第八章成对数据的统计分析单元测试-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第8章　成对数据的统计分析　单元测试卷 参考公式及数据: 样本相关系数r=,经验回归直线=+x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为==,=-, χ2=,其中n=a+b+c+d, α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知两个统计案例如下. ①为了探究患慢性支气管炎与吸烟的关系,调查了339名50岁以上的人,调查结果如下表.　　　　　　　　 是否吸烟 慢性支气管炎 合计 患病 未患病 吸烟 43 162 205 不吸烟 13 121 134 合计 56 283 339 ②为了解某地母亲与女儿身高的关系,随机测得10对母女的身高如下表. 母亲身高/cm 159 160 160 163 159 154 159 158 159 157 女儿身高/cm 158 159 160 161 161 155 162 157 162 156 则对这些数据的处理所应用的统计方法分别是 (　　) A.①回归分析,②取平均值 B.①独立性检验,②回归分析 C.①回归分析,②独立性检验 D.①独立性检验,②取平均值 2.设有一个经验回归方程为=-2+10x,则当变量x增加一个单位时 (　　) A.y平均减少2个单位 B.y平均增加10个单位 C.y平均增加8个单位 D.y平均减少10个单位 3.下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据,由此判断它最可能是 (　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 14 18 19 20 23 25 28 A.线性函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 4.观察下列各图,其中两个分类变量x,y之间相关程度最强的是 (　　) A B C D 图1 5.某同学用搜集到的六组数据(xi,yi)(i=1,2,…,6)绘制了如图1所示的散点图,在这六个点中去掉B点后重新进行回归分析,则下列说法正确的是 (　　) A.决定系数R2变小 B.样本相关系数r变大 C.残差平方和变小 D.x与y相关性变弱 6.某城市选用一种植物进行绿化,设其中一株幼苗从观察之日起,第x天的高度为y cm,测得一些数据如下表所示: 第x天 1 2 3 4 5 6 7 高度y/cm 1 4 6 9 11 12 13 由表格中数据可得y关于x的经验回归方程为=2.04x+,则第7天的残差为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1.12 B.2.12 C.-1.12 D.-2.12 7.某工厂经过节能降耗技术改造后,在生产其产品的过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的一些数据如下表所示: x 2 3 4 5 6 y 5 6 m 19 25 已知根据所给数据得到的y关于x的经验回归方程为=5.3x-8.2,对应的经验回归直线为l.发现表中有个数据看不清,用m来表示,则下列说法正确的为 (　　) A.看不清的数据m=11 B.l过点(4,m+3) C.据该模型可以预测产量为8吨时,相应的生产能耗为33.2吨 D.l的斜率5.3可以解释为产量每增加1吨,相应的实际生产能耗就一定增加5.3吨 8.已知由一组样本数据确定的经验回归方程为=1.5x+1,且=2,发现有两组数据(2.6,2.8)与(1.4,5.2)误差较大,去掉这两组数据后,重新求得经验回归直线的斜率为1.4,那么当x=6时,的值为 (　　) A.9.6 B.10 C.10.6 D.9.4 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法中错误的是 (　　) A.相关关系是一种不确定的关系,回归分析是对相关关系的分析,因此没有实际意义 B.独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握,所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义 C.相关关系可以对变量的发展趋势进行预报,这种预报可能会是错误的 D.独立性检验如果得出的结论有99%的可信度,就意味着这个结论一定是正确的 10.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立,某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查,经过计算χ2≈7,根据这一数据和下表分析,下列说法正确的是 (　　) α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 A.有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关 B.有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关 C.有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关 D.在犯错误的概率不超过1%的前提下,可以认为英语词汇量与阅读水平有关 11.某部门经统计,客户对不同款理财产品的最满意度百分比和对应的理财总销售量(单位:万元)如下表(最满意度百分比越高时总销售量越高): 产品款型 A B C D E F G H I J 最满意度 百分比/% 20 34 28 19 26 20 19 24 18 22 总销售量/万元 65 89 80 75 75 71 65 62 60 52 设x表示理财产品最满意度的百分比,y为该理财产品的总销售量(单位:万元),这些数据的散点图如图2所示. 图 2 我们约定:样本相关系数的绝对值在0.3以下是无线性相关,在0.3以上(含0.3)至0.75是一般线性相关,在0.75以上(含0.75)是较强线性相关.y与x是否达到较强线性相关?若达到,请求出经验回归方程(系数精确到0.1);若没有达到,则采取“末位”剔除制度(即总销售量最少的那一款产品退出理财销售),若剔除后仍然未达到,则继续剔除.则下列说法错误的是 (　　) 数据参考值: -10 xiyi-10 23 69.4 232 32.35 346 15.23 A.无须剔除,y与x达到较强线性相关 B.第一次“末位”剔除后,y与x达到较强线性相关 C.经验回归方程为=39.5+1.6x D.经验回归方程为=39.0+1.4x 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知x,y之间的一组数据如表: x 1 3 6 7 8 y 1 2 3 4 5 对于表中数据,甲、乙两同学给出的拟合直线分别为l1:y=x+1与l2:y=x+,利用最小二乘法判断拟合程度更好的直线是　　　　.(填l1或l2)  图3 13.某手机运营商为了拓展业务,现对该手机使用潜在客户进行调查,随机抽取国内国外潜在用户代表各100名,调查用户对是否使用该手机的态度,得到如图3所示的等高堆积条形图.根据等高图,　　　　(填“有”或“没有”)99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.  14.某化工厂产生的废气经过过滤后排放,以模型y=ce-kt(其中e为自然对数的底数)去拟合过滤过程中废气的污染物浓度y mg/L与时间t h之间的一组数据,为求出经验回归方程,设z=ln y,经变换后得到经验回归方程为z=-t+3+ln 15,则当经过4 h后,预报废气的污染物浓度为　　　　mg/L.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表: 年龄/岁 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 5 10 12 7 2 1 若以年龄45岁为分界点,由以上统计数据完成下面2×2列联表,并依据小概率值α=0.01的独立性检验,判断是否可以认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关. 态度 年龄 合计 年龄不低于 45岁的人数 年龄低于 45岁的人数 赞成 不赞成 合计 16.(15分)小明在每个生日都测量身高,并作出这些数据的散点图,这些点将不会落在一条直线上,但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析,下表是其母亲给他做的成长记录: 年龄/周岁 3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 91.8 97.6 104.2 110.9 115.6 122.0 128.5 年龄/周岁 10 11 12 13 14 15 16 身高/cm 134.2 140.8 147.6 154.2 160.9 167.5 173.0 (1)求身高y(响应变量)关于年龄x(解释变量)的经验回归方程. (2)若年龄相差5岁,则身高有多大差异(3~16岁之间)? (3)若身高相差20 cm,则其年龄相差多少(3~16岁之间)? 参考数据:=9.5,≈132.06,=1 491,i=18 993.6. 17.(15分)为了研究昼夜温差与引发感冒的关系,医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样调研,所得数据统计如表1所示,并将男生感冒的人数与温差情况统计如表2所示. 表1 性别 患感冒的情况 合计 患感冒人数 不患感冒人数 男生 30 70 100 女生 42 58 p 合计 m n 200 表2 温差x 6 7 8 9 10 患感冒人数y 8 10 14 20 23 (1)写出m,n,p的值; (2)依据小概率值α=0.05的独立性检验判断是否可以认为在相同的温差下“性别”与“患感冒的情况”具有相关性; (3)根据表2数据,计算y与x的样本相关系数r,并说明y与x的线性相关性强弱(若0.75≤|r|≤1,则认为y与x线性相关性很强;0.3≤|r|≤0.75,则认为y与x线性相关性一般;|r|≤0.25,则认为y与x线性相关性较弱). 参考数据:(xi-)2=10,(yi-)2=164,≈20.248 5. 18.(17分)某国家队为了考察甲球员对球队的贡献,现作如下数据统计: 球队胜 球队负 总计 甲参加 30 b 60 甲未参加 c 10 f 总计 60 e n (1)根据小概率值α=0.025的独立性检验,能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联? (2)根据以往的数据统计,甲球员能够胜任前锋、中场、后卫三个位置,且出场率分别为0.1,0.5,0.4;在甲出任前锋、中场、后卫的条件下,球队输球的概率依次为0.2,0.2,0.7,则 ①当甲参加比赛时,求该球队某场比赛输球的概率; ②当甲参加比赛时,在球队输了某场比赛的条件下,求甲球员担当中场的概率; ③如果你是教练员,应用概率统计有关知识,该如何使用甲球员? 19.(17分)在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下,各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地.某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租,在旅游淡季随机选取100天,对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪,统计其出租率y(),设民宿租金为x(单位:元/日),得到如图4的数据散点图. 图4 (1)若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率,求租金为388元的那间民宿在淡季内的3天中至少有2天闲置的概率. (2)①根据散点图判断,y=bx+a与y=cln x+d哪个更适合此模型(给出判断即可,不必说明理由)?根据判断结果求经验回归方程. ②若该地一年中旅游淡季约为280天,在此期间无论民宿是否出租,每天都要付出9.9%x的固定成本,若民宿出租,则每天需要再付出10%x的日常支出成本.试用①中模型进行分析,旅游淡季民宿租金定为多少元时,该民宿在这280天的收益W达到最大. 附:记zi=ln xi,≈261.3,=0.47,=5.4,(xi-)(yi-)≈-221, (xi-)2≈121 333.3, (zi-)(yi-)≈-0.99, (zi-)2≈2.2,e5≈148,e5.1≈164,e5.2≈181. 第八章　成对数据的统计分析　单元测试卷　参考答案 1.B　案例一的两个变量是分类变量,所以适合采用独立性检验,案例二的两个变量是数值变量,所以适合采用回归分析. 2.B　10是斜率的估计值,说明x每增加一个单位时,y平均增加10个单位. 3.A　画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近,故最可能是线性函数模型. 4.D　结合选项可知,D项图中两个深色条的高度相差最明显,即等高堆积条形图中x1,x2所占比例相差最大,则两个分类变量之间相关程度最强. 5.C　从题图中可以看出B点较其他点,偏离直线远,故去掉B点后,回归效果更好,R2变大,故A错误;因为是负相关关系,样本相关系数的绝对值|r|越趋于1,则样本相关系数r越趋于-1,故B错误;R2变大,表示残差平方和变小,故C正确;x与y相关性增强,D错误. 6.C　=(1+2+3+4+5+6+7)=4, =(1+4+6+9+11+12+13)=8, ∵经验回归直线=2.04x+过点(,), ∴=-2.04=-0.16, ∴y关于x的经验回归方程为=2.04x-0.16, ∴第7天的残差为13-(2.04×7-0.16)=-1.12. 7.B　对于选项A,由题意可得,==4,则=5.3×4-8.2=13,可得=13,解得m=10,故A错误; 对于选项B,因为经验回归直线l过样本中心点(4,13),即(4,m+3),故B正确; 对于选项C,令x=8时,则=5.3×8-8.2=34.2,所以据该模型可以预测产量为8吨时,相应的生产能耗为34.2吨,故C错误; 对于选项D,l的斜率5.3可以解释为产量每增加1吨,相应的实际生产能耗大约增加5.3吨,并不是一定,故D错误. 8.A　由=1.5x+1和=2,得=1.5×2+1=4.所以去掉数据(2.6,2.8)与(1.4,5.2)后得到的新数据的平均数'=2,'=4,由题意可设去掉两组数据后的经验回归方程为=1.4x+a,代入(2,4),求得a=1.2,故去掉(2.6,2.8)与(1.4,5.2)这两组数据后求得的经验回归方程为=1.4x+1.2.将x=6代入经验回归方程,得=1.4×6+1.2=9.6. 9.ABD　相关关系虽然是一种不确定关系,但是回归分析可以在某种程度上对变量的发展趋势进行预报,这种预报在尽量减小误差的条件下可以对生产与生活起到一定的指导作用,独立性检验对分类变量的检验也是不确定的,但是其结果也有一定的实际意义. 10.BD　χ2≈7>6.635,P(χ2≥6.635)=0.01,所以在犯错误的概率不超过1%的前提下,可以认为英语词汇量与阅读水平有关,或者可以说有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关. 11.AC　样本相关系数r=≈0.70∈[0.3,0.75), 则y与x具有一般线性相关关系,没有达到较强线性相关关系,A错误. 由“末位”剔除制度可知,第一次应剔除J款理财产品, 重新计算得'=≈23.111, '=≈71.333, -9'2≈232+10×232-222-9×23.1112≈230.935, -9'2≈32.352+10×69.42-522-9×71.3332≈710.550, xiyi-9''≈346+10×23×69.4-22×52-9×23.111×71.333≈326.807, 所以r≈≈0.81>0.75,故B正确. ≈≈1.4, ≈'-'=71.333-1.40×23.111≈39.0, 所以所求经验回归方程为=39.0+1.4x,故D正确,C错误. 12.l2　用y=x+1作为拟合直线时,所得y值与y的实际值的差的平方和为S1=(-1)2+(2-2)2+(3-3)2+(-4)2+(-5)2=. 用y=x+作为拟合直线时,所得y值与y的实际值的差的平方和为S2=(1-1)2+(2-2)2+(-3)2+(4-4)2+(-5)2=. 因为S2<S1,故用直线y=x+拟合程度更好. 13.有　由题填写2×2列联表如下, 潜在客户 态度 合计 乐观 不乐观 国内代表 60 40 100 国外代表 40 60 100 合计 100 100 200 χ2==8>7.879=x0.005, 所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关. 14.　当t=4时,z=-1+ln 15=ln,∴y=ez=. 15.根据条件得2×2列联表: 态度 年龄 合计 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 赞成 10 27 37 不赞成 10 3 13 合计 20 30 50 零假设为H0:“使用微信交流”的态度与人的年龄无关. 根据列联表所给的数据代入公式可得 χ2==9.979>6.635=x0.01, 所以依据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关,此推断犯错误的概率不大于0.01. 16.(1)设身高y关于年龄x的经验回归方程为=x+, 由公式=,得≈6.28. 则=-=72.4,所以=6.28x+72.4. (2)若年龄相差5岁,则响应变量变化约为6.28×5=31.4,即身高相差约31.4 cm. (3)若身高相差20 cm,则年龄相差Δx=≈3(岁). 17.(1)根据题表1中的数据可以得出m=72,n=128,p=100. (2)零假设为H0:性别与患感冒无关.根据列联表中的数据,经计算得到χ2==3.125<3.841=x0.05,所以依据小概率值α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为在相同的温差下“性别”与“患感冒的情况”无关. (3)由题意知,==8,==15,所以(xi-)(yi-)=40, 则r==≈≈0.987 7>0.75, 所以y与x的线性相关性很强. 18.(1)依题意,b=30,c=30,e=40,f=40,n=100,得到如下2×2的列联表: 球队胜 球队负 总计 甲参加 30 30 60 甲未参加 30 10 40 总计 60 40 100 零假设为H0:球队胜利与甲球员参赛无关, 则χ2==6.25>5.024, 根据小概率值α=0.025的独立性检验,推断H0不成立, 即认为该球队胜利与甲球员参赛有关联,此推断犯错误的概率不超过0.025. (2)①当甲参加比赛时,该球队某场比赛输球的概率为0.1×0.2+0.5×0.2+0.4×0.7=0.4. ②当甲参加比赛时,在球队输了某场比赛的条件下,甲球员担当中场的概率为=0.25. ③球队输的条件下,甲球员担当前锋的概率为=0.05, 球队输的条件下,甲球员担当后卫的概率为=0.7, 所以球队输的条件下,甲球员担当中场、前锋、后卫的概率之比为0.25∶0.05∶0.7=5∶1∶14, 所以应该多让甲球员担任前锋. 19.(1)三天中至少有2天闲置的反面为3天中至多有一天能够租出,又每天的出租率为0.2, 所以3天中至少有2天闲置的概率P=(1-0.2)2×0.2+(1-0.2)3=0.896. (2)①根据散点图的分布情况,各散点连线更贴近y=cln x+d的图象,故y=cln x+d的拟合效果更好. 依题意,(zi-)·(yi-)≈-0.99,(zi-)2≈2.2, 所以c===-0.45, 所以d=-c=0.47+0.45×5.4=2.9, 所以经验回归方程为y=-0.45ln x+2.9. ②设旅游淡季民宿租金为x,则淡季该民宿的出租率y=-0.45ln x+2.9, 所以该民宿在这280天的收益为 W=280(x-0.1x)(-0.45ln x+2.9)-280×0.099x =280×0.9x(-0.45ln x+2.9)-27.72x =-113.4xln x+703.08x, 所以W'=703.08-113.4ln x-113.4=589.68-113.4ln x. 令W'=0,得ln x=5.2, 所以x=e5.2≈181, 且当x∈(0,181)时W'>0,x∈(181,+∞)时,W'<0, 所以W(x)在(0,181)上单调递增,在(181,+∞)上单调递减,所以当x=181时,W取得最大值. 所以旅游淡季民宿租金定为181元时,该民宿在这280天的收益W达到最大. 学科网（北京）股份有限公司 $