5.3.1·导数研究函数的单调性【寒假预习讲义】-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【5.3.1·导数研究函数的单调性】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.知识点1：函数单调性的定义 设函数的定义域为，区间，对上任意①，则在上单调递增②，则在上单调递减 核心说明：单调性是区间上的局部性质，研究前需明确定义域，复杂函数优先用导数法判断 易错辨析：①忽略定义域研究单调性（如误在上研究）②混淆单调与严格单调，误将当作递增③用特殊值代替任意值判断单调性④认为单调函数定义域必为 重点记忆：①研究单调性必先求定义域②定义法适用于简单函数，复杂函数用导数法③单调性是区间局部性质 常考结论：①一次函数：递增，递减，为常函数②二次函数：在递减、递增，相反③反比例函数：在、分别递减，分别递增④常函数不单调⑤一次函数单调性由斜率k决定，二次函数由开口方向和对称轴决定 2.知识点2：导数符号与函数单调性的核心关系 设在内可导，导数符号决定单调性①，则在上单调递增②，则在上单调递减③恒成立，则为常函数 补充说明：导数存在是前提，导数符号是区间整体符号，非某点符号 易错辨析：①误将某点导数符号当作区间符号②忽略导数存在前提判断单调性③认为必为递增（恒为0则为常函数）④误判导数符号⑤混淆函数与导数的单调性 重点记忆：①递增、递减（区间可导）②有限点成立，不影响整体单调性③判断导数符号优先因式分解 常考结论：①：，在、递增，递减②：，在递增，递减③函数递增恒成立，递减恒成立④在区间内不变号，则在该区间单调⑤指数函数在上单调递增，对数函数在上单调递增 3.知识点3：利用导数判断函数单调性的步骤 可导函数单调性判断步骤①求的定义域②求并化简③求的根及不存在但有定义的点④用上述点划分定义域为单调区间⑤判断各区间符号，确定单调性⑥规范写出单调区间（不连续区间不用连接） 易错辨析：①省略求定义域②求导或化简错误③遗漏不可导点④用连接不连续单调区间⑤结论写法不规范 重点记忆：①定义域优先，区间划分要全面②不连续单调区间用“和”表述③求导后优先因式分解，便于判符号 常考结论：①解题核心是“定定义域、求导数、判符号、划区间”，步骤规范可直接用于答题，高频题型集中于含对数、分式、多项式的函数单调性判断②含对数函数的单调性判断，定义域必满足真数大于0；含分式函数需注意分母不为0③多项式函数求导后为整式，可通过因式分解快速找导数零点，划分单调区间 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1:函数与导函数的关系】 （25-26高二上·江苏镇江·期末）函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（   ）经典例题1例题      A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据的图像，先判断和，进而得到的单调区间，逐一验证即可求解. 【详解】由图可知：当或时，，所以的单调减区间为， 当或时，，所以的单调增区间为， 故选：B. （25-26高三上·上海普陀·月考）已知定义在区间上的函数是偶函数，其导函数的大致图像如图.若，则不等式的解集为 .经典例题2例题 【答案】 【分析】根据导函数图象可得函数的单调性，结合单调性分段解不等式即得. 【详解】在区间上的函数是偶函数， 由图知在单调递增，单调递减. 不等式， 当时，，则有， 当时，，则有， 所以不等式的解集为. 故答案为： （23-24高二下·湖北黄冈·月考）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 小试牛刀1    【答案】 【分析】利用图象判断的单调性，进而得到的正负，最后求出不等式解集即可. 【详解】由图象得在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，， 若，则当时，或当时，， 当，时，解得， 当，时，解得， 综上可得不等式的解集为. 故答案为： （25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）小试牛刀2    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】A 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. （24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）小试牛刀3    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 【题型2：用导数求不含参数的单调区间】 （25-26高二上·陕西渭南·期末）函数的单调递增区间是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，再求出导函数的值大于0的不等式解集即可. 【详解】函数，求导得， 由，解得或， 所以所求递增区间是. 故选：A （26-27高二上·重庆·期末）函数，则函数的单调递增区间为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，根据，解不等式计算即可求解. 【详解】求导可得， 令，则，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C （25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则函数的单调递增区间为（    ）小试牛刀1 A． B．R C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求，结合导数可求单调增区间. 【详解】令，则，得，即， 则函数定义域为R且，所以函数在R上单调递增. 函数的单调递增区间为R. 故选：B. （25-26高二上·上海普陀·期末）函数的单调递增区间为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用导数求解单调递增区间即可. 【详解】因为，所以， 令，可得， 则的单调递增区间为. 故答案为： （25-26高二上·重庆·期末）函数的单调减区间是 .小试牛刀3 【答案】 【分析】求导，解不等式即可. 【详解】， 解得， 故的单调减区间是. 故答案为： 【题型3：含参数的函数单调性分析】 （2026高三·北京·专题练习）已知函数．讨论的单调区间；经典例题1例题 【答案】答案见解析 【分析】求导，分与讨论即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． （25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，，经典例题2例题 (1)若函数与在处的切线垂直，求a的值． (2)讨论函数的单调性并写出单调区间． 【答案】(1)； (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）分别求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直条件列式求解. （2）由（1）中函数的导数，按分类求出导函数值为正为负的解集即可. 【详解】（1）函数，求导得， 函数，求导得，由函数与在处的切线垂直， 得，即，所以. （2）函数的定义域为，， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （25-26高二上·重庆·期末）已知函数，其中．小试牛刀1 (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先代入求出函数值与导数值，得到切点坐标和切线斜率，再用点斜式写成切线方程； （2）先求导并对导数因式分解，再根据时两个临界点的大小关系分情况讨论，确定函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，， 又由得， 所以切线方程为，即. （2）当时，， 令得或， ①若，即，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减； ②若，即，则当时，恒成立（当且仅当时取等号），单调递增； ③若，即，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上，当时， 的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时， 的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增 区间是和，单调递减区间是. （25-26高二·全国·假期作业）讨论函数 的单调性.小试牛刀2 【答案】答案见解析 【分析】对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系求解即可. 【详解】由题意得， ， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得. 当时，，故，单调递减； 当时，，故，单调递增； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （25-26高二·全国·假期作业）已知函数．若，讨论的单调性；小试牛刀3 【答案】答案见解析 【分析】求导函数，再因式分解得，得到两根，对两根比较大小分三种情况讨论单调性； 【详解】因为，定义域为， 所以， 当时，令，得，． （ⅰ）若，即， 则当或时，， 当时，， 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅱ）若，即时， 则当或时，； 当时，； 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅲ）若，即时，，在上单调递增． 综上所述，当时， 的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． 【题型4：由已知区间的单调性求参数范围】 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】问题转化为在上恒成立，求参数的取值范围. 【详解】因为，所以. 由函数在区间上为增函数，所以在上恒成立. 所以在上恒成立. 所以. 因为，所以，所以. 故答案为： （25-26高二上·上海·期末）若存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .经典例题2例题 【答案】 【分析】问题即在有解，可分离参数转化为最值问题求解. 【详解】函数的定义域为， ，因为存在单调递减区间， 所以在有解，即在有解， 令，则， 因为，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. （25-26高二上·湖南长沙·期末）函数在区间上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】求导，利用函数在区间内的单调性转化为不等式能成立问题，结合基本不等式求解． 【详解】函数定义域为，求导得， 函数在区间上存在单调递增区间， 在区间上有解，即在区间上有解， 即在区间上能成立，故， 又，当且仅当时取等号， ，故实数的取值范围是． 故答案为：． （25-26高二上·浙江温州·期末）若函数在上单调递增，则的最大值是 .小试牛刀2 【答案】/ 【分析】对求导，由函数在上单调递增，得对恒成立，然后分离参数转变为函数最值求解即可. 【详解】因为，所以. 由函数在上单调递增，得对恒成立，即，所以. 设，，则， 易知当时，恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以，即的最大值为. 故答案为：. （25-26高三上·江苏扬州·期末）已知函数在上单调递减，则整数的可能取值为 .（答案不唯一，只需写出满足条件的一个值）小试牛刀3 【答案】（答案不唯一，满足的一个整数即可） 【分析】根据函数在上单调递减，所以对恒成立，再根据一元二次函数的根的分布规律求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以对恒成立， 所以解得， 所以整数的取值集合为. 故答案为：（答案不唯一，满足的一个整数即可）. 【B·能力提升题型】 【题型1：根据单调性解抽象不等式】 （25-26高三上·河北沧州·月考）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，得到函数的图象关于直线对称，再求得，令，求得，结合基本不等式和余弦函数的性质，求得，得到单调递增，结合，得到函数单调性，把不等式转化为，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】由函数， 可得， 即，所以函数的图象关于直线对称， 又由， 令， 则，所以单调递增， 因为，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 由，可得，所以， 整理得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A． （25-26高二上·重庆·期末）已知函数，则不等式的解集为 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】利用导数法和定义法分别判断函数的奇偶性和单调性，然后利用这两个性质解不等式即可. 【详解】函数定义域为，恒成立， 所以是增函数， 又， 所以是奇函数， 由得， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. （2026·陕西榆林·二模）已知函数，则不等式的解集为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求导得出在上单调递增．由奇偶性定义可知为上的奇函数． 解法1：原不等式可化为，因此求解即可. 解法2： 函数的图象关于点（1，-2）对称，原不等式可化为，求解即可； 【详解】设，则， 当且仅当时取等，因此在上单调递增． 可知为上的奇函数． 解法1：因为，所以． 原不等式可化为，即． 由于在上单调递增，因此，解得 ， 故选：B． 解法2： 又因为，所以函数的图象关于点（1，-2）对称， 且在上单调递增，． 原不等式可化为，解得， 故选：B． （25-26高三上·辽宁·月考）已知函数，则不等式的解集为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】先根据函数解析式直接判断函数的单调性，可得再构造函数，利用导数判断的单调性，进而利用单调性求解不等式即可. 【详解】的定义域为，且在内单调递增，则 令，则， 因为在上恒成立， 所以在内单调递增， 又，所以， 所以解集为. 故答案为：. （25-26高三上·江苏徐州·月考）已知函数，且，则实数的取值范围为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】求出函数的对称轴，判断出单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】， 令，则，， 所以， 所以为偶函数， 故的图象关于直线对称，所以， 又， 当时，，即，所以，即， 所以在上单调递增，由对称性可知，在上单调递减. 所以等价于或， 解得，或，又，所以或. 故实数的取值范围为. 故答案为：． 【题型2：构建函数比较大小】 （25-26高一上·湖北·月考）已知则（        ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，利用对数公式整理成，构造函数，利用导数法得到在上是单调递减函数，由，得到，即，从而得到. 【详解】， ， ， 设，则， 设，， ，，在上是单调递增函数， ，，， ， ， ，在上是单调递减函数， ， ， ， . 故选：A. （25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，用导数得出函数的单调性，然后利用函数的单调性比较大小. 【详解】设，，当时，，所以在 上单调递增， 当时，，所以在 上单调递减. 又因为，，， 所以，即. 故选：A （25-26高二上·江苏南京·月考）已知，，，则、、的大小关系为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，，，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即 故选：D. （2026·河北·一模）已知正数x，y，z满足 ，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出并变形得，再构造函数，利用导数确定单调性即可比较大小. 【详解】由，得， 则，令函数， 当时，求导得，函数在上单调递减， 因此，而，则， 所以. 故选：B （25-26高三上·江苏扬州·期中）已知，则它们的大小关系正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导，利用单调性可得到的大小；再构造，求导利用单调性可得到的大小；综合可得答案. 【详解】令，求导得：， 故在上单调递减，所以，故， 又因为，故，故； 令，求导得：， 由得：，所以， 而，故对上恒成立， 故在上单调递增， 故，故，故； 综上： 故选：B 【题型3：单调性解决切线条数问题】 （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 .经典例题1例题 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，根据方程解的个数等价于两个函数图象的交点个数进行求解即可. 【详解】设曲线切点为，即， 由， 所以与曲线相切的直线的方程：， 因为切线过， 所以， 设 ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 显然当，，当，， 且，函数的图象如下图所示： 因此要想过点可作3条与曲线相切的直线， 只需直线与函数的图象有三个不同的交点， 即， 故答案为： 【多选题】（江苏省徐州市2025-2026学年高二第一学期期末抽测数学试题）已知函数.若是的极值点，则（    ）经典例题2例题 A． B．有三个零点 C．直线与曲线相切 D．过点可以作三条直线与曲线相切 【答案】BCD 【分析】选项A，对函数求导得出，令，对求导得出，令解出检验即可；选项B，求函数的极值，根据极值以及函数单调性即可判断；选项C，利用切线方程找出切点即可说明；选项D，先检验所给的点是否为切点，然后设切点，求出切线方程，判断切线方程的解的情况即可得出结论. 【详解】由，则， 令，则， 因为是的极值点，所以， 即，解得， 此时， 令，解得， 当时，，此时函数在单调递增， 当时，，此时函数在单调递减， 所以为函数极小值点，也即是的极小值点，满足题意， 所以，故A选项不正确； 由，则， 所以，令，解得或， 当时，，此时函数在单调递增， 当时，，此时函数在单调递减， 当时，，此时函数在单调递增， 则,， ， 根据零点存在性定理可知： 函数在区间上各有一个零点共三个零点，故B选项正确； 设直线与曲线相切的切点为， 由切线的斜率为，则， 即，此时， 即直线为曲线在点处的切线方程，故C选项正确； 由，故不是曲线的切点， 设曲线的切点为， 由，所以切线的斜率为， 所以切线方程为：， 由切线经过，所以， 整理得：， 设，则， 令，则或， 当时，，此时函数在单调递增， 当时，，此时函数在单调递减， 当时，，此时函数在单调递增， 由，， ，， 根据零点存在性定理可知： 在区间上分别有一个零点， 即方程有三个不同的实根， 也即过点可以作三条直线与曲线相切，故D选项正确； 故选：BCD. （25-26高三上·安徽阜阳·月考）若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切点的坐标为，求出切线方程，将点代入切线方程可将问题转化为方程有三个不同的实数根，令，可将问题转化为有三个零点，结合导数研究其单调性，极值即可求解. 【详解】设切点的坐标为，，所以切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 令，,由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得，故的取值范围为. 故选：A （25-26高三上·北京顺义·月考）已知函数，其中.小试牛刀2 (1)若曲线在处的切线过原点，求的值. (2)当时， ①判断过点的切线条数，直接写出结果； ②判断过点的切线条数并说明理由. 【答案】(1)； (2)①过点的切线分别有1条、0条；②2条，理由见解析. 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程，根据切线过原点，将原点坐标代入求参数值； （2）①②设切点为且，应用导数的几何意义求切线方程，根据点在切线上得到相关方程，再应用导数研究对应函数的零点个数，即可得. 【详解】（1）由题设，则，且， 所以曲线在处的切线为， 由切线过原点，则，可得， 所以； （2）由题设，则，设切点为且， 所以切线方程为，则， ①若切线过点，则，可得，即过点的切线仅有一条； 若切线过点，则，令，则， 所以时，时， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，时， 所以在上无零点，即没有过点的切线； ②切线过点，则，令，则， 所以时，时， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，时， 所以在上有2个零点，即过点的切线有2条. 【多选题】（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知过点的所有直线中，有且仅有两条直线与曲线相切，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设过点的直线与曲线相切于点，利用导数的几何意义求得切线方程，进而可得有两个实数根，令，利用导数分类讨论可判断每个选项的正误. 【详解】设过点的直线与曲线相切于点， 因为，所以切线方程为， 所以，即， 依题意知方程有两个实数根， 令，，则， 当时，，单调递减，最多只有一个零点，不符合题意，故，A正确； 当时，令，则，令，则， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，要使方程有两个实数根， 则，即，B正确； 由，得，C正确； 因为，，所以当a足够大时，不成立，故D错误． 故选：ABC. 【题型4：单调性解决存在公切线问题】 【多选题】（2026·陕西榆林·二模）已知两曲线与存在两条公切线，则实数的取值可能是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】设公切线与两曲线相切于点，进而得切线方程，即得，设，利用导数研究的单调性和极值，进而作出的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】设公切线与两曲线与分别相切于， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即 ， 同理可得曲线在点处的切线方程为， 由题意可得 ，，即， 设，则 ， 令得．当时，； 当时，在（0，e）单调递增，在单调递减，时， 的图象如图所示： 由题意可知函数的图象与直线 有两个交点，因此，解得， 故选：BCD． （2025高三·全国·专题练习）已知函数，，过原点分别作曲线，的切线，且两切线的斜率互为倒数，则实数的取值范围是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求得两条切线方程，然后根据斜率之间的关系可知，然后根据求得，最后可知结果. 【详解】设切线对应切点为，切线方程为， 将代入，解得，，从而． 设与曲线的切点为， ，解得，① 切线方程为， 将代入，得，② 将①代入②，得， 令，则， 在区间上单调递减，在区间上单调递增． 若，由，，则． 而在上单调递减，故； 若，因在区间上单调递增，且， 所以，与题设矛盾，故不可能． 综上，. 故选：B． 【多选题】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先设出两个函数在两点处的切线，利用待定系数法将用表示，再构造函数解决函数最值即可． 【详解】设切线与两曲线与的切点分别为，， 由，得，由，得， 则两切线方程分别为与， 化简得， 又两条切线为同一条，可得，得， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，∴ 所以实数的取值可能是1，，． 故选：ABD. （2025·河北·模拟预测）若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是 .小试牛刀2 【答案】 【分析】由题设公切线分别切，于点，由题可得 ，据此可将问题化简为有两解，据此可得答案. 【详解】设公切线分别切，于点. 则有以下关系式：①，② 由①得：代入②式变形得：，又. 令，原命题化为：有两解. ，令， 则，为上的减函数. 又注意到，则在区间上，，在区间上递增， 结合，，则此时值域为； 在区间上，，在区间上递减， 结合，则此时值域为. 则当时，存在，使. 故的取值范围是. 故答案为：. （24-25高二下·安徽·月考）若存在两条不同的直线与函数及的图象都相切，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由导数的几何意义及导数分析函数的单调性求解． 【详解】设直线与函数及的图象分别相切于点， 因为，，所以切线的斜率， 整理得，代入，得． 设 ，问题转化为在上的图象与直线有两个不同的交点， 因为，当时，单调递增， 当时，单调递减，又， 当时，，且，所以实数的取值范围是． 故选：A. 【题型5：由导函数构造原函数解不等式】 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由构造函数，由其单调性求解不等式. 【详解】因为，即，构造函数，因为， 所以函数是减函数，又由可得，且， 所以原不等式即，解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. （25-26高二上·江苏南京·期末）设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（   ）经典例题2例题 A．． B． C． D． 【答案】D 【分析】设函数，即可得到是偶函数，求导说明的单调性，即可得到的取值情况，从而得到的取值情况. 【详解】设函数，可知的定义域为， 又因为是定义在上的奇函数， 则，所以是偶函数， 又， 因为当时，有恒成立，则， 所以在上单调递减，且，可知， 则在上单调递增，且； 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． 所以不等式的解集为. 故选：D （2026·云南大理·二模）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数根据导数判断单调性，结合单调性求解不等式即可. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 则原不等式等价于，因为，所以， 故 ，所以， 解得，所以不等式 的解集为． 故选：D （2026高三·上海·专题练习）已知是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，由单调性求解即可. 【详解】构造，则， 因为导函数满足对于恒成立， 所以，即函数在上单调递减， 即, , ， 故选：C （2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令并求导，结合题意可得在上单调递减，从而等价于，即，进而得出答案. 【详解】 令，，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以等价于，即， 所以，即不等式的解集为． 故选：A． 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数满足，则的增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，令可求，从而，解不等式即可. 【详解】， 则，解得， 所以. 因为，所以令，得，解得， 所以的增区间为. 故选：D. 2．（24-25高二下·广东揭阳·月考）已知函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导可得函数单调性，根据单调性列式计算即可. 【详解】函数的定义域为， 因为恒成立，所以函数在上单调递增， 若，则， 即的取值范围为. 故选：A 3．（24-25高二下·重庆·期末）若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递减区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：B． 4．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数的定义域为R，且图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性得的解，然后分类讨论可得. 【详解】由已知时，，时，或， 所以 或， 综上不等式的解集为， 故选：D. 5．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先求导根据原函数的单调性确定导函数的正负情况结合二次函数图象的性质确定即可求出的取值范围. 【详解】对函数求导得：， 因为函数在定义域上不是单调函数，所以导函数的函数值既有正值又有负值， 故，即，所以，所以实数不可能是. 故选：C 6．（24-25高二下·湖北孝感·月考）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出定义域，得到，求导，得到函数单调性，极值情况，时，，满足要求，时，需满足在内，从而得到不等式，求出答案. 【详解】函数的定义域为，故需满足，故， ， ，解得，，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故时，函数取得极小值. 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，满足题意； 当时，函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 在内， 即，即，即， 此时，综上. 故选：B. 7．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的奇偶性和时，，排除选项求解. 【详解】因为，且，则是奇函数，排除选项A； 当时，，故排除选项C； 又，，故排除选项D， 故选：B 8．（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性及单调性解不等式. 【详解】的定义域为，关于原点对称， ， 则是偶函数，故的图象关于y轴对称， ， 当时，，从而； 当时，，从而； 当时，，从而； 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 故 ． 故选：C． 9．（25-26高三上·安徽淮北·期中）若函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出导函数，转换成不等式恒成立问题，然后换元，数形结合即可得出答案. 【详解】由题可知恒成立， ，即恒成立， 设，则在恒成立， ，则，解得， 故选：C. 10．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知函数 的定义域为 是的导函数， 且 ，， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数 ， 再应用已知化简得 ，最后应用导数得出单调性求解. 【详解】 令，对求导，得， ，即在上为减函数， ， ， 不等式可化为不等式，即， 由在上为减函数得， 不等式的解集为. 故选: A 二、多选题 11．（24-25高三上·福建三明·月考）已知函数在上是单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】由题意得在上恒成立，由判别式小于等于0求出参数即可. 【详解】因为为二次函数，开口向下，必存在负值， 由题意得在上恒成立， 则，解得. 故选：ABC. 12．（25-26高三上·吉林长春·期中）已知，则下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对数函数的单调性，可判断A的正误；利用作差法，可判断B的正误；根据不等式的性质，可判断C的正误，构造函数，利用导数求得单调性，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：因为在上单调递减，且，则， 所以，故A正确； 选项B：， 因为，所以，则，故B错误； 选项C：因为，所以， 所以，即，故C正确； 选项D：令，则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 当时，，即，所以， 当时，，即，所以，此时不成立，故D错误. 故选：AC 三、填空题 13．（24-25高三上·江苏镇江·月考）若在上是单调递增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求导，利用导函数与单调性的关系，结合二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】由题意可知， 因为恒成立， 所以在上是单调递增函数，即在上恒成立， 因为是一元二次函数，对称轴为， 所以在单调递减，在单调递增， 所以在上恒成立，只需，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为： 14．（25-26高二上·江西·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题得出在上恒成立，即可求解． 【详解】由题知， 因为在上单调递减，即在上恒成立， 所以， 故答案为：． 15．（25-26高三上·内蒙古包头·期中）已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据所给含导数的不等式，构造函数，确定其单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】． 令，则 ， 所以，则在上是减函数． 由，且在上是奇函数，得，则， 又 ， 所以，即不等式的解集为． 故答案为： 16．（25-26高三上·山东济南·期中）设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】令，由题意得为奇函数，并结合导数得的单调性，再由，利用的单调性求解即可. 【详解】 令，即，则为奇函数， 当时，，则在上单调递增， 故在区间上单调递增，则在上单调递增， ∵ ， 即， ∴，解得． 故答案为： . 四、解答题 17．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数在处的切线方程为． (1)求a的值； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为和 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）由（1）可得，在范围内解不等式可得单调区间. 【详解】（1），因在处的切线方程为， 则； （2）由（1），， 因，， ， 则的单调递增区间为，单调递减区间为和. 18．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)的递增区间为、，递减区间为 【分析】（1）求导，根据两直线垂直得到切线斜率，由导数几何意义得到方程，求出； （2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间. 【详解】（1）， 则， 由题意可得， 解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由0得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为、，的递减区间为. 19．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式直线方程求解即可. （2）求出导函数，根据和分类讨论，可求得单调区间. 【详解】（1）当时，． ，即切点为． ，则． 所以切线方程为，即． （2）． ①当时，，所以在单调递增． ②当时，由可得，由可得． 所以在单调递减，在单调递增． 综上所述，当时，在单调递增；当时， 在单调递减，在单调递增． 20．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数值得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再根据，分类，分别讨论导函数正负得出函数的单调性即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，， 则 则，， 所以曲线在处的切线方程为， 即. （2）函数的定义域为， ， ①当时，因为， 所以， 所以函数在上单调递增. ②当时，令， 则 当或时，. 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【5.3.1·导数研究函数的单调性】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.知识点1：函数单调性的定义 设函数的定义域为，区间，对上任意①，则在上单调递增②，则在上单调递减 核心说明：单调性是区间上的局部性质，研究前需明确定义域，复杂函数优先用导数法判断 易错辨析：①忽略定义域研究单调性（如误在上研究）②混淆单调与严格单调，误将当作递增③用特殊值代替任意值判断单调性④认为单调函数定义域必为 重点记忆：①研究单调性必先求定义域②定义法适用于简单函数，复杂函数用导数法③单调性是区间局部性质 常考结论：①一次函数：递增，递减，为常函数②二次函数：在递减、递增，相反③反比例函数：在、分别递减，分别递增④常函数不单调⑤一次函数单调性由斜率k决定，二次函数由开口方向和对称轴决定 2.知识点2：导数符号与函数单调性的核心关系 设在内可导，导数符号决定单调性①，则在上单调递增②，则在上单调递减③恒成立，则为常函数 补充说明：导数存在是前提，导数符号是区间整体符号，非某点符号 易错辨析：①误将某点导数符号当作区间符号②忽略导数存在前提判断单调性③认为必为递增（恒为0则为常函数）④误判导数符号⑤混淆函数与导数的单调性 重点记忆：①递增、递减（区间可导）②有限点成立，不影响整体单调性③判断导数符号优先因式分解 常考结论：①：，在、递增，递减②：，在递增，递减③函数递增恒成立，递减恒成立④在区间内不变号，则在该区间单调⑤指数函数在上单调递增，对数函数在上单调递增 3.知识点3：利用导数判断函数单调性的步骤 可导函数单调性判断步骤①求的定义域②求并化简③求的根及不存在但有定义的点④用上述点划分定义域为单调区间⑤判断各区间符号，确定单调性⑥规范写出单调区间（不连续区间不用连接） 易错辨析：①省略求定义域②求导或化简错误③遗漏不可导点④用连接不连续单调区间⑤结论写法不规范 重点记忆：①定义域优先，区间划分要全面②不连续单调区间用“和”表述③求导后优先因式分解，便于判符号 常考结论：①解题核心是“定定义域、求导数、判符号、划区间”，步骤规范可直接用于答题，高频题型集中于含对数、分式、多项式的函数单调性判断②含对数函数的单调性判断，定义域必满足真数大于0；含分式函数需注意分母不为0③多项式函数求导后为整式，可通过因式分解快速找导数零点，划分单调区间 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1:函数与导函数的关系】 （25-26高二上·江苏镇江·期末）函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（   ）经典例题1例题      A．   B．   C．   D．   （25-26高三上·上海普陀·月考）已知定义在区间上的函数是偶函数，其导函数的大致图像如图.若，则不等式的解集为 .经典例题2例题 （23-24高二下·湖北黄冈·月考）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 小试牛刀1    （25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）小试牛刀2    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 （24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）小试牛刀3    A．   B．   C．   D．   【题型2：用导数求不含参数的单调区间】 （25-26高二上·陕西渭南·期末）函数的单调递增区间是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （26-27高二上·重庆·期末）函数，则函数的单调递增区间为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则函数的单调递增区间为（    ）小试牛刀1 A． B．R C． D． （25-26高二上·上海普陀·期末）函数的单调递增区间为 ．小试牛刀2 （25-26高二上·重庆·期末）函数的单调减区间是 .小试牛刀3 【题型3：含参数的函数单调性分析】 （2026高三·北京·专题练习）已知函数．讨论的单调区间；经典例题1例题 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，，经典例题2例题 (1)若函数与在处的切线垂直，求a的值． (2)讨论函数的单调性并写出单调区间． （25-26高二上·重庆·期末）已知函数，其中．小试牛刀1 (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． （25-26高二·全国·假期作业）讨论函数 的单调性.小试牛刀2 （25-26高二·全国·假期作业）已知函数．若，讨论的单调性；小试牛刀3 【题型4：由已知区间的单调性求参数范围】 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为 ．经典例题1例题 （25-26高二上·上海·期末）若存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .经典例题2例题 （25-26高二上·湖南长沙·期末）函数在区间上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是 ．小试牛刀1 （25-26高二上·浙江温州·期末）若函数在上单调递增，则的最大值是 .小试牛刀2 （25-26高三上·江苏扬州·期末）已知函数在上单调递减，则整数的可能取值为 .（答案不唯一，只需写出满足条件的一个值）小试牛刀3 【B·能力提升题型】 【题型1：根据单调性解抽象不等式】 （25-26高三上·河北沧州·月考）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·重庆·期末）已知函数，则不等式的解集为 ．经典例题2例题 （2026·陕西榆林·二模）已知函数，则不等式的解集为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·辽宁·月考）已知函数，则不等式的解集为 .小试牛刀2 （25-26高三上·江苏徐州·月考）已知函数，且，则实数的取值范围为 ．小试牛刀3 【题型2：构建函数比较大小】 （25-26高一上·湖北·月考）已知则（        ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏南京·月考）已知，，，则、、的大小关系为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·河北·一模）已知正数x，y，z满足 ，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·江苏扬州·期中）已知，则它们的大小关系正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：单调性解决切线条数问题】 （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 .经典例题1例题 【多选题】（江苏省徐州市2025-2026学年高二第一学期期末抽测数学试题）已知函数.若是的极值点，则（    ）经典例题2例题 A． B．有三个零点 C．直线与曲线相切 D．过点可以作三条直线与曲线相切 （25-26高三上·安徽阜阳·月考）若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·北京顺义·月考）已知函数，其中.小试牛刀2 (1)若曲线在处的切线过原点，求的值. (2)当时， ①判断过点的切线条数，直接写出结果； ②判断过点的切线条数并说明理由. 【多选题】（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知过点的所有直线中，有且仅有两条直线与曲线相切，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：单调性解决存在公切线问题】 【多选题】（2026·陕西榆林·二模）已知两曲线与存在两条公切线，则实数的取值可能是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．1 （2025高三·全国·专题练习）已知函数，，过原点分别作曲线，的切线，且两切线的斜率互为倒数，则实数的取值范围是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【多选题】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·河北·模拟预测）若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是 .小试牛刀2 （24-25高二下·安徽·月考）若存在两条不同的直线与函数及的图象都相切，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：由导函数构造原函数解不等式】 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏南京·期末）设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（   ）经典例题2例题 A．． B． C． D． （2026·云南大理·二模）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026高三·上海·专题练习）已知是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数满足，则的增区间为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东揭阳·月考）已知函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·重庆·期末）若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数的定义域为R，且图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（   ） A．0 B． C．1 D． 6．（24-25高二下·湖北孝感·月考）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·安徽淮北·期中）若函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知函数 的定义域为 是的导函数， 且 ，， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高三上·福建三明·月考）已知函数在上是单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D．2 12．（25-26高三上·吉林长春·期中）已知，则下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（24-25高三上·江苏镇江·月考）若在上是单调递增函数，则实数的取值范围为 . 14．（25-26高二上·江西·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 ． 15．（25-26高三上·内蒙古包头·期中）已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为 . 16．（25-26高三上·山东济南·期中）设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 四、解答题 17．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知函数在处的切线方程为． (1)求a的值； (2)当时，求函数的单调区间． 18．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 19．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 20．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 1 学科网（北京）股份有限公司 $