寒假培优：分数的基本性质（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

寒假培优讲义：分数的基本性质 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：理解分数的基本性质，掌握分数分子和分母同时乘或除以同一个不为零的数，分数大小不变的规律；能运用分数的基本性质进行分数的化简与通分初步准备，为后续学习约分和通分打下基础。 2.预习方法：通过动手折纸、画图等直观操作理解分数相等的意义；结合商不变的规律类比学习；多举例、多比较，发现规律。 3.预习重点：掌握分数的基本性质内容，理解“同时乘或除以同一个数”的含义。 4.温馨提示：“分数的基本性质”是分数部分的核心概念之一，与除法中的“商不变规律”密切相关。学习时注意联系旧知，动手操作，避免机械记忆。特别提醒：分子和分母不能同时乘或除以0，因为分母不能为0。 知识梳理 1、分数的基本性质 （1）情境引入： 用三张同样大小的正方形纸片，分别折出 、 、 ，并涂色表示。 发现：三个分数涂色部分大小相同，说明： （2）观察分析： 从 到 ：分子和分母都乘2； 从 到 ：分子和分母都乘4； 从 到 ：分子和分母都除以2。 （3）规律总结： 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 这叫做分数的基本性质。 （4）关键说明： “同时”：分子和分母必须一起操作； “相同数”：乘或除的数必须一样； “0除外”：分母不能为0，所以不能乘或除以0。 2、与除法的联系 （1）分数与除法的关系： （ ） （2）商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 （3）类比发现：分数的基本性质与商不变的规律本质相同。 3、应用方向 （1）化简分数：把一个分数变成与它相等但分子分母都较小的分数（如 ）； （2）统一分数单位：为后续通分做准备（如 和 可化为 和 ）； （3）判断分数是否相等：不用画图，通过变形判断两个分数是否大小相同。 例题讲解 【典型例题1】 在括号里填上适当的数，使分数大小不变。 （1） （2） 解析： （1）观察 ： 分子：3 → 9，乘了3； 分母：4 → 12，也乘了3； 所以括号里填 3。 （2）观察 ： 分子：10 → 2，除以5； 分母：15 → 3，也除以5； 所以括号里填 5。 答： （1）填 3；（2）填 5 【跟踪练习】 在括号里填上适当的数： （1） （2） 【典型例题2】 判断下列每组分数是否相等，并说明理由。 （1） 和 （2） 和 解析： （1） 的分子分母同时乘3： ， → 所以这两个分数相等。 （2） 的分子乘2得8，但分母7乘2应得14，而题目中是13； 无法通过同时乘或除同一个数得到 ； 所以这两个分数不相等。 答： （1）相等，因为分子分母同时乘3，分数大小不变； （2）不相等，因为分母变化不符合分数的基本性质。 【跟踪练习】 判断下列分数是否相等： （1） 和 （2） 和 【典型例题3】 把 改写成分母是12而大小不变的分数。 解析： 原分母是3，要变成12，需乘： ； 根据分数的基本性质，分子也应乘4： ； 所以： 答： 【跟踪练习】 把下列分数改写成指定分母而大小不变的分数： （1）把 改写成分母是20的分数； （2）把 改写成分母是18的分数。 答案及解析 【跟踪练习1】 （1） 解析：分子乘4，分母也必须乘4，得20。 （2） 解析：分母18 → 3，除以6；分子12 ÷ 6 = 2。 【跟踪练习2】 （1） 和 ： ， → 同时乘2 → 相等。 （2） 和 ： ，但 ；或 不是整数 → 无法同时乘或除同一个数 → 不相等。 【跟踪练习3】 （1） 解析： ，分子分母同时乘5。 （2） 解析： ，分子分母同时乘3。 培优练习 一、选择题 1．的分子加上8，如果要使这个分数的大小不变，分母应该怎样变化？下列说法错误的是（    ）。 A．加上30 B．增加2倍 C．扩大为原来的3倍 D．加上8 【答案】D 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变；用原来的分子＋8，再除以原来的分子，求出分子扩大到原来的多少倍，则分母也扩大到原来的多少倍；再用扩大后的分母减去原来的分母，求出分母加上多少，据此解答。 【详解】（4＋8）÷4 ＝12÷4 ＝3 分母扩大到原来的3倍， 3－2＝1；分母增加2倍； 15×3－15 ＝45－15 ＝30 分母加上30。 的分子加上8，如果要使这个分数的大小不变，分母应该怎样变化？分母加上30，或分母增加2倍，或分母扩大到原来的3倍。 的分子加上8，如果要使这个分数的大小不变，分母应该怎样变化？说法错误的是加上8。 故答案为：D 2．的分母增加20，要使分数大小不变，分子应扩大到原来的（    ）倍。 A．4 B．5 C．10 D．15 【答案】B 【分析】的分母5增加20后变为5＋20＝25，25÷5＝5，即分母乘5，所以分母扩大到原来的5倍，根据分数的基本性质，因此分子也应扩大到原来的5倍。 【详解】5＋20＝25 25÷5＝5 所以分子应扩大到原来的5倍。 故答案为：B 3．一个分数分母不变，分子缩小到原来的，这个分数就（    ）。 A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 【答案】B 【分析】分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，当一个分数分母不变，分子缩小到原来的几分之一，那么分数值就缩小到原来的几分之一。据此解答。 【详解】一个分数分母不变，分子缩小到原来的，这个分数就缩小到原来的。 故答案为：B 4．中的括号里，能填的整数有（    ）。 A．8，9，10，11，12，13 B．9，10，11，12，13，14 C．9，10，11，12，13 D．无数个 【答案】C 【分析】先求出5、7、1的最小公倍数，再根据分数基本性质，把这3个分数化为分子是35的分数，再依据同分子分数大小比较方法（分子相同，分母小的分数大）即可解答。 【详解】5、7、1的最小公倍数是35，那么原式可化为： 也就是只要满足42＜（    ）×5＜70就可以。 42＜9×5＜70 42＜10×5＜70 42＜11×5＜70 42＜12×5＜70 42＜13×5＜70 所以（    ）里可填9、10、11、12、13。 故答案为：C 5．分子加上12，分数的大小不变，分母应该加上（    ）。 A．12 B．36 C．27 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变；先用分数的分子加上12，再除以原来的分子，求出分子扩大到原来的几倍，则分母也扩大到原来的几倍，再用扩大后的分母，减去原来的分母，即可解答。 【详解】（4＋12）÷4 ＝16÷4 ＝4 9×4－9 ＝36－9 ＝27 分子加上12，分数的大小不变，分母应该加上27。 故答案为：C 二、填空题 6．一个分数的分母除以5，分子也( )，分数的大小不变。 【答案】除以5 【分析】分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，据此解答。 【详解】由分析可知，一个分数的分母除以5，分子也除以5，分数的大小不变。 7．。 【答案】10；12；30 【分析】先根据“被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变”求出除数，再根据“”利用“分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变”求出分母和分子，据此解答。 【详解】3÷5＝（3×6）÷（5×6）＝18÷30 3÷5＝ ＝＝ ＝＝ 所以，3÷5＝＝＝18÷30。 8．如果是假分数，是真分数，则m＝( )；此时，如果的分母加上24，要使分数大小不变，那么分子应( )。 【答案】 7 乘4/加上21 【分析】假分数是分子大于或等于分母的分数；真分数是分子小于分母的分数；根据假分数和真分数的定义，m等于或大于7，且小于8，确定m的值；分母加上24，求出变化后的分母，再利用除法求出分母变化前后的倍数关系。根据分数的基本性质，要使分数的大小不变，分子应乘同样的倍数（或分子乘同样的倍数后再减原来的分子，求出分母应加上几即可）。 【详解】 或 如果是假分数，是真分数，则m＝7；此时，如果的分母加上24，要使分数大小不变，那么分子应乘4（或加上21）。 9．如果把的分子加上12，要使分数的大小不变，那么分母应该乘( )；如果把的分子、分母减去同一个数后，得到的分数化简后是，那么减去的这个数是( )。 【答案】 3 1 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变；据此进行分析。 【详解】 如果把的分子加上12，要使分数的大小不变，那么分母应该乘3；如果把的分子、分母减去同一个数后，得到的分数化简后是，那么减去的这个数是1。 10．若分数的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应加上( )。 【答案】 30 【分析】分数的分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外），分数不变；分子2加上12再除以2即可求出相当于乘几，用5乘这个数减去5即可求出分母应该加上几。 【详解】（2＋12）÷2 ＝14÷2 ＝7 5×7－5 ＝35－5 ＝30 即若分数的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应加上30。 三、判断题 11．在和中间的分数只有一个。( ) 【答案】× 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 根据分数的基本性质，把和的分子、分母同时乘2、3、4……可以得到无数个在和之间的分数，据此判断。 【详解】分母为10在和之间的分数只有； ＝＝，＝＝，分母为20在和之间的分数有、、； ＝＝，＝＝，分母为30在和之间的分数有、、、、； …… 所以，在和中间的分数有无数个。 故答案为：× 12．和的分数单位不同，大小相等。( ) 【答案】 √ 【分析】根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变。分数单位由分母决定，分母不同则分数单位不同。 【详解】的分子和分母同时乘3，得到，因此，大小相等。的分数单位是，的分数单位是，分数单位不同。原题说法正确。 故答案为：√ 13．和的大小相等，分数单位却不同。( ) 【答案】√ 【分析】根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。分数单位由分母决定，分母不同则分数单位不同。比较和的大小，并判断分数单位是否相同。 【详解】 的分子和分母同时除以公因数4，得，因此 ，大小相等。的分数单位是，的分数单位是，分母不同，分数单位不同。原题说法正确。 故答案为：√ 14．分数的分子和分母同时乘或除以相同的自然数，分数的大小不变。( ) 【答案】× 【分析】根据分数的基本性质，分子和分母必须同时乘或除以相同的非零数，分数大小才不变。自然数包括0，而乘或除以0会导致分母为0或运算无意义，据此判断。 【详解】由分析可得：分数的分子和分母同时乘或除以相同的自然数时，若自然数为0，则分母会变为0（如乘0）或运算无意义（如除以0），此时分数无意义。因此，必须排除自然数0的情况，原题未作此说明，所以原题说法错误。 故答案为：× 15．的分子乘3，要使分数的大小不变，分母也应乘3。( ) 【答案】√ 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变；据此判断。 【详解】根据分数的基本性质可知，的分子乘3，要使分数的大小不变，分母也应乘3；原说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 16．把下面的分数化成分母是48而大小不变的分数。                                                  【答案】；；； 【分析】根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以同一个不为零的数，分数的大小不变。将分数的分母除以一个数得到48，同时分子也除以相同的数，使分数大小不变；或将分数的分母乘一个数得到48，同时分子也乘相同的数，使分数大小不变。 【详解】 五、解答题 17．甲、乙两位师傅同做一种零件，甲师傅要用小时才能完成，乙师傅要用小时才能完成。小丽说：“两位师傅用的时间一样长。”小丽说的对吗？请用计算方法说明理由。 【答案】小丽说的对，理由见详解 【分析】两位师傅用的时间是否一样长，要看和是否相等。根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变。据此解答即可。 【详解】 所以两位师傅用的时间一样长。 答：小丽说的对。 18．从1、2、4、5、6、8六个数字中任意取几个数字写出一个分数，要求分子是一位数并且与相等，能写几个？ 【答案】、、、、 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 根据分数的基本性质，用的分子、分母同时乘2、4、5、6、8，即可得出分子是一位数并且与相等的分数。 【详解】＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ 答：能写5个，分别是、、、、。 19．五（1）班有40人，体育达标的人数占全班人数的。小女孩的说法对吗？为什么？ 【答案】说法对；见详解 【分析】根据分数的基本性质把三个分数转化成分母相同的分数，再比较，如果三个分数的大小相等，说明小女孩的说法是对的。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【详解】 所以，。 答：小女孩的说法对，因为这三个分数大小相等。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假培优讲义：分数的基本性质 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：理解分数的基本性质，掌握分数分子和分母同时乘或除以同一个不为零的数，分数大小不变的规律；能运用分数的基本性质进行分数的化简与通分初步准备，为后续学习约分和通分打下基础。 2.预习方法：通过动手折纸、画图等直观操作理解分数相等的意义；结合商不变的规律类比学习；多举例、多比较，发现规律。 3.预习重点：掌握分数的基本性质内容，理解“同时乘或除以同一个数”的含义。 4.温馨提示：“分数的基本性质”是分数部分的核心概念之一，与除法中的“商不变规律”密切相关。学习时注意联系旧知，动手操作，避免机械记忆。特别提醒：分子和分母不能同时乘或除以0，因为分母不能为0。 知识梳理 1、分数的基本性质 （1）情境引入： 用三张同样大小的正方形纸片，分别折出 、 、 ，并涂色表示。 发现：三个分数涂色部分大小相同，说明： （2）观察分析： 从 到 ：分子和分母都乘2； 从 到 ：分子和分母都乘4； 从 到 ：分子和分母都除以2。 （3）规律总结： 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 这叫做分数的基本性质。 （4）关键说明： “同时”：分子和分母必须一起操作； “相同数”：乘或除的数必须一样； “0除外”：分母不能为0，所以不能乘或除以0。 2、与除法的联系 （1）分数与除法的关系： （ ） （2）商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 （3）类比发现：分数的基本性质与商不变的规律本质相同。 3、应用方向 （1）化简分数：把一个分数变成与它相等但分子分母都较小的分数（如 ）； （2）统一分数单位：为后续通分做准备（如 和 可化为 和 ）； （3）判断分数是否相等：不用画图，通过变形判断两个分数是否大小相同。 例题讲解 【典型例题1】 在括号里填上适当的数，使分数大小不变。 （1） （2） 解析： （1）观察 ： 分子：3 → 9，乘了3； 分母：4 → 12，也乘了3； 所以括号里填 3。 （2）观察 ： 分子：10 → 2，除以5； 分母：15 → 3，也除以5； 所以括号里填 5。 答： （1）填 3；（2）填 5 【跟踪练习】 在括号里填上适当的数： （1） （2） 【典型例题2】 判断下列每组分数是否相等，并说明理由。 （1） 和 （2） 和 解析： （1） 的分子分母同时乘3： ， → 所以这两个分数相等。 （2） 的分子乘2得8，但分母7乘2应得14，而题目中是13； 无法通过同时乘或除同一个数得到 ； 所以这两个分数不相等。 答： （1）相等，因为分子分母同时乘3，分数大小不变； （2）不相等，因为分母变化不符合分数的基本性质。 【跟踪练习】 判断下列分数是否相等： （1） 和 （2） 和 【典型例题3】 把 改写成分母是12而大小不变的分数。 解析： 原分母是3，要变成12，需乘： ； 根据分数的基本性质，分子也应乘4： ； 所以： 答： 【跟踪练习】 把下列分数改写成指定分母而大小不变的分数： （1）把 改写成分母是20的分数； （2）把 改写成分母是18的分数。 培优练习 一、选择题 1．的分子加上8，如果要使这个分数的大小不变，分母应该怎样变化？下列说法错误的是（    ）。 A．加上30 B．增加2倍 C．扩大为原来的3倍 D．加上8 2．的分母增加20，要使分数大小不变，分子应扩大到原来的（    ）倍。 A．4 B．5 C．10 D．15 3．一个分数分母不变，分子缩小到原来的，这个分数就（    ）。 A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 4．中的括号里，能填的整数有（    ）。 A．8，9，10，11，12，13 B．9，10，11，12，13，14 C．9，10，11，12，13 D．无数个 5．分子加上12，分数的大小不变，分母应该加上（    ）。 A．12 B．36 C．27 D．不能确定 二、填空题 6．一个分数的分母除以5，分子也( )，分数的大小不变。 7．。 8．如果是假分数，是真分数，则m＝( )；此时，如果的分母加上24，要使分数大小不变，那么分子应( )。 9．如果把的分子加上12，要使分数的大小不变，那么分母应该乘( )；如果把的分子、分母减去同一个数后，得到的分数化简后是，那么减去的这个数是( )。 10．若分数的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应加上( )。 三、判断题 11．在和中间的分数只有一个。( ) 12．和的分数单位不同，大小相等。( ) 13．和的大小相等，分数单位却不同。( ) 14．分数的分子和分母同时乘或除以相同的自然数，分数的大小不变。( ) 15．的分子乘3，要使分数的大小不变，分母也应乘3。( ) 四、计算题 16．把下面的分数化成分母是48而大小不变的分数。                                                  五、解答题 17．甲、乙两位师傅同做一种零件，甲师傅要用小时才能完成，乙师傅要用小时才能完成。小丽说：“两位师傅用的时间一样长。”小丽说的对吗？请用计算方法说明理由。 18．从1、2、4、5、6、8六个数字中任意取几个数字写出一个分数，要求分子是一位数并且与相等，能写几个？ 19．五（1）班有40人，体育达标的人数占全班人数的。小女孩的说法对吗？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $