7.2.1-7.2.2·复数的加减运算及其几何意义与复数的乘除运算【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【7.2.1-7.2.2·复数的加减运算及其几何意义与复数的乘除运算】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 模块一：复数的加减运算 1.知识点1：复数加减运算法则 知识点：设两个复数，（其中，为虚数单位，满足），则复数加减运算遵循“实部与实部相加减、虚部与虚部相加减”的核心法则，具体公式为： 运算本质：复数的加减运算可类比实数的加减运算，仅需将实部、虚部分别归类运算，最终整理为“实部+虚部”的标准代数形式（虚部系数为0时需保留，不可省略）. 易错辨析：①运算时混淆实部、虚部，如误算为（实部、虚部对应错误）；②减法运算符号错误，如误算为（忽略虚部符号，应为）；③误认为“复数加减需要合并实部与虚部”（实部、虚部分别运算，不可合并，如，不可写成）；④运算结果未整理为标准代数形式，如漏写虚部系数0，如误写为（正确为）；⑤忽略复数加减的结合律，如误算为（虽结果正确，但步骤遗漏结合律应用，答题不规范）. 重点记忆：①核心口诀：“复数加减看实虚，实部相加减，虚部相加减，符号对应别出差”；②必记法则：（）；③关键提醒：减法运算时，注意括号内虚部的符号，可先去括号再运算（如）；④技巧：运算时可分别标注实部、虚部，再对应加减，避免出错. 常考结论：①高频运算示例（直接套用）： ； ； ； ； ②复数加减运算性质：（交换律），（结合律）；③两个实数相加（虚部为0），结果仍为实数，与实数加法一致；④一个实数与一个虚数相加，结果为非纯虚数（实部不为0）. 2.知识点2：复数加法的几何意义 知识点：结合前文复数与复平面、向量的对应关系，复数加法的几何意义对应“向量加法的平行四边形法则”，核心内容： 设复数对应复平面内向量，复数对应向量，则对应的向量为，即； 几何表示：以、为邻边作平行四边形，其对角线（以原点为起点）对应的复数即为，对应复平面内点. 易错辨析：①混淆向量加法法则，如用“三角形法则”表示复数加法（复数加法几何意义特指平行四边形法则，三角形法则适用于减法）；②错误认为“向量对应”（对应）；③忽略向量起点，如非原点起点的向量直接用于复数加法几何意义（需平移至原点起点，坐标不变）；④误将“平行四边形的边”对应（应为对角线）；⑤混淆“向量”与“点”，误将点等同于向量（两者是对应关系，非同一概念）. 重点记忆：①核心关联：复数加法↔向量平行四边形法则（原点为起点）；②关键对应：复数↔向量↔复平面内点；③技巧：遇到复数加法几何意义问题，先转化为向量，再用平行四边形法则分析，避免混淆. 常考结论：①高频示例：（对应），（对应），则，对应向量，对应点，且四边形为平行四边形；②若对应向量共线，则平行四边形变为一条直线，加法几何意义仍成立（本质为向量共线时的加法）；③复数加法的几何意义可用于判断复平面内点的位置关系、求线段长度等题型. 3.知识点3：复数减法的几何意义 知识点：复数减法的几何意义对应“向量加法的三角形法则”，核心是“差向量”的表示，核心内容： 设复数对应复平面内向量，复数对应向量，则对应的向量为； 几何表示：复平面内，向量（以为起点、为终点）对应的复数即为，其长度等于（两点间距离），且（复平面内两点间距离公式）. 易错辨析：①混淆向量方向，如误将对应（正确对应，方向相反）；②记错距离公式，如误算为（符号错误，应为减号）；③忽略“差向量起点为”，直接用原点为起点的向量表示（需注意向量起点差异，可平移后分析）；④误认为“复数减法几何意义与加法一致”（加法用平行四边形，减法用三角形，本质不同）. 重点记忆：①核心口诀：“复数减法看差向量，起点在减复数，终点在被减复数，长度就是距离值”；②必记公式：（复平面内两点间距离）；③关键提醒：与对应向量方向相反，长度相等（）. 常考结论：①高频示例：（对应），（对应），则，对应，；②（）的几何意义是“复平面内以为圆心、为半径的圆”（高频考点）；③复数减法几何意义是“复数加法几何意义的逆运算”，即，对应向量（是的相反向量）；④两点间距离公式可直接用于的计算，无需转化为复数运算. 模块二：复数的乘除运算 4.知识点4：复数的乘法运算法则 知识点：复数乘法运算类比多项式乘法运算，遵循实数乘法的交换律、结合律和分配律，核心法则： 设两个复数，（其中），则： ； 化简核心：利用，合并实部、虚部，最终整理为标准代数形式： ； 运算性质：①交换律：；②结合律：；③分配律：. 易错辨析：①多项式乘法展开漏项，如误算为（遗漏两项）；②化简错误，如误将化为（正确为）；③合并实部、虚部时符号错误，如展开为，误合并为（正确为）；④乘法运算结果未整理为标准代数形式，如漏写虚部系数；⑤混淆复数乘法与实数乘法，如认为“”（未进一步化简，正确为）. 重点记忆：①核心口诀：“复数乘法多项式，展开之后再化简，i方代为负1，实虚合并标形式”；②必记法则：（）；③关键提醒：展开时遵循多项式乘法法则，不漏项、不看错符号，化简时优先处理，再合并实部、虚部；④技巧：简单复数乘法可直接展开化简，复杂乘法可利用运算性质拆分，降低计算难度. 常考结论：①高频运算示例（直接套用）： ； ； （共轭复数乘积，高频考点）； ，； ②复数乘法结果仍为复数，两个纯虚数相乘结果为实数（如）；③一个复数与它的共轭复数相乘，结果为非负实数（等于该复数模的平方，即）；④复数乘法运算性质与实数完全一致，可直接应用. 5.知识点5：共轭复数 知识点：共轭复数的核心定义：设复数（），则称复数为的共轭复数（读作“z拔”），核心性质： ①共轭复数的几何意义：复平面内，与对应点关于实轴对称； ②核心性质（高频应用）： （实数，等于实部的2倍）； （纯虚数或0，当时为0）； ； ，，（）. 易错辨析：①共轭复数判断错误，如复数的共轭复数误写为（仅虚部变号，实部不变，正确为）；②混淆共轭复数的性质，如误将认为是实数（实际为纯虚数或0）；③应用性质时忽略条件，如未注意；④误认为“所有复数的共轭复数都不相等”（实数的共轭复数是其本身，即时，）. 重点记忆：①核心技巧：共轭复数“实部不变，虚部变号”；②必记性质：（连接复数乘法与模长，高频应用于分母实数化、求模长）；③关键区分：实数的共轭复数是自身，纯虚数的共轭复数是其相反数（如的共轭复数为）. 常考结论：①高频示例：，则，，，；②若，则（因为，且，故）；③共轭复数的性质可用于简化运算，如求复数的实部、虚部，或判断复数是否为实数、纯虚数. 6.知识点6：复数的除法运算法则 知识点：复数除法的核心是“分母实数化”，即将分母转化为实数（利用共轭复数的性质），核心法则： 设两个复数，（其中，），则： 运算步骤：①分子、分母同时乘以分母的共轭复数（）；②分母化简为实数（）；③分子按复数乘法展开，合并实部、虚部；④整理为标准代数形式（实部、虚部分别除以分母）. 易错辨析：①分母实数化时，仅分子乘以共轭复数，分母未乘（导致分母仍为复数，运算无效）；②分子乘法展开漏项、符号错误，如误算为；③分母化简错误，如误算为（正确为）；④最终结果未整理为标准形式，如未将实部、虚部分别除以分母；⑤忽略分母不为0的条件（复数除法中，分母的实部、虚部不能同时为0，即）. 重点记忆：①核心口诀：“复数除法分母实，分子分母同乘共轭，分母化简实数值，分子展开再合并”；②必记步骤：乘共轭→化分母→展分子→合实虚→标形式；③关键提醒：分母化简后一定是正数（），且不为0（因）；④技巧：复杂除法可先标注分母的共轭复数，再分步运算，避免出错. 常考结论：①高频运算示例（直接套用）： ； ； （纯虚数除以复数的运算，重点关注符号）； ②复数除法结果仍为复数，当分子是分母的共轭复数时，结果为实数（如，仅当时为实数）；③若为实数，则与的虚部成比例（可利用共轭复数性质推导）. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：复数的乘法运算】 （25-26高三上·江西景德镇·期末）的虚部为（   ）经典例题1例题 A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】利用复数的乘法运算化简，结合复数虚部定义求解即可. 【详解】由于， 所以的虚部为：. 故选：C （江苏扬州市2025-2026学年度第一学期高二期末调研数学试题）若复数满足，则 .经典例题2例题 【答案】i 【分析】根据复数的除法及乘法运算化简，再应用共轭复数定义计算求解. 【详解】复数满足，则， 所以. 故答案为： （25-26高三上·山西运城·期末）已知复数z满足，则（    ）小试牛刀1 A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】设，得到，代入求解. 【详解】设，则， 所以， 即， 即， 解得，即， 所以， 故选：A （25-26高三上·广东深圳·月考）若复数满足，则 .小试牛刀2 【答案】3 【分析】由求解即可. 【详解】由复数的几何意义得 所以. 故答案为：3 （24-25高一下·北京朝阳·月考）设，若复数是纯虚数，则 .小试牛刀3 【答案】 【分析】根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】复数, 因为复数是纯虚数，所以, 解得：, 当时，满足条件； 故答案为： 【题型2：复数的乘方】 （25-26高三上·江苏·期末）已知复数，则（   ）经典例题1例题 A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出，再利用复数乘方及复数模的意义求得答案. 【详解】依题意，复数， 所以. 故选：C （25-26高三上·湖南湘西·期末）在复平面内，对应的点位于（    ）经典例题2例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数乘方及除法求出复数，再求出对应点的坐标作答. 【详解】，由复数的几何意义可知对应的点位于第四象限. 故选：D. （25-26高三上·湖北武汉·期末）若为虚数单位，则（   ）小试牛刀1 A．2 B．2 C．2 D．0 【答案】D 【分析】根据复数单位的运算性质求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. （25-26高三上·河南焦作·月考）若复数满足，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的性质即可结合模长公式求解. 【详解】由可得，故，则，故， ， 故选：D （25-26高三上·山东菏泽·月考）复数的实部与虚部之和为（   ）小试牛刀3 A．1 B．2 C．3 D．2025 【答案】C 【分析】根据复数的乘方运算，计算出复数的实部和虚部，可得结果. 【详解】易知， 所以， 可知复数的实部为1，虚部为2，因此实部与虚部之和为3. 故选：C 【题型3：复数范围内方程的根】 （25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 .经典例题1例题 【答案】 【分析】令，代入方程，利用复数相等，求出，即可求得. 【详解】由题意，令， 则， 展开并整理得， 所以，解得或， 则或， 当时，；当时，, 所以. 故答案为： （25-26高三上·上海浦东新·期末）已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为 .经典例题2例题 【答案】 【分析】分一元二次方程的判别式大于等于0与小于0，两种情况讨论，利用实系数一元二次方程的虚根成对的性质，计算可求得的最小值. 【详解】若一元二次方程的判别式大于等于0，则方程有两个实数根，即为实数， 由，则，此时， 若一元二次方程的判别式小于0，则为两虚数根， 设、 又因为，所以，所以， 所以 当时，. 综上所述：的最小值为. 故答案为：. （25-26高三上·黑龙江·月考）已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是方程的根，代入方程求解即可. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，所以，解得， 故选：C （2025·上海虹口·一模）已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用实系数方程复数根的性质及根与系数关系得，再由共轭复数的运算性质求结果. 【详解】由实系数一元二次方程复数根的性质知， 故. 故答案为： （25-26高一上·四川绵阳·期中）若 是关于x的实系数方程的一个复数根，则 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】将 代入实系数方程，结合复数运算知识可得答案. 【详解】因 是关于x的实系数方程的一个复数根， 则，则. 故答案为： 【题型4：复数的除法运算】 （2025-2026学年高三上学期二月份数学试卷）若复数，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据复数的四则运算可得，再求其模长. 【详解】由题意得，所以． 故选：C. （河北石家庄市2026届高三学生全过程纵向评价（二）数学试题）已知，则的实部为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算得，再求实部即可得答案. 【详解】 所以的实部为. 故选：A 【多选题】（2025-2026学年上学期期末考试试卷高二数学）是虚数单位，复数，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用复数的除法化简复数，可判断AB选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用共轭复数的定义结合复数的乘法可判断D选项. 【详解】对于AB选项，，A对B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. （2026·重庆九龙坡·一模）复数 满足 ，则 （    ）小试牛刀2 A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据模长的性质，以及模长公式即可求解. 【详解】由可得，故， 故选：C （25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知为纯虚数，则实数的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算和纯虚数的概念求解. 【详解】，又为纯虚数，所以，得， 故选：C. 【题型5：复数的乘法除法综合求参】 （25-26高三上·贵州贵阳·月考）在复平面内，是原点，已知向量，向量对应的复数分别是，，且，则（    ）经典例题1例题 A． B．1 C．或1 D．0 【答案】B 【分析】先写出，的代数形式，根据列方程组求解. 【详解】∵向量，向量对应的复数分别是，， ∴，. 又∵， ∴，解得， 故选： （24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知复数，满足，且的虚部比的虚部大.经典例题2例题 (1)求，； (2)设，在复平面内，将复数逆时针旋转得到复数，求复数. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，，根据题意列出方程组，求解即可； （2）找出复数在复平面内对应的点，再将其绕着原点逆时针旋转得到新的点的坐标，即可求出复数.. 【详解】（1）设，，， 则， 则，得或， 因的虚部比的虚部大，则， 则， （2）， 则复数在复平面内对应的点为， 将点绕着原点逆时针旋转，得， 则将复数逆时针旋转得到复数. （23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程.小试牛刀1 (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件得是方程的另一复数根，再结合韦达定理即可得解. （2）先设，再结合韦达定理和复数模长公式即可求解. 【详解】（1）由题意可知是方程的另一复数根， 所以， 所以. （2）设， 则由题意且， 所以， 所以， 解得. （2024·四川绵阳·模拟预测）虚数满足，则（    ）小试牛刀2 A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】C 【分析】求出，代入计算即可. 【详解】由已知，， 所以，， 所以，解得. 故选：C. （22-23高三上·河南驻马店·期末）已知a，b为实数，复数，若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由已知利用复数相等列出方程组，求出即可得答案. 【详解】因为，所以， 则，即， 从而，即，解得，故 故选：A. 【题型6:与共轭复数有关的计算】 （25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知复数，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由共轭复数的定义求得，再根据复数模的公式求解. 【详解】，， . 故选：A. （2026·四川巴中·一模）已知复数 满足 ，则 （ ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数的除法运算求出，然后根据共轭复数的概念求出结果. 【详解】因为复数 满足 ，所以. 所以. 故选：D. （23-24高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是 .小试牛刀1 【答案】1 【分析】根据条件等式化解复数，再求其共轭复数及其虚部. 【详解】， 所以，所以的共轭复数的虚部是1. 故答案为：1 （2023·安徽滁州·二模）若复数满足，则的虚部为 （    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数，进而得到，从而求解. 【详解】由， 得， 所以，即的虚部为 故选：D． （2024·湖南·二模）关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 B． C．必为实数，必为纯虚数 D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义可判断A正确，时可排除BC，易知当一元二次方程有两实根时正确，若可得方程两根互为共轭复数，即D正确. 【详解】对于选项A，表示复数和的点关于实轴对称，故A错误： 对于选项B和选项C，当时均不成立，故BC错误； 对于选项D，若方程的可得为实数，即，符合题意； 若，则方程的两个复数根为和， 此时两根互为共轭复数，因此D正确. 故选：D 【题型7：复数的综合题型】 【多选题】（22-23高一下·重庆开州·月考）设复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ）经典例题1例题 A．“”的充要条件是“” B．若，则的最大值为3 C．若，，则 D．方程在复数集中有6个解 【答案】ABD 【分析】根据共轭复数的概念及性质，结合充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；根据复数模的几何性质，可判定B正确；根据复数乘方的运算规律，可判定C不正确；设为方程的解，得到，分、两种情况讨论，即可求解. 【详解】对于A中：若，则成立，若，可得，解得， 所以成立，所以A正确； 对于B中：若，则表示以原点为圆心，半径为的圆上的点到点的距离， 因为原点到点的距离为，所以的最大值为，所以B正确； 对于C中：若，， 则 ，所以C不正确； 对于D中：设为方程的解， 代入方程得，即， 若，则，即， 所以或，解得或，即是原方程的解； 若，则，即， 所以，解得或；或，解得或； 即，，，也是原方程的解. 综上可得，原方程有6个解，分别为，，，，，，所以D正确. 故选：ABD. 【多选题】（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知复数，则（    ）经典例题2例题 A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．若复数满足，则的最大值为 【答案】BD 【分析】利用复数的除法运算可判断A，利用复数的几何意义可判断B和D，利用复数模的运算可判断C. 【详解】由，故A错误； 在复平面内对应的点位于第四象限，故B正确； ，故C错误； 复数在复平面内表示在单位圆上的点，表示单位圆上的动点到定点的两点间距离， 所以的最大值为，故D正确. 故选：BD 【多选题】（25-26高一上·江苏南通·期末）已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ）小试牛刀1 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】举例说明AB是错误的；根据复数模的概念，判断C的真假；利用复数乘法的运算法则，判断D的真假. 【详解】对A：设，，则，但复数，不能比较大小，故不成立，所以A错误； 对B：取，，则，，但，所以不成立，所以B错误； 对C：由 ，所以，故C正确； 对D：设，，. . 由，当时，有，代入得： . 结合 ，所以， 所以，所以； 当时， 或. 若，则 ，所以，所以，可得； 若，则，因为，，所以，可得. 综上可知，D正确. 故选：CD 【多选题】（2026·河北沧州·一模）已知为复数，下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 【答案】ABD 【分析】设，，应用复数的相关概念及共轭复数的运算判断A、B；取，判断C，由方程复数根的性质、韦达定理判断D. 【详解】A，设，， ， ， 所以，正确； B，设，则， 由，得，所以，正确； C，若，不妨取，， 此时，但不成立，错误； D，若是方程的两根， 根据韦达定理可知， 则，正确． 故选：ABD 【多选题】（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）已知复数满足，则（    ）小试牛刀3 A．与的实部相等 B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用特殊值法判断A、C，根据共轭复数的性质及模的相关运算判断B、D. 【详解】取，满足，但它们的实部不相等，A错误； 由，，所以，B正确； 取，满足， ，C错误； 设复数，则， ，所以，D正确. 故选：BD 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的运算法则计算出答案. 【详解】因为，所以z= ，所以 故选：C 2．（23-24高三下·四川巴中·月考）已知复数的实部为2，且，则虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的计算公式，结合复数的定义，即可求解. 【详解】由条件可知，，则， 则，则， 所以的虚部为. 故选：B 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的除法求得，则，再判断即可． 【详解】，则， ，在复平面内所对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 4．（2025·广东肇庆·一模）已知方程的两个复数根分别为，，则（   ） A．0 B． C． D．3 【答案】D 【分析】先求出方程的两复数根，然后利用复数模的运算求解即可. 【详解】由得， 可得方程的两个复数根分别为，， 所以. 故选：D 5．（25-26高二上·山东潍坊·月考）（    ） A．1 B．i C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法和乘方运算即可求解. 【详解】. 故选：B 6．（25-26高三上·山西晋城·月考）已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数乘法运算求得，即可求解． 【详解】因为，所以的虚部是． 故选：C． 7．（25-26高三上·甘肃张掖·期末）已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的四则运算和复数的模的公式可得. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：C 8．（25-26高三上·福建福州·月考）设为复数的共轭复数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程求出，逐项判断. 【详解】由方程得， 对于A：显然不对，A错误； 对于B：若，则；若，则；B错误； 对于C：法1，若，，则； 若，，则；C错误； 法2，是实系数二次方程的两根，所以，C错误； 对于D：法1，若，，则； 若，，则；D正确； 法2，是实系数二次方程的两根，所以，D正确； 故选：D． 9．（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知复数，（为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法法则可计算出复数，进而可得出复数的虚部； 【详解】因为 所以的虚部为 故选：D. 二、多选题 10．（22-23高一下·安徽·期中）设是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】设，根据共轭复数的定义，复数相等，复数模的定义，复数除法运算逐项判断即可． 【详解】设，则， 对A，，故A正确； 对B，，故B正确； 对C， 或，故C不正确； 对D，，故D正确； 故选：ABD． 11．（23-24高一下·安徽阜阳·月考），是复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则是纯虚数 B．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于A，设 ，由可得是纯虚数；对于B，由，互为共轭虚数可得，在复平面内对应的点关于实轴对称；对于C、D选项，举出反例即可判断. 【详解】对于A，设 ，则，则，解得且，所以是纯虚数，故A正确； 对于B，设 ，因为，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点，在复平面内对应的点，则，在复平面内对应的点关于实轴对称； 对于C，假设，，则，，，即，故C选项错误； 对于D， 假设，，则，，，即，但不都是实数，不能比较大小，不能得到，故D选项错误； 故选：AB 12．（25-26高三上·安徽·月考）记方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据方程在复数上的根结合韦达定理求解复数根，，，逐项判断即可得结论. 【详解】由方程可得， 该方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中， 所以，，是方程在复数上的两根， 则，故A，B正确； 设，则可得， 所以解得或， 故，两根为， 则，故C正确； ，故D不正确. 故选：ABC. 13．（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知复数，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．是方程的一个复数根 【答案】ABC 【分析】根据复数的乘除运算、共轭复数的概念、复数的几何意义等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故C正确； 对于D，将代入方程的左边，得， 所以不是该方程的根，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题 14．（23-24高一下·天津武清·月考）已知复数满足，则其共轭复数 . 【答案】 【分析】根据复数的运算法则计算. 【详解】进行分母有理化，分子分母同乘， ， 复数的共轭复数为. 故答案为； 15．（2025·辽宁·一模）设复数满足，则 . 【答案】 【分析】利用，计算可求. 【详解】因为对任意复数，都有， 又，所以， 所以，所以. 故答案为：. 16．（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知复数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的乘方运算可得，再由除法运算计算可得结果. 【详解】易知， 所以由可得， 所以. 故答案为：. 17．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知是虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的运算求解即可. 【详解】因为 所以 故答案为： 18．（25-26高三上·天津河西·月考）复数（i是虚数单位），则复数的虚部为 . 【答案】 【分析】根据复数的四则运算求出复数z，再得出共轭复数即得其虚部. 【详解】由， 则，故复数的虚部为. 故答案为：. 四、解答题 19．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 20．（22-23高一下·江苏镇江·月考）（1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）若复数满足：，求复数. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据复数为纯虚数，则实部为0且虚部不为0，解得答案. （2）设，代入计算得到，根据实部和虚部分别相等得到答案. 【详解】（1）复数是纯虚数，则， 解得； （2）设，，， 即，故， 解得或，故或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【7.2.1-7.2.2·复数的加减运算及其几何意义与复数的乘除运算】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 模块一：复数的加减运算 1.知识点1：复数加减运算法则 知识点：设两个复数，（其中，为虚数单位，满足），则复数加减运算遵循“实部与实部相加减、虚部与虚部相加减”的核心法则，具体公式为： 运算本质：复数的加减运算可类比实数的加减运算，仅需将实部、虚部分别归类运算，最终整理为“实部+虚部”的标准代数形式（虚部系数为0时需保留，不可省略）. 易错辨析：①运算时混淆实部、虚部，如误算为（实部、虚部对应错误）；②减法运算符号错误，如误算为（忽略虚部符号，应为）；③误认为“复数加减需要合并实部与虚部”（实部、虚部分别运算，不可合并，如，不可写成）；④运算结果未整理为标准代数形式，如漏写虚部系数0，如误写为（正确为）；⑤忽略复数加减的结合律，如误算为（虽结果正确，但步骤遗漏结合律应用，答题不规范）. 重点记忆：①核心口诀：“复数加减看实虚，实部相加减，虚部相加减，符号对应别出差”；②必记法则：（）；③关键提醒：减法运算时，注意括号内虚部的符号，可先去括号再运算（如）；④技巧：运算时可分别标注实部、虚部，再对应加减，避免出错. 常考结论：①高频运算示例（直接套用）： ； ； ； ； ②复数加减运算性质：（交换律），（结合律）；③两个实数相加（虚部为0），结果仍为实数，与实数加法一致；④一个实数与一个虚数相加，结果为非纯虚数（实部不为0）. 2.知识点2：复数加法的几何意义 知识点：结合前文复数与复平面、向量的对应关系，复数加法的几何意义对应“向量加法的平行四边形法则”，核心内容： 设复数对应复平面内向量，复数对应向量，则对应的向量为，即； 几何表示：以、为邻边作平行四边形，其对角线（以原点为起点）对应的复数即为，对应复平面内点. 易错辨析：①混淆向量加法法则，如用“三角形法则”表示复数加法（复数加法几何意义特指平行四边形法则，三角形法则适用于减法）；②错误认为“向量对应”（对应）；③忽略向量起点，如非原点起点的向量直接用于复数加法几何意义（需平移至原点起点，坐标不变）；④误将“平行四边形的边”对应（应为对角线）；⑤混淆“向量”与“点”，误将点等同于向量（两者是对应关系，非同一概念）. 重点记忆：①核心关联：复数加法↔向量平行四边形法则（原点为起点）；②关键对应：复数↔向量↔复平面内点；③技巧：遇到复数加法几何意义问题，先转化为向量，再用平行四边形法则分析，避免混淆. 常考结论：①高频示例：（对应），（对应），则，对应向量，对应点，且四边形为平行四边形；②若对应向量共线，则平行四边形变为一条直线，加法几何意义仍成立（本质为向量共线时的加法）；③复数加法的几何意义可用于判断复平面内点的位置关系、求线段长度等题型. 3.知识点3：复数减法的几何意义 知识点：复数减法的几何意义对应“向量加法的三角形法则”，核心是“差向量”的表示，核心内容： 设复数对应复平面内向量，复数对应向量，则对应的向量为； 几何表示：复平面内，向量（以为起点、为终点）对应的复数即为，其长度等于（两点间距离），且（复平面内两点间距离公式）. 易错辨析：①混淆向量方向，如误将对应（正确对应，方向相反）；②记错距离公式，如误算为（符号错误，应为减号）；③忽略“差向量起点为”，直接用原点为起点的向量表示（需注意向量起点差异，可平移后分析）；④误认为“复数减法几何意义与加法一致”（加法用平行四边形，减法用三角形，本质不同）. 重点记忆：①核心口诀：“复数减法看差向量，起点在减复数，终点在被减复数，长度就是距离值”；②必记公式：（复平面内两点间距离）；③关键提醒：与对应向量方向相反，长度相等（）. 常考结论：①高频示例：（对应），（对应），则，对应，；②（）的几何意义是“复平面内以为圆心、为半径的圆”（高频考点）；③复数减法几何意义是“复数加法几何意义的逆运算”，即，对应向量（是的相反向量）；④两点间距离公式可直接用于的计算，无需转化为复数运算. 模块二：复数的乘除运算 4.知识点4：复数的乘法运算法则 知识点：复数乘法运算类比多项式乘法运算，遵循实数乘法的交换律、结合律和分配律，核心法则： 设两个复数，（其中），则： ； 化简核心：利用，合并实部、虚部，最终整理为标准代数形式： ； 运算性质：①交换律：；②结合律：；③分配律：. 易错辨析：①多项式乘法展开漏项，如误算为（遗漏两项）；②化简错误，如误将化为（正确为）；③合并实部、虚部时符号错误，如展开为，误合并为（正确为）；④乘法运算结果未整理为标准代数形式，如漏写虚部系数；⑤混淆复数乘法与实数乘法，如认为“”（未进一步化简，正确为）. 重点记忆：①核心口诀：“复数乘法多项式，展开之后再化简，i方代为负1，实虚合并标形式”；②必记法则：（）；③关键提醒：展开时遵循多项式乘法法则，不漏项、不看错符号，化简时优先处理，再合并实部、虚部；④技巧：简单复数乘法可直接展开化简，复杂乘法可利用运算性质拆分，降低计算难度. 常考结论：①高频运算示例（直接套用）： ； ； （共轭复数乘积，高频考点）； ，； ②复数乘法结果仍为复数，两个纯虚数相乘结果为实数（如）；③一个复数与它的共轭复数相乘，结果为非负实数（等于该复数模的平方，即）；④复数乘法运算性质与实数完全一致，可直接应用. 5.知识点5：共轭复数 知识点：共轭复数的核心定义：设复数（），则称复数为的共轭复数（读作“z拔”），核心性质： ①共轭复数的几何意义：复平面内，与对应点关于实轴对称； ②核心性质（高频应用）： （实数，等于实部的2倍）； （纯虚数或0，当时为0）； ； ，，（）. 易错辨析：①共轭复数判断错误，如复数的共轭复数误写为（仅虚部变号，实部不变，正确为）；②混淆共轭复数的性质，如误将认为是实数（实际为纯虚数或0）；③应用性质时忽略条件，如未注意；④误认为“所有复数的共轭复数都不相等”（实数的共轭复数是其本身，即时，）. 重点记忆：①核心技巧：共轭复数“实部不变，虚部变号”；②必记性质：（连接复数乘法与模长，高频应用于分母实数化、求模长）；③关键区分：实数的共轭复数是自身，纯虚数的共轭复数是其相反数（如的共轭复数为）. 常考结论：①高频示例：，则，，，；②若，则（因为，且，故）；③共轭复数的性质可用于简化运算，如求复数的实部、虚部，或判断复数是否为实数、纯虚数. 6.知识点6：复数的除法运算法则 知识点：复数除法的核心是“分母实数化”，即将分母转化为实数（利用共轭复数的性质），核心法则： 设两个复数，（其中，），则： 运算步骤：①分子、分母同时乘以分母的共轭复数（）；②分母化简为实数（）；③分子按复数乘法展开，合并实部、虚部；④整理为标准代数形式（实部、虚部分别除以分母）. 易错辨析：①分母实数化时，仅分子乘以共轭复数，分母未乘（导致分母仍为复数，运算无效）；②分子乘法展开漏项、符号错误，如误算为；③分母化简错误，如误算为（正确为）；④最终结果未整理为标准形式，如未将实部、虚部分别除以分母；⑤忽略分母不为0的条件（复数除法中，分母的实部、虚部不能同时为0，即）. 重点记忆：①核心口诀：“复数除法分母实，分子分母同乘共轭，分母化简实数值，分子展开再合并”；②必记步骤：乘共轭→化分母→展分子→合实虚→标形式；③关键提醒：分母化简后一定是正数（），且不为0（因）；④技巧：复杂除法可先标注分母的共轭复数，再分步运算，避免出错. 常考结论：①高频运算示例（直接套用）： ； ； （纯虚数除以复数的运算，重点关注符号）； ②复数除法结果仍为复数，当分子是分母的共轭复数时，结果为实数（如，仅当时为实数）；③若为实数，则与的虚部成比例（可利用共轭复数性质推导）. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：复数的乘法运算】 （25-26高三上·江西景德镇·期末）的虚部为（   ）经典例题1例题 A． B．0 C．1 D．6 （江苏扬州市2025-2026学年度第一学期高二期末调研数学试题）若复数满足，则 .经典例题2例题 （25-26高三上·山西运城·期末）已知复数z满足，则（    ）小试牛刀1 A．1 B． C． D．2 （25-26高三上·广东深圳·月考）若复数满足，则 .小试牛刀2 （24-25高一下·北京朝阳·月考）设，若复数是纯虚数，则 .小试牛刀3 【题型2：复数的乘方】 （25-26高三上·江苏·期末）已知复数，则（   ）经典例题1例题 A．0 B．1 C． D．2 （25-26高三上·湖南湘西·期末）在复平面内，对应的点位于（    ）经典例题2例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （25-26高三上·湖北武汉·期末）若为虚数单位，则（   ）小试牛刀1 A．2 B．2 C．2 D．0 （25-26高三上·河南焦作·月考）若复数满足，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·山东菏泽·月考）复数的实部与虚部之和为（   ）小试牛刀3 A．1 B．2 C．3 D．2025 【题型3：复数范围内方程的根】 （25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 .经典例题1例题 （25-26高三上·上海浦东新·期末）已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为 .经典例题2例题 （25-26高三上·黑龙江·月考）已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·上海虹口·一模）已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ．小试牛刀2 （25-26高一上·四川绵阳·期中）若 是关于x的实系数方程的一个复数根，则 ．小试牛刀3 【题型4：复数的除法运算】 （2025-2026学年高三上学期二月份数学试卷）若复数，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （河北石家庄市2026届高三学生全过程纵向评价（二）数学试题）已知，则的实部为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【多选题】（2025-2026学年上学期期末考试试卷高二数学）是虚数单位，复数，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·重庆九龙坡·一模）复数 满足 ，则 （    ）小试牛刀2 A． B．5 C． D． （25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知为纯虚数，则实数的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C．1 D．2 【题型5：复数的乘法除法综合求参】 （25-26高三上·贵州贵阳·月考）在复平面内，是原点，已知向量，向量对应的复数分别是，，且，则（    ）经典例题1例题 A． B．1 C．或1 D．0 （24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知复数，满足，且的虚部比的虚部大.经典例题2例题 (1)求，； (2)设，在复平面内，将复数逆时针旋转得到复数，求复数. （23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程.小试牛刀1 (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. （2024·四川绵阳·模拟预测）虚数满足，则（    ）小试牛刀2 A．0 B．1 C．2 D．0或2 （22-23高三上·河南驻马店·期末）已知a，b为实数，复数，若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C．1 D．2 【题型6:与共轭复数有关的计算】 （25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知复数，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．2 （2026·四川巴中·一模）已知复数 满足 ，则 （ ）经典例题2例题 A． B． C． D． （23-24高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是 .小试牛刀1 （2023·安徽滁州·二模）若复数满足，则的虚部为 （    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2024·湖南·二模）关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 B． C．必为实数，必为纯虚数 D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 【题型7：复数的综合题型】 【多选题】（22-23高一下·重庆开州·月考）设复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ）经典例题1例题 A．“”的充要条件是“” B．若，则的最大值为3 C．若，，则 D．方程在复数集中有6个解 【多选题】（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知复数，则（    ）经典例题2例题 A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．若复数满足，则的最大值为 【多选题】（25-26高一上·江苏南通·期末）已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ）小试牛刀1 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【多选题】（2026·河北沧州·一模）已知为复数，下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 【多选题】（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）已知复数满足，则（    ）小试牛刀3 A．与的实部相等 B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·四川巴中·月考）已知复数的实部为2，且，则虚部为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025·广东肇庆·一模）已知方程的两个复数根分别为，，则（   ） A．0 B． C． D．3 5．（25-26高二上·山东潍坊·月考）（    ） A．1 B．i C． D． 6．（25-26高三上·山西晋城·月考）已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·甘肃张掖·期末）已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·福建福州·月考）设为复数的共轭复数，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知复数，（为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（22-23高一下·安徽·期中）设是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（23-24高一下·安徽阜阳·月考），是复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则是纯虚数 B．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 C．若，则 D．若，则 12．（25-26高三上·安徽·月考）记方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知复数，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．是方程的一个复数根 三、填空题 14．（23-24高一下·天津武清·月考）已知复数满足，则其共轭复数 . 15．（2025·辽宁·一模）设复数满足，则 . 16．（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知复数，若，则 ． 17．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知是虚数单位，则 ． 18．（25-26高三上·天津河西·月考）复数（i是虚数单位），则复数的虚部为 . 四、解答题 19．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 20．（22-23高一下·江苏镇江·月考）（1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）若复数满足：，求复数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $