专题 1.8 等腰三角形（专项练习）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.8 等腰三角形（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·河北唐山·期末）等腰三角形的一个角是，则其中一个底角的度数为（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 4．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，在中，，，交于点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，是等腰三角形的底边上的中线，于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，在中，，，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为（    ）． A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·天津·月考）如图，工人在某施工现场作业，有一个长为米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中）的倾斜角为，那么的长是（   ）米． A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·浙江·月考）在中，，，点D在线段上，连结，点B关于直线的对称点为，射线与的延长线相交于点E，当时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 10．（25-26八年级上·全国·期末）设，A为上一点，D为上一点，，C为上任一点，B是上任一点，那么折线的长最小值是（　　） A．12 B． C．8 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是角平分线，，，则的长是 ． 12．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则 ． 13．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 14．（25-26九年级上·福建泉州·月考）如图，在中，，是边上的高，，，则的长为 ． 15．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，等腰三角形中，，在上取一点，使，过点作交于点，过点作交于点E，交于点．若，则 °． 16．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，过点A的直线轴，点B在x轴的正半轴上，平分交于点， 则A的坐标是 ． 17．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为 ． 18．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，直线与轴、轴分别交于点，点在第一象限内且，，，则线段长度为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． (1)若，求的长； (2)判断的形状并说明理由． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，为边的中点，，垂足为，求证：． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·北京·期末）如图，在中，，点D在上，，点E在上，． (1)求的长度； (2) ，给出证明； (3)求证：点E为线段中点． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图①，当为的中点时，求线段与的数量关系； 【特例启发，解答题目】 （2）如图②，当为边上任意一点时，求线段与的数量关系，并说明理由． 23．（本小题满分10分）（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，为等边三角形，点B的横坐标为，过点B作交y轴于点C． (1)如图（1），求线段的长； (2)如图（2），点P为x轴正半轴上一点，点Q在上，连接、，使，设点P的横坐标为，线段的长为n，用含t的式子表示n． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·青海西宁·期末）综合与实践 【阅读】小芳在学习了全等三角形后，她尝试用三种不同的方式摆放一副三角板．在中，，；在中，．          【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠的摆放在一起，的顶点在边上，过点作，过点作，垂足分别为，．若，，则________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，的顶点在边上，顶点在边上，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，的顶点在边上，顶点在边上，若，，连接，则的面积等于________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.8 等腰三角形（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·河北唐山·期末）等腰三角形的一个角是，则其中一个底角的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形性质及三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．等腰三角形有两个相等的底角，给定角不能是底角（否则内角和超过），因此是顶角，由此确定底角度数． 解：∵等腰三角形两底角相等，设底角为， ∵三角形内角和为， ∴若为顶角， 则， ； 若为底角，则另一底角也为， 则顶角为，不成立； ∴必为顶角，底角为 故选：A． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】该题考查了等腰三角形的判定，根据角平分线的定义得出，根据，得出，等量代换得到，则，根据，，结合的周长，即可求解． 解：∵和的平分线分别交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的周长， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，在中，，，交于点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理．掌握等腰三角形“等边对等角”“等角对等边”及“直角三角形角所对直角边是斜边的一半”是解题关键．首先，根据等腰三角形“等边对等角”的性质及，得到，进而得到，接着，根据，得，可证，最后，根据“直角三角形角所对直角边是斜边的一半”可得，进而可求得的长． 解：∵ ，， ∴． ∴． ∵ ， ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴． 故选：C． 5．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，是等腰三角形的底边上的中线，于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，由是等腰三角形的底边上的中线，，所以，，，利用勾股定理求出，再利用等面积法求出，再利用勾股定理即可求出的长，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵是等腰三角形的底边上的中线，， ∴，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 故选：． 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识．根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解． 解：根据题意可得：平分，即， 故选：C． 7．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，在中，，，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质和角平分线的定义等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 根据三角形的内角和定理求出，根据平行线的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出、，推出，最后根据含角的直角三角形的性质求出即可． 解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴． 故选：C． 8．（25-26八年级上·天津·月考）如图，工人在某施工现场作业，有一个长为米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中）的倾斜角为，那么的长是（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．证明为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 解：依题意得 ，，米． ， ． ， 为等边三角形． 米． 故选：A． 9．（25-26八年级上·浙江·月考）在中，，，点D在线段上，连结，点B关于直线的对称点为，射线与的延长线相交于点E，当时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质及等边三角形的判定与性质．连接，利用等腰三角形的性质得出，再由翻折的性质得出垂直平分，推导出是等边三角形，进而证明是等边三角形，再利用三角形内角和定理求得，进而求得的值． 解：如图，连接， ∵，， ∴， 又∵点B关于直线的对称点为点， ∴垂直平分，则，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10．（25-26八年级上·全国·期末）设，A为上一点，D为上一点，，C为上任一点，B是上任一点，那么折线的长最小值是（　　） A．12 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】先分别作A、D关于、的对称点、点，连接、、，，，根据轴对称的性质可得，，，，则，再由勾股定理求出的长，由两点之间线段最短可得的长即为折线的长的最小值． 解：如图，分别作A、D关于、的对称点、点，连接、、，，， 则，，，， ∴， ∴当共线时，有最小值， 由轴对称的性质得，， ∴， 取的中点，连接， 则， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故折线的长的最小值为12． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路径问题、等边三角形的性质与判定、勾股定理，利用轴对称的性质将折线的长进行转化是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是角平分线，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是三线合一、勾股定理，解题关键是熟练掌握三线合一定理． 由三线合一可得且是中线，再结合勾股定理即可得解． 解：，是角平分线， 且是中线， 即， 中，， ． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度直角三角形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由已知易得为等腰直角三角形，则有；再由含30度直角三角形的性质即可求解． 解：∵， ∴为等腰直角三角形，且； 在中，， ∴． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据网格结构，分别以A、B为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有5个． 故答案为：5． 14．（25-26九年级上·福建泉州·月考）如图，在中，，是边上的高，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查含角的直角三角形，解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．由角的直角三角形的性质推出，即可得解． 解：∵，， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴ ∴的长为． 故答案为： ． 15．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，等腰三角形中，，在上取一点，使，过点作交于点，过点作交于点E，交于点．若，则 °． 【答案】62 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角， 先求出，进而求出，再根据等边对等角得，即可得然后根据三角形外角的性质得出答案． 解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 故答案为：62． 16．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，过点A的直线轴，点B在x轴的正半轴上，平分交于点， 则A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理，坐标与图形等，利用数形结合的思想解决问题是关键．令直线与轴的交点为，根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，进而推出，设，则，再利用勾股定理求解即可． 解：如图，令直线与轴的交点为， 直线轴， ， 平分， ， ， ， ， ，， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， A的坐标是， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造出等腰三角形是解题关键．延长交于点，根据等腰三角形的判定和性质易得，然后可求出，进而得到． 解：延长交于点， ∵平分，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，直线与轴、轴分别交于点，点在第一象限内且，，，则线段长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理．以为边作等腰直角三角形，证明，得到，证明为直角三角形，在中，利用勾股定理求解即可． 解：如图，以为边作等腰直角三角形， 则，，，， ∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， 令，则，令，则， 即，，即， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． (1)若，求的长； (2)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)8 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定，30度角直角边等于斜边一半，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）求出，得，求出，； （2）由角平分线定义得，得出，从而可得结论． （1）解：∵，， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵的平分线分别交，于点， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，为边的中点，，垂足为，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定和性质解答． 根据等腰三角形的性质和平行线的判定得出，利用平行线的性质解答即可． 证明：，为边的中点， ， ， ∴， ∴，， ， ， ． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·北京·期末）如图，在中，，点D在上，，点E在上，． (1)求的长度； (2) ，给出证明； (3)求证：点E为线段中点． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据求解，即可解题； （2）根据等腰三角形性质得到，再结合角的和差和等量代换求解，即可解题； （3）过点作，交于点，交于点，证明，结合全等三角形性质推出，利用等腰三角形性质进而得出，再结合全等三角形性质推出，最后求出，即可证明点E为线段中点． （1）解：， ， ， ； （2）解：，证明如下： ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）证明：过点作，交于点，交于点， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点E为线段中点． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形性质和判定，角的和差，全等三角形性质和判定，线段中点的定义，解题的关键在于灵活运用相关知识． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图①，当为的中点时，求线段与的数量关系； 【特例启发，解答题目】 （2）如图②，当为边上任意一点时，求线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）当为的中点时，线段与的数量关系为； （2）当为边上任意一点时，线段与的数量关系为，理由见解析． 【分析】本题考查等边三角形的判定及性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质． （1）利用等边三角形的性质，结合已知，可得，由等腰三角形的性质和判定，可得，等量代换，即可得线段与的数量关系； （2）过点E作，交于点，利用等边三角形的性质证明，即可求解． （1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当为的中点时，线段与的数量关系为． （2）解：． 理由：过点E作，交于点，则，，如图所示： ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当为边上任意一点时，线段与的数量关系为． 23．（本小题满分10分）（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，为等边三角形，点B的横坐标为，过点B作交y轴于点C． (1)如图（1），求线段的长； (2)如图（2），点P为x轴正半轴上一点，点Q在上，连接、，使，设点P的横坐标为，线段的长为n，用含t的式子表示n． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （）过点作轴于点，则，然后由等边三角形的性质可得，故有，再根据所对直角边是斜边是斜边的一半即可求解； （）先证明，根据性质可得，再利用线段和差即可求解； （1）解：如图，过点作轴于点， ∵点的横坐标为， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点 的横坐标为， ∴， ∴， ∴. 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·青海西宁·期末）综合与实践 【阅读】小芳在学习了全等三角形后，她尝试用三种不同的方式摆放一副三角板．在中，，；在中，．          【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠的摆放在一起，的顶点在边上，过点作，过点作，垂足分别为，．若，，则________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，的顶点在边上，顶点在边上，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，的顶点在边上，顶点在边上，若，，连接，则的面积等于________． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用及作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）证明得到，，最后根据，即可求解； （2）证明得到，，结合，进一步得出结论； （3）过点作，交延长线于点，证明得到，根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 解：（1），， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； （2），理由如下： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）如图，过点作，交延长线于点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $