的周长． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河北沧州·期末）尺规作图要求：已知，直线和点，作，使其与全等且一条边在直线上，一条边过点，右图是小红的作图痕迹，小林说：“小红的作图完全正确，作图依据是．”下列判断正确的是（    ） A．小林说的完全正确 B．小林只说对一半，作图依据应是 C．小林只说对一半，作图依据应是 D．小林说的完全不正确 【变式题4-3】.（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知：在中，，平分交于点． (1)用尺规作图：过点作于点，并交于点（不要求写作法，但保留作图痕迹）； (2)求证：． 【培优高频题型】 【题型5】折叠问题中的垂直平分线 1.核心知识点 折叠的性质（对应边相等、对应点连线被折痕垂直平分）； 线段垂直平分线的性质与判定。 2.解题方法技巧 标注折叠关系：折叠后重合的点，其连线的垂直平分线为折痕（如折叠点到，折痕垂直平分）； 转化线段/角：利用性质将折叠后的线段转化为已知线段，结合勾股定理求解。 【例题5】.（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，若点与点恰好重合，则度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，点为内一点，过点的直线分别交于点M，N，且点在的垂直平分线上，点沿折叠后与点重合，连接，则的度数为（） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿着折叠，点恰好和点重合，则的度数为 ．    【变式题5-3】.（23-24八年级下·湖北荆州·月考）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 【题型6】垂直平分线交点的实际应用 1.核心知识点 三角形三边垂直平分线的性质（交点到三顶点距离相等）； 尺规作图找外心。 2.解题方法技巧 作图步骤：连接任意两边，作其垂直平分线，交点即为所求。 【例题6】.（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，A、B两镇位于国道l的同侧，两镇距离国道分别有数公里．随着经济发展，过往车辆增多，政府规划在国道l上新建一座多功能加油站，既为车辆提供便利，又促进两镇资源互通．如果你是工程师，请解决以下规划问题： (1)公平选址：确定加油站位置P，使得加油站到A、B两镇的距离相等； (2)路径优化：从A镇前往B镇，需途径加油站加油．确定加油站位置Q，使得总路程最短：请分别作出上述两种情况下的加油站P、Q的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹并写出结论，不用证明） 【变式题6-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）情境应用某镇三个村庄，，的位置如图所示，镇政府联合企业对三个村庄展开安置房修建工作．由于施工需要大量用水，为了缓解当地的用水压力，同时避免污染当地河流等自然水源，镇政府准备打井供给施工用水．若想使水井到三个村庄的距离相等，则适合挖井的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式题6-2】.（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔E．按照设计要求，发射塔与两个城镇A，B的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等．发射塔E应修建在什么位置？在图上标出发射塔E的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式题6-3】.（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在直角中，． (1)在内找一点，使点到点、距离相等且到边、的距离相等．（利用直尺圆规作图） (2)若，求的度数． 【压轴素养题型】 【题型7】动态问题中的存在性探究 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质； 分类讨论思想。 2.解题方法技巧 设定动点：如点在线段（垂直平分线）上运动，探究为等腰三角形的情况； 分类讨论：以、、为条件，结合性质列方程求解，验证合理性。 【例题7】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，以为边画等腰三角形，使点P在的边上，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江苏苏州·周测）如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，在图中标出所有符合条件的点． 【变式题7-2】.（24-25八年级上·江苏无锡·月考）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在如图2中，作出的“双等腰线”，并标出各内角度数或作必要的标注； (2)如图3，已知在中，，点是的中点，过点作，交的延长线于点D，边上的一点恰好在的垂直平分线上，求证：线段、是的“三等腰线”； (3)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，直接写出它的底角度数． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”． (1)如图1，三角形内角分别为，这个三角形_____（填“存在”或“不存在”）“准黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条“准黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【题型8】最值问题 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质； 两点之间线段最短。 2.解题方法技巧 对称转化：作其中一点关于垂直平分线的对称点（如作关于直线的对称点）； 求最短路径：连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求（与的交点，最短）。 【例题8】.（25-26八年级上·江苏南通·月考）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值． (2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． (3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）八年级某班在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题：    (1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点、，直线与、的位置如图所示，点P是直线上一动点，则的最小值为 ，在网格内画出点P； (2)几何应用：如图3，在中，，边的垂直平分线交于点E，垂足为D．若，点P是直线上的动点，求的最小值． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·陕西西安·月考）“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； (2)应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，则周长的最小值为______． ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是多少？此时为多少度？ 【变式题8-3】.（25-26八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是__________米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若． （1）求的最小值，并说明理由； （2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 易错点 1.混淆性质与判定：误将“距离相等→垂直平分线”说成性质，或“垂直平分线→距离相等”说成判定； 2.尺规作图失误：作垂直平分线时半径小于线段长，导致两弧无交点； 3.忽略外心位置：误认为三角形外心一定在内部（钝角三角形外心在外部，直角三角形在斜边中点）； 4.判定垂直平分线不严谨：仅证明一个点到两端距离相等，就判定直线是垂直平分线（需两个点）。 重点 1.掌握线段垂直平分线的性质与判定定理，能灵活转化边与线的关系； 2.熟练掌握尺规作图（作垂直平分线、垂线、等腰三角形），保留规范痕迹； 3.理解三角形外心的定义、位置及性质，解决实际选址问题； 4.能结合折叠、全等、传统文化等情境，应用定理解决综合问题。 难点 1.动态问题中的分类讨论：动点运动时，结合垂直平分线性质探究等腰、直角三角形的存在性； 2.最值问题的转化：利用垂直平分线和对称思想，解决“将军饮马”类最短路径问题； 3.跨学科与综合应用：将实际情境（建筑、传统文化）转化为几何模型，结合全等、勾股定理求解； 4.探究式问题的证明：根据已知性质拓展猜想，通过逻辑推导验证结论。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（  ） A． B． C． D． 2．如图所示，在中，，垂直平分，交于点，垂足为，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，为边的垂直平分线，为线段 的垂直平分线，若，，则 的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 5．如图，在中，，，，点D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B． C．4 D． 二、填空题 6．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点，连接，交于点D，连接，则的度数为 ． 7．如图，是等边三角形，是的高，边的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的长为 ． 8．如图，在中，，，，，平分，分别是、边上的动点，求的最小值 ． 9．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，若，的周长为15，则的周长是 ． 10．如图，中，直线是边的垂直平分线，若直线上存在点，使得均为等腰三角形，则满足条件的点的个数共有 ． 三、解答题 11．如图，已知，P为边上一点．尺规作图：作直线，使得点A与点P关于直线对称，直线交直线于点E，交直线于点F．（保留作图痕迹，不写作法） 12．在中，，，为中点，于，交的延长线于． (1)求证：． (2)求证：垂直平分． 13．如图，在中，，， 边的垂直平分线分别交，于点，，连接，， 求的度数及边的长． 14．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请回答下列问题： (1)作关于x轴的对称图形，其中点的对称点分别为，并写出点的坐标 (2)在直线（直线上各点的横坐标为1上找出一点，使最短． (3)若格点到点，的距离相等，则在第二象限内满足条件的格点共有_____个． 15．在平面直角坐标系中，若满足，且，则称为“关于点的等腰三角形”，简称为“等腰三角形”． (1)如图，已知，，，请判断是否为“等腰三角形”，并说明理由； (2)如图，已知，，，点在直线上．若存在为“等腰三角形”，求的取值范围； (3)如图，点， ，点在轴正半轴上，满足．若存在点使为“等腰三角形”，求点的纵坐标的取值范围（用含的式子表示）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $