1.4整式的除法寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版七年级下学期数学

1.4整式的除法寒假预习讲义（北师大版） ✅ 课前预习目标  ●掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的计算方法，明确运算步骤； ●能区分整式除法与整式乘法的联系与区别，初步形成整式运算的体系认知. ⛳ 重点知识梳理归纳 【知识点1】单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 【重点提醒】（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．             （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式． 【知识点2】多项式除以单项式法则 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．即： 【重点提醒】（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式． （2） 利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化． ☘ 核心考点精讲精练 题型1计算单项式除以单项式 【例1】．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．计算： ． 【变式2】．已知，，，求的值． 题型2多项式除以单项式 【例2】．若长方形的面积为，它的一边长为，则它的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．计算： ． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 题型3用科学记数法表示数的除法 【例3】．中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【变式2】．某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完． 题型4整式四则混合运算 【例4】．现定义一种运算“△”，对于任意有理数a、b，都有，例如：．由此可知等于（   ） A．9 B． C． D． 【变式1】．已知甲长方形相邻两边长相差5，乙长方形相邻两边长相差2．甲、乙两长方形的周长相等，问哪个长方形的面积大？甲 乙（填写>或<符号），大多少？（填具体数值） ． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 题型5整式的混合运算 【例5】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，则代数式 ． 【变式2】．化简： (1)． (2)． ✍ 强化巩固综合测试 一、单选题 1．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．，则括号内应填入的式子是（    ） A． B． C． D． 3．某工程预算花费约为元，实际花费约为元，预算花费是实际花费的倍，用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如：，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 5．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 二、填空题 6．计算：（1） ；（2） ． 7．已知，则 ． 8．已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 秒． 9．如图是李伟家住房的结构图（单位：m)，李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为 ． 10．若，则代数式的值是 ． 三、解答题 11．计算 (1) (2) (3) (4) 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 14．如图，某市一小区为了居民有更好的生活环境，丰富居民的业余生活，决定重新修建一块长为米，宽米的长方形地块，计划在中间留下一个“口”型的图形，其余部分（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含，的式子表示阴影部分的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为元，求修建文化广场所需要的费用． 15．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4整式的除法寒假预习讲义（北师大版） ✅ 课前预习目标  ●掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的计算方法，明确运算步骤； ●能区分整式除法与整式乘法的联系与区别，初步形成整式运算的体系认知. ⛳ 重点知识梳理归纳 【知识点1】单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 【重点提醒】（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．             （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式． 【知识点2】多项式除以单项式法则 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．即： 【重点提醒】（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式． （2） 利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化． ☘ 核心考点精讲精练 题型1计算单项式除以单项式 【例1】．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算，根据单项式除以单项式法则、完全平方公式、合并同类项法则、幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原运算正确，符合题意； B．，故原运算错误，不符合题意； C．，故原运算错误，不符合题意； D．，故原运算错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1】．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的法则是解题的关键． 使用单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【变式2】．已知，，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算与幂的运算法则，熟练掌握积的乘方、单项式乘单项式及单项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 先将 、、 代入表达式 ，再根据幂的运算法则和整式的乘除法则逐步计算． 【详解】解： ． 题型2多项式除以单项式 【例2】．若长方形的面积为，它的一边长为，则它的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式除以单项式的运算以及长方形的周长计算，解题关键是先通过面积求出另一边的长度，再代入周长公式进行计算． 先利用长方形面积公式求出另一边的长度，再根据长方形周长公式计算周长，最后对比选项得出答案． 【详解】解:∵ 面积 = ，一边长为 ， ∴ 另一边长 = ． ∴ 周长 = ． 故选：D． 【变式1】．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 【详解】解：原式 故答案为：． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了多项式的乘法，多项式除以单项式． （1）根据多项式的乘法法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 解：． 题型3用科学记数法表示数的除法 【例3】．中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法、单项式除法，先把14亿用科学记数法表示，再根据总面积除以总人口计算即可． 【详解】解：14亿 故选：B 【变式1】．据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 【变式2】．某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，单项式除以单项式的运算，求出长方体的体积，再除以速度，即可得出结果． 【详解】解：长方体废水池中废水的体积为， ∵净化速度为， 净化废水所需时间为． 答：这池废水需要能净化完． 题型4整式四则混合运算 【例4】．现定义一种运算“△”，对于任意有理数a、b，都有，例如：．由此可知等于（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据新定义并结合整式的混合运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵现定义一种运算“△”，对于任意有理数a、b，都有， ∴， 故选：C． 【变式1】．已知甲长方形相邻两边长相差5，乙长方形相邻两边长相差2．甲、乙两长方形的周长相等，问哪个长方形的面积大？甲 乙（填写>或<符号），大多少？（填具体数值） ． 【答案】 < 【分析】本题主要考查了整式的混合运算， 先设甲长方形的宽为a，长为，乙长方形的宽为b，则长为，根据题意可知，即可求出两个长方形的面积，再作差可得答案. 【详解】解：设甲长方形的宽为a，长为，乙长方形的宽为b，则长为，根据题意，得 ， 解得， 则甲长方形的面积为，乙长方形的面积为， ∴， 所以乙长方形的面积大，即甲乙，乙比甲大. 故答案为：. 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算： （1）先根据完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，再合并同类项，即可求解； （2）先运算单项式乘以多项式，然后合并，最后运算除法计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 题型5整式的混合运算 【例5】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，整式混合运算法则以及完全平方公式是解答本题的关键．直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故选C． 【变式1】．已知，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解题的关键． 先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：． 【变式2】．化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，整式的乘法去括号，合并同类项即可． 本题考查了整式的乘法，合并同类项，掌握基本运算法则是解题关键． 【详解】（1）原式， （2）原式． ✍ 强化巩固综合测试 一、单选题 1．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数运算和整式除法的法则，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】对于A：∵ ，∴ A正确，不符合题意． 对于B：∵ ，∴ B正确，不符合题意． 对于C：∵ ，∴ C正确，不符合题意． 对于D：∵ 任何非零数的0次幂等于1，即 ，∴ D错误，符合题意． 故选：D． 2．，则括号内应填入的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将左边多项式除以，即可得到括号内的式子． 本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 括号内应填入 ， 故选 A． 3．某工程预算花费约为元，实际花费约为元，预算花费是实际花费的倍，用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案． 【详解】解：∵预算花费约为元，实际花费约为元， ∴预算花费约是实际花费的倍数是：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了科学记数法，整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 4．现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如：，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，根据新定义代入，然后根据完全平方公式以及平方差公式展开，最后合并同类项即可． 【详解】解：根据题意可知： ， 故选：C 5．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先简化代数式，发现它等于，然后代入已知条件即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 二、填空题 6．计算：（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法和除法运算， （1）运用分配律计算单项式乘以多项式； （2）运用单项式除以单项式的法则计算． 【详解】解：（1）， 故答案为 ； （2）， 故答案为 ． 7．已知，则 ． 【答案】54 【分析】本题考查了多项式除以单项式，化简求值，正确的计算，利用整体思想进行求值是解题的关键． 将多项式除以后，得到，然后利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：原式 由 ，得 ，， ∴原式 ． 故答案为：． 8．已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 秒． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案． 【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）． 故答案为：． 9．如图是李伟家住房的结构图（单位：m)，李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，正确从图形上获取正确数据是解题关键． 直接利用已知数据结合矩形面积列代数式即可． 【详解】解：由题意可得，卧室和客厅的面积和为： ． ． 故答案为：． 10．若，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式求值和单项式乘多项式等，掌握降幂求解是解题的关键． 先将进行化简，再对进行降幂求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)5 (3)1 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先计算负整数指数幂，零指数幂，乘方，绝对值，再计算加减即可； （4）先计算积的乘方，再计算单项式的乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的混合运算、有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则求解即可； （2）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可； （3）先根据完全平方公式和单项式乘多项式运算法则计算，再合并同类项即可求解； （4）先有理数的乘方、绝对值、零指数幂和负整数指数幂运算，再加减计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 【答案】(1)广场的面积为 (2)需要3×105块大理石地砖 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，科学记数法，正确计算是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式列式求解即可； （2）先求出一块大理石的面积，再用广场面积除以一块大理石的面积即可得到答案． 【详解】（1）解： 答：广场的面积为； （2）解：单块大理石的面积是 ． 答：需要块大理石地砖 14．如图，某市一小区为了居民有更好的生活环境，丰富居民的业余生活，决定重新修建一块长为米，宽米的长方形地块，计划在中间留下一个“口”型的图形，其余部分（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含，的式子表示阴影部分的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了整式的混合运算在几何面积中的应用，正确表示阴影部分的面积并进行整式的化简计算是解题的关键． （1）用长得方形面积减去中间空白部分正方形即阴影部分的面积，去括号合并同类项即可化简； （2）把，代入（1）中代数式得文化广场面积，用“单价数量总价”即可求得所需要的费用． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：当，时，原式（平方米）， （元）． 答：修建文化广场需要元． 15．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，涉及完全平方公式、平方差公式的应用，掌握先通过乘法公式展开并合并同类项化简，再代入数值计算是解题的关键． （1）先利用完全平方公式和单项式与多项式相乘的法则展开，再合并同类项化简，最后代入求值； （2）先用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项化简，最后代入求值． 【详解】（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解：原式 ． 当，时， 原式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $