1.4 角平分线 培优专练 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

1.4 角平分线 培优专练 考试范围：1.4 角平分线；考试时间：45分钟；总分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共5小题，满分25分，每小题5分） 1．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　　） A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3 2．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝AD＝6，DF⊥AC于F，DF＝4，则AB的长为（　　） A．8 B．10 C． D． 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法： 甲：BD＝DE； 乙：∠CDE＝∠CAB； 丙：AB+EC＝AC． 下列判断正确的是（　　） A．只有甲对 B．只有乙对 C．只有丙对 D．三人说的都对 4．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，已知△ABC的面积为14，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分） 6．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠B＝40°，则∠AOC的度数是　 　． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DC＝5，AD＝6，则点D到AB的距离为　 　． 8．如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为 　 　． 9．如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分线交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，△ABC的周长为21，OD＝4，则△ABC的面积是　 　． 10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P从点C出发，以每秒2cm的速度按C→A的路径运动，设运动时间为t秒．出发2秒时，△ABP的面积为 　 　cm2；当t＝ 　 　时，BP恰好平分∠ABC． 三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分） 11．（10分）如图所示，已知∠ADC+∠ABC＝180°，DC＝BC．求证：点C在∠DAB的角平分线上． 12．（10分）如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证： （1）AM平分∠DAB； （2）DM⊥AM． 13．（10分）将下面的解答过程补充完整： 已知：如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，请说明OE平分∠COB的理由． 解：∵点O在直线AB上， ∴∠AOB＝ 　 　°（依据：　 　） ∵∠DOE＝90°， ∴∠COD+∠　 　＝90°， ∠AOD+∠EOB＝180°﹣∠　 　＝ 　 　°， 又∵OD平分∠AOC， ∴∠　 　＝∠　 　（依据：　 　）， ∴∠COE＝∠BOE． 14．（10分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，DA＝DC，DM⊥BA交BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N． （1）求证：Rt△ADM≌Rt△CDN； （2）若∠ABC＝60°，BD＝6，求四边形ABCD的面积． 15．（10分）（1）如图1，已知，在类似“伞形图”中．AM＝AN，DM＝DN．求证：∠AMD＝∠AND． （2）如图2，在△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D．请你从以下两个条件：①∠AMD＝2∠C；②AC＝AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 参考答案 一．选择题 1．解：根据基本作图可判断图1中AD为∠BAC的平分线，图2中AD为BC边上的中线，图3中AD为∠BAC的平分线． 选：C． 2．解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝4， ∵BD＝AD＝6， ∴AB＝2AE， 在Rt△ADE中，由勾股定理得， ∴， 选：C． 3．解：由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC， ∵∠B＝90°， ∴BD＝DE，甲正确； ∠CDE＝∠CAB，乙正确； 在Rt△ABD和Rt△ABD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL）， ∴AB＝AE， ∴AC＝AE+CE＝AB+CE，丙正确； 选：D． 4．解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE， ∴∠PAB∠CAB，∠PBE∠CBE， ∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB， ∠PBE＝∠PAB+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB；①正确； 过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S， ∴PM＝PN＝PS， ∴PC平分∠BCD， ∵S△PAC：S△PAB＝（AC•PN）：（AB•PM）＝AC：AB；②正确； ∵BE＝BC，BP平分∠CBE ∴BP垂直平分CE（三线合一），③正确； ∵PG∥AD， ∴∠FPC＝∠DCP ∴PC平分∠DCB， ∴∠DCP＝∠PCF， ∴∠PCF＝∠CPF，④正确． 选：D． 5．解：如图所示，延长AP交BC于D， 由角平分线定义可知：∠ABP＝∠DBP， ∴∠APB＝∠DPB＝90°， ∴△ABP≌△DBP（ASA）， ∴AP＝DP， ∴， ∴． 选：C． 二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分） 6．解：连接BO，并延长BO到P， 由条件可知AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE+∠ABC＝180°， ∵∠B＝40°， ∴∠DOE＝140°， ∵AO＝OB＝OC， ∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C， ∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC， ∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2∠ABC＝80°； 答案为：80°． 7．解：如图：过点D作DE⊥AB于E， ∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴根据角平分线的性质定理可得，DE＝DC＝5，即点D到AB的距离为5． 答案为：5． 8．解：如图，过P作PF⊥AC于F，PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，则PF＝3， ∴PG＝PH＝PF＝3， ∴点P到AB的距离为3， 答案为：3． 9．解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OD＝4， 同理OF＝OD＝4， △ABC的面积AB×4AC×4BC×4＝42． 答案为：42． 10．解：∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm， ∴AC8（cm）， 当t＝2时，AP＝8﹣2×2＝4（cm）， ∴△ABP的面积＝×4×6＝12（cm2）， 当BP平分∠ABC时，作PH⊥AB于H， 则PH＝PC＝2t， ∵S△ABC＝S△PBC+S△ABP， ∴AC•BC＝BC•PC+AB•PH，即8×6＝12t+20t， 解得，t＝1.5， 则t＝1.5s时，BP恰好平分∠ABC． 答案为：12，1.5． 三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分） 11．证明：如图，作CE⊥AB，CF⊥AD的延长线，垂足分别为E、F， ∴∠BEC＝∠DFC＝90°， ∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°， ∴∠ABC＝∠CDF， 在△CBE和△CDF中， ， ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴FC＝EC， ∴点C在∠DAB的角平分线上． 12．（1）AM平分∠DAB． 证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E， ∵DM平分∠ADC， ∴∠1＝∠2， ∵MC⊥CD，ME⊥AD， ∴ME＝MC（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵MC＝MB， ∴ME＝MB， ∵MB⊥AB，ME⊥AD， ∴AM平分∠DAB（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． （2）DM⊥AM． 证明：∵∠B＝∠C＝90°， ∴DC⊥CB，AB⊥CB， ∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠CDA+∠DAB＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 又∵∠1∠CDA，∠3∠DAB（角平分线定义） ∴2∠1+2∠3＝180°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠AMD＝90度．即DM⊥AM． 13．解：∵点O在直线AB上， ∴∠AOB＝180°（依据：平角的定义）， ∵∠DOE＝90°， ∴∠COD+∠COE＝90°， ∠AOD+∠EOB＝180°﹣∠DOE＝ 90°， 又∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD（依据：角平分线的定义）， ∴∠COE＝∠BOE， 答案为：180，平角的定义，COE，DOE，90，AOD，COD，角平分线的定义． 14．（1）证明：∵BD平分∠ABC，DM⊥BA，DN⊥BC， ∴DM＝DN， 在Rt△ADM和Rt△CDN中， ， ∴Rt△ADM≌Rt△CDN（HL）； （2）解：∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC， ∴， 在Rt△BDN中，∠DBC＝30°，BD＝6， ∴，， ∴， 在Rt△BDM和Rt△BDN中， ， ∴Rt△BDM≌Rt△BDN（HL）， ∴S△BDM＝S△BDN， 由（1）知：Rt△ADM≌Rt△CDN， ∴S△ADM＝S△CDN， ∴S四边形ABCD＝S四边形BNDA+S△CDN ＝S四边形BNDA+S△ADM ＝S四边形BNDM ＝S△BDM+S△BDN ＝2S△BDN ， ∴四边形ABCD的面积为． 15．（1）证明：在△ADM和△ADN中， ， ∴△ADM≌△ADN（SSS）， ∴∠AMD＝∠AND； （2）解：选择②为条件，①为结论， 如图，在AC取点N，使AN＝AM，连接DN， ∵AD平分∠MAC， ∴∠DAM＝∠DAN， 在△ADM和△ADN中， ， ∴△ADM≌△ADN（SAS）， ∴∠AMD＝∠AND，DM＝DN， ∵AC＝AN+NC，AC＝AM+MD， ∴DM＝CN， ∴DN＝CN， ∴∠C＝∠CDN， ∴∠AMD＝∠AND＝∠CDN+∠C＝2∠C； 选择①为条件，②为结论， 如图，在AC取点N，使AN＝AM，连接DN， 同理得：△ADM≌△ADN（SAS）， ∴DM＝DN，∠AMD＝∠AND， ∵∠AMD＝2∠C， ∴∠AND＝2∠C＝∠CDN+∠C， ∴∠CDN＝∠C， ∴DN＝CN， ∴DM＝CN， ∵AC＝AN+NC， ∴AC＝AM+MD； 第1页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $$