河南南阳市2025-2026学年上学期高中二年级期终质量评估数学试题

2025年秋期高中二年级期终质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效， 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或 碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚， 4,请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.在平面直角坐标系中，x轴的倾斜角为 A.0 B. C.π D.不存在 2.设x,y,x∈R,向量a=(1,1,1),b=(1,y,z),c=(x,-4,2)且a⊥c,b∥c,则|a十b= A.22 B.10 C.3 D.4 3.某电商平台2025年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额X~N(4500,1600)(单 位：万元)，估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为 （P(u-o≤X≤μ+σ)=0.6827) A.50天 B.61天 C.86天 D.88天 4.若圆C:x2+y2=1与圆C2:(x+4)2+(y+3)2=m有且仅有三条公切线，则实数m A.4 B.6 C.16 D.36 5.如图，三个元件T,T2,T正常工作的概率均为三，且是相互独立的，将它们接入电路中， 则电路畅通的概率是 A司 C.21 5 0.21 6.抛物线C:y2-4x的焦点为F,P为抛物线C上一点，点M满足FM=2MP,则直线OM (O为坐标原点)斜率的取值范围为 A.[0,W2] B.[-√2，w2] C.[0,w3] D.[-√5,5] 7.将5名程序专家全部分配到1,2,3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名 专家，其中A专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有 A.26种 B.36种 C.38种 D.50种 高二数学第1页（共4页） 8,F为双曲线C号-苦-1(a>0,6>0》的右焦点A为左顶点，P为双线C有支上一点， 若PA⊥PF,∠PAF=30°，则双曲线C的离心率为 A多 B.√3 C.2 D.√5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知二项式(2√反-是)”的展开式中各项系数之和是品，则下列说法正确的是 A.展开式共有6项 B.展开式中二项式系数最大的项是第4项 C.展开式中的常数项为540 D.展开式含有x2项 10.下列说法中正确的是 A.从一批含有10件正品，4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是5 91 B.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若EX=20,DX=10,则n=40 C.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,o2),若P(>1)=p,则P(<3)=1一p D.已知随机事作A,B满足P(B)=子，P(AB)-号，则PAB)-寻 11.(P150改编)如图，已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，E为A1D1的中点，F为 线段CC1上的一个动点，设由点A,E,F构成的平面为α.则下列结论中，正确的是 A.当F为CC1的中点时，平面a截正方体ABCD一 D A1B1C1D,所得的截面为五边形 B.平面a截正方体ABCD一A1B,C1D1所得的截面可能是 三角形 C.当点F与C1重合时，平面&截正方体ABCD A1B1CD1所得截面的面积为2√6 B D.点D到平面e的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知a,b,c是两两垂直的单位向量，则a一2b十2c= 13.有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点O出发，通过掷骰子决定向左或者向右 移动.掷出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位；若是偶数点向上，则向右移动一 个单位，则第一次掷完骰子小球位于一1且第五次掷完骰子小球位于1的概率为 14.若函数f(x)=2√x2十1一kx一1有两个零点，则实数k的取值范围为 高二数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知圆C的圆心C在直线x+y一3=0上，且经过A(1,3),B(4,2). (1)求圆C的标准方程； (2)过点P(0,2)作直线l与圆C的另一个交点记为Q,求△PCQ的面积最大时直线1的方程. 16.(15分)(P190P193改编) 有三个外观相同的箱子，编号分别为1,2,3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱 装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同. (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1 号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大」 17.(15分) 学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中1球得2分，没有投中得0分，假设每次 投篮投中与否相互独立，已小明每次投篮投中的概率都是了，小强每次投篮投中的概 率都是p(0<p<1). (1)求小明直到第3次才投中的概率； (2)求小明4次投篮后的得分X的分布列和均值； (3)小强投篮4次，记投中的次数为Y,若EY=1,求p和DY. 高二数学第3页（共4页） 18.(17分)(P150改编) 如图所示的几何体中，面DCFE为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD, AB=2BC-2,∠ABC=60°，AC⊥FB. (1)求证：AC⊥平面FBC: (2)求BC与平面EAC夹角的正弦值； ③)线段BD上是香存在点Q.使平而EAC与平面QBC夹角的余弦值为否，若存在求 出DQ的值；若不存在，请说明理由 Q下 DJ- 19.(17分) 过平面内的动点P分别作直线y=2x和y=一2x的垂线，交x轴于M,N两点， 若OM2+1ON|2=8(O为坐标原点). (1)求动点P的轨迹T1的方程； (2)曲线：千十y=2,直线y=kx十m与r和的交点从左到右依次为A,B,C.D. ①证明：AC=|BD: ②若k=1,求|CD的最小值. 高二数学第4页（共4页）2025年秋期高中二年级期终质量评估数学试题 参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 A C B C B D 1.解：根据直线倾斜角的定义可知，x轴的倾斜角为0.故选：A 2.解：因为a1c,则x-4+2=0,解得x=2,则=(2，-4,2) 因为51c,则对号-行解得y2:1. 则6=(1，-2,1)，则a+万=(2，-1,2)，则a+=√22+(-1)'+22=3.故选：C. 3.解：由X~N(4500,1600)→4=4500，o=40, 因为P(u-σ≤X≤u+σ)=0.6827， 所以P(4500-40≤X≤4500+40)=0.6827， 即P(4460≤X≤4540)=0.6827， 所以第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为： 0.6827×90=61.443≈61，故选：B 4.解：C0,0),圆C:x2+y2=1的半径为5=1， C,(-4,-3),圆C2:(x+4)2+(y+3)2=的半径为5=Vm, :圆C1:x2+y2=1与圆C2:(化+4)2+(y+3)2=m有且仅有三条公切线， .圆C与圆C外切， CC2=5+12,.5=1+√m,m=16.故选：C. 5解：记T正常工作为事件A,T,正常工作为事件B,记T正常工作为事件C, 则P(4=P(B)=P(C)=, 电路畅通，即T正常工作且T2,T至少有一个正常工作， 、3不发生枚碎即7.了至少有一个正常工作的概率R=1-Q-学0专多， 高二数学参考答案第1页，共9页 所以整个电路杨适的概车为P=小×=子号》 故选：C 6解：自知F0.设r空wM)由丽-2而得， 2y% )-2号ww。2w学 3 4yo 3 8+26+2 6 当yo=0时koM=0: 当y。<0时 kon =4 4 2 22-V2 y。+ -yo+- (当且仅当y。=-√2时等号成立)： yo -yo 当。>0时 oM=2512 (当且仅当y。=-√2时等号成立). yo 综上，直线OM(0为坐标原点)斜率的取值范围为[-√2，√21. 故选B. 7.解：当1号实验室有1人时，分配方案有C+C4A?=14种： 当1号实验室有2人时，分配方案有CCA=24种： 当1号实验室有3人时，分配方案有CA:=12种， 可得不同的分配方案共有14+24+12=50种. 故选：D 8.解：设PF=1,则a+c=2① 令左焦点为F,连接PF, 则PF=V(2c)2+1-2×2c×cos60°=V4c2-2c+1, 由PE-|PF=2a, 得V4c2-2c+1-1=2a,② 由①②联立，解得a= 24 3c= 31 ∴.e=2. 故选：C. 二、选择题： 题号 9 10 11 答案 BC BD ACD 高二数学参考答案第2页，共9页 9解：由于二项式2G-)的展开式巾各项系数之和是 41 所以令x=1, ,所以n=6, 所以展开后共有7项，故A错误： 二项式系数最大的项是第4项，故B正确： 三项服开宽倒通联公或为c可c2(引，。 所以当，=2时，常数项为c2(到 =540,故C正确： 当6，”-2时，解得-号不是经数，所以展开式不含有项。故D销误 2 故选：BC 10.解：对于A,从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 p=CC=6x1015 C.14x13×291' 故A错误： 1p=20 n=40 对于B,X~B(n,p),. p1-p)=10,解得n=1,故B正确： 卫 Γ2 对于C,:5~N(2,σ2)，则正态曲线的对称轴为5=2，根据正态曲线的对称性可得P(5>)=P(5<3)=p, 故C错误； 对FD,P=PP@).P-子专行 y 所以P(AB)= P(AB) 51 P(B)33’ 故D正确. 故选：BD 5 11.解：如图，建立空间直角坐标系，延长AE与z轴交于点P,连接PF与y轴交于点M, 则平面由平面AEF扩展为平面APM.由此模型可知B错误，A,C正确 D(0,0,0),A(2,0,0),E(1,0,2)设点F的坐标为(0,2，t)(t∈[0,2])， DA=(2,0,0),AE=(-1,0,2),AF=(-2,2,t) 则设平面a的法向量为n=(x,y,z),则 由AE=0,AF=0,可得 高二数学参考答案第3页，共9] -x+2z=0 -2x+2y+在=0令2=-2，得x=-4,y=t-4, ∴.n=(4,t-4,-2), 设点D到平面&的距离为d,则 d DA. e 8 V16+(t-4)2+4Vt-4)2+20 由d 8 26 V(t-4)2+20 在te[0,2]时单调递减可知，当t=2时，dx 3 所以当t=2时，4取到最大值为26 故选：ACD 三、填空题： 12.3 1 13. 14.（-2,-3U(5,2) 12.解：因为ā，b,c是两两垂直的单位向量， 所以a.b=b.c=a.c=0,laHb曰c=l, 所以a2b2d=√a2乃202=Va44c4a.64ac85e3. 故答案为3. 13解：掷出骰子，奇数点向上的概率为子，偶数点向上的概率亦为；： 第一次掷完骰子小球位于-1，即第一次向左移动，且第五次位于1， 别后按中小感陶右3次向左1次.放其率为℃令 故答案为 8 14.解：令f(x)=0得2Wx2+1=x+1 设y=2N+1,即-=10≥2 4 又y=x+1为过点(0,1)的直线， y=kx+1 由-2= ,联立，根据△=0，得k=±√3 4 又双曲线 -x2=1的渐近线为y=士2x, ∴实数的k取值范围为(-2，-V3)U(N5,2)故答案为(-2，-5U(5,2) 高二数学参考答案第4页，共9页 四、解答题： 15.解：(1)设该圆的方程为(x-)2+(y-b)2=r2 「1-a)2+(3-b)2=r2「a=2 由题知(4-)2+(2-b)2=r2.{b=1 a+b-3=0 2=5 故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5 .6分 a)-P-m∠c0 ∴.当∠PCQ=90°时△PCQ的面积最大， 此时C到直线I的距离d=V10 .8分 2 设直线1的方程为y=+2,即x-y+2=0 d=12k+1_10 Vk2+1=2,解得k=-3或号 故所求1直线的方程为3x+y-2=0或x-3y+6=0.13分 16.解：（1)设事件B表示“球取自i号箱”(i=1,2,3),事件A表示“取到红球” P(A)=P(B)P(A B)+P(B2)P(A B2)+P(B)P(A B) 11.12,138 1 5+35+3315 故取到红球的概率为5 ..5分 (2)由条件概率知 P(B.A)=P(BAP(B)P(AIB)_151 8分 P(A) P(4) 889 1 0 (BA=P(B,A)=P(B.)P(AIB)15-1 P(A) P(A) 84311分 15 5 P(BA)= P(B,①_PB,)P4B,)-15=5 P(4) P(4) 8-8 14分 15 故该球是取自1号箱的概率为。g该球取自3号箱的可能性最大 15分 高二数学参考答案第5页，共9页 17.解：(1)设“小明直到第3次才投中”为事件A, 则P0=0-”×327 14 4 故小明直到第3次才投中的概率为 27 4分 (2)小明4次投篮后的得分X的取值可能为0,2,4,6,8. 5分 81 P(X=4)=C0 8127 8 811 PX-9白- 所以X的分布列为 0 24 6 8 16 32 8 P 1 P 81 81 27 8181 11分 18 ∴.EX=0× 16 +2 32 24 8 +4× +6× +8× 813 .12分 81 81 81 81 (3)由题知，Y~B(4,p), 13分 .Y=4p=1,P=4 14分 :Dr-nd-p-} .15分 18.解析：(1)如图，由题知AB=2,BC-1,∠ABC-60 由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCc0S60°=3 AC=VAC2+BC2=AB2,ACLBC, 又AC⊥FB,BC,BFC面BCF,BC∩BF=B, .AC1平面FBC,4分 (2)由(1)知，AC⊥FC,又FC⊥DC,DC,ACC平面ABCD,AC∩DC=C 高二数学参考答案第6页，共9页 .CF⊥平面ABCD,.CF⊥BC:.CA、CB、CF两两互相垂直 以C为坐标原点，以CA,CB,CF为X,y,z轴建立空间直角坐标系6分 则c0n00 Co5-5D i-al0.ci-5n0ai-(5-切 8分 设平面EAC的法向量为m=(x,,) CA●m=0 √3x=0 由 CE.m=0 得 3 1 -2y+名=0 令1=1得m=(0,2,1) 9分 225 cos<CB.m- …10分 故BC与平面EAC夹角的正弦值为25 11分 (3)假设存在Q,设|DQ=t(0<t<1) 12分 设平面QBC的法向量为n=(x2,y2,二2) 由C8=0 2=0 得V3.1 c@n=0"22+应：=0 令2=V3得7=(-2t,0,√5).14分 √5 √1 ∴.cos<,n>= √5●V4t2+35V4t2+3 高二数学参考答案第7页，共9页 由题知 15 5V4t2+310 ,故t=3 2 16分 综上，存在点Q符合，且1DQ1=5 .17s分 19解析：(1)设P(xo,yo),则由题知 1 直线PM方程为y-八=2-，)，令y=0得，=+2% 直线PN方程为y-儿三号-)，令y=0得，w=2少。23 由OMP+1ON=8得(x-2y,)2+(x,+2y,)2=8,化简得。+=1. 故动点P的轨迹T的方程为女 +y2=1 4分 4 y=kx+m （2)①油+y2=1得+)r+2x+0m-)=0 4 △=(2m2-4×(+k2)0m2-1）=4k2-m2+1>0.4k2+1>m2 8km Xg+Xc=- 4(m2-1) 1+4k2,x七 …6分 1+42 y=kx+m 由+y2=2得（有+）x+2kx+m-2)=0 4 △，=(26m02-4x(+k20m2-2）=82-m2+2>0.8k2+2>m 8km 4(m2-2) xA+XD=- 1+4k2七xo= …8分 1+4k2 xB+X。=x4+xD,故线段AD与线段BC的中点重合 .AC-BD .9分 ②由①得△1=5-m2>0,m2∈[0,5) +x=-8m 5比= 4(m2-1) 5 高二数学参考答案第8页，共9页 BCF1x上4W55m 5 11分 同理△2=10-m2>0,m2∈[0,10) 下4+xD=-5,x4三 4(m2-2) 5 4D5-,上42Vi0-m .13分 5 0,1cDLA0CT22I0-m-5-m),设5m=r∈Q的 2 w961-0=5 .15分 2√2 令f0=5+t+i 则∫()在(0,5]上单调递减， 故当t=5即m=0时cD取最小值4W5-20 5 17分 高二数学参考答案第9页，共9页