精品解析：河北省博野中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题（3+0.5班）

2025一2026学年度第一学期期末调研试卷（3+0.5） 高一数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 1.答题前，请将姓名､班级､考号填写在密封线内指定位置； 2.请用黑色签字笔作答，保持卷面整洁； 3.所有题目均在答题卡上作答，在试卷上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 2. 已知复数 在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 在孟德尔两对相对性状的豌豆杂交实验中，子二代豌豆性状表现型及理论比例为：黄色圆粒：黄色皱粒：绿色圆粒：绿色皱粒．现研究人员计划从大量该代豌豆种子中，随机抽取n粒豌豆作为样本进行研究．若希望样本中黄色皱粒豌豆的理论（期望）数量为30粒，则样本量n应为（ ） A. 160 B. 190 C. 220 D. 250 4. 已知a，b为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，则的一个充分条件是（ ） A. ， B. ， C. ，且 D. ，， 5. 等腰梯形 中，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 洛书古称龟书，传说有神鱼出于洛水，其甲壳上有此图案，由表示1-9的圈点组成，数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，即九宫图，如图，在5个阳数中随机选取3个，则3个数的和为15的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的体积为，且，则正四棱台的高为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角（如图2），主塔AB的高度为h，则 间的距离为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件“两个球颜色相同”，事件“两个球颜色不同”，事件“第二次摸到红球”，事件“两个球都是红球”.下列说法正确的是（ ） A. B. C与D互斥 C. D. 10. 如图，正方形 的边长为2， 为边 的中点，把和 分别沿，折起.使得 ， 两点重合为一点.下列四个命题正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线 所成的角为 C. 二面角的大小为 D. 点到平面的距离为 11. 在 中，，周长为10，面积为，则（ ） A. 为钝角三角形 B. C. D. 边上的高为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设i为虚数单位，复数，则|z－i|的最大值为______． 13. 下面是按从小到大顺序排列的两组数据： 甲：1，3，，10，13，15，19，22，27，30；乙：2，5，7，，20，30. 若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则_____. 14. 图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，，，，且 （1）求； （2）求. 16. 如图，直三棱柱中，，，. （1）证明：平面； （2）求点 到平面的距离. 17. 在中，角 ， ， 的对边分别为，， ，且满足． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求的取值范围． 18. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； （2）求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 19. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面 为矩形，且平面平面 ， ， 分别为 ， 的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025一2026学年度第一学期期末调研试卷（3+0.5） 高一数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 1.答题前，请将姓名､班级､考号填写在密封线内指定位置； 2.请用黑色签字笔作答，保持卷面整洁； 3.所有题目均在答题卡上作答，在试卷上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则判断即可. 【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形 为平行四边形. 故选：A 2. 已知复数 在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到，进而求出和，代入即可求出答案. 【详解】由题意得，则，， 所以. 故选：C. 3. 在孟德尔两对相对性状的豌豆杂交实验中，子二代豌豆性状表现型及理论比例为：黄色圆粒：黄色皱粒：绿色圆粒：绿色皱粒．现研究人员计划从大量该代豌豆种子中，随机抽取n粒豌豆作为样本进行研究．若希望样本中黄色皱粒豌豆的理论（期望）数量为30粒，则样本量n应为（ ） A. 160 B. 190 C. 220 D. 250 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样结合样本数量计算求解. 【详解】根据题意得，黄色皱粒豌豆所占总体比例为，所以样本量． 故选：A． 4. 已知a，b为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，则的一个充分条件是（ ） A. ， B. ， C. ，且 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面位置关系的判定与性质，结合充分条件，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，，则直线与平行、相交或异面，所以A不符合题意； 对于B中，若，，则直线与平行或异面，所以B不符合题意； 对于C中，若，，根据线面平行的性质定理，可得，所以“，且”是“”的充分条件，所以C符合题意； 对于D中，若，，，则直线与平行或异面，所以D不符合题意. 故选：C. 5. 等腰梯形中，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由投影向量的定义求解即可. 【详解】 由，可知，且，过点 作，垂足为 ，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 6. 洛书古称龟书，传说有神鱼出于洛水，其甲壳上有此图案，由表示1-9的圈点组成，数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，即九宫图，如图，在5个阳数中随机选取3个，则3个数的和为15的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到5个阳数中随机选取3个所有基本事件的个数，然后得到所求事件包含基本事件个数，最后根据古典概型概念计算即可. 【详解】5个阳数为1，3，5，7，9，从5个数中随机选取3个数，所有基本事件有： ，，，，， ，，，，，共10个， 事件“3个数的和为15”所包含的基本事件有，，共2个， 因此，所求概率 故选：A 7. 已知正四棱台的体积为，且，则正四棱台的高为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正四棱台的体积公式，结合已知条件求出正四棱台的高.涉及的公式为正四棱台体积公式（其中为体积，为高，为下底面积，为上底面积）. 【详解】已知，，因为正四棱台的底面为正方形，可得下底面积，上底面积.  已知正四棱台体积，将，代入正四棱台体积公式，可得. 解得.  即正四棱台的高为. 故选：A. 8. 斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角（如图2），主塔AB的高度为h，则 间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用三角函数表示出，进而得出 ，再根据同角三角函数的商数关系及两角差的正弦公式化简即可． 【详解】在 中，， 在中，， 所以 ， 故选：A． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件“两个球颜色相同”，事件“两个球颜色不同”，事件“第二次摸到红球”，事件“两个球都是红球”.下列说法正确的是（ ） A. B. C与D互斥 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据事件的概率、互斥事件、事件的包含关系对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】A，由于，所以，A正确. B，事件 与事件 都包括“第 次是红球，第 次是红球”，所以不是互斥事件，B错误. C，由于事件“第二次摸到红球”包含了事件“两个球都是红球”，所以，C正确. D，，，，所以，D正确. 故选：ACD 10. 如图，正方形的边长为2， 为边 的中点，把和分别沿 ，折起.使得 ， 两点重合为一点.下列四个命题正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线 所成的角为 C. 二面角的大小为 D. 点到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】作出图形，根据线面、线线位置关系可判断A,B，找到二面角的平面角，根据长度计算即可知C对错；然后作，根据计算即可. 【详解】如图， 由平面图形，可知，，又,平面 ∴平面，又 平面可得∴A对，B错； 取 的中点 ，连接， ，则，， ∴为二面角的平面角，，，， ∴，C对； 由C选项知 平面，∴平面平面， 为交线， 在平面中作，交 于 ，则平面， 由，求得， ∴点到平面的距离为，D错. 故选：AC 11. 在 中，，周长为10，面积为，则（ ） A. 为钝角三角形 B. C. D. 边上的高为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据面积公式，余弦定理以及周长，可联立求解 的值，进而可判断B,C，由三边关系利用余弦定理可判断A，根据面积公式可判断D. 【详解】 的内角的对边分别为，， ，则①，解得②，再根据余弦定理，得③，由①②③解得，∴C对； ，∴B对； 设 边上的高为，则，得，∴D错； 由得或可知4为最长边，最长边所对的角最大，设为，∴，为锐角，∴此三角形为锐角三角形，A错. 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设i为虚数单位，复数，则|z－i|的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数的性质识别复数的实部和虚部，再利用模长公式结合三角函数的性质计算. 【详解】已知，则， ， 因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即最大值为2. 故答案为：2. 13. 下面是按从小到大顺序排列的两组数据： 甲：1，3，，10，13，15，19，22，27，30；乙：2，5，7，，20，30. 若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据百分位数和中位数定义即可列出式子计算求解. 【详解】因为，甲组数据的第百分位数为第三个数和第四个数的平均数，即, 乙组数据的中位数为，根据题意得，解得：， 故答案为： 14. 图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为________. 【答案】. 【解析】 【分析】 作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上，根据两圆的关系以及与对角面关系，即可求解. 【详解】如图（2），作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上， 过点，分别作AD，BC的垂线，垂足分别为E，F. 设球的半径为r，球的半径为R， 由，，得，， ∴，∴. 故答案为: 【点睛】本题考查球与球以及球与正方体间的关系，作出截面图将空间问题转化为平面问题，属于中档题. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，，，，且 （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量垂直可得，利用平面向量模的计算公式即可求解； （2）先计算，利用平面向量数量积的定义即可求解. 【小问1详解】 解∵∴， ∴，. ∴ 故. 【小问2详解】 解：∵ ∴ 故 16. 如图，直三棱柱中，，，. （1）证明：平面； （2）求点 到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解； （2）利用等体积法求解点 到平面的距离即可. 【小问1详解】 证明：∵为直三棱柱，∴ 又平面，平面， ∴平面 【小问2详解】 解：在 中，，， 则， 的面积为 ∵为直三棱柱，∴平面， ∴，从而 取 的中点 ，连接，则， ∴的面积为， 设点 到平面的距离为， 由于 ∴，解得 故点 到平面的距离为. 17. 在中，角 ， ， 的对边分别为，， ，且满足． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 【详解】（Ⅰ）因为，所以， 由正弦定理得， 因为在中，所以， 所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以， 所以 ， 因为，所以，此时， 则， 所以的取值范围为． 18. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； （2）求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； 【小问1详解】 设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. 【小问2详解】 设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 19. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面 为矩形，且平面平面 ， ， 分别为 ， 的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，平面 ，平面 ， ∴ 在正方形 中，易知 ∴ 而， ∴∴ ∵，∴平面 ∵平面， ∴. （3） 【解析】 【分析】（1）先证明为二面角的平面角，可得底面 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可； （2）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明； （3）由平面可得为直线与平面所成的角，计算其正弦值即可. 【小问1详解】 解：∵是边长为2的正三角形， 为 中点，∴， 又∵平面平面 ，平面平面 ∴平面 又平面 ，∴ ∴为二面角的平面角， ∴ 又，∴∴底面 为正方形. ∴四棱的体积. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，连接， . ∵平面. ∴为直线与平面所成的角 ∵，∴， ∴ 又， ∴ ∴直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $