专题 1.5 二次根式的运算（专项练习）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.5 二次根式的运算（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）计算所得的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）下列各数中，大于的数是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海闵行·期中）的倒数是（） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广西玉林·期中）若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 7．（25-26八年级下·全国·周测）陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出．如果运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（22-23八年级下·浙江宁波·月考）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·福建三明·月考）为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）计算 ． 12．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）不等式的解集是 ． 13．（25-26八年级下·全国·周测）若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为 ． 14．（25-26八年级上·江西九江·月考）已知，，则的值为 ． 15．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）若的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 ． 16．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则______． 17．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）若正实数满足，则 ． 18．（23-24九年级下·湖北十堰·自主招生）化简： ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·北京延庆·期末）计算： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·陕西西安·月考）计算： (1)； (2)． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·上海普陀·期末）先化简，再求值：已知，求的值． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的：，， ，，， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：________； (2)若，求的值． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·湖南常德·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号，请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当_____时，有最小值______． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为米．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.5 二次根式的运算（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）计算所得的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘方运算．应用指数运算规则，将平方分配到每个因子进行计算． 解：． 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：化简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式． 先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为2的二次根式即可． 解：A、，被开方数是2，与是同类二次根式，能合并，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C、已是最简，被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； D、，被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）下列各数中，大于的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，实数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法以及实数大小的估算解答本题的关键．对选项A、B、C分别与进行比较，选项D估值与比较即可得出． 解：A中，，故不符合题意； B ，，故不符合题意； C中，，故符合题意； D中，，故不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的乘法，二次根式的加法，二次根式的减法，根据运算法则逐项分析即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 5．（25-26八年级上·上海闵行·期中）的倒数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查倒数的概念，熟练掌握倒数的概念为解题的关键． 求一个数的倒数，即计算其倒数，进行分母有理化，据此计算求解即可． 解：倒数为， 分子、分母同乘得： 则的倒数为． 故选：A． 6．（24-25八年级下·广西玉林·期中）若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键． 由完全平方公式可得，再代入计算即可． 解：当时 ． 故选C． 7．（25-26八年级下·全国·周测）陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出．如果运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，通过计算每种运算的结果并判断其是否为有理数来求解. 分别计算“”、“”、“”、“”四种运算的结果，判断是否为有理数. 解：加法：（无理数），不符合题意； 减法：（有理数），符合题意； 乘法：（有理数），符合题意； 除法：（无理数），不符合题意. ∴ “□”中的运算符号可能是或. 故选：A. 8．（22-23八年级下·浙江宁波·月考）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是无理数的估算，实数和数轴，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 先进行化简，再进行估算即可． 解：∵ 又∵ ∴ ∴ ∴数轴上最接近的是A． 故选：A． 10．（25-26八年级上·福建三明·月考）为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式分别求得正方形和正方形的边长，进而得出长方形的长和宽，最终可求得总面积． 解：根据题意可知，正方形的边长为， 正方形的边长为， ∴长方形的长为，宽为， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握二次根式的乘除法运算法则是解题关键． 先计算二次根式的乘法和化简，再进行有理数的除法运算即可求解． 解： ． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题通过解一元一次不等式考查二次根式的乘法公式，核心是利用平方差公式进行分母有理化． 解：原不等式为，即， ∵， ∴． 故不等式的解集为． 故答案为：． 13．（25-26八年级下·全国·周测）若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，解题的关键是熟悉三角形的面积公式． 利用三角形面积公式，将已知面积和边长代入，求解高. 解：设这条边上的高为 ，根据三角形面积公式 ，代入已知值得 ． 两边同乘以得 ， 再两边同除以得 ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·江西九江·月考）已知，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题关键．由，，得，则可将所求式子变形为，再将 和 代入求值即可． 解：设 ， 因为，， 所以，， 则， 代入 ，， 得， 故答案为 ． 15．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）若的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式混合运算，先估算的值，确定整数部分和小数部分，再代入表达式利用平方差公式计算即可． 解：∵， ∴的整数部分，小数部分， 则，， ∴． 故答案为：6． 16．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则______． 【答案】15 【分析】本题考查分母有理化、代数式求值，先将分母有理化，得到，然后由得 ，整理得．利用此关系式将高次幂降次，代入多项式计算即可． 解：， 所以，两边平方，得， 则，即， ∴， ∴， ， ∴： ， 故答案为：15． 17．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）若正实数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算，灵活应用完全平方公式是解题的关键．结合已知利用完全平方公式进行变形求得，进而得到的值，然后再次利用完全平方公式进行变形，求得，即可得解． 解：，， ， ， 为正实数， ， ． 故答案为：． 18．（23-24九年级下·湖北十堰·自主招生）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的运算，通过有理化分母，将每个分式化为相邻平方根的差，然后利用裂项相消求和即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解： ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·北京延庆·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先根据二次根式的性质，立方根和绝对值的性质化简，再计算即可； （2）先根据平方差公式，二次根式的性质化简，再计算即可． （1）解： （2）解： 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·陕西西安·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了零次幂，绝对值，二次根式的性质，二次根式的加减运算，完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）先化简二次根式，零次幂，绝对值，再进行加减运算即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再进行加减运算即可． （1）解： ； （2）解： ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·上海普陀·期末）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键，根据分式的性质化简，代入计算即可． 解：， ∴， ， 把代入，原式． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】回顾旧知，类比求解：，5，5；学会转化，解决问题：（1）；（2） 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． 回顾旧知，类比求解：根据题意可直接进行求解； 学会转化，解决问题： （1）先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； （2）先移项，然后两边同时平方得到新的一个方程，进而问题可求解． 回顾旧知，类比求解： 解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． 学会转化，解决问题： 解：（1） ， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2） 解得：， 经检验，是原方程的解． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的：，， ，，， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键. （1）根据分母有理化的方法可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题． （1）解：， 故答案为：． （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·湖南常德·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号，请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当_____时，有最小值______． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为米．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】(1)， (2)最小值为 (3)需要用的篱笆最少是米 【分析】本题考查了二次根式在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据阅读中的公式计算即可； （2）先化简，运用公式计算即可； （3）设所需的篱笆长为L米，由题意得L＝2x+设所需的篱笆长为米，由题意得，再根据阅读中的公式计算即可． （1）解：当时，， ， ，即时，的最小值为， 故答案为：，； （2）解：， ， ， 即， 的最小值为； （3）解：设所需的篱笆长为米，由题意得， 由题意可知：， 需要用的篱笆最少是米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $