圆：切线长定理、切线的判定专项训练-2026年中考数学一轮复习

圆：切线长定理、切线的判定专项训练 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 考点目录 切线长定理 切线的判定 考点一 切线长定理 例1.(25-26九年级上·湖北荆门期末)如图，AC是⊙O的直径，PB,PC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若 ∠P=60°，AC=6,则AB的长度为() A.4 B.3 c.3√5 D.2 例2.(25-26九年级上·北京门头沟期末)如图，PA,PB与⊙0分别相切于点A,B.如果∠P=60°，AB=2,那 么PA的长度是() A P 0 B A.2 B.3 C.5 D.2W5 例3.(25-26九年级上江西南昌·期末)如图，在Rt ABC中，∠C=90°，⊙0是ABC的内切圆，三个切点分别 为D,E,F,若BE=4,AF=6,则OO的半径r是() B D A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 例4.(25-26九年级上山东德州期末)如图，PA,PB与⊙0相切于点A,B,AB与OP交于点H.若 AP=2V5,∠APB=60°，则OH的长为一 例5.(25-26九年级上：广东湛江·期末)如图，AB、AC、BD是⊙0的切线，切点分别是P、C、D,若 AB=11,AC=6,则BD的长为一 0 D B 例6.(24-25九年级上·湖北襄阳月考)如图，ABC的内切圆O0与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且 AB=9,BC=14,CA=13,则C0= E O 变式1.(25-26九年级上·湖北武汉·期末)如图，四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半径画弧，交以 CD为直径的半圆于点E,连接AE并延长，交BC于点F,若CF=3,则AB的长为() A.8 B.9 C.12. D.65 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 变式2.(25-26九年级上湖北武汉·月考)如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺 交点，AB=2,则光盘的半径是() 60° A.2 B.25 C.4 D.4V5 变式3.(25-26九年级上·浙江台州期末)如图，M,N分别是矩形ABCD边AD,BC上的两个点，连接MW, 将矩形ABCD分为两个全等的四边形ABNM,CDMN,分别在两个四边形的内部作圆，两个圆与所在四边形的四 条边都相切.若AM:DM=1:3,则AB:BC的值为() 3 A. B D 变式4.(25-26九年级上·黑龙江绥化期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O0是ABC的内切圆，三个切 点分别为D,E,F,若BF=3,AF=10,则O0的半径为 B 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 变式5.(2526九年级上江苏徐州月考)如图，半径为1的O0与ABC的边分别相切于点D、E、F,若AD=2 ,BE=4,CE=3,则ABC面积为 D 变式6.(25-26九年级上北京·期末)如图，AB是00的直径，PB,PC分别切00于B,C.若AB=4,∠BAC=60° ,则PC的长是 0 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 考点二 切线的判定 例1.(2526九年级上广西防城港·期末)如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过点C,过点 A作直线MN的垂线，垂足为点D,且AC平分∠BAD· A B M D N (1)求证：直线MW是⊙0的切线； (2)若AB=4,∠DAC=30°，求阴影部分的面积. 例2.(25-26九年级上山东济南期末)如图，△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连 接CD,使∠BCD=∠A. A (1)求证：CD是⊙O的切线 (2)若L0DC=30°，BD=3,求⊙0的半径. 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 例3.(25-26九年级上河南开封期末)如图，已知：以Rt△ABC的边AB为直径作ABC的外接圆O0,∠B的平 分线BE交AC于D,交⊙O于E,过E作EF∥AC交BA的延长线于F.AF=5,EF=10. B D B (1)求证：EF是00切线： (2)求00的半径长. 例4.(25-26九年级上：黑龙江齐齐哈尔期末)如图，在ABC中，CA=CB,BD⊥AC于点D,O0经过点A,B ,且与AC相切. A O· B (1)求证：BC是O0的切线： (2)若AD=2,CD=3,求O0的半径. 6 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 变式1.(25-26九年级上山东烟台期末)如图，在四边形ABCD中，BD=CD,∠C=∠BAD.以AB为直径的 OO经过点D,且与边CD交于点E,连接AE,BE. B O (1)求证：BC为00的切线； ②若D=2,os∠BAD=},求BE的长. 变式2.(25-26九年级上·四川泸州期末)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB是⊙0的直径，过点C的直线交 AB的延长线于F点，交AD延长线于E点，且EF⊥AE,∠DCE=LBCF,连接OE交DC于H点，连接AC交OE 于G点. H G B (1)求证：EF是O0的切线； (2)若O0的半径为2，AE=3,OE=√7，求△CHG的面积. 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 变式3.(25-26九年级上湖北期末)如图，ABC内接于⊙0，AD为⊙0的直径，∠EAB=∠C. y B C D (1)求证：AE为O0的切线； (2)若LC=60°，AC=8,BC=3求劣弧AB的长. 变式4.(25-26九年级上·浙江金华期末)如图，在等腰ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙0与BC交于点D, DE⊥AC,垂足为E,ED的延长线与AB的延长线交于点F. A E D (1)求证：EF是OO的切线； (2)若O0的半径为2.5，BD=2,求CE的长.圆：切线长定理、切线的判定专项训练 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 考点目录 切线长定理 切线的判定 考点一 切线长定理 例1.(25-26九年级上·湖北荆门期末)如图，AC是⊙O的直径，PB,PC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若 ∠P=60°，AC=6,则AB的长度为() A.4 B.3 c.3√5 D.2 【答案】B 【详解】解：连接BC, A B :PB、PC是⊙O的两条切线， C :PB=PC, :∠P=60°， :△PBC是等边三角形， LBCP=60°， :AC是⊙0的直径， ∠ACP=∠ABC=90°， ∠ACB=90°-60°=30°， :AC =2AB, :AC=6, .AB=3. 故选：B. 例2.(25-26九年级上北京门头沟期末)如图，PA,PB与⊙0分别相切于点A,B.如果∠P=60°，AB=2,那 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 么PA的长度是() B A.2 B.3 C.5 D.25 【答案】A 【详解】解：~PA,PB与OO分别相切于点A,B, :.PA=PB, 又∠P=60°， ·△PAB为等边三角形， PA=AB=2, 故选：A. 例3.(25-26九年级上江西南昌期末)如图，在Rt ABC中，∠C=90°，⊙0是ABC的内切圆，三个切点分别 为D,E,F,若BE=4,AF=6,则⊙0的半径r是() B D A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 【答案】C 【详解】解：连接OE,OF, B D E --O b C F A 设⊙0的半径为r, 在四边形OFCE中，L0FC=LC=∠0EC=90°， :四边形OFCE为矩形， 又0F=OE, 2 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 :四边形OFCE为正方形， 则CE=CF, 由切线长定理得：BE=BD=4,AF=AD=6, .BC=4+r,AC=6+r, 在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2, .(4+r2+(6+r)2=102, 解得：r=2或r=-12(负值舍去)， 故选：C. 例4.(25-26九年级上山东德州期末)如图，PA,PB与⊙0相切于点A,B,AB与OP交于点H.若 AP=2V3,∠APB=60°，则OH的长为· H B 【答案】1 【详解】解：如图，连接OA,OB, ~PA,PB与⊙O相切于点A,B, OA⊥PA,OB⊥PB,且OA=OB,PA=PB, ∴OP垂直平分AB, OP平分∠APB,OP⊥AB. ∠APB=60°， ∴△APB是等边三角形，∠AP0=30°， L40H=60°，AH=4P=x25=5 2 2 OP⊥AB, ∠0AH=30°， 0A=20H. 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 设0H=k,0A=2k,k>0, 在Rta0AH中，由勾股定理得AH=VOA-OH=V(2k)2-k2=V3k2=√3k=√5， ∴0H=k=1. 故答案为：1. 例5.(25-26九年级上广东湛江·期末)如图，AB、AC、BD是⊙0的切线，切点分别是P、C、D.若 AB=11,AC=6,则BD的长为一 B 【答案】5 【详解】解：AB、AC、BD是OO的切线，切点分别是P、C、D, .AP=AC=6,BP=BD, :.BP AB-AC=5, BD=5, 故答案为：5. 例6.(24-25九年级上·湖北襄阳月考)如图，ABC的内切圆O0与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且 AB=9,BC=14,CA=13,则C0= D 【答案】√⑨1 【详解】解：~ABC的内切圆OO与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F, AE=AF,BD=BF,CD=CE,OE=OF=OD,LOEA=∠OFB=∠ODC=90°， AE=AF =a,BD=BF=b,CD=CE=c, AB=9,BC=14,CA=13, [a+b=9 a+c=13, b+c=14 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 a=4 解得b=5, c=9 CD=9, 如图，连接CO,作AG⊥BC交BC于G, DG 设CG=x,则BG=14-x, AC2-CG2=AG2,AB2-BG2=AG2, AC2-CG2=AB2-BG2, 132-x2=92-(14-x)2, 即169-x2=81-196+28x-x2, 71 解得：x=7 3240_1810 49V49 7 设0E=0F=0D=r, .wGxCx0D+CxOE+ABxOF. 即x14x18D-x14xr+x13xr+×9xr, 7 2 解得：r=√0， C0=V0D2+CD2=i0+92=10+81=V1. 故答案为：√⑨1. 变式1.(25-26九年级上·湖北武汉·期末)如图，四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半径画弧，交以 CD为直径的半圆于点E,连接AE并延长，交BC于点F,若CF=3,则AB的长为() 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 B A.8 B.9 C.12. D.65 【答案】C 【详解】解：如图，取CD的中点O,连接AO、E0, B 则0D=0E=0C, 四边形ABCD是正方形， AB=AD=BC,∠ADO=∠BCD=90°， 、AO=AO,AD=AE=AB, ÷aAD0≌△AE0(SSS), ∴.∠0EA=∠AD0=90°， 即AE是半圆O的切线， ×∠BCD=90°， ·CF是半圆O的切线， EF=CF=3; 设AB=a,则BF=BC-CF=a-3, AE=AB=a, .AF=AE+EF a+3, 在RtABF中，由勾股定理得：a2+(a-3)2=(a+3)2, 解得：a1=12,a2=0(舍去)， 即AB的长为12； 0 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 故选：C. 变式2.(25-26九年级上·湖北武汉·月考)如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺 交点，AB=2,则光盘的半径是() 60公 A B A.2 B.2√5 C.4 D.45 【答案】B 【详解】解：如图，连接OA、OB、OC, 由题意知：AC=AB,OC⊥AC,OB⊥AB, 0C=0B,0A=0A, ..RtOACRtAOAB(HL), ∠0AB=∠04C=<C4B, ∠CAB=180°-60°=120°， ∴.∠OAB=-∠CAB=60°， ∠A0B=30°， 0A=2AB=4, 由勾股定理得：OB=VOA-AB2=2√5， ⊙O 60°入 A B 即光盘的半径为2√5； 故选：B. 变式3.(25-26九年级上浙江台州期末)如图，M,N分别是矩形ABCD边AD,BC上的两个点，连接MN, 将矩形ABCD分为两个全等的四边形ABNM,CDMN,分别在两个四边形的内部作圆，两个圆与所在四边形的四 条边都相切.若AM:DM=1:3,则AB:BC的值为() 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 M D 3 1 A. 8 B3 c 3 D. 【答案】A 【详解】解：如图，设⊙0与各边的切点依次为E,F,G,H, 根据切线长定理，得AE=AH,BE=BF,NF=NG,MH=MG, AH HM +BF NF AE+MG BE NG :.AM +BN AB+MN, HM D B FO ~矩形ABCD分为两个全等的四边形ABNM,CDMN,且AM:DM=1:3, ∴AM=CN,BN=DM, 设AM=x,则BN=DM=3x,设AB=y, ∴4x=y+MN, 故MW=4x-y, 过点M作MQ⊥BC于点Q, 则四边形ABOM是矩形， ∴AM=BQ,AB=MQ, ÷NQ=BN-BQ=2x,MQ=y, 根据勾股定理，得（4x-y)2=y2+4x2, 3 解得y= AB:BC= 21 3, x+3x8 故选：A. 变式4.(25-26九年级上黑龙江绥化期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O0是ABC的内切圆，三个切 点分别为D,E,F,若BF=3,AF=10,则O0的半径为一 8 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 B E 【答案】2 【详解】解：：⊙O是ABC的内切圆，三个切点分别为D,E,F, OE⊥AC,OD⊥BC,CD=CE,BD=BF=3,AE=AF=I0, :AB=AF BF =13, .∠ACB=90°，OD=OE, :四边形OECD是正方形， 设EC=CD=0E=0D=x, 在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2, 即(x+3)+(x+102=132, 解得x=2,x2=-15（舍去)， .00的半径为2. 故答案为：2 变式5.(25-26九年级上·江苏徐州月考)如图，半径为1的O0与ABC的边分别相切于点D、E、F,若AD=2 ,BE=4,CE=3,则ABC面积为 D E 【答案】9 【详解】解：连接AO,BO,CO,DO,EO,FO,如图， D E 半径为1的O0与ABC的边分别相切于点D、E、F,若AD=2,BE=4,CE=3, 圆：切线长定理、切线的判定专项训练 .AD=AF=2,BE=BD=4,CE=CF=3,DO=OF=OE=1, OD⊥AB,OE⊥BC,AC⊥OF, :.AB=AD+BD=6,BC=BE+CE=7,AC=AF+CF=5, ∴S△Hc=SAABO+SoRc+SaH0c =1AB-OD+BC.OE+AC.OF 1 1 1 =。×6×1+-×7×1+×5×1 2 2 =9. 故答案为：9 变式6.(25-26九年级上·北京·期末)如图，AB是⊙0的直径，PB,PC分别切⊙0于B,C.若AB=4,∠BAC=60° ,则PC的长是」 A B 【答案】25 【详解】解：如图，连接BC, 4 AB是OO的直径， .∠ACB=909 ∠BAC=60° ∠ABC=30°， AB=4 1 六4C=24B=2 10