1.5 角平分线（分层题型专练，4夯基题型+5进阶题型+拓展培优）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 1.5 角平分线 （分层题型专练） 题型一 角平分线的性质 1．如图，平分，于点C，于点D，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，即角平分线上的点到两边的距离相等，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，的平分线交于点，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解． 【详解】解： ，即，平分，， ， 故选：B． 3．如图，在中，，平分交于D，若，则D到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到两边的距离相等即可解答． 【详解】解：过D作， ∵平分，， ， ∴， 故答案为3． 4．如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，若，则点P到边的距离是2．这里依据的数学定理是 ． 【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于E，根据角平分线的性质解答． 【详解】解：作于E， ∵点P是平分线上一点，，， ∴， 这里依据的数学定理是角平分线上的点到角两边的距离相等， 故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等． 题型二 角平分线的判定 1．如图，将两个完全相同含角的三角尺与按图示位置摆放，这两个三角尺直角边所在直线交于点，连接并延长，射线就是的角平分线，判断的依据是（　　） A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的判定，涉及“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，掌握角平分线的判定是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，本题判断射线就是的角平分线的依据是“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”， 故选：B． 2．在锐角内一点P，且点P到三边的距离相等，则点P是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．重心 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，掌握到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在角平分线上，可得到三边距离相等的点是三条角平分线的交点． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴点P是三条角平分线的交点， 故选A． 3．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，其理论依据是 ． 【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．过两把直尺的交点作，，根据题意可得，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， 两把完全相同的长方形直尺宽度相同， ， 平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 4．如图，在中，，是边上的动点点与，不重合，和的面积分别表示为和，且，请说出说明是角平分线的依据 ． 【答案】到角两边距离相等的点在角平分线上 【分析】作交于点，作交于点，根据，可得出，然后根据角平分线性质定理的逆定理即可求解． 【详解】解：如图所示，作交于点，作交于点， ∵，， 又∵， ∴， ∵，， ∴是角平分线． ∴依据是：到角两边距离相等的点在角平分线上． 故答案为：到角两边距离相等的点在角平分线上． 【点睛】此题考查了三角形面积，角平分线的性质定理的逆定理，解题的关键是作出辅助线，根据面积和底边相等得出高相等． 题型三 角平分线在实际生活中的应用 1．在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”，由此即可求解． 【详解】解：根据角平分线的性质定理可得，要使物流服务中心到三条公路的距离相等的点为角平分线的交点， 故选：B ． 2．如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，    ∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示． 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 3．如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由 ． 【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等 【分析】根据角平分线性质定理求解即可． 【详解】解：角平分线上的点到角两边的距离相等． 故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【点睛】本题考查角平分线性质，掌握角平分线性质是解题关键． 4．如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    【答案】 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 题型四 角平分线作法与作用 5．如图，请用尺规作图法在的边上找一点P，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，涉及与三角形的高有关的计算，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握作角平分线的步骤． 作出的角平分线与的交点即为点，由角平分线的性质定理可得点到边的距离相等，设为，则，据此即可求解． 【详解】解：如图，点P即为所求； 6．如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作角平分线、以及角平分线的性质.解题的关键在于作出角平分线并利用其性质证明线段相等. （1）先以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； （2）过点作，垂足为，由角平分线的性质定理证明，再由等面积法列方程求解即可. 【详解】（1）解：以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； 如图，即为所求． （2）解：如图，过点作于点． ∵，平分， ∴． ∵， ∴， 解得． 7．如图，已知，，，为上一点，且到两点的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，则点即为所求； （2）先根据线段垂直平分数线性质和等腰三角形的性质得出的度数，再由直角三角形的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点即为所求 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，掌握基本作图是解题的关键． 8．如图，在中， (1)在边上找一点，使得点到边的距离与到边的距离相等的，只规作图，保留作图痕迹，标注有关字母；不用写作法和证明）； (2)在（1）的条件下，若，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)14 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据点到边的距离与到边的距离相等的，故作的角平分线交边于点，即可作答． （2）根据角平分线的性质，以及三角形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求： （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴，， 则的面积． 9．图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与点A重合，D、E分别在边上，沿画射线交于P，则是的平分线，说明理由； (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于Q，若，，则 ． 【答案】(1)理由见解析 (2)1 【分析】要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理， 对于（1），根据“边边边”证明，则此题可解； 对于（2），作，根据角平分线性质定理得，再根据面积相等得，然后代入数值可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）解：过点P作，交于点F， ∵是的平分线，， ∴． ∵， ∴， 解得． 故答案为：1． 题型一 根据角平分线的性质求线段的长 1．如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A 2．如图，在中，，为各内角平分线的交点，过点作的垂线，垂足为．若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，能根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出是解题的关键． 过点O作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得出，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于E，于F，连接， ∵O为各内角平分线的交点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：B 3．如图，在中，，平分，，，则中边上的高的长度为 ． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴点D到角的两边的距离相等， ∵， ∴中边上的高是2． 故答案为：2． 题型二 利用角平分线的性质求角度 1．在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，∵两个完全一样的三角板， ，， 平分（在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）， ， ， ， 故选：D． 2．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得平分，进而得到即可． 【详解】解：∵，， ∴平分， ∴； 故选：D． 3．如图，点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，与角平分线有关的计算，先理解题意，得出是的平分线，结合，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等， ∴是的平分线， ∴， 故选：B． 4．如图，在中，平分， 平分交于点O，，若，，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是三角形内角和定理的应用． 根据三角形内角和定理，可得，从而得到，再由三角形外角的性质求得的度数，再利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 与角平分线有关的证明 1．如图，中，点为的角平分线与外角的角平分线的交点，连接．求证：平分外角． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 作于，于，于，先根据角平分线的性质得到，，利用等量代换得到，然后根据角平分线定理的逆定理可得结论． 【详解】解：如图，作于，于，于， 点为的角平分线与外角的角平分线的交点， ，， ， 平分外角． 2．如图，交于点O，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 3．如图，，P为上一点，，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据三角形全等的判定定理证明，得到，根据角平分线的性质证明结论． 【详解】证明：在和中 ， ， ． 又为上一点，， ． 题型四 角平分线在求面积中的应用 1．如图，是的角平分线，，分别是和的高，，，的面积是30，则的面积是（    ） A．36 B．30 C．24 D．66 【答案】A 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，角平分线的性质定理等知识点，解题关键是掌握角平分线的性质并能熟练运用它来求解． 先根据角平分线的性质，得出，再根据的面积是30，求得，从而可求得的面积． 【详解】解：∵AD是的角平分线，DE，DF分别是和的高， ∴， ∵的面积是30， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积是， 故选：A． 2．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点，若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的尺规作图和角平分线的性质，关键是利用角平分线的性质确定中边上的高． 由尺规作图痕迹可知平分，进而可得点到的距离等于点到的距离，再由面积公式求解即可． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴点到的距离为， ∴点到的距离也等于2， ∵， ∴的面积为； 故选：B． 3．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作， 由题意可知：平分，，， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，在中，是角平分线，，，．设和的面积分别是，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理． 过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求出的值，即可． 【详解】解：如图，过点作于， ，是角平分线， ， ，． ． 故选：A． 5．如图，是的平分线，过上一点D，作，分别交于，若，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，过点作交于点，由角平分线的性质定理得，由三角形的面积即可求解． 【详解】解：过点作交于点， 是的平分线，， ， ， 故答案为． 6．如图，中，和的外角平分线、交于点P，于点E，若的周长为12，，，则 ． 【答案】6 【详解】解：如图，作于F，于G，连结， ∵是的外角平分线，，， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，在中，平分平分，连接，过点D作于点E．若，求的面积． 【答案】2 【分析】本题涉及角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等。通过这个性质求出△ADC中AC边上的高，再利用三角形面积公式求解. 【详解】解：过点D分别作于点于点H，如图: 平分 平分 的面积． 【点睛】利用角平分线的性质，将的长度转化为中边上的高的长度，再结合三角形面积公式求解，解题的关键是掌握角平分线的性质并能灵活运用. 题型五 角平分线在求最小值中的应用 1．如图，在中，，为角平分线，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、点到直线的距离以及动点最值问题．掌握角平分线上点到角两边距离相等的性质，以及“垂线段最短”这一基本原理是解题的关键．首先通过面积公式，解得．再根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等。因此，过点D作于点E，则．根据“直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短”，当P与垂足E重合时，取得最小值，且最小值等于垂线段的长度． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， 如图，过D作于点E， ∵为角平分线， ∴， ∵点到直线的垂线段最短， ∴当P与E重合时有最短，此时， ∴线段的最小值是4． 故选：B． 2．如图，在中，平分交于点D，E是上一动点，若，的面积为5，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据垂线段最短，得的最小值即为到的距离，再结合角平分线上的点到角的两边距离相等，得到的距离到的距离，又因为，的面积为5，故到的距离，即可作答． 【详解】解：∵E是上一动点， ∴的最小值即为到的距离， ∵平分交于点D， ∴到的距离到的距离， ∵，的面积为5， ∴到的距离 ∴到的距离， 即的最小值为2， 故选：B． 1．如图， 在中， ， 是的角平分线， 于点E，连接．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，勾股定理等，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 过点D作于F，根据角平分线的性质定理得，利用三角形面积法计算出，，再利用勾股定理计算出，进而计算出，根据即可求解． 【详解】解：如下图所示，过点D作于F， 平分，，， ， ， ， 即， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 设点E到的距离为h， 则，， ， ， 故选：C． 2．如图，在中，边上的点D到、边的距离相等，连接，，，，点E、F分别是、上的动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查最短路径问题，等腰三角形的性质，三角形的面积，角平分线的判定和性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先根据边上的点D到、边的距离相等，，得出是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质，得出点和点关于对称，，再根据，，三点共线，且时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可求值． 【详解】解： 边上的点D到、边的距离相等， 平分． ， ， 是等腰三角形， 垂直平分， 点和点关于对称，， 故当，，三点共线，且时，取得最小值． 如图所示， 即最小值为点到的距离， 设点到的距离为， 则， ． 故答案为：． 3．如图，在四边形中，已知，平分，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质．作，，垂足分别为，，利用勾股定理求得，设，，利用等积法求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，得到，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作，，垂足分别为，， ∵平分，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， 设，， ∵，即， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）延长，过点C作于点F，根据的面积为14，，求出，得出，根据角平分线的判定，得出结论即可； （2）在上取点G，使，根据勾股定理和垂直平分线性质求出，证明，得出． 【详解】（1）证明：过点C作交延长线于点F，如图所示： ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． （2）解：在上取点G，使，连接， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明 1.5 角平分线 （分层题型专练） 题型一 角平分线的性质 1．如图，平分，于点C，于点D，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，，的平分线交于点，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，平分交于D，若，则D到的距离为 ． 4．如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，若，则点P到边的距离是2．这里依据的数学定理是 ． 题型二 角平分线的判定 1．如图，将两个完全相同含角的三角尺与按图示位置摆放，这两个三角尺直角边所在直线交于点，连接并延长，射线就是的角平分线，判断的依据是（　　） A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 2．在锐角内一点P，且点P到三边的距离相等，则点P是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．重心 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，其理论依据是 ． 4．如图，在中，，是边上的动点点与，不重合，和的面积分别表示为和，且，请说出说明是角平分线的依据 ． 题型三 角平分线在实际生活中的应用 1．在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 2．如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 3．如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由 ． 4．如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    题型四 角平分线作法与作用 5．如图，请用尺规作图法在的边上找一点P，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） 6．如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 7．如图，已知，，，为上一点，且到两点的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，求的度数． 8．如图，在中， (1)在边上找一点，使得点到边的距离与到边的距离相等的，只规作图，保留作图痕迹，标注有关字母；不用写作法和证明）； (2)在（1）的条件下，若，求的面积． 9．图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与点A重合，D、E分别在边上，沿画射线交于P，则是的平分线，说明理由； (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于Q，若，，则 ． 题型一 根据角平分线的性质求线段的长 1．如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 2．如图，在中，，为各内角平分线的交点，过点作的垂线，垂足为．若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，，平分，，，则中边上的高的长度为 ． 题型二 利用角平分线的性质求角度 1．在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，平分， 平分交于点O，，若，，则 ． 题型三 与角平分线有关的证明 1．如图，中，点为的角平分线与外角的角平分线的交点，连接．求证：平分外角． 2．如图，交于点O，．求证：． 3．如图，，P为上一点，，垂足分别为E、F．求证：． 题型四 角平分线在求面积中的应用 1．如图，是的角平分线，，分别是和的高，，，的面积是30，则的面积是（    ） A．36 B．30 C．24 D．66 2．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点，若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（　　）． A． B． C． D． 4．如图，在中，是角平分线，，，．设和的面积分别是，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的平分线，过上一点D，作，分别交于，若，则的面积为 ． 6．如图，中，和的外角平分线、交于点P，于点E，若的周长为12，，，则 ． 7．如图，在中，平分平分，连接，过点D作于点E．若，求的面积． 题型五 角平分线在求最小值中的应用 1．如图，在中，，为角平分线，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，平分交于点D，E是上一动点，若，的面积为5，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 1．如图， 在中， ， 是的角平分线， 于点E，连接．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，边上的点D到、边的距离相等，连接，，，，点E、F分别是、上的动点，连接、，则的最小值为 ． 3．如图，在四边形中，已知，平分，．若，，则的长为 ． 4．如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $