第四章 因式分解 专题复习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2026年北师大版八下数学《因式分解》专题复习及解析 因式分解概念 1. 下列从左到右的变形，是分解因式的个数是（ ） ①；② ③；④ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子，从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左到右变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 以下因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 9. 把多项式分解因式，得，则的值是（ ） A. 1 B. -1 C. 5 D. -5 数形结合因式分解 10. 有足够多如图的长方形和正方形的卡片，如果分别选取1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，可不重叠、无缝隙拼成右图的长方形，则运用拼图前后面积之间的关系可以写出一个因式分解的式子：______ ． 11. 农场里有一个长方形鸡舍，长和宽分别为a，b，其周长为10，且，则鸡舍的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 3 D. 8 12. 如图，根据所示的拼图过程，因式分解：____． 因式分解填空选择小题 13. 因式分解：_________． 14. 因式分解：______． 15. 分解因式：______． 16. 一个长为a，宽为b的长方形的周长为12，面积为7，则的值为________． 17. 如果“”可以写成一个多项式的平方的形式，那么m的值是________． 18. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：______写出一个即可． 因式分解解答题 19. 将下列各式因式分解： （1）； （2）． 20. 把下列式各式因式分解 （1） （2） （3）因式分解； （4）因式分解； 21. 分解因式： （1）． （2） （3） 22. （1）因式分解：27x3﹣3x （2）因式分解：4（x﹣y）2﹣12（x﹣y）+9 （3）分解因式： （4）分解因式： 23. 分解因式： （1）； （2）． （3）因式分解：； （4）因式分解：． 24. 把下列各式分解因式： （1） （2） 25. 因式分解 （1） （2） 26. 因式分解： （1） （2） （3） 2026年北师大版八下数学《因式分解》专题复习解析 因式分解概念 1. 下列从左到右的变形，是分解因式的个数是（ ） ①；② ③；④ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解，据此逐个判断即可得到答案． 【详解】解：①不是将多项式分解成几个整式的乘积形式，不是因式分解； ②等式右边不是乘积形式，不是因式分解； ③等式右边不是乘积形式，不是因式分解； ④等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解； 故选：A． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的定义．直接利用“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解”，分析得出答案． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故本选项不符合题意； B、，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D 3. 下列式子，从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； 、，因式分解，符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 故选：． 4. 下列从左到右变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、没把一个多项式转化成几个整式的积，不属于因式分解，故此选项不符合题意； C、是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意； D、是把一个多项式转化成几个整式的积，属于因式分解，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是把这个多项式因式分解． 5. 下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 【详解】解：A、是多项式乘多项式的整式乘法，不是因式分解，故A错误； B、没把一个多项式转化成几个整式积，不是因式分解，故B错误； C、属于整式乘法运算，不是因式分解，故C错误； D、把一个多项式转化成几个整式积，属于因式分解，故D正确； 故选：D． 6. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式乘法，故A不符合题意； B、等式的左右两边不相等，故B不符合题意； C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C不符合题意； D、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意区分因式分解与整式乘法的关系． 7. 以下因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，对各选项逐一进行因式分解验证，判断是否符合分解规则即可． 【详解】解：A. ，虽提取公因式，但可进一步分解为，未彻底分解，故错误； B. 需分解为两数积为、和为的项，正确分解应为，故错误； C. ，提取公因式后，在实数范围内不可再分解，故正确； D. ，右边为多项式变形而非乘积形式，不符合因式分解要求，故错误； 故选C． 8. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、没把一个多项式转化成几个整式的积，不属于因式分解，故此选项不符合题意； C、是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意； D、是把一个多项式转化成几个整式的积，属于因式分解，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是把这个多项式因式分解． 9. 把多项式分解因式，得，则的值是（ ） A. 1 B. -1 C. 5 D. -5 【答案】D 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，即可求出a+b的值． 【详解】根据题意得：x2+ax+b=(x+1)(x−3)=x2−2x−3， 可得a=−2，b=−3， 则a+b=−5， 故选D. 【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是要理解两个多项式相等的条件，两个多项式分别经过合并同类项后,如果他们的对应项系数都相等,那么称这两个多项式相等. 数形结合因式分解 10. 有足够多如图的长方形和正方形的卡片，如果分别选取1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，可不重叠、无缝隙拼成右图的长方形，则运用拼图前后面积之间的关系可以写出一个因式分解的式子：______ ． 【答案】 【解析】 【分析】用两种不同法方法求长方形的面积． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式相乘的几何背景，掌握长方形的面积公式是解题的关键． 11. 农场里有一个长方形鸡舍，长和宽分别为a，b，其周长为10，且，则鸡舍的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 3 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．根据题意得出，再得出，即可解答． 【详解】解：∵鸡舍周长为10， ∴， ∵，即， ∴， ∴鸡舍的面积为6， 故选：A． 12. 如图，根据所示的拼图过程，因式分解：____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，利用左边4个图形的面积和等于右边长为和宽为的面积求解即可． 【详解】由拼图可得，左边4个图形的面积和为 右边长方形的面积为 ∵左边4个图形的面积和等于右边长方形的面积 ∴ 故答案为：． 因式分解填空选择小题 13. 因式分解：_________． 【答案】或 【解析】 【分析】先提取公因式﹣3xy后，再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】此题考查了综合运用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 14. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的步骤．找到公因式，提取公因式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，提公因式即可分解． 【详解】解：． 故答案为： 16. 一个长为a，宽为b的长方形的周长为12，面积为7，则的值为________． 【答案】42 【解析】 【分析】此题考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．利用长方形的性质得出和的值，进而将原式变形得出答案． 【详解】解：∵长为a，宽为b的长方形的周长为12，面积为7， ∴， 故，， 则 ． 故答案为：42． 17. 如果“”可以写成一个多项式的平方的形式，那么m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 18. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：______写出一个即可． 【答案】或或 【解析】 【分析】把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可． 【详解】解：， 当，时，；；， 用上述方法产生的密码是：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，读懂题目信息，正确进行因式分解是解题的关键，还考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力． 因式分解解答题 19. 将下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接提取公因式，再运用完全平方公式分解即可； （2）先变形得到公因式，然后提取公因式，最后根据平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了综合运用提取公因式和公式法进行因式分解，掌握公式法分解因式是解答本题的关键． 20. 把下列式各式因式分解 （1） （2） （3）因式分解； （4）因式分解； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （3）原式 ； （4）原式. 21. 分解因式： （1）． （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式，掌握因式分解的方法是解答的关键． （1）先提公因式m，再利用完全平方公式求解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式求解即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 22. （1）因式分解：27x3﹣3x （2）因式分解：4（x﹣y）2﹣12（x﹣y）+9 （3）分解因式： （4）分解因式： 解：（1） （2） 【小问3详解】 【小问4详解】 23. 分解因式： （1）； （2）． （3）因式分解：； （4）因式分解：． 解：（1） ； （2）原式 ； （3）； （4） 24. 把下列各式分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）提取公因式，再利用完全平方公式进行因式即可得出答案； （2）根据平方差公式进行因式分解，最后再提公因式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 25. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再合并同类项后提取公因数2分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 26. 因式分解： （1） （2） （3） 【答案】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 （3） ． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $