寒假培优：真分数和假分数（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

寒假培优讲义：真分数和假分数 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：理解真分数和假分数的意义，能正确区分真分数与假分数；借助直观模型和数轴认识假分数，初步理解假分数与整数、带分数之间的关系，为后续学习分数的互化和运算打下基础。 2.预习方法：结合分蛋糕、分苹果等生活情境，用画图、折纸等方式表示分数，理解“取的份数”与“分的总份数”之间的关系；通过与整数1比较，判断分数的类型。 3.预习重点：掌握真分数和假分数的定义，能根据分子与分母的大小关系进行判断。 4.温馨提示：“分数”表示的是“部分与整体”的关系。当“取的份数”不超过“分的总份数”时，是真分数；当“取的份数”等于或多于“分的总份数”时，就可能是假分数。 知识梳理 1、分数的意义回顾 （1）分数的产生：把一个整体（单位“1”）平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。 例如：把一个蛋糕平均分成4份，取其中的3份，用分数表示是 。 （2）分数各部分名称： 中，3 是分子，4 是分母，中间的线叫分数线。 分母表示平均分的份数，分子表示取了其中的几份。 2、真分数的认识 （1）定义：分子比分母小的分数，叫做真分数。 例如： 、 、 都是真分数。 （2）特点： 真分数都小于1。 因为取的份数比总份数少，所以一定不到“一个整体”。 （3）生活举例： 吃了一个披萨的 ，还没吃完，所以是真分数。 3、假分数的认识 （1）定义：分子比分母大或者等于分母的分数，叫做假分数。 例如： 、 、 、 都是假分数。 （2）特点： 假分数大于或等于1。 当分子等于分母时，表示取了全部，正好是1个整体，如 。 当分子大于分母时，表示取的份数超过了总份数，说明不止一个整体。 （3）生活举例： 有3个苹果，平均分给2个人，每人分得 个，这就是假分数。 4、用图形和数轴理解假分数 （1）图形表示： 用一个圆表示单位“1”。 表示 ：需要画两个圆，第一个圆平均分成4份，取4份（即1个整体），第二个圆取1份，合起来是 。 （2）数轴表示： 在数轴上，0 到 1 之间的分数是真分数。 1 及 1 以上的分数是假分数。 例如： 在1的位置； 在1和2之间。 5、假分数与整数、带分数的初步联系 （1）假分数可以写成整数或带分数的形式： （读作：一又四分之一） 这种“整数+真分数”的形式叫做带分数。 注意：本讲义仅要求认识假分数，不强制掌握互化方法，但可初步感知。 6、总结对比 类型 分子与分母关系 与1的大小关系 举例 真分数 分子 < 分母 小于1 、 假分数 分子 ≥ 分母 大于或等于1 、 、 例题讲解 【典型例题1】 下面的分数中，哪些是真分数？哪些是假分数？ 、 、 、 、 、 解析： 真分数：分子 < 分母 → 、 、 假分数：分子 ≥ 分母 → 、 、 答： 真分数有： 、 、 ； 假分数有： 、 、 。 【跟踪练习】 1. 判断下列分数是真分数还是假分数： 、 、 、 、 、 【典型例题2】 用阴影部分表示下面的分数，并判断是真分数还是假分数： （1） （在一个圆中） （2） （在两个圆中） 解析： （1）把一个圆平均分成5份，涂其中3份，涂色部分小于整个圆 → 是真分数。 （2）第一个圆全部涂满（ ），第二个圆平均分成4份涂1份（ ），共 ？不对！应涂3份 → 。涂色部分超过一个整圆 → 是假分数。 答： （1）真分数；（2）假分数。 【跟踪练习】 在数轴上标出 、 、 ，并说明它们是真分数还是假分数。 【典型例题3】 判断对错，并说明理由： （1） 是假分数。 （2） 比 1 大。 （3）假分数一定大于 1。 解析： （1）错。 分子6 < 分母7，是真分数。 （2）对。 ，所以比1大。 （3）错。假分数大于或等于1，当分子等于分母时，等于1，如 ，所以“一定大于1”是错误的。 答： （1）错；（2）对；（3）错。 【跟踪练习】 判断对错： （1）真分数都小于1。 （2） 是真分数。 （3） 是假分数。 培优练习 一、选择题 1．把6米长的铁丝，平均分成5段，每段是（    ）。 A．1米 B．米 C．米 D．米 2．如果（m、n均是不为0的自然数）是假分数，那么（    ）。 A．m＞n B．m≥n C．m≤n D．m＜n 3．分数单位是的最大真分数是（    ），最小假分数是（    ）。 A．； B．； C． ； D． ； 4．下面（    ）是分子为6的假分数。 A． B． C． D． 5．要使是真分数，是假分数，则b的值是（    ）。 A．7 B．8 C．9 D．任意数 二、填空题 6．把下面的带分数化成假分数，把假分数化成带分数或整数。 ( )     ( )        ( ) 7．分母是8的最大真分数是( )，分子是8的最小假分数是( )。 8．把一根5米长的绳子平均截成4段，每段长( )米，每段是全长的( )。 9．的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，至少再加上( )个这样的分数单位就是一个假分数。 10．和（A为非零自然数）都是假分数，的分数单位是( )，A表示的数是( )。 三、判断题 11．在中有3个假分数。( ) 12．要使是假分数，是真分数，应该等于5。( ) 13．如果是真分数，那么一定是真分数。( ) 14．如果是一个假分数，那么一定大于。( ) 15．因为，所以的分数单位比的分数单位大。( ) 四、计算题 16．把下面的假分数化成整数或带分数，或把带分数化成假分数。                                                           五、解答题 17．一盒感冒药有10粒。小明感冒了，医生叮嘱他每天早、中、晚各吃1粒。这盒感冒药能吃多少天？（计算结果用带分数表示） 18．小丽、小红和小芳做同样的数学题。小丽3分钟做了11道题，小红4分钟做了13道题，小芳5分钟做了16道题。她们平均每分钟各做了几道题？（结果化成带分数） 19．园园、海海和乐乐用纸剪同样的花。园园3分钟剪11朵，海海4分钟剪12朵，乐乐5分钟剪22朵。谁剪得最快？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假培优讲义：真分数和假分数 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：理解真分数和假分数的意义，能正确区分真分数与假分数；借助直观模型和数轴认识假分数，初步理解假分数与整数、带分数之间的关系，为后续学习分数的互化和运算打下基础。 2.预习方法：结合分蛋糕、分苹果等生活情境，用画图、折纸等方式表示分数，理解“取的份数”与“分的总份数”之间的关系；通过与整数1比较，判断分数的类型。 3.预习重点：掌握真分数和假分数的定义，能根据分子与分母的大小关系进行判断。 4.温馨提示：“分数”表示的是“部分与整体”的关系。当“取的份数”不超过“分的总份数”时，是真分数；当“取的份数”等于或多于“分的总份数”时，就可能是假分数。 知识梳理 1、分数的意义回顾 （1）分数的产生：把一个整体（单位“1”）平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。 例如：把一个蛋糕平均分成4份，取其中的3份，用分数表示是 。 （2）分数各部分名称： 中，3 是分子，4 是分母，中间的线叫分数线。 分母表示平均分的份数，分子表示取了其中的几份。 2、真分数的认识 （1）定义：分子比分母小的分数，叫做真分数。 例如： 、 、 都是真分数。 （2）特点： 真分数都小于1。 因为取的份数比总份数少，所以一定不到“一个整体”。 （3）生活举例： 吃了一个披萨的 ，还没吃完，所以是真分数。 3、假分数的认识 （1）定义：分子比分母大或者等于分母的分数，叫做假分数。 例如： 、 、 、 都是假分数。 （2）特点： 假分数大于或等于1。 当分子等于分母时，表示取了全部，正好是1个整体，如 。 当分子大于分母时，表示取的份数超过了总份数，说明不止一个整体。 （3）生活举例： 有3个苹果，平均分给2个人，每人分得 个，这就是假分数。 4、用图形和数轴理解假分数 （1）图形表示： 用一个圆表示单位“1”。 表示 ：需要画两个圆，第一个圆平均分成4份，取4份（即1个整体），第二个圆取1份，合起来是 。 （2）数轴表示： 在数轴上，0 到 1 之间的分数是真分数。 1 及 1 以上的分数是假分数。 例如： 在1的位置； 在1和2之间。 5、假分数与整数、带分数的初步联系 （1）假分数可以写成整数或带分数的形式： （读作：一又四分之一） 这种“整数+真分数”的形式叫做带分数。 注意：本讲义仅要求认识假分数，不强制掌握互化方法，但可初步感知。 6、总结对比 类型 分子与分母关系 与1的大小关系 举例 真分数 分子 < 分母 小于1 、 假分数 分子 ≥ 分母 大于或等于1 、 、 例题讲解 【典型例题1】 下面的分数中，哪些是真分数？哪些是假分数？ 、 、 、 、 、 解析： 真分数：分子 < 分母 → 、 、 假分数：分子 ≥ 分母 → 、 、 答： 真分数有： 、 、 ； 假分数有： 、 、 。 【跟踪练习】 1. 判断下列分数是真分数还是假分数： 、 、 、 、 、 【典型例题2】 用阴影部分表示下面的分数，并判断是真分数还是假分数： （1） （在一个圆中） （2） （在两个圆中） 解析： （1）把一个圆平均分成5份，涂其中3份，涂色部分小于整个圆 → 是真分数。 （2）第一个圆全部涂满（ ），第二个圆平均分成4份涂1份（ ），共 ？不对！应涂3份 → 。涂色部分超过一个整圆 → 是假分数。 答： （1）真分数；（2）假分数。 【跟踪练习】 在数轴上标出 、 、 ，并说明它们是真分数还是假分数。 【典型例题3】 判断对错，并说明理由： （1） 是假分数。 （2） 比 1 大。 （3）假分数一定大于 1。 解析： （1）错。 分子6 < 分母7，是真分数。 （2）对。 ，所以比1大。 （3）错。假分数大于或等于1，当分子等于分母时，等于1，如 ，所以“一定大于1”是错误的。 答： （1）错；（2）对；（3）错。 【跟踪练习】 判断对错： （1）真分数都小于1。 （2） 是真分数。 （3） 是假分数。 答案及解析 【跟踪练习1】 ：分子2 < 分母5 → 真分数 ：9 > 7 → 假分数 ：4 = 4 → 假分数 ：11 < 12 → 真分数 ：15 > 8 → 假分数 ：1 < 6 → 真分数 答： 真分数： 、 、 ； 假分数： 、 、 。 【跟踪练习2】 ：在0和1中间，小于1 → 真分数 ：在1的位置 → 假分数 ：在1和2之间 → 假分数 答： 是真分数； 和 是假分数。 【跟踪练习3】 （1）正确。真分数的定义就是分子小于分母，一定小于1。 （2）错误。 ，分子等于分母，是假分数。 （3）正确。 分子10 > 分母3，是假分数。 答：（1）√；（2）×；（3）√。 培优练习 一、选择题 1．把6米长的铁丝，平均分成5段，每段是（    ）。 A．1米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】用绳子的总长度除以平均分的段数，即可求出每段长多少米，据此解答。 【详解】（米） 所以把6米长的铁丝，平均分成5段，每段是1米。 故答案为：A 2．如果（m、n均是不为0的自然数）是假分数，那么（    ）。 A．m＞n B．m≥n C．m≤n D．m＜n 【答案】C 【分析】分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。据此判断。 【详解】如果（m、n均是不为0的自然数）是假分数，根据“假分数的分子要大于或等于分母”，所以m≤n。 故答案为：C 3．分数单位是的最大真分数是（    ），最小假分数是（    ）。 A．； B．； C． ； D． ； 【答案】B 【分析】需明确真分数和假分数的定义：真分数：分子小于分母的分数，分数单位为（分母是9），因此最大真分数的分子应为“分母－1”，保证分子小于分母且最大。假分数：分子大于或等于分母的分数，分数单位为，因此最小假分数的分子应为“等于分母”，保证分子不小于分母且最小。 【详解】分母是9，最大真分数的分子为，即；最小假分数的分子等于分母，即。 故答案为：B 4．下面（    ）是分子为6的假分数。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】假分数是指分子等于或大于分母的分数。本题要找出分子为6的假分数，先确定分子是6，再判断该分数的分子是否等于或大于分母，据此解答。 【详解】A.的分子是5，与题目要求分子是6不符合，故错误。 B.的分子是6，分母是5，且分子大于分母，所以是假分数，故正确。 C.的分子是7，与题目要求分子是6不符合，故错误。 D.的分子是6，分母是7，且分子小于分母，是真分数，故错误。 故答案为：B 5．要使是真分数，是假分数，则b的值是（    ）。 A．7 B．8 C．9 D．任意数 【答案】A 【分析】分子比分母小的分数叫真分数；分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫假分数，据此确定b的值。 【详解】是真分数，则b＜8； 是假分数，则b≤7； 即7≤b＜8，则b的值是7。 故答案为：A 二、填空题 6．把下面的带分数化成假分数，把假分数化成带分数或整数。 ( )     ( )        ( ) 【答案】 8 【分析】带分数化成假分数时，整数部分乘分母的积，再加上带分数的分子作为假分数的分子，分母不变；假分数化成整数或带分数时，假分数的分子除以分母，能整除的，所得的商就是整数；不能整除时，所得的商就是带分数的整数部分，余数就是分数部分的分子，分母不变，据此解答。 【详解】 32÷4＝8 18÷5＝ 所以，，8，。 7．分母是8的最大真分数是( )，分子是8的最小假分数是( )。 【答案】 【分析】分子比分母小的分数叫做真分数，分母是8的最大真分数的分子比8小1；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，最小假分数的分子等于分母，据此解答。 【详解】分析可知，分母是8的最大真分数是，分子是8的最小假分数是。 8．把一根5米长的绳子平均截成4段，每段长( )米，每段是全长的( )。 【答案】 【分析】①用绳子的总长度5米除以平均分成的段数4段，即可求出每段的长度； ②将绳子的总长度看作单位“1”，用单位“1” 除以平均分成的段数4段，即可求出每段是全长的几分之几。 【详解】①（米） 即每段长米； ② 即每段是全长的。 9．的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，至少再加上( )个这样的分数单位就是一个假分数。 【答案】 5 3 【分析】分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，就有几个这样的分数单位；分子大于或等于分母的分数叫做假分数；用分母减去分子，就是至少再加上几个这样的分数单位就是一个假分数，据此解答。 【详解】它的分数单位是； 有5个这样的分数单位。 8－5＝3，至少再加上3个这样的分数单位就是一个假分数。 它的分数单位是，它有5个这样的分数单位，至少再加上3个这样的分数单位就是一个假分数。 10．和（A为非零自然数）都是假分数，的分数单位是( )，A表示的数是( )。 【答案】 5、6、7 【分析】根据假分数的定义，分子大于或等于分母的分数是假分数。对于 是假分数，需要 A ≥ 5；对于 是假分数，需要 7 ≥ A。结合 A 是非零自然数，得出 A 的取值范围是 5、6 或 7。 的分数单位由分母决定，无论 A 取何值，分数单位都是 。 【详解】因为 是假分数，所以 A ≥ 5；因为 是假分数，所以 7 ≥ A。 所以 的分数单位是 ，A表示的数 是 5、6 或 7。 三、判断题 11．在中有3个假分数。( ) 【答案】√ 【分析】根据假分数的定义，分子大于或等于分母的分数是假分数。逐一验证每个分数是否符合条件，统计假分数的数量。 【详解】：7＜12，是真分数。 ：14＞13，是假分数。 ：8＜9，是真分数。 ：19＞5，是假分数。 ：7＝7，是假分数。 符合条件的假分数有3个。 故答案为：√ 12．要使是假分数，是真分数，应该等于5。( ) 【答案】× 【分析】根据真分数和假分数的定义，真分数的分子小于分母，假分数的分子大于或等于分母；据此解答。 【详解】是假分数，x≤6； 是真分数，x＞5 则x＝6。 要使是假分数，是真分数，x应该等于6。 原题干说法错误。 故答案为：× 13．如果是真分数，那么一定是真分数。( ) 【答案】× 【分析】根据真分数的定义，若是真分数，则。此时的分子大于分母5，因此为假分数，而非真分数。 【详解】由分析可知：大于5。当时，的分子大于分母，符合假分数的定义。因此，原题说法错误。 故答案为：× 14．如果是一个假分数，那么一定大于。( ) 【答案】× 【分析】假分数的定义是分子大于或等于分母的分数，据此举例说明即可。 【详解】例如，是假分数，此时 ，，显然；再如也是假分数，此时。因此，当是假分数时，一定等于或小于，原题说法错误。 故答案为：× 15．因为，所以的分数单位比的分数单位大。( ) 【答案】× 【分析】把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，表示其中一份的数叫作分数单位，真分数或者假分数的分母是几，分数单位就是几分之一，同分子分数比较大小时，分母越小分数值越大，分母越大分数值越小，据此解答。 【详解】分析可知，的分数单位是，的分数单位是，因为4＞3，则＜，所以的分数单位比的分数单位小，题目说法错误。 故答案为：× 四、计算题 16．把下面的假分数化成整数或带分数，或把带分数化成假分数。                                                            【答案】；；6；； 2；；；； 【分析】把假分数化成带分数的方法：用分子除以分母，得到的商和余数，商是带分数的整数部分，余数是带分数的分子，分母不变。当假分数的分子为分母的倍数时，能化成整数。 把带分数化成假分数的方法：用“带分数的整数部分×分母＋分子”得到假分数的分子，分母不变。 【详解】，所以； ，所以； ，所以； ，所以； ，所以； ，所以； ，所以； ，所以； ，所以； ，所以。 五、解答题 17．一盒感冒药有10粒。小明感冒了，医生叮嘱他每天早、中、晚各吃1粒。这盒感冒药能吃多少天？（计算结果用带分数表示） 【答案】天 【分析】已知小明每天早、中、晚各吃1粒药，那么每天吃药的粒数为：1＋1＋1＝3（粒）。这盒感冒药一共有10粒，每天吃3粒，根据“天数＝总粒数÷每天吃的粒数”，把数据代入计算即可。 【详解】1＋1＋1＝3（粒） （天） 答：这盒感冒药能吃天。 18．小丽、小红和小芳做同样的数学题。小丽3分钟做了11道题，小红4分钟做了13道题，小芳5分钟做了16道题。她们平均每分钟各做了几道题？（结果化成带分数） 【答案】；； 【分析】根据做题总数÷时间＝平均每分钟做题数量，分别代入数据计算，即可求出她们平均每分钟各做了几道题。再根据假分数化成整数，用假分数的分子除以分母，如果没有余数，商就是所要化成的整数。分子能被分母整除的假分数可以化成整数。将计算结果化成带分数即可。 【详解】11÷3 ＝ ＝（道） 13÷4 ＝ ＝（道） 16÷5 ＝ ＝（道） 答：小丽平均每分钟做了道题，小红平均每分钟做了道题，小芳平均每分钟做了道题。 19．园园、海海和乐乐用纸剪同样的花。园园3分钟剪11朵，海海4分钟剪12朵，乐乐5分钟剪22朵。谁剪得最快？ 【答案】乐乐剪得最快。 【分析】将每个人的总数量除以对应时间，得到每分钟剪的朵数，可以表示成分数的形式，再去比较分数的大小，数值最大的即为最快。 【详解】园园：（朵/分钟） 海海：（朵/分钟） 乐乐：（朵/分钟） 答：乐乐剪得最快。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $