圆锥曲线：以椭圆为背景的中点弦问题、焦点三角形问题、面积问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

圆锥曲线：以椭圆为背景的中点弦问题、焦点三角形问题、面积问题 圆锥曲线：以椭圆为背景的中点弦问题、焦点三角形问题、面积问题专项训练 考点目录 以椭圆为背景的中点弦问题 以椭圆为背景的焦点三角形问题 以椭圆为背景的面积问题 考点一 以椭圆为背景的中点弦问题 例1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）椭圆上存在两点、关于直线对称，则弦中点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点、，则线段的中点为， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 故， 因为，这两个等式作差得， 即，故①， 又因为点在直线上，故②， 联立①②可得，， 因此线段中点的横坐标为. 故选：D. 例2．（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，则（   ） A．这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上. B．这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上. C．这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上. D．这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上. 【答案】D 【详解】设一组平行直线的方程为， 代入椭圆方程，可得， 即为， 由判别式大于0，可得，解得， 则有，所以截得的线段中点的横坐标为， 代入直线方程可得线段中点的坐标为， 由，消去，可得． 则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上． 故选：D 例3．（25-26高二上·广东佛山·月考）已知直线l与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的斜率为 . 【答案】/ 【详解】依题意可知，直线的斜率存在. 设直线的斜率为， 则，两式相减得， 整理得. 因为线段的中点坐标为， 所以. 故答案为： 例4．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆以及椭圆内一点，则以P为中点的弦所在直线的方程为 【答案】 【详解】由题易知P在椭圆内，设弦与椭圆交于，，斜率为， 则，，相减得到， 即，解得. 所以以P为中点的弦所在直线的方程，即； 故答案为： 例5．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于8， (1)求椭圆的标准方程 (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程 【答案】(1) (2) 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， ， 椭圆的标准方程为； （2）设 ，。 因为是的中点，所以：， 即： 点和都在椭圆上： ， 将 (1) 和 (2) 相减： ， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即. 例6．（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆. (1)求椭圆的短轴长和离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点，若弦的中点为，求直线的方程与弦的长. 【答案】(1)短轴长为，离心率为， (2)， 【详解】（1）椭圆，即， ∴ ∴椭圆的短轴长， ∵，∴， ∴椭圆的离心率. （2）设， 则，即，∴， ∵点为弦的中点，则，即， ∴，即， ∵直线，即， ∴， 联立方程组，整理得， 则， ∴. 变式1．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆与斜率为的直线相交于A，B两点，若线段AB的中点为，则（    ） A．16 B．16或2 C．4 D．4或 【答案】C 【详解】由是椭圆弦AB的中点，得，解得， 设，则， 由两式相减得， 则，即，所以. 故选：C 变式2．（25-26高二上·重庆·期末）椭圆 与直线 交于 两点，则线段 的中点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，联立得， 所以，所以线段的中点的横坐标为， 代入得，所以线段的中点为. 故选：B 变式3．（25-26高三上·云南昆明·月考）若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为 ． 【答案】 【详解】由题意，直线的斜率存在，设，则， 因为点在椭圆上，所以， 两式相减得，，即， 整理得，即， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 即． 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）某航天测控中心监测到一颗人造卫星的运行轨迹近似为椭圆，其方程为.该人造卫星（视作质点）在椭圆轨道上的A，B两点进行变轨操作，若线段AB的中点为，则直线AB的斜率为 ， . 【答案】 【详解】设，，则，. 由得， 则直线AB的斜率， 故直线AB的方程为，即. 由得， 方程的判别式， 则，， 所以， 故. 故答案为：， 变式5．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知为椭圆C：（）的上焦点，D，E分别为C的左、下顶点，且的面积为. (1)求a； (2)若斜率为4的直线l与C交于A，B两点，且为线段AB的中点，求t. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，，， 且， 则，则，得； （2）由（1）可知，椭圆C：， 设直线，， 联立，得， 则， 则， 因为为线段AB的中点，所以，，解得. 变式6．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知椭圆的长轴长为6，是上的一点． (1)求的离心率； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的斜率． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）由题可知， 解得， 则的离心率. （2）由（1）可知的方程为， 设， 则， 则， 整理得. 因为弦的中点为，所以， 则的斜率. 考点二 以椭圆为背景的焦点三角形问题 例1．（25-26高二上·湖南长沙·期末·多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【详解】由，所以，，，令，， 对于A：点在上、下顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，即，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 例2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末·多选）已知是椭圆上一点，是左右焦点，交椭圆于点交椭圆于点，则（   ） A．的周长等于12 B．可能是等边三角形 C．若是椭圆的上顶点，则的面积为10 D．若，则 【答案】AC 【详解】由题意可知，椭圆的长半轴长. 对于A，的周长， 故A正确； 对于B，若为等边三角形，又，则为的中点，由椭圆对称性可知，进而得出在轴上，又三点共线，则也在轴上， 与矛盾，所以不可能是等边三角形，故B错误； 对于C，若是椭圆的上顶点，则，设，则， 在由勾股定理可得 ，即，解得， 所以，，设，则， 在由余弦定理可得：， 即解得，即，所以， 所以的面积，故C正确； 对于D，若，则， 设，则，，由A可知，解得， 所以，， 在由余弦定理可得：， 所以，即，，所以 ，故D错误. 故选：AC    例3．（25-26高二上·广西百色·期末·多选）已知椭圆C：的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的离心率为 C． 的周长为8 D．的最大值为9 【答案】BCD 【详解】由椭圆方程可知，，∴，则，，， 对于A，焦距，故A错误； 对于B，离心率，故B正确； 对于C，，， 则的周长为，故C正确； 对于D，， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BCD. 例4．（25-26高二上·四川宜宾·期末·多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的周长为12 C．的最小值为 D．椭圆上不存在点P，使得 【答案】BCD 【详解】由椭圆方程可知：，，， 对于选项A：椭圆的短轴长为，故A错误； 对于选项B：的周长为，故B正确； 对于选项C：的最小值为，故C正确； 对于选项D：当点P为短轴顶点时，取到最大值， 此时，，可得， 则为锐角，所以椭圆上不存在点P，使得，故D正确. 故选：BCD. 变式1．（25-26高三上·湖南长沙·月考·多选）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，是椭圆上两点，交轴于点，线段的中点为，平分，，则（    ） A． B．的周长为 C． D．椭圆的离心率为 【答案】ACD 【详解】A选项，因为，所以, 则，由相似可得，故A正确； B选项，因为直线过点， 则由椭圆的定义可知，的周长为， 又，故B错误； C选项，因为为线段的中点，平分，所以， 因为，所以可设，， 则由椭圆的定义可知，， 则，得， 故，故C正确； D选项，由C选项可知，， 在、中利用余弦定理可得， ， 即，得， 故椭圆的离心率为，故D正确. 故选：ACD 变式2．（25-26高二上·青海西宁·期末·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，则（ ） A．的长轴长为5 B．的离心率等于 C． D．的周长为16 【答案】CD 【详解】由题意知， 所以的长轴长为10，， 所以离心率为的周长为， 故AB错误，CD正确. 故选：CD. 变式3．（25-26高二上·宁夏中卫·期末·多选）已知分别是椭圆：，的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．若，则的面积为 D．椭圆的离心率为 【答案】AC 【详解】由椭圆方程：，可知，. 对于D选项，离心率为，D选项错误； 对于A选项，的周长为，A选项正确； 对于B选项，根据椭圆焦半径性质，，取等号条件是为长轴的两个端点， 由题知等号条件取不到，因此，无最小值，B选项错误； 对于C选项，不妨设，由椭圆的定义，则， 中，由余弦定理可得， 从而，即，，C选项正确. 故选：AC 变式4．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末·多选）已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点P是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的方程为 C．的面积为 D．的周长为 【答案】ABC 【详解】 由题可知，椭圆与双曲线的焦点在轴上，取第一象限的交点作为点，且，故，也在圆上， 设椭圆方程为：，则，， 设双曲线方程为：，则，， 由于，则，即， 联立，可得： 又因为，，在圆上，则，将上式代入， 可得，， 则， 故，， 对于选项A，由于，故选项A正确； 对于选项B，由于，，代入，得，故选项B正确； 对于选项C，由于，，在圆上，且，为直角三角形，则，故选项C正确； 对于选项D，由于，故选项D错误； 故选：ABC 考点三 以椭圆为背景的面积问题 例1．（25-26高二上·甘肃天水·月考）已知椭圆的右焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)若为的左顶点，为上的动点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意得，解得，所以的方程为； （2）    由（1）知，的坐标为，则， 由图知，当为的短轴的顶点时，的面积最大， 故面积的最大值为 例2．（25-26高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知，，设直线与椭圆的另一个交点为，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. （2）由，可得， 所以直线：，    由 ，解得（舍），或， 所以. 因为，， 所以三角形的面积为. 例3．（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：，右焦点和右顶点分别为，.倾斜角为的直线经过且与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为椭圆：，所以， 所以椭圆的离心率为； （2）由题直线的斜率为， 所以直线的方程为，代入椭圆方程得， 设，则， 所以 又点A到直线的距离为 所以的面积为 例4．（25-26高三上·云南昭通·期末）在平面直角坐标系中，，，动点在曲线上，且满足. (1)求曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，若的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，， 即， 曲线的标准方程为：. （2）由题意：设，直线方程为：， 联立得，由得， ，. 又. 设点到的距离为， 所以， ，解得或（舍去）， 所以，. 变式1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）椭圆的一个顶点是，为坐标原点，离心率为. (1)求椭圆方程； (2)是椭圆上轴上方一点，是右焦点，的斜率为，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知，，解得：，所以椭圆方程为； （2）因为，所以：，联立， 得，解得或， 因为点在轴上方，所以，解得，故不合题意，应舍去，所以， 所以四边形的面积. 变式2．（25-26高二上·广西百色·期末）已知点是椭圆C：上的一点，且椭圆的长轴长是短轴长的倍. (1)求椭圆C的方程； (2)点P在椭圆C上，点A关于坐标原点的对称点为点B，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； (3)斜率为的直线l交椭圆C于，两点，求△面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)是定值 (3)最大值为， 【详解】（1）由题意，可得，   解得，    所以椭圆C的方程为. （2）是定值.理由如下： 由题意得点B坐标为， 设，∵P在椭圆C上，∴， ∵直线和的斜率都存在且不为0，则，，    ∴，    所以直线AP和BP的斜率之积是为. （3）如图， 设直线l的方程为，设，， 由，得， ∴，则， 且，，    则，    点A到直线MN的距离为， 则，   当且仅当，即时面积最大，且最大值为，   此时直线l的方程为. 变式3．（25-26高二上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，且该平面上的动点满足：，设点的轨迹为． (1)求的标准方程； (2)若直线交轨迹于两点，且的面积为1，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，知， 因此点的轨迹是以为左右焦点，长轴长为4的椭圆， 即，即，又，则， 所以的标准方程为. （2）不妨设两点的坐标分别为， 由消去得， ，得， ， ， 又原点到直线距离， 因此， 解得，所以.    变式4．（25-26高二上·贵州六盘水·期末）已知椭圆的一个顶点为，左焦点为，离心率为，为椭圆上的动点、为坐标原点，为的中点. (1)求椭圆的标准方程； (2)当的面积最大时，求直线的方程； (3)过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意：， 所以椭圆的标准方程为：. （2）因为，，所以. 如图： 设点所在直线，当直线与椭圆相切，且时，的面积取得最大值. 将代入，得， 整理得：， 由， 又，所以. 此时点坐标为：. 所以直线方程为：，整理得：. （3）因为直线的斜率不能为0，可设直线的方程为：， 代入，整理得：. 设，， 则，， 所以， 所以. 由. 设，，因为在上单调递增，所以当时，取得最小值5. 所以. 所以面积的最大值为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：以椭圆为背景的中点弦问题、焦点三角形问题、面积问题 圆锥曲线：以椭圆为背景的中点弦问题、焦点三角形问题、面积问题专项训练 考点目录 以椭圆为背景的中点弦问题 以椭圆为背景的焦点三角形问题 以椭圆为背景的面积问题 考点一 以椭圆为背景的中点弦问题 例1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）椭圆上存在两点、关于直线对称，则弦中点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，则（   ） A．这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上. B．这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上. C．这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上. D．这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上. 例3．（25-26高二上·广东佛山·月考）已知直线l与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的斜率为 . 例4．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆以及椭圆内一点，则以P为中点的弦所在直线的方程为 例5．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于8， (1)求椭圆的标准方程 (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程 例6．（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆. (1)求椭圆的短轴长和离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点，若弦的中点为，求直线的方程与弦的长. 变式1．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆与斜率为的直线相交于A，B两点，若线段AB的中点为，则（    ） A．16 B．16或2 C．4 D．4或 变式2．（25-26高二上·重庆·期末）椭圆 与直线 交于 两点，则线段 的中点为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·云南昆明·月考）若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为 ． 变式4．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）某航天测控中心监测到一颗人造卫星的运行轨迹近似为椭圆，其方程为.该人造卫星（视作质点）在椭圆轨道上的A，B两点进行变轨操作，若线段AB的中点为，则直线AB的斜率为 ， . 变式5．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知为椭圆C：（）的上焦点，D，E分别为C的左、下顶点，且的面积为. (1)求a； (2)若斜率为4的直线l与C交于A，B两点，且为线段AB的中点，求t. 变式6．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知椭圆的长轴长为6，是上的一点． (1)求的离心率； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的斜率． 考点二 以椭圆为背景的焦点三角形问题 例1．（25-26高二上·湖南长沙·期末·多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 例2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末·多选）已知是椭圆上一点，是左右焦点，交椭圆于点交椭圆于点，则（   ） A．的周长等于12 B．可能是等边三角形 C．若是椭圆的上顶点，则的面积为10 D．若，则 例3．（25-26高二上·广西百色·期末·多选）已知椭圆C：的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的离心率为 C． 的周长为8 D．的最大值为9 例4．（25-26高二上·四川宜宾·期末·多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的周长为12 C．的最小值为 D．椭圆上不存在点P，使得 变式1．（25-26高三上·湖南长沙·月考·多选）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，是椭圆上两点，交轴于点，线段的中点为，平分，，则（    ） A． B．的周长为 C． D．椭圆的离心率为 变式2．（25-26高二上·青海西宁·期末·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，则（ ） A．的长轴长为5 B．的离心率等于 C． D．的周长为16 变式3．（25-26高二上·宁夏中卫·期末·多选）已知分别是椭圆：，的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．若，则的面积为 D．椭圆的离心率为 变式4．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末·多选）已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点P是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的方程为 C．的面积为 D．的周长为 考点三 以椭圆为背景的面积问题 例1．（25-26高二上·甘肃天水·月考）已知椭圆的右焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)若为的左顶点，为上的动点，求面积的最大值. 例2．（25-26高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知，，设直线与椭圆的另一个交点为，求三角形的面积． 例3．（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：，右焦点和右顶点分别为，.倾斜角为的直线经过且与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 例4．（25-26高三上·云南昭通·期末）在平面直角坐标系中，，，动点在曲线上，且满足. (1)求曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，若的面积为，求的值. 变式1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）椭圆的一个顶点是，为坐标原点，离心率为. (1)求椭圆方程； (2)是椭圆上轴上方一点，是右焦点，的斜率为，求四边形的面积. 变式2．（25-26高二上·广西百色·期末）已知点是椭圆C：上的一点，且椭圆的长轴长是短轴长的倍. (1)求椭圆C的方程； (2)点P在椭圆C上，点A关于坐标原点的对称点为点B，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； (3)斜率为的直线l交椭圆C于，两点，求△面积的最大值，并求此时直线l的方程. 变式3．（25-26高二上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，且该平面上的动点满足：，设点的轨迹为． (1)求的标准方程； (2)若直线交轨迹于两点，且的面积为1，求的值． 变式4．（25-26高二上·贵州六盘水·期末）已知椭圆的一个顶点为，左焦点为，离心率为，为椭圆上的动点、为坐标原点，为的中点. (1)求椭圆的标准方程； (2)当的面积最大时，求直线的方程； (3)过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $