精品解析：四川广元市苍溪县2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

2025-2026学年八年级上学期期末数学试题 （时间120分钟，总分150分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 一个三角形两边的长分别是和，则这个三角形第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 华为Mate70于2024年11月开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9100芯片，该款芯片采用等效7纳米工艺，1纳米米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 7. 若把分式中的，的值都扩大倍，那么分式的值将（ ） A. 缩小 B. 缩小 C. 扩大倍 D. 不变 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 10 B. C. 12 D. 10. 如图，点D是的外角平分线上一点，且满足，过点D作于点E ，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6小题，共24分） 11. 要使分式有意义，则x的取值范围是______． 12. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为________． 13. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围______． 14. 如图，将一只蕴含着轴对称变换的蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，若点、点、点、则点的坐标为______． 15. 教材有这样一段话：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如图) 这样，我们也可以得到 利用上述方法，分解因式：_________． 16. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．若，则_______． 三、解答题（本题共10小题，共96分） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再从，，三个数字中选择一个合适的数代入上式求值． 20. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，的三个顶点A、B、都在格点上． （1）在图1中画出与关于直线成轴对称的； （2）在直线上找一点，使得的周长最小．（不需要计算，在图2上直接标记出点的位置即可） 21. 如图，已知，，相交于点，，． （1）求证：． （2）求证：． 22. 图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 23. 先阅读下列题目的解答过程，然后解答后面的问题． 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： （1）已知关于的多项式有一个因式是，则____________； （2）已知是多项式的一个因式，求的值，并将该多项式分解因式． 24. 湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． （1）该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ （2）该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 25. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观、形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： 【类比】 （1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式： _______； 【应用】 （2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，求的值． 【拓展】 （3）已知：，求的值． 26. 如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期末数学试题 （时间120分钟，总分150分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 2. 一个三角形两边的长分别是和，则这个三角形第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，三角形两边之差小于第三边，三角形两边之和大于第三边．解决本题的关键是根据三角形三边之间的关系得到第三边的取值范围，在取值范围内选一个数即可． 【详解】解：设这个三角形的第三条边的长度为， 三角形两边的长分别是和， ， 整理得：， 这个三角形第三边的长可能是． 故选：C． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 华为Mate70于2024年11月开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9100芯片，该款芯片采用等效7纳米工艺，1纳米米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 故选：D． 5. 如图所示，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键． 【详解】解：A. ，利用定理可以判断，选项符合题意； B. ，不能判断，选项不符合题意； C. ，不能判断，选项不符合题意； D. ，不能判断，选项不符合题意； 故选A． 6. 下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式中代数式的特征是解题的关键． 平方差公式的形式为，即两个二项式中，一项相同，另一项互为相反数，检查各选项变形后是否符合此形式即可． 【详解】选项A：，符合形式，能运用平方差公式，符合题意要求； 选项B：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项C：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项D：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 故选A． 7. 若把分式中的，的值都扩大倍，那么分式的值将（ ） A. 缩小 B. 缩小 C. 扩大倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解答本题的关键是正确运用分式的基本性质． 用、分别代替原分式中的、，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：把分式中的，的值都扩大倍， 则， ， 分式的值将缩小， 故选：B． 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 9. 如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 10 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题． 如图，过点B作于点H，证明的最小值为的长，再利用面积法求出即可． 【详解】解：如图，过点B作于点H． 平分， 关于对称， 作点N关于的对称点，连接， ， 的最小值为的长． 平分， ， ∴， ， ． 故选：． 10. 如图，点D是的外角平分线上一点，且满足，过点D作于点E ，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再证明；然后得到，证明，得，然后求出；根据得到，然后由，即可证明出；根据可得，然后根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：如图所示， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∴，故①不符合题意； ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③不符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴，故④符合题意； 故选B． 二、填空题（本题共6小题，共24分） 11. 要使分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义，可得分母不为零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则分母满足， 解得． 12. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质并能运用求解． 先利用垂直平分线的性质得出，结合，可得，再结合，可求得的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：． 13. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程方程求出分式方程的解为，再根据分式方程的解为非负数以及方程不能有增根列出不等式组求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的分式方程的解为非负数， ∴， ∴且， 故答案为：且． 14. 如图，将一只蕴含着轴对称变换的蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，若点、点、点、则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形性质，点坐标特点等．根据题意可知点关于直线对称，继而再利用的坐标，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵、点， ∴点关于直线对称， ∵点的坐标为， ∴设点的坐标为， ∴，即：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15. 教材有这样一段话：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如图) 这样，我们也可以得到 利用上述方法，分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用十字相乘法求解一元二次方程，判断是否可以利用十字相乘法是解题的关键． 首先观察这个式子的二次项系数，常数项和一次项系数，利用十字相乘法运算得到即可． 【详解】解：∵这个式子的二次项系数，常数项，一次项系数， ∴， 故答案为：． 16. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．若，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键：分别令和，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本题共10小题，共96分） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的乘除及零指数幂以及负指数幂，熟练掌握整式的乘除零指数幂以及负指数幂的运算是解题的关键． （1）先去括号，然后再进行整式的混合运算即可； （2）先算乘方，零指数幂与负整数指数幂，再计算乘法最后计算减法，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，注意要检验，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． （1）通过去分母，把分式方程化成整式方程，求解整式方程，再把解代入最简公分母检验即可； （2）通过去分母，把分式方程化成整式方程，求解整式方程，再把解代入最简公分母检验即可． 【小问1详解】 解：去分母，得． 去括号，得． 解得． 经检验，是分式方程的解． 【小问2详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得， 经检验，是分式方程的解． 19. 先化简，再从，，三个数字中选择一个合适的数代入上式求值． 【答案】，当时，1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，找一个合适的数代入求值． 【详解】解：原式 ， 当x取，1时分式无意义，； 且， 当时，原式． 20. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，的三个顶点A、B、都在格点上． （1）在图1中画出与关于直线成轴对称的； （2）在直线上找一点，使得的周长最小．（不需要计算，在图2上直接标记出点的位置即可） 【答案】（1） 即为所求； （2） 点P即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图； （1）依据轴对称的性质，即可得到与关于直线成轴对称的； （2）点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的周长最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，已知，，相交于点，，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ． （2） 如图，令交于点O， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用说明，进而可得结论； （2）利用全等三角形的性质说明，再利用对顶角相等得，因此得到，进而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 【解析】 【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质．如图，过点A作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案． 【详解】解：如图，过点A作于点，过点作于点， ∵ 在中，， ∴， 同理可得，， 又∵双翼边缘的端点A与之间的距离为， ∴ ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 23. 先阅读下列题目的解答过程，然后解答后面的问题． 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： （1）已知关于的多项式有一个因式是，则____________； （2）已知是多项式的一个因式，求的值，并将该多项式分解因式． 【答案】（1）7 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，待定系数法在因式分解中的应用，读懂阅读材料中的分解方法，是解题的关键． （1）根据多项式乘法将等式右边展开有：，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值； （2）设，将等式右边展开，比较系数，得关于p，a，b的三元一次方程组，解方程组，再进行因式分解即可． 【小问1详解】 由题设知：， 故， 解得． 故答案为：7； 【小问2详解】 解：设， ∵ ， ∴， 解得：， ∴多项式， ∴ ， ∴，该多项式分解因式为：． 24. 湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． （1）该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ （2）该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 【答案】（1）该商店“湘湘”的购进单价为30元 （2）“超超”的售价最低应该定为每件42元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元，根据“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个，列出分式方程，解方程即可； （2）设“超超”的售价应该定为每件m元，根据要使得总利润不低于640元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该商店“湘湘”的购进单价为30元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，“湘湘”的购进单价为30元，则其购进数量为（个）；“超超”的购进单价为（元），则其购进数量为（个）， 设“超超”的售价应该定为每件m元， 由题意得：， 解得：， 答：“超超”的售价最低应该定为每件42元． 25. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观、形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： 【类比】 （1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式： _______； 【应用】 （2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，求的值． 【拓展】 （3）已知：，求的值． 【答案】（1）（2）16；（3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，多项式乘多项式与几何图形的面积，完全平方公式的应用： （1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论； （2）计算多项式乘以多项式，进而求得x、y、z的值，代入所求代数式求解即可； （3）设，，利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：（1）根据图形可得：， 故答案为：； （2）∵， ∴可以用图3中的2张边长为a的正方形，7张边长为a、b的长方形，3张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形， ∴，，， ∴； （3）设，， ∴， 由得：； ∴， ∴． 26. 如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 【答案】（1） 证明：如图1，过点D作， 由题意可得：， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明∶ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）8 【解析】 【分析】（1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由余角的性质可得结论； （3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解∶ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $