第六章导数及其应用单元检测-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

第六章　导数及其应用　单元测试卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若函数f(x)＝x3－f '(1)·x2－x,则f '(1)的值为 (　　) A.0 B.2 C.1 D.－1 2.若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x+4y－8＝0垂直,则切线l的方程为 (　　) A.x+4y+3＝0 B.x+4y－9＝0 C.4x－y+3＝0 D.4x－y－2＝0 3.函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间内单调递增 (　　) A.(,) B.(π,2π) C.(,) D.(2π,3π) 4.若函数f(x)＝sin 2x+sin x,则f '(x)是 (　　) A.仅有最小值的奇函数 B.仅有最大值的偶函数 C.既有最大值又有最小值的偶函数 D.非奇非偶函数 5.函数y＝－2sin x的图象大致是 (　　) 6.德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一,他从几何问题出发,引进了微积分概念.他在研究曲线的切线时认识到,求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值,当横坐标的差值趋于0时,纵坐标的差值与横坐标的差值的比值可作为曲线的切线的斜率,这也是导数的几何意义.设f '(x)是函数f(x)的导函数,若f '(x)>0,对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,总有<f(),则下列选项正确的是(　　) A.f(π)<f(e)<f(2) B.f '(2)<f '(e)<f '(π) C.f '(2)<f(2)－f(1)<f '(1) D.f '(1)<f(2)－f(1)<f '(2) 7.函数f(x)的定义域是R,f(0)＝2,对任意x∈R,f(x)+f '(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为 (　　) A.{x|x>0} B.{x|x<0} C.{x|x<－1或x>1} D.{x|x<－1或0<x<1} 8.若不等式mx≥ln x恒成立,则实数m的取值范围为(　　) A.[,+∞) B.[,+∞) C.(,+∞) D.[,+∞) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0∈R,使得f(x0)＝f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,下列函数中,有“巧值点”的是 (　　) A.f(x)＝2x2+3 B.f(x)＝ C.f(x)＝e－x D.f(x)＝ln x 10.对于函数f(x)＝excos x－x,x∈(0,π),下列结论正确的是(　　) A.f '(x)在(0,π)上单调递减 B.f '(x)存在极小值　 C.f(x)存在最大值　 D.f(x)无最小值 11.已知函数f(x)定义域为[－1,5],部分对应值如下表所示. x －1 0 2 4 5 f(x) 1 2 0 2 1 f(x)的导函数f '(x)的图象如图 1所示. 图1 下列关于函数f(x)的结论正确的有 (　　) A. 函数f(x)的极大值点有2个 B. B.函数f(x)在(0,2)上单调递减 C.若x∈[－1,t]时,f(x)的最大值是2,则t的最大值为4 D.当1≤a<2时,函数y＝f(x)－a有4个零点 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.设函数f(x)＝x3+x2+tan θ,其中θ∈[0,],则f'(1)的取值范围是　　　　.  13.已知f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)＝ex3+2e－x,则曲线y＝f(x)在(1,f(1))处的切线方程是 　　　　　.  14.已知函数f(x)＝ex－ax的图象恒过定点A,则点A的坐标为　　　　,若f(x)的图象在点A处的切线方程为y＝2x+1,则a＝　　　　 .(本题第一空2分,第二空3分)  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)＝x－－4ln x. (1)求f(x)的单调区间; (2)判断f(x)在(0,10]上的零点的个数,并说明理由.(提示:ln 10≈2.303) 16.(15分)已知函数f(x)＝x3+ax+b(a,b∈R)在x＝2处取得极小值－. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)若f(x)≤m2+m+对x∈[－4,3]恒成立,求实数m的取值范围. 17.(15分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12－x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a). 18.(17分)已知f(x)＝2ex－1+4ax(a∈R). (1)若a＝,求f(x)的图象在x＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若f(x)在[1,2]上的最大值为3e,求a的值. 19.(17分)已知函数f(x)＝x－aln x. (1)若曲线y＝f(x)+b(a,b∈R)在x＝1处的切线方程为x+y－3＝0,求a,b的值; (2)求函数g(x)＝f(x)+(a∈R)的极值点; (3)设h(x)＝f(x)+aex－+ln a(a>0),若当x>a时,不等式h(x)≥0恒成立,求a的最小值. 第六章　导数及其应用　单元测试卷答案 1.A　f '(x)=x2－2f '(1)·x－1,则f '(1)=12－2f '(1)·1－1,解得f '(1)=0. 2.D　设切点坐标为(x0,y0).易知y'=4x,又直线x+4y－8=0的斜率为－,所以有4x0=4,解得x0=1,所以y0=2,故切线l的方程为y－2=4(x－1),即4x－y－2=0. 3.B　y'=cos x－xsin x－cos x=－xsin x,当x∈(π,2π)时,－xsin x>0,则函数y=xcos x－sin x在(π,2π)上单调递增. 4.C　∵函数f(x)=sin 2x+sin x,∴f '(x)=cos 2x+cos x=2cos2x+cos x－1=2(cos x+)2－(x∈R).当cos x=－时,f '(x)取得最小值－;当cos x=1时,f '(x)取得最大值2.又f '(－x)=f '(x),故f '(x)是偶函数. 5.C　函数y=－2sin x是奇函数,图象关于坐标原点对称,排除选项A.易知y'=－2cos x,令y'=0,解得cos x=,根据三角函数的知识知这个方程有无穷多解,即函数y=－2sin x有无穷多个极值点.令g(x)=,h(x)=2sin x,则易知g(x)与h(x)的图象(图略)共有三个交点,即y=－2sin x共有3个零点. 综上,并结合选项可排除B,D.故选C. 6.C　若f '(x)>0,则f(x)在R上单调递增, 由条件对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,总有<f(), 图D 1 据此可画出y=f(x)的大致图象,如图D 1所示,易知此函数图象是上凸的, 则f(2)<f(e)<f(π),f '(π)<f '(e)<f '(2),A,B错误; 又f(2)－f(1)=,表示过点A(1,f(1)),B(2,f(2))的直线的斜率kAB,由图D 6－1可知,f '(2)<kAB<f '(1),即f '(2)<f(2)－f(1)<f '(1),C正确,D错误.故选C. 7.A　构造函数g(x)=ex·f(x)－ex, 则g'(x)=ex·f(x)+ex·f'(x)－ex=ex[f(x)+f'(x)]－ex>ex－ex=0,所以g(x)=ex·f(x)－ex为R上的增函数. 又g(0)=e0·f(0)－e0=1,所以当x>0时,exf(x)－ex>1,即exf(x)>ex+1.故选A. 8.B　当x=e时,me·≥1,可得m>0. ①当0<x<1时,ln x<0,mx>0,不等式显然成立. ②当x≥1时,不等式mx≥ln x,则有mx2≥xln x, 两边取对数有ln(mx2)+mx2≥ln x+ln(ln x). 令g(x)=x+ln x,可得g(mx2)≥g(ln x), 易知函数g(x)在其定义域上单调递增,则可得mx2≥ln x,即m≥. 令h(x)=,则h'(x)==(x≥1), 由h'(x)>0,得1≤x<,可得函数h(x)的单调递增区间为[1,),单调递减区间为(,+∞),得h(x)max=h()==. 故实数m的取值范围为[,+∞).故选B. 9.BD　选项A中,由f(x0)=f'(x0)得,2+3=4x0,即2－4x0+3=0,无解,∴函数无巧值点; 选项B中,由f(x0)=f'(x0)得,=－,解得x0=－1,函数有巧值点－1; 选项C中,由f(x0)=f'(x0)得,=－,无解,∴函数无巧值点; 选项D中,由f(x0)=f'(x0)得,ln x0=,数形结合可知,函数y=ln x0的图象与y=的图象在第一象限有一个交点,∴方程ln x0=有一个解,∴函数有巧值点.故选BD. 10.AD　令g(x)=f'(x)=ex(cos x－sin x)－1,则g'(x)=－2exsin x. 因为当x∈(0,π)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,π)上单调递减,即f'(x)在(0,π)上单调递减,所以f '(x)不存在极小值,故A正确,B错误. 易知对于任意的x∈(0,π)有g(x)<g(0)=0,即f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,π)上单调递减,故f(x)不存在最大值和最小值.故C错误,D正确. 11.ABD　由题图可知,函数f(x)在(－1,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,4)上单调递增,在(4,5)上单调递减,易知选项A,B正确. 对于C,结合题表及函数f(x)的单调性可得,当t≥0时,f(x)在[－1,t]上的最大值为2,t的最大值不为4.故C错误. 对于D,求函数y=f(x)－a的零点个数,即求函数y=f(x)和y=a的图象的交点个数,由函数f(x)的简图(图略)易知,当1≤a<2时,函数y=f(x)和y=a的图象有4个交点,故D正确. 12.[,2]　易知f'(x)=x2sin θ+xcos θ,所以f'(1)=sin θ+cos θ=2sin(θ+).因为θ∈[0,],所以sin(θ+)∈[,1].所以f'(1)∈[,2]. 13.y=ex－2e　因为奇函数的图象在关于原点对称的两点处的切线平行, 且f'(x)=3ex2－2e－x(x<0),故f'(1)=f'(－1)=e,又f(1)=－f(－1)=－e, 故切线方程为y+e=e(x－1),即y=ex－2e. 14.(0,1)　－1　易知对于函数f(x)=ex－ax,当x=0时,无论a取何值,f(0)=1,故f(x)的图象恒过定点A(0,1).由函数f(x)=ex－ax,得f'(x)=ex－a,∴f(x)的图象在点A处的切线斜率为f'(0)=1－a. ∵f(x)的图象在点A处的切线方程为y=2x+1, ∴1－a=2,∴a=－1. 15.(1)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1+－==. 令f'(x)<0,解得1<x<3,故f(x)在区间(1,3)上单调递减, 令f'(x)>0,解得0<x<1或x>3,故f(x)在区间(0,1),(3,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递增区间为(0,1),(3,+∞),单调递减区间为(1,3). (2)f(1)=1－3－4×0=－2<0, f(3)=3－1－4ln 3=2－4ln 3<0, f(10)=10－－4ln 10=－4ln 10≈9.7－4×2.303>0, 结合函数f(x)的单调性可得,函数f(x)在(0,10]上的零点只有一个. 16.(1)由已知得f(2)=－,f '(2)=0,又f '(x)=x2+a, 所以解得所以f(x)=x3－4x+4,f'(x)=x2－4. 令f '(x)>0,得x<－2或x>2,所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞,－2),(2,+∞). （2）f(－4)=－,f(－2)=,f(2)=－,f(3)=1,则当x∈[－4,3]时,f(x)的最大值为, 故要使f(x)≤m2+m+对x∈[－4,3]恒成立,只要≤m2+m+,解得m≥2或m≤－3. 所以实数m的取值范围是(－∞,－3]∪[2,+∞). 17.(1)分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式为 L=(x－3－a)(12－x)2,x∈[9,11]. (2)L'=(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)=(12－x)(18+2a－3x). 令L'=0,得x=6+a(x=12不合题意,舍去). 因为3≤a≤5,所以8≤6+a≤. ①当8≤6+a<9即3≤a<时,L在[9,11]上单调递减, Lmax=(9－3－a)(12－9)2=9(6－a)=54－9a. ②当9≤6+a≤即≤a≤5时,L在[9,6+)上单调递增,在[6+,11]上单调递减. Lmax=(6+a－3－a)[12－(6+a)]2=4(3－a)3, 所以Q(a)= 因此若3≤a<,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润L最大,最大值为(54－9a)万元; 若≤a≤5,则当每件售价为(6+a)元时,分公司一年的利润L最大,最大值为4(3－a)3万元. 18.(1)当a=时,f(x)=2ex－1+x, f'(x)=2ex－1+,∴f'(0)=,f(0)=. ∴f(x)的图象在x=0处的切线方程为y－=(x－0),即x－y+=0. 令x=0,可得y=;令y=0,可得x=－. ∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为××=. (2)f'(x)=2ex－1+4a. (ⅰ)当a≥0时,f'(x)>0,故f(x)在[1,2]上单调递增, ∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)=2e+8a=3e, ∴a=. (ⅱ)当a<0时,令f'(x)=0,解得x=1+ln(－2a), ①令1+ln(－2a)≤1,解得－≤a<0,此时f(x)在[1,2]上单调递增, ∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)=2e+8a=3e,∴a=,舍去. ②令1+ln(－2a)≥2,解得a≤－,此时f(x)在[1,2]上单调递减, ∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)=2+4a=3e,∴a=,舍去. ③令1<1+ln(－2a)<2,解得－<a<－,此时f(x)在[1,1+ln(－2a)]上单调递减,在(1+ln(－2a),2]上单调递增,可得f(1)=3e或f(2)=3e,解得a=或a=,都不符合题意,舍去. 综上可得,a=. 19.(1)由f(x)=x－aln x得,y=x－aln x+b,∴y'=f'(x)=1－. 由已知可得,即∴a=2,b=1. (2)g(x) =f(x)+=x－aln x+, ∴g'(x)=1－－=(x>0). ∴当a+1≤0, 即a≤－1时,g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值点; 当a+1>0, 即a>－1时,则可知当0<x<a+1时,g'(x)<0,当x>a+1时,g'(x)>0, ∴g(x)在(0,a+1) 上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增, 此时,x=a+1是g(x)的极小值点,无极大值点. 综上可知,当a≤－1时,函数g(x)无极值点; 当a>－1时,函数g(x)的极小值点是a+1,无极大值点. (3)h(x)=f(x)+aex－+ln a=aex－ln x+ln a(a>0), 由题意知,当x>a时,aex－ln x+ln a≥0恒成立, 易知不等式aex－ln x+ln a≥0等价于aex≥ln,即ex≥ln , 即xex≥ln 　①. 对于①式,有两种方法可展开作答. 方法一　①式等价于xex≥ln , 由x>a>0知,>1,ln >0. 令φ(x)=xex(x>0),则原不等式可化为φ(x) ≥φ(ln ), 又φ(x)=xex (x>0)在(0,+∞)上单调递增, ∴原不等式等价于x≥ln 　②, 易知②式等价于ex≥,即a≥(x>a>0)　③. 方法二　由x>a>0知,>1,ln >0, 则①式等价于ln(xex)≥ln(ln ), 即x+ln x≥ln +ln(ln). 设φ(x)=x+ln x(x>0),则原不等式可化为φ(x)≥φ(ln), 又φ(x)=x+ln x(x>0)在(0,+∞)上为增函数, ∴原不等式等价于x≥ln 　②, 易知②式等价于ex≥,即a≥(x>a>0)　③. 对于③式有两种方法可展开作答. 方法一　设F(x)=(x>0),则F'(x)=.令F'(x)>0,解得0<x<1,令F'(x)<0,解得x>1. ∴F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 又x>a>0, ∴当0<a<1时,F(x)在(a,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴F(x)≤F(1)=. 要使原不等式恒成立,必须使≤a<1. 当a≥1时,F(x)在(a,+∞)上单调递减,F(x)<F(a)≤F(1)=. 要使原不等式恒成立,必须使a≥,∴a≥1时,原不等式恒成立. 综上可知,a的取值范围是[,+∞),∴a的最小值为. 方法二　②式等价于x≥ln x－ln a,即ln a≥ln x－x. 设H(x)=ln x－x(x>0),则H'(x)=,令H'(x)>0,解得0<x<1,令H'(x)<0,解得x>1. ∴H(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 又x>a>0,∴当0<a<1时,H(x)在(a,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴H(x)≤H(1)=－1. 要使原不等式恒成立,必须使ln a≥－1,∴≤a<1. 当a≥1时,H(x)在(a,+∞)上单调递减, ∴H(x)<H(a)≤H(1)=－1, 要使原不等式恒成立,必须使ln a≥－1, 又a≥1,ln a≥0,∴当a≥1时,不等式恒成立. 综上可知,a的取值范围是[,+∞),∴a的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $