8.1 平方根 寒假自学练2025-2026学年 人教版数学七年级下册

8.1 平方根 寒假自学练 2025-2026学年下学期 初中数学人教版（2024）七年级下册 一、单选题 1．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的是（   ） A．的平方根为 B．的算术平方根为 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根为 3．下列各数中一定没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 4．若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 5．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 6．如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 7．若，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 8．如果一个比m小2的数的平方等于，那么m等于（　　） A． B． C． D．或 9．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 10．如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子容积为立方厘米，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为40厘米，将瓶子倒放时，空余部分的高度为10厘米，则瓶子的底面半径为（    ）． A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 二、填空题 11．已知，，则的值是 ． 12．定义新运算2*3＝2X+3Y，3*2＝3X+2Y，若2*3＝5，3*2＝10，则3X+3Y的平方根是 ． 13．若，则的算术平方根为 ． 14．若与互为相反数，则 ． 15．若的平方根是它本身，则的值是 ． 16．， 则 ． 17．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 18．已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 19．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ．    20．有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是 ． 三、解答题 21．已知4是的算术平方根，的立方根为． (1)求和的值； (2)求的平方根． 22．教材第页的合作学习，首次利用图形引进了带开平方符号的无理数．请用教材中同样的方法思考解答下列问题（设每一方格的边长为个单位）． (1)求方格（图）中阴影正方形的面积和它的边长； (2)求方格（图）中阴影正方形的边长． 23．如图，阴影部分（正方形）的四个顶点在5×5的网格格点上． （1）请求出图中阴影部分（正方形）的面积和边长 （2）若边长的整数部分为，小数部分为，求的值． 24．先填写表，通过观察后再回答问题： a … 4 … … x 2 y … (1)表格中______，______； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______； (3)试比较与a的大小． 25．小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽； (2)小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 26．定义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：． (1)_______； (2)对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D C B D D C B 1．C 本题考查了平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题关键． 根据平方根与算术平方根的定义逐项判断即可得． 解：A、，此项错误，不符合题意； B、，此项错误，不符合题意； C、，此项正确，符合题意； D、，此项错误，不符合题意； 故选：C． 2．C 根据平方根和算术平方根的概念即可得到答案． 解：A、负数没有平方根，不符合题意，选项错误； B、负数没有算术平方根，不符合题意，选项错误； C、0的平方根与算术平方根都是0，符合题意，选项正确； D、，的平方根，不符合题意，选项错误， 故选C． 3．C 此题考查了平方根，一个正数有两个平方根，且互为相反数，0的平方根是0．据此进行解答即可． A.当时，，有平方根，故选项不符合题意； B.当时，，有平方根，故选项不符合题意；     C. ，则一定没有平方根，故选项符合题意； D. 当时，，有平方根，故选项不符合题意； 故选：C． 4．D 本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．根据平方根的性质即可求出答案． 解：与是同一个数的两个不等的平方根， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故选：D． 5．C 本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 先确定，再利用算术平方根的性质即可求得答案． 解：∵， ∴， ∴， 即： 故选：C． 6．B 本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键． 由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可． 解：∵正方形墙的面积为， ∴正方形墙的边长为， ∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点， ∴石雕的面积为； ∴石雕的边长为， ∵， ∴， ∴石雕边长的整数部分为2． 故答案为：B． 7．D 本题考查绝对值、算术平方根、平方根，本题主要考查了求代数式的值，首先依据绝对值和平方根的定义求得、，然后结合条件，进行分类计算即可，解题的关键是理解绝对值、算术平方根、平方根的定义． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴，，则； ，，则； 故选：． 8．D 根据题意得出，解方程即可． 解：根据题意得：， 即， ∴， ∴或， 故选：D． 本题考查了平方根，根据题意列出方程结合平方根的意义求解是关键． 9．C 本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论． 解：第1行的最后一个数是， 第2行的最后一个数是， 第3行的最后一个数是， …… 第8行最后一个数字为， ∴第8行倒数第三个数是， 故选：C． 10．B 设瓶子的底面半径为，根据题意列出方程，求出方程的解即可求出所求． 解：解：设瓶子底面半径为， 根据题意得：， 得 解得：(负值舍去)， 故瓶子的底面半径为厘米， 故选：B． 此题考查了算数平方根的实际应用，弄清题意，列出方程是解本题的关键． 11．或 本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义．根据平方根的定义求出、的值，即可求解． 解：，， ，， ， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 12．±3． 根据新定义运算法则得到关于x、y的方程组，通过解方程组求得（X+Y）的值，然后求3X+3Y的平方根. 依题意得： 由①+②，得5X+5Y=15， 所以X+Y=3 所以±±3． 故答案是：±3． 本题考查了平方根,要注意区分平方根、算术平方根的概念． 13．5 本题考查二次根式有意义的条件，算术平方根的定义，根据二次根式有意义的条件列不等式组求解，确定x和y的值，然后代入求值，再根据算术平方根的定义求解即可． 解：由题意可得， 解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5． 故答案为：5． 14．2． 根据相反数的概念列式，根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 解：由题意得：， 则：a−1＝0，b＋1＝0， 解得：a＝1，b＝−1， 则1＋1＝2， 故答案为：2． 本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 15． 本题主要考查了平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的性质求解即可． 解：∵的平方根是它本身， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 16．或 本题考查了利用平方根的性质解方程，熟知一个正数有两个平方根是正确解决本题的关键． 根据题意，得两个一元一次方程，再求解即可． 解：， ， 即或， 或． 故答案为：或． 17．25 本题考查了已知一个数的平方根求这个数、平方根的性质，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴这一个正数为25． 18． 根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 19．1 根据数轴上点的位置确定出，的正负，原式利用绝对值的代数意义，立方根及算术平方根性质计算即可求出值． 解：根据数轴上点的位置得：，且， ，， 则原式． 故答案为：1． 此题考查了实数的运算，立方根，以及实数与数轴，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 20． 本题考查规律探索问题，根据题干中的数据总结规律可知第n个数的符号为，分母为，分子为，即可得出答案． 解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； ， 第个数是； 故答案为：． 21．(1)． (2) （1）根据算术平方根、立方根的定义，得到，，求出和的值即可； （2）把和的值代入代数式求出代数式的值，根据平方根的定义即可解答． （1）解：∵4是的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 64的平方根为， ∴的平方根为． 此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根，解题关键是熟记平方根、算术平方根、立方根的定义． 22．(1)阴影正方形面积为，阴影正方形边长为； (2)阴影正方形边长为． （）先出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义求解即可； （）先出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义求解即可； 本题考查了算术平方根的应用，掌握算术平方根的概念是解题的关键． （1）解：由于每一方格边长为，可得图中阴影正方形面积为： ， 所以，阴影正方形边长为； （2）解：由于每一方格边长为，可得图中阴影正方形面积为： ， 所以，阴影正方形边长为． 23．（1）S=13，边长为 ；（2）6 分析：(1)、利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积得出阴影部分的面积，从而得出正方形的边长； (2)、根据无理数的估算得出a和b的值，然后得出答案． 详解：解：（1）S=25-12=13，边长为， (2)由于， 所以， 所以a=3，b=-3， 原式=． 点睛：本题主要考查的就是无理数的估算，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是根据正方形的面积得出边长． 24．(1)，； (2)①；②； (3)当或1时，；当时，；当时，． 本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案； （3）根据的取值范围分情况讨论即可得到答案． （1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当或1时，；当时，；当时，． 25．(1)长为，宽为； (2)能，理由见解析． 本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． （1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． （1）解：∵信封的长，宽之比为3：2， ∴设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， （负值已舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）能，理由：， ， ． ∵正方形贺卡的边长是， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 26．(1) (2)3 本题考查估算无理数的大小，熟记1至25的平方，在初中阶段非常重要，在解决本题时可提高效率． （1）根据表示不超过的最大整数计算，可得答案． （2）先估算要被开方的数的取值在那两个整数之间，根据表示不超过的最大整数对，255进行此类运算即可． （1）解：根据题意可得， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴，，即对255经过了3次运算后结果为1， 故答案为：3． 学科网（北京）股份有限公司 $