专题27数据的分析题型突破讲义（2）(知识点梳理+常考题型精析+强化题型+寒假预习) 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题27数据的分析题型突破讲义（2） 基础 过关题 1.计算离差平方和 2.计算方差 3.计算四分位数 4.使用计算器计算方差 能力 提升题 5.离差平方和的实际应用 6.利用方差求未知数据 7.绘制箱线图 8.根据要求选择合适的统计量 拓展 拔高题 9.依据方差判断稳定性 10.运用方差做决策 11.利用合适的统计量做决策 一.数据的离散程度 1.离散程度含义：反映一组数据波动大小、分布疏密，和数据的集中趋势互补。 2.极差 公式：极差 = 最大值 − 最小值 作用：最简单的离散程度指标，只看两端数据，易受极端值影响。 3.方差 定义：各数据与平均数差的平方的平均数，衡量数据波动核心指标。 公式：设平均数为，数据x1​,x2​,…,xn​，方差s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 规律：方差越大，数据波动越大、越不稳定；方差越小，数据越稳定、集中。 4.标准差：方差的算术平方根（s=​），单位和原数据一致，更贴合实际应用。 5.会用极差、方差、标准差比较两组数据的稳定性，选择合适指标分析实际问题。 二.数据的四分位数 1.四分位数定义：把从小到大排列的数据四等分的三个数值，记为Q1​（下四分位数）、Q2​（中位数）、Q3​（上四分位数）。 2.计算步骤 (1)数据从小到大排序； (2)找中位数Q2​，把数据分为前半、后半两组； (3)前半组中位数为下四分位数Q1​，后半组中位数为上四分位数Q3​。 3.四分位距：公式四分位距 = Q3−Q1​，反映中间 50% 数据的离散程度，不受极端值影响。 4.会根据四分位数判断数据中间段的集中 / 分散情况，解读四分位数的实际意义。 三.数据的分组 1.分组目的：将大量杂乱数据整理成频数分布表 / 频数分布直方图，直观呈现数据分布规律。 2.分组关键步骤 (1)计算极差，确定数据变动范围； (2)确定组数、组距（组距 = 极差 ÷ 组数，合理取整）； (3)划分组限，注意不重不漏、每组左闭右开； (4)统计每组频数，制作频数分布表。 【题型1.计算离差平方和】 1．有一组数据1，2，3，6，这组数据的离差平方和是（   ） A．20 B．30 C．14 D．16 2．已知一组数据为2，4，x，8，10，且这组数据的中位数为6，则这组数据的离差平方和= ． 3．现有数据：6，9，12，15，18，21．若将其分为2组，根据组内离差平方和最小的原则，下列选项中，最优的分组方法是（   ） A．第一组，第二组 B．第一组，第二组 C．第一组，第二组 D．第一组，第二组 4．已知一组数据7，9，11，13，若将其分为两组，使得每组数据的离差平方和之和最小，则分组方式为 ，此时最小的离差平方和之和为 ． 解答题 5．某校舞蹈队共10名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下：161，162，162，163，166，168，168，168，169，169． (1)上述数据中，中位数为__________，众数为__________． (2)通常组内学生身高越整齐则认为该组舞台呈现效果越好，按照“组内离差平方和最小”的方法，将学生按身高分为两组．嘉嘉和琪琪的分组方法如下： 嘉嘉的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163，166； 乙组学生的身高：168，168，168，169，169． 琪琪的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163； 乙组学生的身高：166，168，168，168，169，169． 请通过计算，比较嘉嘉和琪琪谁的分组方法更好． 【题型2.计算方差】 6．方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据可用如下算式计算方差：，其中“6”是这组数据的（   ） A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数 7．已知一组数据0，1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的方差是 ． 8．有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 9．五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为 . 解答题 10．省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 计算方差的公式：． (1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环； (2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差； (3)根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． 【题型3.计算四分位数】 11．四分位数是将一组按从小到大的顺序排列的数据分成____________等份．横线上应填（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．某班数学成绩的下四分位数为70分，上四分位数为90分，则中间学生的成绩区间是 ． 13．一组男生的身高（单位：cm）数据为165，154，175，172，168，150，178，182，161，180．这组数据的第三四分位数是（    ） A．172 B．175 C．178 D．180 解答题 14．小明记录了20名同学1min跳绳的次数：89，120，97，101，76，59，67，86，56，68，77，60，90，82，104，71，90，40，73，81． (1)求这20名同学1min跳绳次数的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值． (2)请根据上述四分位数绘制箱线图． 【题型4.使用计算器计算方差】 15．用计算器计算方差时，要首先进入统计计算状态，需要按键（    ） A． B． C． D． 解答题 16．给定一组数据如下： 1，1，4，4，4，7，7． (1)请你估计一下这组数据的平均数、方差大约是多少； (2)用计算器计算这组数据的平均数、方差，与你的估计值进行比较，你的估计是否准确？ 【题型5.离差平方和的综合应用】 17．如果组内离差平方和很大，说明（    ） A．组间差异大 B．组内差异大 C．总差异小 D．均值相等 18．小刚在计算某组样本的离差平方和时，列式为，则这组样本的平均数和样本容量分别是（   ） A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5 解答题 19．某农场种植6块试验田，亩产量（单位：kg）如下：300，320，350，400，450，500．若将试验田分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？请说明分组意义． 【题型6.利用平方差求未知数据】 20．一组数据，……的方差为，其中能确定这组数据的（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 21．一组数据的方差计算如下：，则这组数据的方差 ． 22．淇淇在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式： ．关于这组数据，下列说法：①平均数是4；②中位数是4；③众数是5；④样本总数．其中不正确的结论是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 23．已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的平均数与方差的和为 ． 【题型7.绘制箱线图】 24．绘制箱线图时，不需要的数据是（   ） A．四分位数 B．中位数 C．平均值 D．极值 25．如图，箱线图所示的是射箭爱好者A，B在某次射箭比赛获得的成绩．根据箱线图可以判断成绩的平均数大于中位数的是 （填“A”或“B”）． 26．下列关于箱线图的说法，正确的是（   ） A．箱线图仅展示数据的最大值和最小值 B．箱线图的箱体上下两侧对应数据的第三四分位数和第一四分位数 C．箱线图无法反映数据的离散程度 D．箱线图的中位数一定在箱体正中间 【题型8.根据要求选择合适的统计量】 27．PM2.5通常是衡量一个城市空气质量优劣的参考标准，某市连续6天PM2.5的值分别为62，59，56，66，64，59，则关于这组数据，下列说法不正确的是（    ） A．这组数据的平均数是61 B．这组数据的中位数是60.5 C．这组数据的众数是59 D．这组数据的方差是0 28．对于一组数据：x1，x2，x3，…，x10，若去掉一个最大值和一个最小值，则下列统计量一定不会发生变化的是 ．①平均数；②中位数；③众数；④方差． 29．体育老师欲选小张参加学校跳绳比赛，对他的10次训练成绩进行统计分析，若要判断他的成绩是否稳定，则教练需要知道小张这10次成绩的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 解答题 30．某工厂车间共有10名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据制成如下统计图． 根据以上息，回答下列问题： (1)10名工人的日均生产件数的众数是 　　，10名工人的日均生产件数的中位数是 　； (2)计算10名工人的日均生产件数的平均数； (3)若要使占60%的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数、中位数、众数）做日生产件数的定额？说明理由． 【题型9.依据方差判断稳定性】 31．现有甲、乙、丙、丁四支篮球队，每支队伍的队员平均身高都为，方差分别为，，，，则身高最整齐的球队是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 32．某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，将多轮选拔赛的成绩的数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如下表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，那么应选择的学生是 ． 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 1 1 1.2 1.3 33．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在九年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中得分的统计结果如图．下列说法不正确的是（    ） A．乙得分的众数是32分 B．甲比乙发挥稳定 C．甲得分的中位数是28分 D．甲的平均分比乙的平均分高 34．云南省曲靖市罗平县是闻名全国的“油菜花之乡”，这里盛产的油菜花菜在国内外都享有盛誉．某农科院培育了甲、乙、丙三个品种的油菜花，统计近三年这三个品种油菜花的亩产量平均数和方差如表： 统计量 品种 甲 乙 丙 亩产量平均数 505 520 520 方差 5.5 5.5 7.8 现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择 品种（填“甲”“乙”或“丙”）． 【题型10.运用方差做决策】 35．某校甲、乙两班学生身高的方差为，则 班身高更整齐（填“甲”或“乙”）． 36．某县区始终秉持“安全与健康第一”的教育理念，为积极推动大课间活动，开展了大课间创新大赛，从“创意与特色”、“节奏与配合”、“文明与安全”等三个方面计算成绩．下表是甲、乙两所学校的成绩，则成绩更稳定的是（   ） 学校 创意与特色 节奏与配合 文明与安全 平均分 甲 8 6 10 8 乙 9 8 7 8 A．甲 B．乙 C．一样 D．不确定 37．某校有甲、乙两个舞蹈队，每个舞蹈队各有5名学生，测量并获取了这两个舞蹈队学生的身高（单位：），整理数据如下： 甲队 163 165 165 166 167 乙队 161 165 166 168 173 如果一个舞蹈队学生的身高的方差越小，那么该队舞台呈现效果越好．据此推断，在甲、乙两队中，舞台呈现效果更好的是 （填“甲队”或“乙队”）． 38．如图是晋城、大同今年月日至月日的一周最高气温统计图，为比较两地这日最高气温的稳定情况，应选择的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【题型11.利用合适的统计量做决策】 39．某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数 40．在就地过年倡议下，更多游客缩小出游半径，本地游、近郊游、周边游取代异地长线游，成为牛年出行新趋势．某地区对近郊游的住宿环境、餐饮、服务等方面对所住游客进行了综合满意度调查，在甲，乙两个景点都去过的游客中随机抽取了100人，每人分别对这两个景点进行了评分，统计如下： 非常满意 较满意 一般 不太满意 非常不满意 合计 甲 28 40 10 10 12 100 乙 25 20 45 6 4 100 若小聪要在甲，乙两个景点中选择一个景点，根据表格中数据，你建议她去 景点（填甲或乙），理由是 ． 41．为了筹备班里的新年联欢会，班长以全班同学最爱吃哪几种水果做民意调查，以决定最终买什么水果．该次调查结果最终应该由数据的（    ）决定． A．平均数 B．中位数 C．众数 D．无法确定 解答题 42．李老师早上到学校上班有两条路线，分别为路线一和路线二．为了解上班路上所用的时间情况，李老师记录了20个工作日的上班所用的时间（单位：），其中10个工作日走路线一，另外10个工作日走路线二． 【数据收集、整理与描述】路线一和路线二所用的时间的折线统计图 时间/分钟路线 【数据分析】 平均数 中位数 众数 路线一所用的时间 18 18 路线二所用的时间 11 根据以上信息，解答下列问题． (1)哪条路线平均所用的时间少？请说明理由； (2)求路线二所用时间的中位数； (3)请你帮助李老师选择其中一条上班路线，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27数据的分析题型突破讲义（2） 基础 过关题 1.计算离差平方和 2.计算方差 3.计算四分位数 4.使用计算器计算方差 能力 提升题 5.离差平方和的实际应用 6.利用方差求未知数据 7.绘制箱线图 8.根据要求选择合适的统计量 拓展 拔高题 9.依据方差判断稳定性 10.运用方差做决策 11.利用合适的统计量做决策 一.数据的离散程度 1.离散程度含义：反映一组数据波动大小、分布疏密，和数据的集中趋势互补。 2.极差 公式：极差 = 最大值 − 最小值 作用：最简单的离散程度指标，只看两端数据，易受极端值影响。 3.方差 定义：各数据与平均数差的平方的平均数，衡量数据波动核心指标。 公式：设平均数为，数据x1​,x2​,…,xn​，方差s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 规律：方差越大，数据波动越大、越不稳定；方差越小，数据越稳定、集中。 4.标准差：方差的算术平方根（s=​），单位和原数据一致，更贴合实际应用。 5.会用极差、方差、标准差比较两组数据的稳定性，选择合适指标分析实际问题。 二.数据的四分位数 1.四分位数定义：把从小到大排列的数据四等分的三个数值，记为Q1​（下四分位数）、Q2​（中位数）、Q3​（上四分位数）。 2.计算步骤 (1)数据从小到大排序； (2)找中位数Q2​，把数据分为前半、后半两组； (3)前半组中位数为下四分位数Q1​，后半组中位数为上四分位数Q3​。 3.四分位距：公式四分位距 = Q3−Q1​，反映中间 50% 数据的离散程度，不受极端值影响。 4.会根据四分位数判断数据中间段的集中 / 分散情况，解读四分位数的实际意义。 三.数据的分组 1.分组目的：将大量杂乱数据整理成频数分布表 / 频数分布直方图，直观呈现数据分布规律。 2.分组关键步骤 (1)计算极差，确定数据变动范围； (2)确定组数、组距（组距 = 极差 ÷ 组数，合理取整）； (3)划分组限，注意不重不漏、每组左闭右开； (4)统计每组频数，制作频数分布表。 【题型1.计算离差平方和】 1．有一组数据1，2，3，6，这组数据的离差平方和是（   ） A．20 B．30 C．14 D．16 【答案】C 【分析】计算数据的均值，然后求每个数据与均值之差的平方和． 本题考查了离差平方和的计算方法，理解离差平方和的计算方法是解答关键． 【详解】解：∵ 数据为1，2，3，6，共个数， ∴ 均值 ， ∴ 离差平方和 ． 故选：C． 2．已知一组数据为2，4，x，8，10，且这组数据的中位数为6，则这组数据的离差平方和= ． 【答案】40 【分析】本题考查了中位数的定义和离差平方和的计算，掌握奇数个数据的中位数为排序后中间位置的数，离差平方和为各数据与平均数差的平方和是解题的关键． 由中位数为确定的值，再计算数据的平均数，最后求离差平方和． 【详解】解：数据有个，中位数为排序后第三个数，因此， 数据为，平均数， 离差平方和为：， 故答案为：40． 3．现有数据：6，9，12，15，18，21．若将其分为2组，根据组内离差平方和最小的原则，下列选项中，最优的分组方法是（   ） A．第一组，第二组 B．第一组，第二组 C．第一组，第二组 D．第一组，第二组 【答案】A 【分析】计算各选项的组内离差平方和总和，总和最小的分组最优． 本题考查了组内离差平方和的计算， 掌握离差平方和的定义是解题的关键． 【详解】解：A、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． B、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． C、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． D、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． ∵选项A的总离差平方和最小， ∴最优分组为A． 故选：A． 4．已知一组数据7，9，11，13，若将其分为两组，使得每组数据的离差平方和之和最小，则分组方式为 ，此时最小的离差平方和之和为 ． 【答案】 和 4 【分析】本题考查了离差平方和的计算与分组优化知识点．解题关键在于明确离差平方和的计算公式；对有序数据，优先尝试相邻数据分组，以最小化组内波动；通过枚举所有可能的非空分组，计算并比较各组的离差平方和之和，从而找到最小值． 枚举所有可能的分组方式，计算每组数据的离差平方和，并求和，比较大小，找到最小值． 【详解】数据点有个，可能的分组方式包括一组个点另一组个点，或每组个点．计算每种分组的离差平方和之和： 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 比较得，最小值为，对应分组为和． 故答案为：和；． 解答题 5．某校舞蹈队共10名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下：161，162，162，163，166，168，168，168，169，169． (1)上述数据中，中位数为__________，众数为__________． (2)通常组内学生身高越整齐则认为该组舞台呈现效果越好，按照“组内离差平方和最小”的方法，将学生按身高分为两组．嘉嘉和琪琪的分组方法如下： 嘉嘉的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163，166； 乙组学生的身高：168，168，168，169，169． 琪琪的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163； 乙组学生的身高：166，168，168，168，169，169． 请通过计算，比较嘉嘉和琪琪谁的分组方法更好． 【答案】(1)167  168 (2)琪琪的分组方法更好，计算过程见解析 【分析】本题考查求中位数，众数和离差平方和，熟练掌握相关计算方法，是解题的关键． （1）根据中位数，众数的计算方法，进行求解即可； （2）求出两组的离差平方和，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：中位数， 出现的次数最多，有次，众数是， 故答案为：，． （2）解：嘉嘉的分组方法： 甲组学生身高的平均值为， ． 乙组学生身高的平均值为， ． 组内离差平方和为． 琪琪的分组方法： 甲组学生身高的平均值为， ． 乙组学生身高的平均值为 ，． 组内离差平方和为． ， 琪琪的分组方法更好． 【题型2.计算方差】 6．方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据可用如下算式计算方差：，其中“6”是这组数据的（   ） A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数 【答案】B 【分析】根据方差的意义解答即可． 本题考查了方差的公式及其意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：，其中“6”是这组数据的平均数． 故选：B． 7．已知一组数据0，1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的方差是 ． 【答案】2 【分析】本题考查平均数，方差，熟练掌握平均数和方差的计算方法是解题的关键，根据平均数确定出后，再根据方差的公式进行计算即可． 【详解】解：由平均数的公式得：， 解得； 则方差． 故答案为：2． 8．有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的概念，利用相关概念逐一判断即可，熟知相关概念时解题的关键． 【详解】解：这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不符合题意； 若，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不符合题意； 若，则新数据中间数为第四个数，为3，若，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故B符合题意， 故选：B． 9．五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为 . 【答案】8 【分析】本题考查数据的数字特征及应用，熟练掌握平均数与方差的计算方法是解题的关键，根据题意得到，再根据，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6，可得到，进而推算出，，，，对应的五个互不相等的正偶数所对应的数，利用方差的计算公式即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，的平均数是， ∴, ∵，，，，，的平均数还是， ∴, ∴, ∵，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6， ∴, ∴，，，，对应的五个互不相等的正偶数分别是：2、4、6、8、10， ∴，，，，的方差为：． 故答案为：8． 解答题 10．省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 计算方差的公式：． (1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环； (2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差； (3)根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． 【答案】(1)9；9； (2)=，= (3)推荐甲参加全国比赛更合适，理由见解析 【分析】本题考查求平均数，方差，利用方差作决策． （1）数据总和除以数据个数求出平均数即可； （2）利用方差公式计算方差即可； （3）利用方差作决策即可． 【详解】（1）解：甲：， 乙：； 故答案为：9；9； （2）解： ； ； （3）解：推荐甲参加全国比赛更合适， 理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当； 但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适． 【题型3.计算四分位数】 11．四分位数是将一组按从小到大的顺序排列的数据分成____________等份．横线上应填（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了四分位数的定义，解题关键是理解“四分”对应的份数是． 本题考查四分位数的基本定义，需明确“四分位数”中“四分”对应的份数含义． 【详解】解：四分位数的定义是将有序数据分成等份的数值，“四分”即表示分成部分． A、 等份对应的是中位数的划分方式，不符合“四分”的含义，不符合题意； B、等份并非四分位数的划分标准，不符合题意； C、“四分位数”的“四分”表示将数据分成等份，符合题意； D、等份与“四分”概念无关，不符合题意． 故选：C． 12．某班数学成绩的下四分位数为70分，上四分位数为90分，则中间学生的成绩区间是 ． 【答案】70分～90分 【分析】本题考查了四分位数的概念，解题关键是理解下四分位数和上四分位数的含义，明确两者之间的区间包含中间的数据． 四分位数是将数据分为四等份的数值，下四分位数（第百分位数）和上四分位数（第百分位数）之间的区间，恰好包含了中间的数据． 【详解】解：已知该班数学成绩的下四分位数为分，上四分位数为分，根据四分位数的定义，下四分位数到上四分位数之间的区域对应着中间的数据，因此中间学生的成绩区间是分分． 故答案为：分分． 13．一组男生的身高（单位：cm）数据为165，154，175，172，168，150，178，182，161，180．这组数据的第三四分位数是（    ） A．172 B．175 C．178 D．180 【答案】C 【分析】先对数据进行排序，再根据四分位数的位置公式计算出位置，最后确定对应数值． 【详解】解：∵数据排序后为， 为偶数． ∴后半部分数据为，其中位数为． ∴第三四分位数为． 故选：C． 【点睛】本题考查了四分位数的计算，解题关键是正确排序并使用四分位数位置进行选择． 解答题 14．小明记录了20名同学1min跳绳的次数：89，120，97，101，76，59，67，86，56，68，77，60，90，82，104，71，90，40，73，81． (1)求这20名同学1min跳绳次数的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值． (2)请根据上述四分位数绘制箱线图． 【答案】(1)、、、、     (2)见解析 【分析】（1）根据第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值、最小值的定义求解即可； （2）根据箱线图的画法即可求解． 【详解】（1）解：将数据从小到大排序为： ． 最小值为， 第一四分位数为， 中位数为， 第三四分位数为， 最大值为． （2）解：箱线图如图所示． 【点睛】本题考查四分位数，箱线图，熟练掌握相关定义是解决此题的关键． 【题型4.使用计算器计算方差】 15．用计算器计算方差时，要首先进入统计计算状态，需要按键（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作． 【详解】解：用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入MODE 2状态； ②依次输入各数据； ③按求的功能键，即可得出结果． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了计算器求方差，正确掌握计算器的基本使用方法是解题关键． 解答题 16．给定一组数据如下： 1，1，4，4，4，7，7． (1)请你估计一下这组数据的平均数、方差大约是多少； (2)用计算器计算这组数据的平均数、方差，与你的估计值进行比较，你的估计是否准确？ 【答案】(1)平均数是4、方差大约是5； (2)平均数4，方差，与估计值进行比较，估计基本准确． 【分析】（1）先把这组数据的7个数字加起来求和，再除以7即可求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解即可； （2）利用计算器并结合平均数、方差公式计算即可． 【详解】（1）解：估计这组数据的平均数是4、方差大约是5； （2）解：平均数：（， 方差：， 与估计值进行比较，估计基本准确． 【点睛】本题考查了平均数和方差公式，解题时牢记公式是关键，此题比较简单，只要牢记公式即可正确求解． 【题型5.离差平方和的综合应用】 17．如果组内离差平方和很大，说明（    ） A．组间差异大 B．组内差异大 C．总差异小 D．均值相等 【答案】B 【分析】组内离差平方和是衡量组内数据与组均值偏离程度的指标，值越大表示组内数据越分散． 本题主要考查了离差平方和的实际应用，解题的关键是掌握离差平方和的意义． 【详解】解：∵组内离差平方和表示组内各数据与组均值的偏差平方和， ∴当组内离差平方和很大时，说明组内数据波动大，即组内差异大． 故选：B． 18．小刚在计算某组样本的离差平方和时，列式为，则这组样本的平均数和样本容量分别是（   ） A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5 【答案】D 【分析】离差平方和的计算公式为每个数据与样本平均数的差的平方之和． 从给定的列式可知，每个数据均减去后平方，因此样本平均数为；列式中共有个平方项，因此样本容量为． 本题考查了样本容量和平均数，通过离差平方和公式的结构直接得出样本容量和平均数，需明确样本容量是数据的个数，平均数则是离差平方和计算中统一减去的数值． 【详解】解：∵ 离差平方和公式为，其中为样本平均数，为样本容量． 给定列式为， ∴ 每个数据与的差，故． 列式中有个平方项，故． ∴ 这组样本的平均数为，样本容量为， 故选：D． 解答题 19．某农场种植6块试验田，亩产量（单位：kg）如下：300，320，350，400，450，500．若将试验田分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？请说明分组意义． 【答案】一组，一组，分组意义见解析 【分析】本题考查了组内离差平方和的计算与分组优化，掌握列出所有分组情况、分别计算每组离差平方和后比较总和是解题的关键． 对于一维数据，可以证明，使组内离差平方和最小的分组，是将数据排序后进行连续分割得到的。因此，本题只需比较5种连续划分情况． 【详解】解：将数据分成两组，共有种情况，分别计算组内离差平方和（精确到），如下表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 由表可知，要使组内离差平方和最小，应一组，一组． 意义示例：分组后组内产量波动小，便于分析不同种植方案的效果（言之有理即可）． 【题型6.利用平方差求未知数据】 20．一组数据，……的方差为，其中能确定这组数据的（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】C 【分析】根据方差公式可进行求解． 【详解】解：由方差可知这组数据的平均数是4； 故选C． 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差公式是解题的关键． 21．一组数据的方差计算如下：，则这组数据的方差 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平均数和方差，解题的关键是掌握方差及平均数的计算公式．根据题意先得到这组数据，再计算平均数，再根据方差的定义可得答案． 【详解】解：由， 得这组数据为：， 则， 则 ， 故答案为：. 22．淇淇在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式： ．关于这组数据，下列说法：①平均数是4；②中位数是4；③众数是5；④样本总数．其中不正确的结论是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查方差，中位数，众数及平均数的定义，根据已知的方差计算公式得出这组数据为2、4、5、5，再根据中位数，众数，平均数的概念求解即可． 【详解】解：由题意可知这组数据为2、4、5、5， ∴平均数为，故①正确； ∴中位数为，故②错误； ∵5出现的次数最多， ∴众数为5，故③正确； 共有4个数， ∴样本容量是4，故④错误； 故选：B． 23．已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的平均数与方差的和为 ． 【答案】17 【分析】本题考查平均数和方差的计算，掌握求平均数和方差的公式是解题关键．根据题意可得出，，再根据平均数公式和方差公式求出另一组数据的方差和平均数，即可求解． 【详解】解：∵这组数据的平均数是4， ∴， ∴， ∴ 另一组数据的平均数 ； ∵这组数据的方差为3， ∴， ∴另一组数据的方差 ， ∴另一组数据，，，，的平均数与方差的和． 【题型7.绘制箱线图】 24．绘制箱线图时，不需要的数据是（   ） A．四分位数 B．中位数 C．平均值 D．极值 【答案】C 【分析】本题考查了箱线图的绘制要素，解题关键是明确箱线图的核心组成仅涉及四分位数、中位数、极值，与平均值无关． 需明确箱线图的核心组成元素对应的统计量． 【详解】解：箱线图的绘制依赖以下数据：四分位数（下四分位数​、上四分位数）、中位数、极值（最小值、最大值）． A、四分位数：是箱线图箱体边界的依据，需要该数据，不符合题意； B、中位数：是箱线图箱体中间竖线的依据，需要该数据，不符合题意； C、平均值：箱线图的结构中不包含平均值，绘制时不需要该数据，符合题意； D、极值：是箱线图须线两端的依据，需要该数据，不符合题意． 故选：C． 25．如图，箱线图所示的是射箭爱好者A，B在某次射箭比赛获得的成绩．根据箱线图可以判断成绩的平均数大于中位数的是 （填“A”或“B”）． 【答案】A 【分析】本题考查了中位数，理解“四分位数”的定义是解题的关键． 根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可． 【详解】解：由题意可知，的数据集中在和之间，最小值为，最大值为，故平均数大于中位数； 的数据集中在和之间，最小值为，最大值为，故平均数小于中位数． 故答案为：． 26．下列关于箱线图的说法，正确的是（   ） A．箱线图仅展示数据的最大值和最小值 B．箱线图的箱体上下两侧对应数据的第三四分位数和第一四分位数 C．箱线图无法反映数据的离散程度 D．箱线图的中位数一定在箱体正中间 【答案】B 【分析】本题主要考查了箱线图各组成部分的含义以及四分位的定义，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 根据箱线图还展示四分位数和中位数判断选项A；箱线图的箱体上下两侧分别对应第三四分位数和第一四分位数判断选项B；根据箱线图可以通过四分位距和须线反映离散程度判断选项C；根据中位数位置取决于数据分布，不一定在箱体正中间判断选项D． 【详解】解：A、箱线图除最大值和最小值外，还显示、中位数、，错误； B、箱线图中箱体下边界为第一四分位数，上边界为第三四分位数，正确； C、箱线图的箱体长度表示四分位距，须线长度表示数据范围，能反映离散程度，错误 ； D、中位数是，其位置由数据分布决定，若数据不对称则不在箱体中心，错误； 故选：B． 【题型8.根据要求选择合适的统计量】 27．PM2.5通常是衡量一个城市空气质量优劣的参考标准，某市连续6天PM2.5的值分别为62，59，56，66，64，59，则关于这组数据，下列说法不正确的是（    ） A．这组数据的平均数是61 B．这组数据的中位数是60.5 C．这组数据的众数是59 D．这组数据的方差是0 【答案】D 【分析】将这组数据重新排列，再根据众数、中位数、平均数及方差的定义求解即可． 【详解】该组数据的平均数为（62+59+56+66+64+59）=61；将这组数据按照从小到大的顺序排列为56，59，59，62，64，66，位于最中间的两个数分别为59，62，故这组数据的中位数为（59+62）=60.5；这组数据中出现次数最多的数为59，故这组数据的众数为59；这组数据具有波动性，故这组数据的方差不为0． 故选：D． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数及方差的定义． 28．对于一组数据：x1，x2，x3，…，x10，若去掉一个最大值和一个最小值，则下列统计量一定不会发生变化的是 ．①平均数；②中位数；③众数；④方差． 【答案】② 【分析】根据中位数的定义，位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：先去掉一个最大值，去掉一个最小值，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是中位数； 故答案为：② 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数，中位数，众数，方差的意义，此题主要是了解中位数的定义． 29．体育老师欲选小张参加学校跳绳比赛，对他的10次训练成绩进行统计分析，若要判断他的成绩是否稳定，则教练需要知道小张这10次成绩的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】此题考查了统计量的选择；注意：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 要判断数据的稳定性，需使用方差．方差反映数据的波动程度，方差越小，成绩越稳定． 【详解】解：平均数反映数据的平均水平，中位数和众数反映数据的集中趋势，而方差衡量数据的波动情况．题目中需判断成绩是否稳定，即需比较数据的波动程度，因此应选择方差． 故选：D． 解答题 30．某工厂车间共有10名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据制成如下统计图． 根据以上息，回答下列问题： (1)10名工人的日均生产件数的众数是 　　，10名工人的日均生产件数的中位数是 　； (2)计算10名工人的日均生产件数的平均数； (3)若要使占60%的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数、中位数、众数）做日生产件数的定额？说明理由． 【答案】(1)13，12； (2)11件； (3)应选中位数或平均数作为日生产件数的定额，理由见解析． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均数＝加工零件总数÷总人数求解即可； （3）根据平均数、中位数和众数分别计算出能完成任务的工人所占百分比即可进行判断． 【详解】（1）解：∵13出现了4次，出现的次数最多， ∴众数是13件； 把这些数从小到大排列为：8，8，8，10，12，12，13，13，13，13，最中间的数是第5、第6个数的平均数，则中位数是＝12（件）； 故答案为：13，12； （2）解：日均生产件数的平均数为：（8×3＋10＋12×2＋13×4）÷10＝11（件）； （3）解：若要使占60%的工人都能完成任务，应选中位数或平均数作为日生产件数的定额， 理由：若选平均数作为日生产件数的定额，则能完成任务的工人所占百分比为：， 若选中位数作为日生产件数的定额，则能完成任务的工人所占百分比为：， 若选众数作为日生产件数的定额，则能完成任务的工人所占百分比为：， 故若要使占60%的工人都能完成任务，应选中位数或平均数作为日生产件数的定额． 【点睛】本题考查平均数、中位数和众数的求法，统计量的选择，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【题型9.依据方差判断稳定性】 31．现有甲、乙、丙、丁四支篮球队，每支队伍的队员平均身高都为，方差分别为，，，，则身高最整齐的球队是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了方差的概念，熟练掌握方差的概念是解题的关键． 根据方差越小，数据越整齐，比较方差即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴乙队身高最整齐， 故选：B． 32．某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，将多轮选拔赛的成绩的数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如下表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，那么应选择的学生是 ． 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 1 1 1.2 1.3 【答案】乙 【分析】本题主要考查了平均数和方差的意义，熟练掌握平均数反映成绩高低、方差反映发挥稳定性是解题的关键．先比较平均成绩，找出平均成绩高的学生，再在其中比较方差，找出方差小（发挥稳定）的学生． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴乙、丙平均成绩高于甲、丁． ∵乙， ， ， ∴乙的方差更小，发挥更稳定． 故答案为：乙． 33．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在九年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中得分的统计结果如图．下列说法不正确的是（    ） A．乙得分的众数是32分 B．甲比乙发挥稳定 C．甲得分的中位数是28分 D．甲的平均分比乙的平均分高 【答案】C 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，众数，方差，平均数等知识∶根据平均数的定义列式计算即可；根据众数和中位数的定义，方差的定义列式计算，结合平均数和方差的定义判断即可． 【详解】解：．乙近六场得分为：，则乙得分的众数是32分，故该选项正确，不符合题意； ．甲近六场比赛的平均得分是：（分）， 乙近六场比赛的平均得分是：（分）， 甲学生近六场得分的方差：； 乙学生近六场得分的方差：； 甲得分的方差小于乙得分的方差，说明甲在比赛中发挥更稳定，该选项正确，不符合题意； ．甲近六场得分从小到大排列为：， 故中位数是：，该选项错误，符合题意； ．由B可知甲的平均分高于乙的平均得分，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 34．云南省曲靖市罗平县是闻名全国的“油菜花之乡”，这里盛产的油菜花菜在国内外都享有盛誉．某农科院培育了甲、乙、丙三个品种的油菜花，统计近三年这三个品种油菜花的亩产量平均数和方差如表： 统计量 品种 甲 乙 丙 亩产量平均数 505 520 520 方差 5.5 5.5 7.8 现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择 品种（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】乙 【分析】本题考查了平均数与方差的运用，理解平均数，方差表示的意义是关键． 根据平均数判定选择乙、丙，再根据方差选择乙即可． 【详解】解：∵甲的平均数小于乙、丙， ∴选择乙、丙， ∵乙的方差小于丙的方差，即乙的稳定性比甲的稳定性好， ∴应选择乙品种， 故答案为：乙 ． 【题型10.运用方差做决策】 35．某校甲、乙两班学生身高的方差为，则 班身高更整齐（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【分析】本题主要考查了根据方差做决策，掌握方差越小、数据越稳定成为解题的关键． 根据方差的意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴乙班身高更整齐（方差越小，身高越稳定，更整齐）． 故答案为：乙． 36．某县区始终秉持“安全与健康第一”的教育理念，为积极推动大课间活动，开展了大课间创新大赛，从“创意与特色”、“节奏与配合”、“文明与安全”等三个方面计算成绩．下表是甲、乙两所学校的成绩，则成绩更稳定的是（   ） 学校 创意与特色 节奏与配合 文明与安全 平均分 甲 8 6 10 8 乙 9 8 7 8 A．甲 B．乙 C．一样 D．不确定 【答案】B 【分析】题目主要考查方差的计算，利用方差比较稳定性等，熟练掌握方差的计算方法是解题关键． 通过计算两所学校成绩的方差比较稳定性，方差小的更稳定． 【详解】解：∵平均分均为8，甲学校成绩：， ∴方差 ， 乙学校成绩：， ∴方差 ， ∵ ， ∴乙学校方差更小，成绩更稳定， 故选：B． 37．某校有甲、乙两个舞蹈队，每个舞蹈队各有5名学生，测量并获取了这两个舞蹈队学生的身高（单位：），整理数据如下： 甲队 163 165 165 166 167 乙队 161 165 166 168 173 如果一个舞蹈队学生的身高的方差越小，那么该队舞台呈现效果越好．据此推断，在甲、乙两队中，舞台呈现效果更好的是 （填“甲队”或“乙队”）． 【答案】甲队 【分析】本题考查了平均数、方差，熟记方差的计算公式和方差的意义是解此题的关键． 分别计算出两队同学的身高的平均数和方差，比较方差大小即可得出答案． 【详解】甲队的平均身高， 甲队的方差， 乙队的平均身高， 乙队的方差， ， 甲队舞台呈现效果更好． 故答案为：甲队． 38．如图是晋城、大同今年月日至月日的一周最高气温统计图，为比较两地这日最高气温的稳定情况，应选择的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数及方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此即可判断求解，掌握平均数、中位数、众数及方差的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，“为比较两地这7天日最高气温的稳定情况”，应选择方差作为统计量， 故选：． 【题型11.利用合适的统计量做决策】 39．某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数 【答案】A 【分析】利用中位数、平均数、方差、众数的定义来求解即可. 【详解】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为20与36的平均数，与被涂污数字无关． 故选：A． 【点睛】本题主要考查中位数、平均数、方差、众数的定义，属于基础题型. 40．在就地过年倡议下，更多游客缩小出游半径，本地游、近郊游、周边游取代异地长线游，成为牛年出行新趋势．某地区对近郊游的住宿环境、餐饮、服务等方面对所住游客进行了综合满意度调查，在甲，乙两个景点都去过的游客中随机抽取了100人，每人分别对这两个景点进行了评分，统计如下： 非常满意 较满意 一般 不太满意 非常不满意 合计 甲 28 40 10 10 12 100 乙 25 20 45 6 4 100 若小聪要在甲，乙两个景点中选择一个景点，根据表格中数据，你建议她去 景点（填甲或乙），理由是 ． 【答案】 甲 甲景点满意人多于乙景点（不唯一） 【分析】计算游客对景点的满意度，满意度高的景点就首要推荐 【详解】在甲，乙两个景点都去过的游客中随机抽取的100人中，对甲景点满意的有68人，对乙满意的有45人， 因为， 所以建议她去景点甲. 故答案为：甲； 理由是满意甲景点的人数多于乙景点. 故答案为：满意甲景点的人数多于乙景点 【点睛】本题考查了抽查，计算满意度是解题的关键． 41．为了筹备班里的新年联欢会，班长以全班同学最爱吃哪几种水果做民意调查，以决定最终买什么水果．该次调查结果最终应该由数据的（    ）决定． A．平均数 B．中位数 C．众数 D．无法确定 【答案】C 【分析】一组数据中出现次数最多的一个数是这组数据的众数．班长最关心吃哪种水果的人最多，即这组数据的众数． 【详解】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；既然是为筹备班里的新年联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，要对统计量进行合理的选择和恰当的运用是解题关键． 解答题 42．李老师早上到学校上班有两条路线，分别为路线一和路线二．为了解上班路上所用的时间情况，李老师记录了20个工作日的上班所用的时间（单位：），其中10个工作日走路线一，另外10个工作日走路线二． 【数据收集、整理与描述】路线一和路线二所用的时间的折线统计图 时间/分钟路线 【数据分析】 平均数 中位数 众数 路线一所用的时间 18 18 路线二所用的时间 11 根据以上信息，解答下列问题． (1)哪条路线平均所用的时间少？请说明理由； (2)求路线二所用时间的中位数； (3)请你帮助李老师选择其中一条上班路线，并说明理由． 【答案】(1)线路一，理由见解析 (2)15 (3)线路二，理由见解析 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，众数的求法和应用，正确利用折线图获取正确信息是解题关键． （1）利用折线图数据计算出线路一的平均数，然后比较即可； （2）利用折线图数据计算出线路二的中位数得出答案； （3）根据平均数、中位数、众数等统计量的意义进行选择，得出最佳路线． 【详解】（1）解：路线一：，，，，，，，，，， 平均数：， 已知路线二的平均数是， 因为， 所以路线二平均所用的时间少． （2）路线二： 把路线二的个数据（从统计图中读取）从小到大排列：，，，，，，，，，． 数据个数（偶数），中位数是中间两个数的平均数，即第个数和第个数的平均数， （3）解：选择路线二，理由：路线二的平均所用时间小于路线一的平均所用时间，说明路线二平均花费时间更少，能更高效地到达学校，所以选择路线二．（答案不唯一） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $