条件概率、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与数列综合专项训练-2026届高三数学二轮复习

统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与数列综合专项训练 统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与数列综合专项训练 考点目录 条件概率 全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式与数列综合 考点一 条件概率 例1．（25-26高三上·河北沧州·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形， 其中事件“至少出现一个6点”的情况数为种，可得， 又由事件“两个点数不相同”，可得，所以， 由条件概率的公式，可得. 故选：A. 例2．（25-26高二上·江西抚州·期末）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．已知第二次从乙罐中取到的是红球，则第一次从甲罐中取到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”， 表示事件“从乙罐取出的球是红球”． 当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时 当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时 所以， 故选：C. 例3．（25-26高三上·天津河北·期末）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个放入奖品，即主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，主持人先随机打开不同于被选择的另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.用表示i号箱有奖品（），用表示主持人打开i号箱子（），现在已知抽奖人选择了1号箱，则 ； . 【答案】 / 【详解】抽奖人选择了1号箱，则由题意在2号箱有奖品条件下主持人选择打开3号箱或4号箱，故可得； 同理可求得， 所以由全概率公式可得. 故答案为：；. 例4．（25-26高三上·北京通州·期末）有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为，第2台生产的次品率为.现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第台光刻机生产的芯片占比分别为.任取一枚芯片，则它是次品的概率为 ；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为 . 【答案】 / 【详解】设事件：取到的芯片是第台光刻机生产的，事件：取到的芯片是第台光刻机生产的， 事件：任取一枚芯片，取到的芯片是次品， 由题知，， 所以. 则，所以， 则取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为. 故答案为：，. 例5．（25-26高三上·湖北荆州·月考）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”， 则， 由条件概率公式，； （2）由题意：， ， 所以的分布列为： 0 1 2 例6．（25-26高二上·江西萍乡·期末）某高校安排甲、乙、丙、丁、戊5位同学去A，B，C三家不同的公司实习，每位同学只去一家公司，每家公司至少去1人. (1)若已知甲、乙在同一家公司实习，则丙、丁也在同一家公司实习的概率是多少? (2)记在A公司实习的同学人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）记“甲、乙在同一家公司实习”为事件，“丙、丁在同一家公司实习”为事件， “甲、乙、丙、丁、戊5位同学去，，三家不同的公司实习”的所有情形共有种， 则，， 则； （2）的取值可以为1，2，3， ，，， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. 变式1．（25-26高三上·广东东莞·期末）已知随机变量X，Y均服从两点分布，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， 所以. 故选：B 变式2．（25-26高三上·湖南湘西·期末）设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得， 注意到，所以相互独立， 故， ， 又因为，故， 所以. 故选：C. 变式3．（25-26高三上·天津宝坻·月考）袋内有大小相同的4个红球和3个白球，从中任取3个球；至少有1个是白球的概率为 ；在“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是 . 【答案】 【详解】记事件A为“全是红球”，则， 记事件B 为“至少有1个是白球”，则， 记事件C为“至少有1个红球”，则 则事件AC为“全是红球”，则 所以“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是 . 故答案为：；. 变式4．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）某工厂有四条流水线，生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的，，，，这四条流水线的不合格品率依次为，，，.该厂规定，出现不合格品要追究有关流水线的经济责任，现在从出厂的产品中任取一件，结果为不合格品，但该件产品的生产流水线标志缺失，工厂欲对这件不合格品追责，则第四条流水线应该承担 的责任.（结果精确到） 【答案】 【详解】记产品是不合格品为事件，产品来自第四条流水线为事件， 则， 所以， 所以第四条流水线应该承担约的责任. 故答案为： 变式5．（25-26高三上·江西·月考）人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. (1)求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； (2)若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件， A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件， 则 ； （2）设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件， 则 ； 由条件概率公式可得 ； （3）设A，B，C三款模型能成功上线为事件， 则，，， 的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 变式6．（25-26高二上·江西抚州·期末）为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲､乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． (1)当时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)当时，若两人共进行局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，证明：当时，． 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）（1）的可能取值为1，3，5， ， ， ， 则的分布列为： 1 3 5 . （2）当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为； 当时，需要赢剩余2局，其概率为； 当时，需要赢至少1局，其概率； 当时，已满足获胜条件，概率为. 故. （3）若两人共进行了局比赛，甲所赢局数为，则， 甲获胜的概率， 若两人共进行了局比赛， 可以认为在进行了局比赛的基础上再比两局， 则甲获胜的概率， ， 已知，所以，证毕. 考点二 全概率公式与贝叶斯公式 例1．（25-26高二上·江西九江·期末）甲是某球队的替补球员，已知该球队的胜率为，每场比赛中甲上场的概率为，设甲上场的条件下该球队获胜的概率为，在该球队获胜的比赛中甲未上场的概率为，若，则甲上场且该球队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设“该球队获胜”为事件，“甲上场”为事件， 由题意知，，，即， 所以， 又因为，所以. 故选：B 例2．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 【答案】C 【详解】设“参加羽毛球比赛”，“参加乒乓球比赛”，“参加跳绳比赛”， 则. 设“获得冠军”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 例3．（25-26高二上·陕西渭南·期末）某厂有甲、乙两车间生产同一种产品，已知甲、乙车间的产量分别占全厂产量的70%，30%，并且甲、乙车间的次品率分别为2%，1%，现从该厂这批产品中任取一件，则取到次品的概率为 . 【答案】 【详解】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品是次品， 则 , , 故取到次品的概率为. 故答案为：. 例4．（25-26高二上·湖南长沙·期末）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为，则的值为 、该顾客第 次摸球抽中奖品的概率最大． 【答案】 2 【详解】记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，， . 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故. 当为奇数时，， 当为偶数时，，则随着的增大而减小，所以. 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大． 故答案为：①；② 2. 例5．（25-26高三上·广东深圳·月考）为探索“AI技术赋能下的教育新范式”，2025年10月，深圳市福田区红岭中学高中部，提出新的教学评价标准.为了得到高一年级50位教师对新评价标准是否赞同的真实反馈，学校教学处利用“西蒙斯模型”进行网上问卷调查：在微信中开发了一个随机数模拟小程序，当教师点击“抽取”键，手机屏幕将出现数字的快速随机滚动，并最终等可能的生成1，2，3，4，5当中的一个数，每个教师抽取两次.规定“若抽取的两个数奇偶性不同，则按方案①填写问卷，否则按方案②填写问卷”. 方案①：若第一次抽到的是偶数且第二次抽到的是奇数，则在问卷中填“”否则填“”； 方案②：若对新评价标准赞同，则在问卷中填“”，否则填“”. 当所有教师完成问卷调查后，统计填“”与填“”的比例.用频率估计概率，即可得到高一年级50位教师对新评价标准赞同比例的估计值. (1)若用表示按方案①填写问卷的人数，求的数学期望和方差； (2)若所有调查问卷中，填“”的问卷有33份，试估计高一年级50位教师对新评价标准的赞同比例（用分数表示）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）每名教师每次抽取到偶数的概率为，抽取到奇数的概率为， 每名教师两次抽取到的数字奇偶性不同的概率， 则位教师中按方案填写问卷的人数， 所以的数学期望； 的方差. （2）记事件为“按方案填写问卷”，事件为“按方案填写问卷”，事件为“在问卷中填“”. 由（1）知， ， 由全概率公式， 则，解得， 所以根据调查问卷估计，高一年级位教师对新评价标准的赞同比例为. 例6．（2026·河北·模拟预测）一个不透明袋子中装有大小、材质均相同的3个白球和2个红球．有放回地进行摸球，每次摸1个球，若摸到白球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的白球；若摸到红球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的红球． (1)求第2次摸球时，摸到白球的概率； (2)求第n次摸球时，摸到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，若第一次摸出红球，则第二次摸出白球的概率； 若第一次摸出白球，则第二次摸出白球的概率. 综上，第二次摸出白球的概率. （2）设第次摸球时，摸到红球为事件，则. 当时，， 第1次摸球时袋子中有5个球，之后每次摸球时袋子中都会比上次增加1个球， 所以第次摸球时袋子中有个球. 设第次摸球时红球的数量为，则，得， 所以. 同理可得， 所以， 所以. 综上，第次摸球时，摸到红球的概率为. 变式1．（2026·宁夏银川·模拟预测）某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是， 其中高一、高二、高三年级人数比为， 根据全概率公式可得：全校“优秀率”为. 故选：C. 变式2．（25-26高三上·重庆·月考）通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（） A．0.4556 B．0.3689 C．0.9872 D．0.5625 【答案】D 【详解】设表示“收到的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”， 由题意可得，，，， ， ， 根据贝叶斯公式可得， . 故选：D. 变式3．（25-26高二上·江西·期末）某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为 ． 【答案】 【详解】设事件表示第一天坐公交，事件表示第一天骑车，事件表示第二天坐公交， 则第一天坐公交和骑车的概率均为， 在第一天坐公交的条件下，第二天坐公交的概率为， 在第一天骑车的条件下，第二天坐公交的概率为， 所以，根据全概率公式，第二天坐公交概率为： ． 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·上海静安·期末）某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是 ． 【答案】 【详解】设“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品是次品”，则， ． 故答案为： 变式5．（25-26高二上·江西九江·期末）人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． (1)若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； (2)为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 【答案】(1)①0.5；②答案见解析 (2)第1题 【详解】（1）设甲同学答对第题为事件， ① , ②若甲同学最后一题答错，则有4种情况， ，，，此时， ． 若甲同学最后一题答对，则有4种情况， ，，， ， ， ． 综上可知：，分布列如下： 0 1 4 16 0.5 0.14 0.3 0.06 （2）若甲第一题进行场外求助，设获奖的概率为， 则． 若甲第二题进行场外求助，获奖的概率为，则， 若甲第三题进行场外求助，设获奖的概率为， 则， 令， 该二次函数开口向下，对称轴为. 因为，函数的最小值在端点处取到， 即，即. ，故选择第1题求助获奖概率最大． 变式6．（25-26高三上·陕西商洛·期末）某市配备两支应急支援小队，承担日常民生保障任务.社区支援队由3名负责水电维修的男队员和3名负责物资协调的女队员组成，城区保障队由3名负责应急搬运的男队员和1名负责医疗急救的女队员组成. (1)现需随机调派一支小队执行临时民生保障任务，调派社区支援队的概率为，调派城区保障队的概率为.再从被调派的小队中随机选1名队员执行一线任务，求选中男队员的概率. (2)因城区保障队物资仓库整理任务繁重，需从社区支援队随机抽调2名队员支援.记支援后城区保障队中男队员与女队员的人数之差为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，2 【详解】（1）设事件为“调派社区支援队”，事件为“调派城区保障队”，事件为“选中男队员”， 则 . 所以选中男队员的概率为. （2）从社区支援队抽调2名女队员，支援后城区保障队中有3名男队员，3名女队员，， 从社区支援队抽调1名男队员1名女队员，支援后城区保障队中有4名男队员，2名女队员，， 从社区支援队抽调2名男队员，支援后城区保障队中有5名男队员，1名女队员，， 的所有可能取值为0，2，4， ， ， ， 所以的分布列为 0 2 4 数学期望. 考点三 全概率公式与数列综合 例1．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为． (1)求和； (2)求与的递推关系式； (3)求的数学期望（用表示）． 【答案】(1)；；； (2) (3) 【详解】（1）； ； ； （2）记第次操作后，甲袋黑球数的分布为：，，， 第次操作结果是由第次操作后甲袋黑球数(可能值为、、)决定； 当时(甲黑白，乙黑白)：取和的概率分别为和，取的概率为； 当时(甲黑白，乙黑白)：取，，的概率分别为，，； 当时(甲黑白，乙黑白)，取，的概率分别为和，取的概率为； 用全概率公式可得，； 所以， 所以， （3）由（2）， 所以，又， 所以， 因为随机变量的分布列为 0 1 2 故. 例2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）镇海中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼．请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)已知甲第2天选择羽毛球的条件下甲第1天选择篮球的概率； (3)求甲第天选择羽毛球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设第1天选择羽毛球，乒乓球和篮球的事件分别为， 第二天选择羽毛球的事件为， 由题意，， ， 根据全概率公式得 ； （2）根据贝叶斯公式，所求概率为：； （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由题意无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为， 故对所有均成立，从而选择篮球的概率为， 根据全概率公式，的递推关系为， 代入，，化简得，， 所以， 所以是以为首项，公比的等比数列， 所以，所以. 所以甲第天选择羽毛球的概率为． 例3．（2026·安徽淮南·一模）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．设次传球后球在乙手中的概率为． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）记“经过次传球后，球在乙手中”，1，2，3，…， 当时，， 当时，． （2）由 ，即， ∴， ∴是首项为，公比为的等比数列， ∴， ∴． （3）由（2）知，令． 所以， 从而， 将以上两式相减可得 ， 所以． 所以． 例4．（2026·云南·模拟预测）二次剩余理论中有如下定义：对于正整数，若存在一个整数，使得能整除，则称是的一个二次剩余，否则称为二次非剩余.二次剩余理论在噪声控制工程学、密码学以及大数分解等领域有广泛的应用. 现需编制一个随机数字串，编制要求如下： ①记，，. ② 从1到16这16个整数中随机抽取一个整数，作为. ③ 若，则从中随机选取一个数作为； 若，则从中随机选取一个数作为. (1)求； (2)记的概率为. ① 求； ② 求 . 【答案】(1) (2)①； ② 【详解】（1），若是12的二次剩余，则存在整数， 使，即， 又，故， 所以， ； （2）①由题， ， ， 所以 ； ②； ，， 因为，所以， 于是 ， 可知， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 变式1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和，已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 【答案】(1)分布列见解析； (2)（i）（ii）证明见解析 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以. （ii）由（i）知，则，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即，， 当时，，而， 所以； 当时，， 而， 所以， 所以. 变式2．（2026·重庆·一模）一顾客参加某商场的抽奖活动，抽奖规则为:抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数大于4，则中奖，否则不中奖，每次抛掷相互独立.设该顾客抽奖次，中奖次数为. (1)若，求的分布列和期望； (2)若，，1，2，3，，，求的最大值； (3)设未出现连续两次不中奖的概率为.求，，，并说明当足够大时，的实际意义. 【答案】(1)分布列详见解析， (2)5 (3)1，， 【详解】（1）当 时，中奖次数 服从二项分布 . ， ， 故分布列为：      0 1 2 3                     期望 . （2）由于 ，即 因为 对所有 ，1，2，3，，成立， 所以需满足， 即，解得：， 故； 又当时， 当时， ，易知当时，， 故，即， 所以在单调递减，又由， 可得，当时，恒成立. 故的最大值为5. （3）设 为 次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率。考虑第一次抽奖结果： 若第一次中奖（概率 ），则后 次未出现连续两次不中奖的概率为 ； 若第一次不中奖（概率 ），则第二次必须中奖（概率 ），后 次未出现连续两次不中奖的概率为 ， 得递推关系： 初始条件：，，计算得： 构造等比数列求通项： 设存在常数 使得 ，代入递推式，比较系数得： 解方程 ，得 ，， 取 ，，则有： 令 ，则 ，且 ， 所以：，即： 另取 ，，同理可得： 令 ，则 ，且 ， 所以：即： 得： 当 足够大时：由于 和 ，故 . 实际意义：当抽奖次数 非常大时，未出现连续两次不中奖的概率趋近于 0， 即几乎必然会出现连续两次不中奖的情况. 变式3．（2025·四川南充·一模）某图书馆对学生借阅图书是否按时归还的情况开展调查，经过一段时间的统计发现：学生第一次借阅图书，按时归还的概率为；从第二次借阅开始，若前一次按时归还，则本次按时归还的概率为；若前一次未按时归还，则本次按时归还的概率为．记学生第次借阅按时归还的概率为． (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)记前次借阅中按时归还的次数为，求随机变量的数学期望． 参考公式：若为离散型随机变量，则． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）由题意可知：， ， ； （2）由题意可知： ， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 因此，显然适合， 故； （3）记前次借阅中，第次按时归还为， 由题意可知：服从两点分布，且， 所以， ，由题中所给公式可得： . 变式4．（25-26高三上·广东惠州·月考）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷. (1)若第1次从小明开始，设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望. (2)若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【详解】（1）投掷两颗骰子共有36个样本点，和为4的倍数的样本点有： ，共9个样本点. 所以一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为. 依题意，X可取0，1，2，3， ， ， ， . 0 1 2 3 . （2）若第1次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况： ①第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为； ②第次由小明投掷，第次由小芳投掷， 其概率为. 因为①②两种情形是互斥的， ∴， ∴. 因为，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列. ∴， ∴. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与数列综合专项训练 统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与数列综合专项训练 考点目录 条件概率 全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式与数列综合 考点一 条件概率 例1．（25-26高三上·河北沧州·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江西抚州·期末）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．已知第二次从乙罐中取到的是红球，则第一次从甲罐中取到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·天津河北·期末）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个放入奖品，即主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，主持人先随机打开不同于被选择的另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.用表示i号箱有奖品（），用表示主持人打开i号箱子（），现在已知抽奖人选择了1号箱，则 ； . 例4．（25-26高三上·北京通州·期末）有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为，第2台生产的次品率为.现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第台光刻机生产的芯片占比分别为.任取一枚芯片，则它是次品的概率为 ；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为 . 例5．（25-26高三上·湖北荆州·月考）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 例6．（25-26高二上·江西萍乡·期末）某高校安排甲、乙、丙、丁、戊5位同学去A，B，C三家不同的公司实习，每位同学只去一家公司，每家公司至少去1人. (1)若已知甲、乙在同一家公司实习，则丙、丁也在同一家公司实习的概率是多少? (2)记在A公司实习的同学人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 变式1．（25-26高三上·广东东莞·期末）已知随机变量X，Y均服从两点分布，且，若，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·湖南湘西·期末）设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·天津宝坻·月考）袋内有大小相同的4个红球和3个白球，从中任取3个球；至少有1个是白球的概率为 ；在“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是 . 变式4．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）某工厂有四条流水线，生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的，，，，这四条流水线的不合格品率依次为，，，.该厂规定，出现不合格品要追究有关流水线的经济责任，现在从出厂的产品中任取一件，结果为不合格品，但该件产品的生产流水线标志缺失，工厂欲对这件不合格品追责，则第四条流水线应该承担 的责任.（结果精确到） 变式5．（25-26高三上·江西·月考）人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. (1)求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； (2)若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 变式6．（25-26高二上·江西抚州·期末）为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲､乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． (1)当时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)当时，若两人共进行局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，证明：当时，． 考点二 全概率公式与贝叶斯公式 例1．（25-26高二上·江西九江·期末）甲是某球队的替补球员，已知该球队的胜率为，每场比赛中甲上场的概率为，设甲上场的条件下该球队获胜的概率为，在该球队获胜的比赛中甲未上场的概率为，若，则甲上场且该球队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 例3．（25-26高二上·陕西渭南·期末）某厂有甲、乙两车间生产同一种产品，已知甲、乙车间的产量分别占全厂产量的70%，30%，并且甲、乙车间的次品率分别为2%，1%，现从该厂这批产品中任取一件，则取到次品的概率为 . 例4．（25-26高二上·湖南长沙·期末）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为，则的值为 、该顾客第 次摸球抽中奖品的概率最大． 例5．（25-26高三上·广东深圳·月考）为探索“AI技术赋能下的教育新范式”，2025年10月，深圳市福田区红岭中学高中部，提出新的教学评价标准.为了得到高一年级50位教师对新评价标准是否赞同的真实反馈，学校教学处利用“西蒙斯模型”进行网上问卷调查：在微信中开发了一个随机数模拟小程序，当教师点击“抽取”键，手机屏幕将出现数字的快速随机滚动，并最终等可能的生成1，2，3，4，5当中的一个数，每个教师抽取两次.规定“若抽取的两个数奇偶性不同，则按方案①填写问卷，否则按方案②填写问卷”. 方案①：若第一次抽到的是偶数且第二次抽到的是奇数，则在问卷中填“”否则填“”； 方案②：若对新评价标准赞同，则在问卷中填“”，否则填“”. 当所有教师完成问卷调查后，统计填“”与填“”的比例.用频率估计概率，即可得到高一年级50位教师对新评价标准赞同比例的估计值. (1)若用表示按方案①填写问卷的人数，求的数学期望和方差； (2)若所有调查问卷中，填“”的问卷有33份，试估计高一年级50位教师对新评价标准的赞同比例（用分数表示）． 例6．（2026·河北·模拟预测）一个不透明袋子中装有大小、材质均相同的3个白球和2个红球．有放回地进行摸球，每次摸1个球，若摸到白球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的白球；若摸到红球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的红球． (1)求第2次摸球时，摸到白球的概率； (2)求第n次摸球时，摸到红球的概率． 变式1．（2026·宁夏银川·模拟预测）某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·重庆·月考）通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（） A．0.4556 B．0.3689 C．0.9872 D．0.5625 变式3．（25-26高二上·江西·期末）某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为 ． 变式4．（25-26高二上·上海静安·期末）某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是 ． 变式5．（25-26高二上·江西九江·期末）人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． (1)若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； (2)为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 变式6．（25-26高三上·陕西商洛·期末）某市配备两支应急支援小队，承担日常民生保障任务.社区支援队由3名负责水电维修的男队员和3名负责物资协调的女队员组成，城区保障队由3名负责应急搬运的男队员和1名负责医疗急救的女队员组成. (1)现需随机调派一支小队执行临时民生保障任务，调派社区支援队的概率为，调派城区保障队的概率为.再从被调派的小队中随机选1名队员执行一线任务，求选中男队员的概率. (2)因城区保障队物资仓库整理任务繁重，需从社区支援队随机抽调2名队员支援.记支援后城区保障队中男队员与女队员的人数之差为，求的分布列与数学期望. 考点三 全概率公式与数列综合 例1．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为． (1)求和； (2)求与的递推关系式； (3)求的数学期望（用表示）． 例2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）镇海中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼．请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)已知甲第2天选择羽毛球的条件下甲第1天选择篮球的概率； (3)求甲第天选择羽毛球的概率． 例3．（2026·安徽淮南·一模）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．设次传球后球在乙手中的概率为． (1)求； (2)求； (3)求． 例4．（2026·云南·模拟预测）二次剩余理论中有如下定义：对于正整数，若存在一个整数，使得能整除，则称是的一个二次剩余，否则称为二次非剩余.二次剩余理论在噪声控制工程学、密码学以及大数分解等领域有广泛的应用. 现需编制一个随机数字串，编制要求如下： ①记，，. ② 从1到16这16个整数中随机抽取一个整数，作为. ③ 若，则从中随机选取一个数作为； 若，则从中随机选取一个数作为. (1)求； (2)记的概率为. ① 求； ② 求 . 变式1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和，已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 变式2．（2026·重庆·一模）一顾客参加某商场的抽奖活动，抽奖规则为:抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数大于4，则中奖，否则不中奖，每次抛掷相互独立.设该顾客抽奖次，中奖次数为. (1)若，求的分布列和期望； (2)若，，1，2，3，，，求的最大值； (3)设未出现连续两次不中奖的概率为.求，，，并说明当足够大时，的实际意义. 变式3．（2025·四川南充·一模）某图书馆对学生借阅图书是否按时归还的情况开展调查，经过一段时间的统计发现：学生第一次借阅图书，按时归还的概率为；从第二次借阅开始，若前一次按时归还，则本次按时归还的概率为；若前一次未按时归还，则本次按时归还的概率为．记学生第次借阅按时归还的概率为． (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)记前次借阅中按时归还的次数为，求随机变量的数学期望． 参考公式：若为离散型随机变量，则． 变式4．（25-26高三上·广东惠州·月考）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷. (1)若第1次从小明开始，设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望. (2)若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率. 2 学科网（北京）股份有限公司 $