专题 1.2 等腰三角形（知识梳理+题型精析+中考真题）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.2 等腰三角形（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】等腰三角形性质 1 ★【题型 1】利用“等边对等角”求值证明 1 ★★【题型 2】利用“等边对等角”求值证明 4 ★【题型 3】利用“三线合一”求值证明 8 ★★【题型 4】利用“三线合一”求值证明 10 【知识点二】等边三角形性质 16 ★【题型 5】利用“等边对等角”求值证明 16 ★★【题型 6】利用“等边对等角”求值证明 19 【知识点三】等腰三角形的判定 24 ★【题型 7】利用“等角对等边”求值证明 25 ★★【题型 8】利用等腰三角形性质与判定求值证明 29 【知识点四】等边三角形的判定 33 ★【题型 9】利用等边三角形的判定求值证明 33 ★★【题型 10】利用等边三角形的性质与判定求值证明 36 【知识点五】含30°的直角三角形 41 ★【题型 11】利用含30度的直角三角形性质定理求值证明 42 二.中考真题 46 （一）单选题（6题） 46 （二）填空题（6题） 51 （三）解答题（4题） 56 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】等腰三角形性质 定理：等腰三角形两底角相等.简述为：等边对等角． ★【题型 1】利用“等边对等角”求值证明 【例题1】（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，从A处观测C处的仰角，现以点D为圆心，长为半径画弧，交于点B． (1)求的度数． (2)从C处观测A，B两处的视角是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形外角的性质求解即可． （1）解：由题意得，， 又∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分两种情况：顶角的度数为和底角的度数为，当底角的度数为时，根据等腰三角形两底角相等，以及三角形内角和定理求解即可． 解：① 当已知的角为顶角时，则顶角的度数是； ② 当已知的角为底角时，则另一个底角也为，顶角的度数为， 综上所述，顶角的度数为或， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，在四边形中，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，三角形内角和性质，等边对等角，先结合，得，，又因为，故，所以，即可计算出的度数，即可作答． 解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 则 即， ∴， ∴． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质．根据等腰三角形的性质可得，，可得证明即可求证． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ★★【题型 2】利用“等边对等角”求值证明 【例题2】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在四边形中，，平分，，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形和等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据角平分线的定义和垂线的定义，利用“”证明全等即可； （2）由全等可得，再利用等边对等角的性质求解即可． （1）证明：平分， ， ， ， 在和中， ； （2）解：， ， ， ， 【变式1】（25-26八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，点在上，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质，并用方程思想结合三角形内角和定理建立等式是解题的关键． 通过设未知数表示各角的度数，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角性质和内角和定理，建立方程求解的大小． 解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点D在边上，连接，点E在边上，和关于对称，若是等腰三角形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质和内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，设．由于是等腰三角形，得到，再根据三角形外角的性质得到，根据对称的性质得到，最后根据三角形内角和定理列式子得到，解方程即可得到答案． 解：设． ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵和关于对称，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·月考）如图，中，，于点E，于点D，，与交于点F，连结． (1)求证：； (2)求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据余角的性质可得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据等边对等角求出，，根据角的和差关系求出，最后根据直角三角形的性质求解即可． （1）证明：，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.简称为：三线合一. ★【题型 3】利用“三线合一”求值证明 【例题3】（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形的面积； （1）由等腰三角形的性质“三线合一”，即可得证； （2）由三角形的面积公式，即可求解． （1）证明：，为中点， ． （2）解：的面积 （）． 【变式1】（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关键．由，是的中点，可得，平分，，即可作出判断． 解：对于选项B与C： ∵，是的中点， ∴，平分． ∴选项B与C正确． 对于选项A： ∵， ∴． ∴选项A正确． 对于选项D： 根据题目已知条件，无法得到． ∴选项D不正确． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，平分交边于点D，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据三线合一定理即可得到答案． 解：∵，平分交边于点D， ∴， 故答案为：5． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，在中，，是的平分线，点在上． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）以及三角形内角和定理，熟练运用等腰三角形的性质是解题关键． （1）利用等腰三角形“三线合一”的性质，得出垂直平分，再结合垂直平分线的性质证明； （2）先根据等腰三角形“等边对等角”求出底角的度数，结合已知角算出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后结合及的条件，得出的度数． （1）证明：，平分， 垂直平分， 又点在上， ； （2）解：，， ， ∵∠EBC=20°， ， 平分， ， ， ，， ． ★★【题型 4】利用“三线合一”求值证明 【例题4】（25-26八年级上·吉林辽源·期末）某节数学课开展“仅用无刻度直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下： (1)图1所示的作图方法的依据是__________________．图2所示的作图方法所依据的等腰三角形的性质为__________________． (2)在图3或图4中任选一个，填写已知条件，并给出完整的证明过程．下面就图______进行证明（请务必写清所证图形序号）． 已知：______＝______，______＝______． 求证：平分． 证明： 【答案】(1)三边分别相等的两个三角形全等（或），等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线和中线互相重合（或三线合一） (2)图3，，，证明见解析；图4，，，证明见解析 【分析】（1）根据图1、2所示的作图方法，得出作图的依据； （2）选择图3，先证明，从而可根据平行线的性质得出，再根据等边对等角得出，从而可得，于是有OP平分；选择图4，先证明，从而可得，再证明，从而可得，于是可证明，从而可得，于是有OP平分成立． （1）解：图1所示的作图方法的依据是三边分别相等的两个三角形全等（或），图2所示的作图方法所依据的等腰三角形的性质为等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线和中线互相重合（或三线合一）， 故答案为：三边分别相等的两个三角形全等（或），等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线和中线互相重合（或三线合一）； （2）解：选择图3 已知，． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 故答案为：图3，，； 选择图4 已知，． 证明：∵，，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴平分． 故答案为：图4，，． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，用证明三角形全等（），全等的性质和（）综合（或者）全等的性质和综合（），三线合一，等边对等角等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直线平行的性质、坐标系的应用．过点作，则轴，D为的中点，根据坐标的性质即可求解． 解：轴，， ， 过点作，则轴， ， ， ， ，即； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形的全等证明、等腰三角形的性质，余角的性质，垂线定义理解，掌握相关知识并正确画出辅助线是解题的关键． 作，由，，证，再结合等腰三角形的性质即可求解． 解：如图，作，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，已知在中，，，，为的平分线，是边上一动点（点不与，重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时，求证：； (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)1或7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质与判定定理是解题关键． （1）首先证明，，然后利用“”证明即可； （2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，结合求解即可； （1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，为的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当点在点的左侧时，如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如下图， ∵，，为的平分线， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的长为1或7； 【知识点二】等边三角形性质 定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. ★【题型 5】利用“等边对等角”求值证明 【例题5】（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据补角求出，通过互余求出，再运用内角和定理可求出三个角都为，即为等边三角形； （2）由（1）可得，运用三角形内角和定理可求出的度数． （1）解：证明：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）等边的边长是，那么边上的高为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，构造直角三角形是解题关键． 利用等边三角形的高平分底边的性质，将问题转化为解直角三角形，再通过勾股定理计算出高的长度． 解：∵是等边三角形，边长，是边上的高， ∴， 在中，，， 由勾股定理： ∵， ∴， ∴， 解得，即边上的高为． 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·广东·期末）等边三角形的面积为，则其边长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据等边三角形性质，设等边的边长为，过点作于点，由勾股定理得到，结合面积公式和题意即可求解． 解：如图所示，设等边的边长为，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ∴该等边三角形的边长为4． 故答案为：4． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·月考）如图， 点B、C、D在同一直线上， 和 都是等边三角形，连接、，分别交于点F、G． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质． （1）根据等边三角形得到，继而得到，然后证明，即可得到； （2）由全等三角形得到，而，再由三角形内角和定理即可求解． （1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴． ★★【题型 6】利用“等边对等角”求值证明 【例题6】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，，都是等边三角形，点A、B、C在同一直线上，和交于点P． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，M，N分别是，的中点，试判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)等边三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题的关键是通过角的等量代换证明三角形全等，进而推导边或角的关系． （1）利用等边三角形性质得边和角相等，通过角的和差推得，再用证，得结论； （2）由全等得，结合内角和求，再利用外角性质得； （3）由全等及中点得，用证，得且，判定为等边三角形． （1）证明：、都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中 ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． （3）解：是等边三角形，理由为： ， ． ，、分别是、的中点， ， 在和中 ， ，， ． 是等边三角形． 【变式1】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，点E在等边的边上，，射线于点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 作点关于直线的对称点，过点作于，交于，则此时，的值最小，利用等边三角形的性质求出角的度数，利用含角的直角三角形的性质求出边的长度，最后利用线段的和差进行求解即可． 解：如图所示，作点关于直线的对称点，过点作于，交于， 则此时，的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，点D，E是等边三角形边，上的动点，且．连接，，交于点F，过点E作于点G，则，的数量关系是 ． 【答案】 【分析】先证明，全等得，根据三角形外角性质得，然后在中，根据即可得出，的数量关系． 解：，的数量关系是：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵于点G， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，三角形的外角性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）已知和都是等边三角形，连接、． (1)求证：； (2)延长与交于点，若，求证：是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定等知识； （1）根据已知条件得出，根据即可证明，可得． （2）如图，过点作交的延长线于点．证明，推出，可得结论． （1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ； （2）证明：如图，过点作交的延长线于点． ， ，， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即为的中点． 【知识点三】等腰三角形的判定 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为:等角对等边 ★【题型 7】利用“等角对等边”求值证明 【例题7】（2025·海南海口·三模）如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接． (1)求证：： (2)若的边长为6，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据是等边三角形，得，结合中线的定义得，即可证明； （2）结合等边三角形的性质得，，因为，得，再由等角对等边得，即可作答． （1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，在△中，平分，平分，与交于点，经过点，分别交，于点，．，已知，，则梯形的周长为（    ） A．39 B．41 C．43 D．45 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形判定、平行线的性质和角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义得出，解答．根据角平分线的定义得出，，进而利用平行线的性质得出，，进而解答即可． 解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 梯形的周长， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解． 解：如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形得到，再由等角对等边即可证明． （1）证明： ， ， 即 在和中， （2）证明：由（1）可知，≌， ， ， 是等腰三角形． ★★【题型 8】利用等腰三角形性质与判定求值证明 【例题8】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在中，为上一点，． (1)求证：． (2)若，且，则与的数量关系是_____． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． （1）先寻找对顶角，得到．结合已知的，，利用判定定理证明． （2）由，，根据等腰三角形三线合一，得到，．结合，判断为等腰直角三角形，得到，．由第（1）问的全等结论，得到，进而推出，从而得到与的数量关系． （1）证明：，，， ； （2）解：， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·北京石景山·期末）如图，在等腰中，．以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在右侧交于点，作直线交于点．若，则的长为（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质与尺规作图，熟练掌握等腰直角三角形的边角关系以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 先根据作图得到以及垂直平分，从而推出，，；再结合等腰直角的性质得到，进而判断为等腰直角三角形，求出的长度；最后设，利用等腰直角三角形的边长关系建立方程，求解得到的长． 解：∵作图可知，，垂直平分， ∴，，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，解得， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·天津南开·月考）如图，中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角，三角形的内角和定理，等腰三角形等边对等角的性质等； 根据等腰三角形等边对等角得到，，，由外角的性质得到，最后根据三角形的内角和定理得到，即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，BC、DE分别是底边．求证：； （2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接． 请直接写出线段、、之间的数量关系______． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出． （2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出， 根据，，，可得，所以，据此判断出即可． 解：（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ． 【知识点四】等边三角形的判定 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. ★【题型 9】利用等边三角形的判定求值证明 【例题9】（25-26八年级上·甘肃定西·期中）如图，用两个含角且大小相同的三角板（和）摆放在一起，两直角顶点重合，点D恰好落在边上．求证： (1)为等边三角形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，平行线的判定，三角板中角度的计算，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据题意可得，，据此可证明结论； （2）根据等边三角形的性质和三角板中角度的特点可证明，据此可证明结论． （1）证明：依题意得，， ∴是等边三角形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，小宣在一张三角形纸片上放置三根互相平行的木棍，其中两根木棍经过三角形的顶点，，测得，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，三角形形状的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 先根据平行线的性质得出，，求出，再根据三角形内角和定理得出，即可得出答案． 解：如图，根据题意可得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴为等边三角形． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期末）已知直角坐标平面内三点和，，那么是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查两点间的距离公式，等边三角形的判定，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 由题意根据两点间的距离公式可得的长度，即可对的形状进行判断． 解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 【变式3】（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键．由等腰三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理并结合，证出，则可得出结论． 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． ★★【题型 10】利用等边三角形的性质与判定求值证明 【例题10】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）已知，是等边三角形，，且． (1)如图1，点E在内部，求证：是等边三角形； (2)如图2，点E在边上，若M为上的一点，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明，可得，，进一步证明即可. （2）证明，可得，，再证明，可得，进一步证明即可. （1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形. （2）证明：由（1）得：，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练证明需要的三角形全等是解本题的关键. 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，，根据题意可得，，根据等边三角形的判定和性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，根据三角形内角和定理即可求解． 解：如图，连接，， 由作图可得，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，是等边三角形，E、D分别为边上的动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一点，连接，．当时，线段的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，根据可证明，得，，再证明是等边三角形，得，再由，，，可得结论． 解：∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：5． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图1，在中，，，以为边在上方作等边，以为边在右侧作等边，连接． (1)当时，求的长． (2)求证： (3)如图2，点与点C关于直线对称，连结．求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)4 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，轴对称的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据勾股定理得出，再由等边三角形的性质即可求解； （2）利用等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质得出，，即可证明； （3）连接，得出，平分，再由等边三角形的判定得出是等边三角形，再利用全等三角形的判定和性质即可求解． （1）解：在中，，， ， 等边， ． （2）证明：，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ； （3）解：连接， 点与点C关于直线对称， ，平分， 等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ∴，， ∵等边， ∴，， ， ， ． 【知识点五】含30°的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. ★【题型 11】利用含30度的直角三角形性质定理求值证明 【例题11】（25-26八年级上·吉林·期末）已知：如图，是等边三角形，分别是边上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）由等边三角形和直角三角形的性质可得，即得，设，则，得，即得，求出的值即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：由（）可知， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，且， ∴， 解得， ∴， ∴的长为． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识点．先根据直角三角形两锐角互余得到，再由外角结合等腰三角形的判定得到，最后由含角的直角三角形的性质即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，点D，E是等边三角形边，上的动点，且．连接，，交于点F，过点E作于点G，则，的数量关系是 ． 【答案】 【分析】先证明，全等得，根据三角形外角性质得，然后在中，根据即可得出，的数量关系． 解：，的数量关系是：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵于点G， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，三角形的外角性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据得，由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到即可求解． （1）证明：为等边三角形， ，， 在与中， ， ， ； （2）解：， 为直角三角形． ， ， ，， ， ． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形的外角性质，得：， ∴． 故选：C． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 4．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 解：如图，和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 6．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． （二）填空题（6题） 7．（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度． 【答案】40 或60 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 根据题意分两种情况，当点D在射线上时，当点D在线段上时，作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求解即可． 解：当点D在射线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在射线上，且在点B之外， ∴，即， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在线段上，且在点B之内， ∴， ∴； 故答案为：40 或60． 10．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ． 【答案】1.2 【分析】本题考查了含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 解：∵E是斜梁的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1.2． 11．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ． 【答案】7或9/9或7 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则，利用勾股定理得出得长度，根据三角形面积公式得出长，设，则，表示出，利用勾股定理计算即可． 解：如图，过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得，即， 解得或9， 即或9， 故答案为：7或9． 12．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则 cm． 【答案】12 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质和平行四边形的性质可得，结合三角形的外角性质可得，进而得到，再利用30度角的直角三角形的性质即可得解． 解：∵为等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12． （三）解答题（4题） 13．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作图即可． （1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：如图，即为所求作． 14．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. （1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 15．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； （1）解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． （2）解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 16．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，，，点在上，过点作交于点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，进而证明得，再证明，然后由平行四边形的判定定理即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，设，则，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理列方程求解即可． （1）证明：，， （等边对等角）． ， ，（两直线平行，同位角相等）． ， （等角对等边）． ， ． 又， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． （2）解：设， ， 在中，， （在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）． （勾股定理）， ，解得，（舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.2 等腰三角形（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】等腰三角形性质 2 ★【题型 1】利用“等边对等角”求值证明 2 ★★【题型 2】利用“等边对等角”求值证明 2 ★【题型 3】利用“三线合一”求值证明 4 ★★【题型 4】利用“三线合一”求值证明 5 【知识点二】等边三角形性质 6 ★【题型 5】利用“等边对等角”求值证明 6 ★★【题型 6】利用“等边对等角”求值证明 7 【知识点三】等腰三角形的判定 8 ★【题型 7】利用“等角对等边”求值证明 8 ★★【题型 8】利用等腰三角形性质与判定求值证明 9 【知识点四】等边三角形的判定 10 ★【题型 9】利用等边三角形的判定求值证明 10 ★★【题型 10】利用等边三角形的性质与判定求值证明 11 【知识点五】含30°的直角三角形 13 ★【题型 11】利用含30度的直角三角形性质定理求值证明 13 二.中考真题 14 （一）单选题（6题） 14 （二）填空题（6题） 16 （三）解答题（4题） 17 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】等腰三角形性质 定理：等腰三角形两底角相等.简述为：等边对等角． ★【题型 1】利用“等边对等角”求值证明 【例题1】（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，从A处观测C处的仰角，现以点D为圆心，长为半径画弧，交于点B． (1)求的度数． (2)从C处观测A，B两处的视角是多少度？ 【变式1】．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，在四边形中，，若，则的度数为 ． 【变式3】（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，，，求证：． ★★【题型 2】利用“等边对等角”求值证明 【例题2】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在四边形中，，平分，，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，点在上，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点D在边上，连接，点E在边上，和关于对称，若是等腰三角形，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·月考）如图，中，，于点E，于点D，，与交于点F，连结． (1)求证：；(2)求的度数. 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.简称为：三线合一. ★【题型 3】利用“三线合一”求值证明 【例题3】（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【变式1】（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，平分交边于点D，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，在中，，是的平分线，点在上． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． ★★【题型 4】利用“三线合一”求值证明 【例题4】（25-26八年级上·吉林辽源·期末）某节数学课开展“仅用无刻度直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下： (1)图1所示的作图方法的依据是__________________．图2所示的作图方法所依据的等腰三角形的性质为__________________． (2)在图3或图4中任选一个，填写已知条件，并给出完整的证明过程．下面就图______进行证明（请务必写清所证图形序号）． 已知：______＝______，______＝______． 求证：平分． 证明： 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，已知在中，，，，为的平分线，是边上一动点（点不与，重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时，求证：； (2)若，，则的长为______． 【知识点二】等边三角形性质 定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. ★【题型 5】利用“等边对等角”求值证明 【例题5】（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形；(2)若，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）等边的边长是，那么边上的高为（　　）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广东·期末）等边三角形的面积为，则其边长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·月考）如图， 点B、C、D在同一直线上， 和 都是等边三角形，连接、，分别交于点F、G． (1)求证：； (2)求的度数． ★★【题型 6】利用“等边对等角”求值证明 【例题6】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，，都是等边三角形，点A、B、C在同一直线上，和交于点P． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，M，N分别是，的中点，试判断的形状，并证明你的结论． 【变式1】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，点E在等边的边上，，射线于点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，点D，E是等边三角形边，上的动点，且．连接，，交于点F，过点E作于点G，则，的数量关系是 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）已知和都是等边三角形，连接、． (1)求证：； (2)延长与交于点，若，求证：是的中点． 【知识点三】等腰三角形的判定 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为:等角对等边 ★【题型 7】利用“等角对等边”求值证明 【例题7】（2025·海南海口·三模）如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接． (1)求证：： (2)若的边长为6，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，在△中，平分，平分，与交于点，经过点，分别交，于点，．，已知，，则梯形的周长为（    ） A．39 B．41 C．43 D．45 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． ★★【题型 8】利用等腰三角形性质与判定求值证明 【例题8】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在中，为上一点，． (1)求证：． (2)若，且，则与的数量关系是_____． 【变式1】（25-26八年级上·北京石景山·期末）如图，在等腰中，．以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在右侧交于点，作直线交于点．若，则的长为（   ）      A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·天津南开·月考）如图，中，，，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，BC、DE分别是底边．求证：； （2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接． 请直接写出线段、、之间的数量关系______． 【知识点四】等边三角形的判定 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. ★【题型 9】利用等边三角形的判定求值证明 【例题9】（25-26八年级上·甘肃定西·期中）如图，用两个含角且大小相同的三角板（和）摆放在一起，两直角顶点重合，点D恰好落在边上．求证： (1)为等边三角形； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，小宣在一张三角形纸片上放置三根互相平行的木棍，其中两根木棍经过三角形的顶点，，测得，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【变式2】（24-25八年级上·上海·期末）已知直角坐标平面内三点和，，那么是 三角形． 【变式3】（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． ★★【题型 10】利用等边三角形的性质与判定求值证明 【例题10】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）已知，是等边三角形，，且． (1)如图1，点E在内部，求证：是等边三角形； (2)如图2，点E在边上，若M为上的一点，且，求证：． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，是等边三角形，E、D分别为边上的动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一点，连接，．当时，线段的长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图1，在中，，，以为边在上方作等边，以为边在右侧作等边，连接． (1)当时，求的长． (2)求证： (3)如图2，点与点C关于直线对称，连结．求的长． 【知识点五】含30°的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. ★【题型 11】利用含30度的直角三角形性质定理求值证明 【例题11】（25-26八年级上·吉林·期末）已知：如图，是等边三角形，分别是边上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，点D，E是等边三角形边，上的动点，且．连接，，交于点F，过点E作于点G，则，的数量关系是 ． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 6．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 （二）填空题（6题） 7．（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度． 10．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ． 11．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ． 12．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则 cm． （三）解答题（4题） 13．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 14．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 15．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 16．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，，，点在上，过点作交于点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $