第20章勾股定理单元综合测试卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第20章勾股定理单元综合测试卷 一、单选题（每题3分.共计30分）》 1.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是() A.3,4,5 B.10,6,8 C.4,5,6 D.12,13,5 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E分别为BC、AC中点，若AE=4, BD=5,则AB的长为() A.9 B.7 C.6 D.8 3.如图，在平面直角坐标系中，己知点A(1,1),B(5,-3),则线段AB的长为() y B A.25 B.42 c.210 D.43 4.如图是一株美丽的勾股树”，若正方形A,B的面积分别是16,10，则正方形C的面积 是() B C A.26 B.√26 C.16 D.4 5.如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC,要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC 能作出() 试卷第1页，共3页 B A.2个 B.4个 C.6个 D.7个 6.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的 门铃A,如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m,门铃就会自动发出 语音“欢迎光临”.如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即CD=1.5m,门铃恰好自 动响起，则BD的长为() 4.5m 4.5m D B ① ② A.2米 B.3米 C.4米 D.5米 7.如图，在ABC中，AB:BC:CA=3:4:5,且ABC周长为36cm.点P从点A开始沿 AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如 果P,Q两点同时出发，那么经过3s,BPQ的面积为() AP→B A.12cm2 B.18cm2 C.24cm2 D.36cm2 8.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，A,B,E均为格点（小正方形的顶点），以 点A为圆心，AB的长为半径画弧，交网格线于点D,则ED的长为() E D 试卷第1页，共3页 A.5 B.3 C.2 D.√3 9.如图，ABC中BO为AC上的中线，AE⊥BC,垂足为E,AB=√5，AC=2, B0=V6,则AE的长为() A.10 B.2√5 c.5 D.25 3 3 3 10.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D、E为BC上两点∠DAE=45°， 点F为ABC外一点，且FB⊥BC,FA⊥AE,则下列结论：①CE=BF;② BD2+CE2=DE2;③CE2+BE2=2EF2;④SAADE=AD·EF，其中正确的是(） 4 B D A.①②③ B.①②③④ C.①③④ D.①②④ 二、填空题（每题3分.共计18分） 11.如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m,梯子的底端B到 墙根O的距离为7m,一不小心梯子顶端A下滑了4米到C,底端B滑动到D,那么BD的 长是 m D /B 7777777777777777777O 12.如图，数轴上点A表示的数为 -2-10 123 试卷第1页，共3页 13.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.图①是由四个全等的直角三角形和一 个小正方形排成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为k=6,较短直角边长为 α=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风 车”，这个风车的外围（实线）周长是」 图① 图② 14.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对 角线AC,BD交于点O.若AD=1,BC=4,则AB2+CD2= B l5.阅读下列内容：设a,b,c是一个三角形的三条边的长，且a最大，我们可以利用a, b,c之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2=b2+c2,则该三角形是直角三角形； ②若a2>b2+c2,则该三角形是钝角三角形；③若a2<b2+c2,则该三角形是锐角三角形.例 如：若一个三角形的三边长分别是4,5,6，则最长边是6,62=36<4+52，故由③可知 该三角形是锐角三角形. (1)若一个三角形的三边长分别是7,8,9，则该三角形是 (2)若一个三角形的三边长分别是5,12，x,且这个三角形是直角三角形，则x的值 为 (3)带一个三角形的三边长a=V+3江，b=-了，c=2y-之，其中a是最长边长， 则该三角形是 三角形. 16.如图所示的是一张直角三角形纸片，∠ACB=90°，AC=8cm,BC=6cm,将斜边AB翻 折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD,则CD的长为」 cm 试卷第1页，共3页 -B 三、解答题（每题9分.共计72分） 17.猜想直角三角形的三边关系： 图中每个小方格子都是边长为1的小正方形. D S2 (I)BC=-,AC=-,AB=-· (2)S=-,S2=-,S=- (3)S,S2,S的关系是：- 18.在ABC中，AC=V5,BC=25,AB=√17，求∠ACB的度数. 19.如图，在ABC中，AB=AC,CD⊥AB,垂足为D.己知BC=I0,CD=8,求AC 的长 D B 20.如图，一根木杆在离地面3m的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端4m处， 试卷第1页，共3页 图1 图2 (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端3m处，求AD的长. 21.葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还 有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线.难道植物也懂得数学吗？阅读以 上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）： (1)如图，若树底面的周长为3dm,从点A绕1圈到点B,葛藤升高4dm,则它绕树盘旋的 最短路程是多少分米？ (2)若树底面的周长为8dm,葛藤绕树1圈的路程是10dm,则绕树1圈升高多少分米？若绕 树10圈到达树顶，则树干的高为多少分米？ 22.放风筝是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关 系.如图，小刚同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离AB为 1.6m,然后测得他与风筝的水平距离AE为15m,最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC的长为25m. B E 1)求风筝的垂直高度CE; (2)如果小刚想风筝沿CE方向下降12m,则他应该往回收线多少m? 试卷第1页，共3页 23.【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=18,点D,E分别在边AB,AC上， 将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合.EC=5,求BC的长； 【深入探究】 (2)如图2.将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C处，BC'交AD于点 E.若AB=4,BC=8,求AE的长 E D E B 图1 图2 24.某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果.下图是该校开垦的一块作为学生劳动实践 基地的四边形荒地ABCD.经测量AB=AD=13m,BC=8m,CD=6m,且BD=10m. (1)试说明：∠BCD=90°. (2)求阴影部分的面积. 试卷第1页，共3页 第20章勾股定理单元综合测试卷 一、单选题(每题3分.共计30分) 1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．3，4，5 B．10，6，8 C．4，5，6 D．12，13，5 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．掌握并熟练应用勾股定理的逆定理是解题的关键． 先求出两较短边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可判断得出结论． 【详解】解：∵ 选项A：，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； 选项B：，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； 选项C：，不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意； 选项D：，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； 故选：C 2．如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据中点，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴； 故选C． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面内两点间的距离公式，熟记公式是解题的关键．根据两点间距离公式代入求解即可． 【详解】解：∵点，， ∴线段， 故选：B． 4．如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“勾股树”中的面积关系是解题的关键． 根据勾股定理的性质，可得直角三角形边长之间的关系，转换为面积之间的关系，即可求出正方形的面积． 【详解】解：假设正方形、、的边长分别为、、， 由勾股定理可得， 由于正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 故正方形C的面积为正方形A，B的面积之和， 即为， 故选A， 5．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 即门铃恰好自动响起，则的长为4米， 故选：C． 7．如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股逆定理，解题的关键是求出的三边长，证明是直角三角形． 设长为，长为，长为．根据的周长为，列出方程求出的值，通过勾股逆定理是直角三角形，经过秒时，求出，，根据三角形面积公式即求出的面积． 【详解】解：设长为，长为，长为． 的周长为，即， ， 解得， ，，， ， 是直角三角形，且． 经过，，， ． 故选：B． 8．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，，，均为格点（小正方形的顶点），以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】首先确定的长度，再利用“以为圆心，为半径画弧”可知，接着结合网格确定的长度，最后在直角三角形中运用勾股定理计算的长度． 【详解】解：如图，连接， 由网格图可知：， ∵以为圆心，为半径画弧， ∴． 在中， ． ∴． 故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理和网格中线段长度的计算，解题关键是根据半径相等确定点的准确位置，再结合勾股定理计算目标线段的长度． 9．如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键． 首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵，中为上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， 故选：D． 10．如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出④，再根据勾股定理即可得出③． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故④正确； ，， ， 故③不正确， 故选：D． 二、填空题(每题3分.共计18分) 11．如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：在直角三角形中， ，， ， ，， ， 在中 ， 故答案为：8． 12．如图，数轴上点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了勾股定理、实数与数轴的关系等知识，由勾股定理得：，，从而有，则得到数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：，， ∴， ∴数轴上点表示的数为， 故答案为：． 13．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．图①是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，这个风车的外围（实线）周长是 ． 【答案】76 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意得出，，，根据勾股定理求出，再求出这个风车的外围（实线）周长即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴这个风车的外围（实线）周长是：． 故答案为：76． 14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 15．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 16．如图所示的是一张直角三角形纸片，，，．将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理，以及翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破口． 根据勾股定理可将斜边的长求出，根据折叠的性质知，，已知的长，可将的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到的长． 【详解】解：在中，． 根据折叠的性质可知，． ， ， 即的长为． 设，则． 在中，根据勾股定理得， ，即， 解得， 即的长为． 故答案为：． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．猜想直角三角形的三边关系： 图中每个小方格子都是边长为1的小正方形． (1) ， ， ． (2) ， ， ． (3)的关系是： ． 【答案】(1)3，4，5 (2)9，16，25 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）观察图形即可得出答案； （2）观察图形即可得出答案； （3）观察三个数的数量关系即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得，， 故答案为：3，4，5； （2）解：由图可知， ，，， 故答案为：9，16，25； （3）解：∵， ∴的关系是， 故答案为：． 18．在中，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 通过计算可得，进而由勾股定理的逆定理得到为直角三角形，据此即可求． 【详解】解：，，， ∴， ， 为直角三角形，且． 19．如图，在中，，，垂足为．已知，，求的长． 【答案】 【分析】先在中用勾股定理求出的长度，再结合等腰三角形的性质，设为未知数，用该未知数表示，最后在中通过勾股定理列方程求解的长． 【详解】解：， ． 在中，． 设，则． 在中，， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查了勾股定理与等腰三角形的性质，掌握结合等腰三角形的边的等量关系，设未知数并利用勾股定理列方程求解边长是解题的关键． 20．如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 【答案】(1)木杆折断之前的高度是 (2)的长是 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出的长； （2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理：，， 答：木杆折断之前的高度是． （2）解：设的长为，则， 在中，根据勾股定理： ，解得：． 的长是． 21．葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）： (1)如图，若树底面的周长为，从点绕1圈到点，葛藤升高，则它绕树盘旋的最短路程是多少分米？ (2)若树底面的周长为，葛藤绕树1圈的路程是，则绕树1圈升高多少分米？若绕树10圈到达树顶，则树干的高为多少分米？ 【答案】(1) (2)   【分析】（1）以树底面的周长为长方形的长，绕树干一圈上升的高度为长方形的宽，将树的侧面展开，则长方形的对角线为最短路径；按照上面的方法画出长方形，使长方形两边长分别为，，再利用勾股定理求出长方形对角线长即为最短路程； （2）先根据勾股定理求出绕树圈的高度，再求出绕树圈的高度，即为树干高． 【详解】（1）解：如图①，将树的一部分沿侧面展开，得到长方形， 则长方形的对角线的长为最短路径． 由题意，得，． 由勾股定理，得． 故葛藤绕树盘旋的最短路程是． （2）解：如图②，同（1）得到长方形，则由题意得，． 由勾股定理，得， 葛藤绕树1圈升高． 若绕树圈到达树顶，则树干的高为． 【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图的运用以及勾股定理的应用，利用圆柱的侧面展开图为长方形，最短路径为长方形的对角线长得出是解题关键． 22．放风筝是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．如图，小刚同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为，然后测得他与风筝的水平距离为，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小刚想风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为 (2)他应该往回收线 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：如下图： 由题意得：，, ，， ， ， 即：风筝的垂直高度为； （2）解：如下图所示，设风筝沿方向下降至点M，连接， ， ， ， 即：他应该往回收线． 23．【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 24．某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．下图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，且． (1)试说明：． (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由勾股定理逆定理，得到是直角三角形即可证明； （2）过作于点，三线合一求出的长，利用等腰三角形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：（1）在中，，，， ，， ， 是直角三角形，． （2）解：如图，过点作于点， ． ， ． 在中，， ， ． ， ， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $