寒假培优：质数和合数（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

寒假培优讲义：质数和合数 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：理解质数和合数的意义，掌握判断一个自然数（1～100）是质数还是合数的方法；能正确区分质数、合数与1的特殊性；为后续学习因数分解、最大公因数和最小公倍数打下基础。 2.预习方法：结合找因数的方法，列出1～20各数的所有因数，观察因数个数的规律，归纳出质数与合数的特点；通过分类、比较、举例加深理解。 3.预习重点：掌握质数和合数的定义，能根据因数的个数进行判断。 4.温馨提示：本讲义内容在100以内整数范围内学习，不涉及负数、小数或分数；重点是理解“因数个数”决定数的类型。 知识梳理 1、因数的回顾 （1）定义：如果一个数 能被另一个数 整除（没有余数），那么 就是 的因数， 是 的倍数。 例如：12 ÷ 3 = 4，所以3是12的因数，12是3的倍数。 （2）找因数的方法：从小到大一对一对地找。 例如：12 的因数有：1 和 12，2 和 6，3 和 4 → 共6个：1、2、3、4、6、12。 2、质数的认识 （1）定义：一个大于1的自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（也叫素数）。 例如：2 的因数是 1 和 2，只有两个因数 → 是质数。 3 的因数是 1 和 3 → 是质数。 5 的因数是 1 和 5 → 是质数。 （2）特点： 质数只有两个因数：1 和 它本身。 质数不能被其他数（除了1和它本身）整除。 （3）最小的质数：2 是最小的质数，也是唯一的偶数质数。 3、合数的认识 （1）定义：一个大于1的自然数，如果除了1和它本身外，还有别的因数，这样的数叫做合数。 例如：4 的因数有 1、2、4 → 有3个因数，除了1和4，还有2 → 是合数。 6 的因数有 1、2、3、6 → 有4个因数 → 是合数。 （2）特点： 合数至少有三个因数。 合数可以写成两个比它小的自然数的乘积（除了1×它本身）。 （3）最小的合数：4 是最小的合数。 4、1 的特殊性 （1）1 既不是质数，也不是合数。 因为 1 只有 1 一个因数，不符合质数“有两个因数”的要求，也不符合合数“有三个或以上因数”的要求。 所以，1 是一个特殊数。 5、分类总结（大于1的自然数） 所有大于1的自然数，按因数个数可分为三类： 质数：只有两个因数（1 和 它本身） 合数：有三个或以上因数 1：只有一个因数，既不是质数也不是合数 6、100以内常见的质数（熟记前10个） 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29…… 小口诀： “二三五七一十一， 十三、十七、十九要牢记； 二三二九三十一， 后面还有三十七。” 7、判断方法小结 判断一个数是质数还是合数，可以： （1）列出它的所有因数； （2）看因数的个数： 只有2个 → 质数 有3个或以上 → 合数 1 → 特殊，既不是质数也不是合数 例题讲解 【典型例题1】 判断下面各数是质数还是合数： 13、15、18、23、25、29 解析： 13 的因数：1、13 → 只有2个 → 质数 15 的因数：1、3、5、15 → 有4个 → 合数 18 的因数：1、2、3、6、9、18 → 有6个 → 合数 23 的因数：1、23 → 只有2个 → 质数 25 的因数：1、5、25 → 有3个 → 合数 29 的因数：1、29 → 只有2个 → 质数 答： 质数：13、23、29； 合数：15、18、25。 【跟踪练习】 判断下列各数是质数还是合数： 11、14、17、21、27、31 【典型例题2】 下面的说法对吗？为什么？ （1）所有的奇数都是质数。 （2）所有的质数都是奇数。 （3）合数都是偶数。 解析： （1）错。奇数不一定是质数。例如：9 是奇数，但因数有1、3、9 → 是合数。 （2）错。2 是质数，但它是偶数，所以“质数都是奇数”错误。 （3）错。合数有奇数也有偶数。例如：9、15、21 都是奇数，但它们是合数。 答： （1）错；（2）错；（3）错。 【跟踪练习】 判断对错，并说明理由： （1）2 是最小的质数。 （2）4 是最小的合数。 （3）1 是质数。 【典型例题3】 在 1～20 中，找出所有的质数，并说说你发现了什么规律？ 解析： 先列出 1～20 的每个数的因数个数： 1：1个因数 → 既不是质数也不是合数 2：1、2 → 2个 → 质数 3：1、3 → 质数 4：1、2、4 → 合数 5：1、5 → 质数 6：1、2、3、6 → 合数 7：1、7 → 质数 8：1、2、4、8 → 合数 9：1、3、9 → 合数 10：1、2、5、10 → 合数 11：1、11 → 质数 12：1、2、3、4、6、12 → 合数 13：1、13 → 质数 14：1、2、7、14 → 合数 15：1、3、5、15 → 合数 16：1、2、4、8、16 → 合数 17：1、17 → 质数 18：1、2、3、6、9、18 → 合数 19：1、19 → 质数 20：1、2、4、5、10、20 → 合数 质数有：2、3、5、7、11、13、17、19 发现的规律： 质数中只有一个偶数：2 除了2和5，其他质数的个位数字多是1、3、7、9 质数的分布不规律，越往后越稀疏 答：1～20中的质数是：2、3、5、7、11、13、17、19。 【跟踪练习】 在 21～30 中，找出所有的合数，并写出其中一个合数的全部因数。 培优练习 一、选择题 1．用这三张数字卡片组成的三位数一定是（    ）。 A．合数 B．质数 C．奇数 D．偶数 2．用一条长16cm的铁丝围成一个长和宽都是质数的长方形，它的面积是（    ）cm2。 A．7 B．12 C．15 D．55 3．著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面不符合哥德巴赫猜想的是（    ）。 A．20＝13＋7 B．100＝29＋71 C．44＝33＋11 D．60＝31＋29 4．m是一个不为零的偶数，下面一定是奇数的是（    ）。 A．m＋1 B．m－2 C．2m D．m÷2 5．下面说法正确的是（    ）。 A．相邻两个非零自然数相乘的积一定是合数 B．所有的质数都是奇数 C．相邻两个自然数的和一定是奇数 D．最小的偶数是2 二、填空题 6．在1～20的自然数中，( )既是偶数又是质数；( )既是奇数又是合数。 7．地球到某个恒星的距离是一个九位数，亿位上是最小的质数，百万位上是最小的合数，千位上的数既不是质数也不是合数，其余各个数位上都是最小的自然数，这个数写作( )，改写成以“万”为单位的近似数是( )万。 8．18的因数有( )个，其中既是质数又是偶数的是( )，既是合数又是奇数的是( )，既不是质数也不是合数的是( )。 9．在括号里填上不同的质数：15＝（ × ）＝（ ＋ ）。 10．36的因数有( )个，合数有( )个，其中质数有( )个。 三、判断题 11．从1、2、3、4中任选一个数字，选出的数是质数和合数的可能性相等。( ) 12．0～10（包含10）中所有合数的和是37。( ) 13．x，y是非零自然数，已知x－1＝y，那么y和x的最大公因数是y。( ) 14．两个质数的乘积不一定是合数，两个奇数的和一定是偶数。( ) 15．正方形的边长是质数，它的面积一定是合数。( ) 四、解答题 16．一个九位数，亿位上是1，千万位上是最小的质数，万位上是最小的合数，个位上是最大的一位数，其余各位上都是0，这个数是多少？省略亿位后面的尾数约是多少亿？ 17．萱萱的QQ号是一个九位数，从左往右依次是：①2的最大因数；②最小的奇数的6倍；③10以内有因数3的偶数；④最大的一位数；⑤既不是质数，也不是合数的数；⑥最小的自然数；⑦10以内最大的质数；⑧既是质数，又是偶数的数；⑨最小的合数。请分析萱萱的QQ号是多少。 18．爷爷家有一块长方形的菜地，这块菜地的周长是56米，并且长和宽的米数是不同质数，这块菜地的面积最大是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假培优讲义：质数和合数 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：理解质数和合数的意义，掌握判断一个自然数（1～100）是质数还是合数的方法；能正确区分质数、合数与1的特殊性；为后续学习因数分解、最大公因数和最小公倍数打下基础。 2.预习方法：结合找因数的方法，列出1～20各数的所有因数，观察因数个数的规律，归纳出质数与合数的特点；通过分类、比较、举例加深理解。 3.预习重点：掌握质数和合数的定义，能根据因数的个数进行判断。 4.温馨提示：本讲义内容在100以内整数范围内学习，不涉及负数、小数或分数；重点是理解“因数个数”决定数的类型。 知识梳理 1、因数的回顾 （1）定义：如果一个数 能被另一个数 整除（没有余数），那么 就是 的因数， 是 的倍数。 例如：12 ÷ 3 = 4，所以3是12的因数，12是3的倍数。 （2）找因数的方法：从小到大一对一对地找。 例如：12 的因数有：1 和 12，2 和 6，3 和 4 → 共6个：1、2、3、4、6、12。 2、质数的认识 （1）定义：一个大于1的自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（也叫素数）。 例如：2 的因数是 1 和 2，只有两个因数 → 是质数。 3 的因数是 1 和 3 → 是质数。 5 的因数是 1 和 5 → 是质数。 （2）特点： 质数只有两个因数：1 和 它本身。 质数不能被其他数（除了1和它本身）整除。 （3）最小的质数：2 是最小的质数，也是唯一的偶数质数。 3、合数的认识 （1）定义：一个大于1的自然数，如果除了1和它本身外，还有别的因数，这样的数叫做合数。 例如：4 的因数有 1、2、4 → 有3个因数，除了1和4，还有2 → 是合数。 6 的因数有 1、2、3、6 → 有4个因数 → 是合数。 （2）特点： 合数至少有三个因数。 合数可以写成两个比它小的自然数的乘积（除了1×它本身）。 （3）最小的合数：4 是最小的合数。 4、1 的特殊性 （1）1 既不是质数，也不是合数。 因为 1 只有 1 一个因数，不符合质数“有两个因数”的要求，也不符合合数“有三个或以上因数”的要求。 所以，1 是一个特殊数。 5、分类总结（大于1的自然数） 所有大于1的自然数，按因数个数可分为三类： 质数：只有两个因数（1 和 它本身） 合数：有三个或以上因数 1：只有一个因数，既不是质数也不是合数 6、100以内常见的质数（熟记前10个） 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29…… 小口诀： “二三五七一十一， 十三、十七、十九要牢记； 二三二九三十一， 后面还有三十七。” 7、判断方法小结 判断一个数是质数还是合数，可以： （1）列出它的所有因数； （2）看因数的个数： 只有2个 → 质数 有3个或以上 → 合数 1 → 特殊，既不是质数也不是合数 例题讲解 【典型例题1】 判断下面各数是质数还是合数： 13、15、18、23、25、29 解析： 13 的因数：1、13 → 只有2个 → 质数 15 的因数：1、3、5、15 → 有4个 → 合数 18 的因数：1、2、3、6、9、18 → 有6个 → 合数 23 的因数：1、23 → 只有2个 → 质数 25 的因数：1、5、25 → 有3个 → 合数 29 的因数：1、29 → 只有2个 → 质数 答： 质数：13、23、29； 合数：15、18、25。 【跟踪练习】 判断下列各数是质数还是合数： 11、14、17、21、27、31 【典型例题2】 下面的说法对吗？为什么？ （1）所有的奇数都是质数。 （2）所有的质数都是奇数。 （3）合数都是偶数。 解析： （1）错。奇数不一定是质数。例如：9 是奇数，但因数有1、3、9 → 是合数。 （2）错。2 是质数，但它是偶数，所以“质数都是奇数”错误。 （3）错。合数有奇数也有偶数。例如：9、15、21 都是奇数，但它们是合数。 答： （1）错；（2）错；（3）错。 【跟踪练习】 判断对错，并说明理由： （1）2 是最小的质数。 （2）4 是最小的合数。 （3）1 是质数。 【典型例题3】 在 1～20 中，找出所有的质数，并说说你发现了什么规律？ 解析： 先列出 1～20 的每个数的因数个数： 1：1个因数 → 既不是质数也不是合数 2：1、2 → 2个 → 质数 3：1、3 → 质数 4：1、2、4 → 合数 5：1、5 → 质数 6：1、2、3、6 → 合数 7：1、7 → 质数 8：1、2、4、8 → 合数 9：1、3、9 → 合数 10：1、2、5、10 → 合数 11：1、11 → 质数 12：1、2、3、4、6、12 → 合数 13：1、13 → 质数 14：1、2、7、14 → 合数 15：1、3、5、15 → 合数 16：1、2、4、8、16 → 合数 17：1、17 → 质数 18：1、2、3、6、9、18 → 合数 19：1、19 → 质数 20：1、2、4、5、10、20 → 合数 质数有：2、3、5、7、11、13、17、19 发现的规律： 质数中只有一个偶数：2 除了2和5，其他质数的个位数字多是1、3、7、9 质数的分布不规律，越往后越稀疏 答：1～20中的质数是：2、3、5、7、11、13、17、19。 【跟踪练习】 在 21～30 中，找出所有的合数，并写出其中一个合数的全部因数。 答案及解析 【跟踪练习1】 判断：11、14、17、21、27、31 11：因数 1、11 → 质数 14：因数 1、2、7、14 → 合数 17：因数 1、17 → 质数 21：因数 1、3、7、21 → 合数 27：因数 1、3、9、27 → 合数 31：因数 1、31 → 质数 答： 质数：11、17、31； 合数：14、21、27。 【跟踪练习2】 判断对错： （1）2 是最小的质数。 → 正确。2 是质数中最小的一个，且是唯一的偶数质数。 （2）4 是最小的合数。 → 正确。比4小的数中：1不是合数，2和3是质数，只有4有三个因数（1、2、4），是合数。 （3）1 是质数。 → 错误。1 只有一个因数，不符合质数“有两个因数”的定义，所以既不是质数也不是合数。 答：（1）√；（2）√；（3）×。 【跟踪练习3】 在 21～30 中找出所有合数，并写一个合数的因数。 21：因数 1、3、7、21 → 合数 22：因数 1、2、11、22 → 合数 23：因数 1、23 → 质数 24：因数 1、2、3、4、6、8、12、24 → 合数 25：因数 1、5、25 → 合数 26：因数 1、2、13、26 → 合数 27：因数 1、3、9、27 → 合数 28：因数 1、2、4、7、14、28 → 合数 29：因数 1、29 → 质数 30：因数 1、2、3、5、6、10、15、30 → 合数 合数有：21、22、24、25、26、27、28、30 举例：24 的因数是：1、2、3、4、6、8、12、24。 答： 21～30 中的合数是：21、22、24、25、26、27、28、30； 如 24 的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 培优练习 一、选择题 1．用这三张数字卡片组成的三位数一定是（    ）。 A．合数 B．质数 C．奇数 D．偶数 【答案】A 【分析】根据“一个数各个数位上的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数”，，9是3的倍数，所以用2、3、4 三张数字卡片组成的所有三位数都是3的倍数， 组成的所有三位数除了1和本身外还有因数3，所 以用2、3、4三张数字卡片组成的所有三位数一 定是合数。据此进行分析。 【详解】根据分析得：用这三张数字卡片组成的三位数一定是合数。 故答案为：A 2．用一条长16cm的铁丝围成一个长和宽都是质数的长方形，它的面积是（    ）cm2。 A．7 B．12 C．15 D．55 【答案】C 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，那么这道题的长＋宽＝16÷2＝8，题目中告诉我们，长和宽都是质数，那么10以内的质数只有2、3、5、7，我们可以一个个分类讨论获得答案，长方形面积＝长×宽 【详解】根据分析，长＋宽＝8，如果长和宽都是质数，我们可以做以下讨论： 当宽＝2cm，长＝6cm，6不是质数； 当宽＝3cm，长＝5cm，这时长和宽都是质数，面积＝3×5＝15（cm2） 当长＝7cm，宽＝1cm，1不是质数； 所以用一条长16cm的铁丝围成一个长和宽都是质数的长方形，长和宽只能是5cm和3cm，它的面积是15cm2。 故答案为：C 3．著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面不符合哥德巴赫猜想的是（    ）。 A．20＝13＋7 B．100＝29＋71 C．44＝33＋11 D．60＝31＋29 【答案】C 【分析】先明确哥德巴赫猜想的条件：大于2的偶数可表示为两个质数之和，再依次判断每个选项中的和是否为大于2的偶数，以及两个加数是否为质数。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 【详解】A．20是大于2的偶数；13的因数只有1和13，是质数；7的因数只有1和7，是质数，所以选项A符合哥德巴赫猜想； B．100是大于2的偶数；29的因数只有1和29，是质数；71的因数只有1和71，是质数，所以选项B符合哥德巴赫猜想； C．44是大于2的偶数；11的因数只有1和11，是质数；33的因数有1、3、11、33，不是质数，所以选项C不符合哥德巴赫猜想； D．60是大于2的偶数；31的因数只有1和31，是质数；29的因数只有1和29，是质数，所以选项D符合哥德巴赫猜想。 故答案为：C 4．m是一个不为零的偶数，下面一定是奇数的是（    ）。 A．m＋1 B．m－2 C．2m D．m÷2 【答案】A 【分析】根据奇数和偶数的运算性质： ①偶数±偶数＝偶数； ②奇数±奇数＝偶数； ③偶数±奇数＝奇数； ④偶数×奇数＝偶数； ⑤奇数×奇数＝奇数； ⑥偶数×偶数＝偶数； 由此即可判断。 【详解】A．1为奇数，m为偶数，m＋1＝偶数＋奇数＝奇数，符合题意； B．2为偶数，m为偶数，m－2＝偶数－偶数＝偶数，不符合题意； C．2为偶数，m为偶数，2m＝偶数×偶数＝偶数，不符合题意； D．m÷2＝偶数÷偶数，结果不一定是奇数还是偶数，不符合题意； 则m＋1一定为奇数。 故答案为：A 5．下面说法正确的是（    ）。 A．相邻两个非零自然数相乘的积一定是合数 B．所有的质数都是奇数 C．相邻两个自然数的和一定是奇数 D．最小的偶数是2 【答案】C 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。据此逐项举例分析即可。 【详解】A.1与2是相邻两个非零自然数，，2是质数。 B.2是质数，又是偶数。 C.相邻的两个自然数分别是奇数与偶数，奇数＋偶数＝奇数。 D.最小的偶数是0。 故答案为：C 二、填空题 6．在1～20的自然数中，( )既是偶数又是质数；( )既是奇数又是合数。 【答案】 2 9，15 【分析】根据偶数的定义：偶数是能被2整除的数；奇数的定义：奇数是不能被2整除的数；质数的定义：质数是指一个大于1的自然数，除了1和它本身之外没有其他因数的数；合数的定义：合数是指除了1和它本身之外还有其他因数的数；进行分析。 【详解】根据分析得： 在1～20的自然数中，2既是偶数又是质数；9，15既是奇数又是合数。 7．地球到某个恒星的距离是一个九位数，亿位上是最小的质数，百万位上是最小的合数，千位上的数既不是质数也不是合数，其余各个数位上都是最小的自然数，这个数写作( )，改写成以“万”为单位的近似数是( )万。 【答案】 204001000 20400 【分析】（1）最小的质数：质数是大于1且只能被1和自身整除的数，最小的质数是2； 最小的合数：合数是大于1且除了1和自身还有其他因数的数，最小的合数是4； 既不是质数也不是合数的数：这个数是1； 最小的自然数：最小的自然数是0。 （2）改写成以“万”为单位的近似数时，需要看千位上的数字，千位上的数字是1，1＜5，所以舍去千位及之后的数，并在最后加一个万字，据此解答。 【详解】根据分析可知： （1）亿位上是2，百万位上是4，千位上是1，其余各个数位上都是0，这个数写作204001000。 （2）改写成以“万”为单位的近似数时，这个数204001000千位是1，1＜5，所以舍去千位及之后的数是20400万。 因此，地球到某个恒星的距离是一个九位数，亿位上是最小的质数，百万位上是最小的合数，千位上的数既不是质数也不是合数，其余各个数位上都是最小的自然数，这个数写作204001000，改写成以“万”为单位的近似数是20400万。 8．18的因数有( )个，其中既是质数又是偶数的是( )，既是合数又是奇数的是( )，既不是质数也不是合数的是( )。 【答案】 6 2 9 1 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，先求出18的因数，再根据奇数、偶数、质数和合数的意义：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数，其中1既不是质数也不是合数，据此填空即可。 【详解】1×18＝18，1和18都是18的因数； 2×9＝18，2和9都是18的因数； 3×6＝18，3和6都是18的因数。 18的因数有：1、2、3、6、9、18 既是偶数又是质数的数：2 既是奇数又是合数的数：9 既不是质数也不是合数的数：1 18的因数有6个，其中既是质数又是偶数的是2，既是合数又是奇数的是9，既不是质数也不是合数的是1。 9．在括号里填上不同的质数：15＝（ × ）＝（ ＋ ）。 【答案】 3 5 2 13 【分析】质数的定义：质数是大于1且只能被1和它本身整除的自然数。 分解乘法：15＝3×5，3和5都是质数，符合题目要求。 分解加法：需要找到两个不同的质数，相加等于15。尝试计算：2＋13＝15，2和13都是质数，符合条件。 【详解】根据分析可得，填上不同的质数如下： 15＝3×5＝2＋13 10．36的因数有( )个，合数有( )个，其中质数有( )个。 【答案】 9 6 2 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，据此解答。 【详解】36＝1×36 36＝2×18 36＝3×12 36＝4×9 36＝6×6 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个因数； 其中质数有：2、3，是2个； 合数有：4、6、9、12、18、36，是6个； 36的因数有9个，合数有6个，其中质数有2个。 三、判断题 11．从1、2、3、4中任选一个数字，选出的数是质数和合数的可能性相等。( ) 【答案】 × 【分析】根据质数和合数的定义，质数是除了1和它本身以外没有其他因数的自然数；合数是除了1和它本身还有其他因数的自然数。1既不是质数也不是合数。在数字1、2、3、4中，质数有2和3共两个，合数只有4一个。总共有四个数字，每个数字被选中的可能性相同。选到质数的可能性为，选到合数的可能性为，两者不相等，因此说法错误。 【详解】在给定的数字1、2、3、4中： 1的因数只有1，不符合质数或合数的定义，既不是质数也不是合数； 2的因数只有1和2两个，是质数； 3的因数只有1和3两个，是质数； 4的因数有1、2、4，是合数。 因此，质数有2个（2和3），合数有1个（4）。 总数字个数为4个，每个数字被选中的可能性相同。 选到质数的可能性为：。 选到合数的可能性为：。 由于，所以选到质数和合数的可能性不相等。 故答案为：× 12．0～10（包含10）中所有合数的和是37。( ) 【答案】√ 【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，如果除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫做合数。在0～10（包含10）的范围内，逐一判断每个整数是否为合数：在研究质数合数时，不包括0；1既不是质数，也不是合数；2、3、5、7是质数（只有1和本身两个因数）；4、6、8、9、10是合数（均有其他因数）。因此，合数为4、6、8、9、10。接着，计算这些数的和，验证是否等于37。 【详解】合数有：4、6、8、9、10。 4＋6＋8＋9＋10 ＝10＋8＋9＋10 ＝18＋9＋10 ＝27＋10 ＝37， 和为37，与陈述一致，原题说法正确。 故答案为：√ 13．x，y是非零自然数，已知x－1＝y，那么y和x的最大公因数是y。( ) 【答案】× 【分析】已知x－1＝y和x，y是非零自然数，所以x和y是连续的自然数，它们是互质数。根据因数与倍数的知识点，相邻的两个自然数只有公因数1。 【详解】已知x－1＝y和x，y是非零自然数，所以x和y是连续的自然数，它们是互质数。根据因数与倍数的知识点，相邻的两个自然数只有公因数1。也可以举例子说明：如3－1＝2；3和2的最大公因数是1而不是2。 故答案为：× 14．两个质数的乘积不一定是合数，两个奇数的和一定是偶数。( ) 【答案】× 【分析】根据质数和合数的定义，质数是大于1且只有1和它本身两个因数的自然数，合数是大于1且有至少三个因数的自然数。两个质数相乘，积的因数包括1和这两个质数，因此积一定是合数。两个奇数相加，根据奇偶性运算规律，和一定是偶数。据此判断即可。 【详解】例如，质数2和3相乘得6，6的因数有1、2、3、6，6是合数；质数3和5相乘得15，15的因数有1、3、5、15，15是合数。所以，“两个质数的乘积不一定是合数”的说法错误。两个奇数相加，和是偶数，例如，1＋3＝4（偶数），3＋5＝8（偶数），符合奇偶性运算规律。因此，原题说法错误。 故答案为：× 15．正方形的边长是质数，它的面积一定是合数。( ) 【答案】√ 【分析】质数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身还有其他因数的数，据此即可解答。 【详解】设正方形的边长为质数a（a＞1）。 正方形面积：a×a＝ 因为除了1和它本身，还有因数a，所以是合数。 故答案为：√ 四、解答题 16．一个九位数，亿位上是1，千万位上是最小的质数，万位上是最小的合数，个位上是最大的一位数，其余各位上都是0，这个数是多少？省略亿位后面的尾数约是多少亿？ 【答案】120040009；1亿 【分析】一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，最小的质数是2，一个数除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数，最小的合数是4，最大的一位数是9，则这个九位数的亿位上是1，千万位上是2，万位上是4，个位上是9，大数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，据此写出这个数；根据整数的近似数，省略亿位后面的尾数则看千万位上的数，如果小于5则舍去，大于或等于5则向亿位进1，并添上“亿”字。 【详解】120040009≈1亿 答：这个数是120040009，省略亿位后面的尾数约是1亿。 17．萱萱的QQ号是一个九位数，从左往右依次是：①2的最大因数；②最小的奇数的6倍；③10以内有因数3的偶数；④最大的一位数；⑤既不是质数，也不是合数的数；⑥最小的自然数；⑦10以内最大的质数；⑧既是质数，又是偶数的数；⑨最小的合数。请分析萱萱的QQ号是多少。 【答案】266910724 【分析】要得出萱萱的QQ号，我们按顺序分析每一位的数字：首先，2的最大因数是它本身，所以第1位是2；最小的奇数是1，它的6倍是6，第2位是6；10以内有因数3的偶数是6，第3位是6；最大的一位数是9，第4位是9；既不是质数也不是合数的数是1，第5位是1；最小的自然数是0，第6位是0；10以内最大的质数是7，第7位是7；既是质数又是偶数的数是2，第8位是2；最小的合数是4，第9位是4。把这些数字依次排列，萱萱的QQ号就是266910724。 【详解】2的最大因数是2；最小的奇数是1，它的6倍是6；10以内有因数3的偶数是6；最大的一位数是9；既不是质数，也不是合数的数是1；最小的自然数是0；10以内最大的质数是7；既是质数，又是偶数的数是2；最小的合数是4。 答：萱萱的QQ号是266910724。 18．爷爷家有一块长方形的菜地，这块菜地的周长是56米，并且长和宽的米数是不同质数，这块菜地的面积最大是多少？ 【答案】187平方米 【分析】根据题意，长方形周长56米，长和宽为不同质数。周长公式为，故。需找出两个不同质数之和为28的组合，并计算其乘积的最大值。 【详解】列出小于28的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23。 寻找和为28的不同质数组合： ，乘积为 ，乘积为 答：这块菜地的面积最大是187平方米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $