动点问题 专题复习2025- 2026学年北师大版八年级数学 下册

2026年北师大版八下数学《动点问题》专题复习及解析 1. 如图，△ABC中，，，，若动点从点开始，按的路径运动、且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）出发1秒后，求的周长； （2）当t为几秒时，平分； （3）问t为何值时，为等腰三角形？ 2. 如图，在等边△ABC中，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，分别连接．设运动时间为，解答下列问题： （1）当平分时，求的值； （2）当为何值时，点在线段的垂直平分线上；此时，四边形的面积为_______； （3）当_______秒时，△BPQ为直角三角形． 3. 如图，边长为的等边△ABC中，点分别是边上的动点（端点除外），点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接，交于点，在点，运动的过程中． （1）求证：； （2）的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化，请说明理由； （3）连接，当点，运动多少秒时，是直角三角形？ 4. 如图：△ABC是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． （1）若设的长为x，则 ， ． （2）当时，求的长； （3）过点Q作交延长线于点F，则有怎样的数量关系？说明理由． （4）点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 5. 如图，在△ABC中，，，，动点D从点A出发以1的速度向点C运动；动点E同时从点C出发以2的速度向点B运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接DE，设运动时间为t秒． （1）当时，求的面积； （2）当t为何值时，为直角三角形？ 6. 如图，在△ABC中，，，，动点从点开始沿边以1cm/s的速度运动，动点从点开始沿边以3cm/s的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： （1）当为何值时，点在的垂直平分线上？ （2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）设四边形的面积为，求与之间的关系式． 7. 如图，△ABC为等腰三角形，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接、，设运动时间为，请解答下列问题： （1）当时，求t的值； （2）设的面积为，求与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 8. 如图，在△ABC中，∠B=900，，，，是△ABC边上的两个动点，其中点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒．、两点同时出发，当其中一点到达终点则运动停止，设它们的运动时间为秒． （1）______（用的代数式表示）； （2）当点在边上运动，且使是等腰三角形，求的值； （3）当点在边上运动时，是否存在某一时刻，点恰好在线段的垂直平分线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 9. 如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上．如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，，分别与交于点M，N．设运动时间为，解答下列问题： （1）当垂直平分时，求t的值； （2）当t为何值时，点M在的平分线上？ （3）当点N为的中点时，求t的值； （4）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BCF为等腰三角形，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 10. 如图，在长方形中，，，延长至点E，使，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；连接、．当点Q停止运动时，点P也停止运动．设运动时间为，解答下列问题： （1）当t为何值时，使点Q在的平分线上？ （2）当t为何值时，△DQE为等腰三角形？ （3）设四边形的面积为，求y与t之间的关系式及四边形面积的最大值． 11. 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90o，BC=6cm,，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度运动，连结AD、AE，设运动时间为t秒． （1）求AB的长； （2）当t为多少时，△ABD的面积为6？ （3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由（可在备用图中画出具体图形）． 12. 如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点A、点． （1）点在轴上，若△ABC是等腰三角形，请借助手中的工具，在备用图1中探究发现：符合条件的点有哪几个？请分别用、、……依次表示符合条件的点，并直接写出它们的坐标； （2）动点以1个单位/s的速度从原点出发、动点以2个单位/s的速度从点出发，、都按顺时针方向沿△AOB的三边运动，则经过几秒后，点与点第一次在△AOB的哪条边上相遇？并指出相遇点在这条边的什么位置； （3）若点是△AOB内的一点，请直接写出的取值范围_____． 2026年北师大版八下数学《动点问题》专题复习解析 1. 如图，△ABC中，，，，若动点从点开始，按的路径运动、且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）出发1秒后，求的周长； （2）当t为几秒时，平分； （3）问t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】（1） （2） （3）当为或或或时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）分别求出，的长，即可求解； （2）过作，设，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可； （3）分四种情形：如图3，当时，为等腰三角形，如图4，当时，为等腰三角形，如图5，若点在上，，如图6，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图1， ，，， ， 动点从点开始，按路径运动，且速度为每秒， 出发1秒后，则， ， 由勾股定理得：， 的周长为：； 【小问2详解】 解：如图2，过作， 点恰好在的角平分线上，且，，， ，， ， ，． 设，则，， 中，， 即， 解得， ， ， ； 【小问3详解】 解：①如图3，若在边上时，， 此时用的时间为，为等腰三角形； ②若在边上时，有三种情况： 如图4，若使，此时，运动的路程为， 所以用的时间为，为等腰三角形； 如图5，若，作于点， ， ， ， 在中，， ， 运动的路程为， 则用的时间为，为等腰三角形； 如图6，若，此时应该为斜边的中点，运动的路程为， 则所用的时间为，为等腰三角形； 综上所述，当为或或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．解题时注意，需要作辅助线构造直角三角形． 2. 如图，在等边△ABC中，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，分别连接．设运动时间为，解答下列问题： （1）当平分时，求的值； （2）当为何值时，点在线段的垂直平分线上；此时，四边形的面积为_______； （3）当_______秒时，△BPQ为直角三角形． 【答案】（1） （2）当时，点在线段的垂直平分线上； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）求得，根据距离、速度、时间的关系即可求解； （2）根据，列方程求解即可，进而根据即可求解． （3）分和两种情况讨论，根据含度角的直角三角形的性质，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：在等边中，平分， 点是的中点， ， ， 的值为； 【小问2详解】 解：根据题意：，，则， 过点作于点，过点作于点 在等边中，，点在线段的垂直平分线上， ，， 根据题意得： ， 解得：， 当时，点在线段的垂直平分线上； ∴，， ∴ 在中， ∴ ∵△ABC是等边三角形， ∴， ∴ ∴ 此时四边形的面积为 故答案为：． 【小问3详解】 解：当时，为直角三角形， ，即， 解得：； 当时，为直角三角形， ，即， 解得：； 综上，或时，为直角三角形． 故答案为：或． 3. 如图，边长为的等边△ABC中，点分别是边上的动点（端点除外），点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接，交于点，在点，运动的过程中． （1）求证：； （2）的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化，请说明理由； （3）连接，当点，运动多少秒时，是直角三角形？ 【答案】（1）证明见解析； （2）的大小是不发生变化，理由见解析； （3）当第秒或第秒时，为直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由等边三角形的性质得出，，然后由即可求证； （）由可得，由外角的性质可求； （）分两种情况当时，当时讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解． 【小问1详解】 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴，， 又由条件得， 在和中， ∴， 小问2详解】 解：的大小是不发生变化，理由， 由（）知：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设时间为，则，, 当时， ∵， ∴， ∴，得，； 当时， ∵， ∴， ∴， 得，； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． 4. 如图：△ABC是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． （1）若设的长为x，则 ， ． （2）当时，求的长； （3）过点Q作交延长线于点F，则有怎样的数量关系？说明理由． （4）点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3） （4）3 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键． （1）由线段和差关系可求解； （2）由直角三角形的性质可列方程，即可求的长； （3）由""可证，可得； （4）连接，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得． 【小问1详解】 解：是边长为6的等边三角形， 设，则， 故答案为∶； 【小问2详解】 当时， 是等边三角形， ， 解得∶， ； 【小问3详解】 ，理由如下∶ ， ， 又， ， ； 【小问4详解】 的长度不变． 连接，如图： ， ，且 四边形是平行四边形 5. 如图，在△ABC中，，，，动点D从点A出发以1的速度向点C运动；动点E同时从点C出发以2的速度向点B运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接DE，设运动时间为t秒． （1）当时，求的面积； （2）当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】（1）的面积为 （2）或3 【解析】 【分析】本题考查了含的直角三角形，勾股定理，一元一次方程的应用等知识．熟练掌握含的直角三角形，勾股定理，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）当时，，则，如图，作于，则，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，则，当为直角三角形时，分，两种情况，列一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 如图，作于， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴的面积为； 小问2详解】 解：由题意知，，， ∴， 当为直角三角形时，分，两种情况求解； ①当时，， ∴，即， 解得，； ②当时，， ∴，即， 解得，； 综上所述，当的值为或3时，为直角三角形． 6. 如图，在△ABC中，，，，动点从点开始沿边以1cm/s的速度运动，动点从点开始沿边以3cm/s的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： （1）当为何值时，点在的垂直平分线上？ （2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）设四边形的面积为，求与之间的关系式． 【答案】（1） （2）存在，或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，则可得出方程求出t即可； （2）分两种情形：或分别求解即可． （3）过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，交于点，求出和，分别求出三角形和三角形的面积，则可得出答案． 【小问1详解】 若点在线段垂直平分线上，则， ，， ， 解得：， 答：当时，点在线段的垂直平分线上； 【小问2详解】 ①若，则是直角三角形， ， ， ， ， ， ②若， 则是直角三角形， ， ， ， ， ， ∴当或时，是直角三角形； 【小问3详解】 过点作，垂足为，交于点， ， ， 0 ， ， ， ， 过点作，垂足为，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 答：与之间的关系式为． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，一元一次方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，函数解析式等知识，熟练掌握直角三角形的判定与性质是解题的关键． 7. 如图，△ABC为等腰三角形，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接、，设运动时间为，请解答下列问题： （1）当时，求t的值； （2）设的面积为，求与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，三角形的面积等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键. （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，再列方程即可解答； （2）过点作于， 过点作于， 过点作于， 根据即可解答； （3）分三种情况： ①如图，，过点作于， ②如图，③如图，，过点作于，根据列方程即可解答. 【小问1详解】 解：∵， ， ， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 ∵， ， ∴， 如图， 过点作于， 过点作于， 过点作于， ∴， 由题意得： ， ， ， 由（1）同理得： ， 在中，， 由勾股定理得：， ， ； 【小问3详解】 存在，分三种情况： ①如图，过点作于， ， 在中，， ， ∵， ， ； ②如图， ， ∵， ∴， ∴； ③如图，，过点作于， ∴， ∵，， ， ， ， ， ， ， 综上，的值是或或 9. 如图，在△ABC中，∠B=900，，，，是△ABC边上的两个动点，其中点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒．、两点同时出发，当其中一点到达终点则运动停止，设它们的运动时间为秒． （1）______（用的代数式表示）； （2）当点在边上运动，且使是等腰三角形，求的值； （3）当点在边上运动时，是否存在某一时刻，点恰好在线段的垂直平分线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）根据题意用表示出即可； （2）根据等腰三角形的性质列出方程，根据一元一次方程的计算进行解答； （3）根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 解：点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒， ， 在中，，， ， ． 【小问2详解】 当点在边上运动，△POB为等腰三角形时，则有， ， ， 解得， ， 在中，，， ， ， 此时点在上， ∴当点在边上运动时，是等腰三角形时无解． 【小问3详解】 点在上运动， 点恰好在垂直平分线上， ， ， 作于点，连接，如图， 为的中垂线，， ， 在中，， 由三角函数可知， ， ． 【点睛】本题考查了三角函数，等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 9. 如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上．如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，，分别与交于点M，N．设运动时间为，解答下列问题： （1）当垂直平分时，求t的值； （2）当t为何值时，点M在的平分线上？ （3）当点N为的中点时，求t的值； （4）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BCF为等腰三角形，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）存在，或6或9 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平移的性质等知识内容，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的定义可得，据此可得答案； （2）连接，证明，得到，据此可得答案； （3）连接，由平移的性质可得，可证明垂直平分，则，导角证明，得到，则，据此可得答案； （4）分，和三种情况，根据等腰三角形的定义讨论求解即可． 【小问1详解】 解；如图所示， ∵垂直平分， ∴， 在图①中， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵点M在平分线上， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 由平移的性质可得， ∵，即， ∴， ∵点N为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：存在，理由如下： 当时， 过点B作于G， 在图①中，∵， ∴， ∴； 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴点E与点G重合， ∵，， ∴， ∴； 当时，则； 当时， 则点F在的垂直平分线上， ∴同理可得， ∴； 综上所述，t的值为或6或9． 10. 如图，在长方形中，，，延长至点E，使，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；连接、．当点Q停止运动时，点P也停止运动．设运动时间为，解答下列问题： （1）当t为何值时，使点Q在的平分线上？ （2）当t为何值时，△DQE为等腰三角形？ （3）设四边形的面积为，求y与t之间的关系式及四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3）； 【解析】 【分析】本题考查了动点问题，等腰三角形的判定和性质，一次函数的实际应用，勾股定理等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题关键． （1）由题意得：，根据长方形的性质和角平分线的定义，得到，进而得到，即可求出的值； （2）根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当时；②当时；③由于点Q在线段上，不存在的情形，再结合勾股定理以及等腰三角形三线合一的性质分别列方程求解即可； （3）根据题意，得出，，再根据得到y与t之间的关系式，然后利用一次函数的性质求出最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 四边形为长方形， ∠ADC=∠BCD=900， 平分， ， ， ，即， 解得： 即当t为时，使点Q在的平分线上； 小问2详解】 解：①当时，如图， ，，， ， ， ． ， ． ②当时，如图， ，， ， ， ． ③由于点Q在线段上，不存在的情形， 综上，当t为或时，△DQE为等腰三角形． 【小问3详解】 解：由题意得：，， ，， ， ， y随t的增大而增大， ， 当时，y的最大值． 11. 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90o，BC=6cm,，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度运动，连结AD、AE，设运动时间为t秒． （1）求AB的长； （2）当t为多少时，△ABD的面积为6？ （3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由（可在备用图中画出具体图形）． 【答案】（1）3cm（2）t=1或5（3）2或6 【解析】 【详解】试题分析：（1）运用勾股定理直接求出； （2）首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值； （3）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值． 试题解析：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°， ∴，∴AB=cm； （2） 过A作AF⊥BC交BC于点F，则AF=BC=3cm， ∵S△ABD=6cm2，∴AF×BD=12，∴BD=4cm． 若D在B点右侧，则CD=2cm，t=1s； 若D在B点左侧，则CD=10cm，t=5s； （3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动6秒时，△ABD≌△ACE．理由如下： ①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE． ∵CE=t，BD=6﹣2t ∴t=6﹣2t ∴t=2， ∵AB=AC，∠B=∠ACE=45°，BD=CE， ∴△ABD≌△ACE； ②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE． ∵CE=t，BD=2t﹣6 ∴t=2t﹣6 ∴t=6， ∵AB=AC，∠ABD=∠ACE=135°，BD=CE， ∴△ABD≌△ACE． 考点：1．全等三角形的判定；2．等腰三角形的判定． 12. 如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点A、点． （1）点在轴上，若△ABC是等腰三角形，请借助手中的工具，在备用图1中探究发现：符合条件的点有哪几个？请分别用、、……依次表示符合条件的点，并直接写出它们的坐标； （2）动点以1个单位/s的速度从原点出发、动点以2个单位/s的速度从点出发，、都按顺时针方向沿△AOB的三边运动，则经过几秒后，点与点第一次在△AOB的哪条边上相遇？并指出相遇点在这条边的什么位置； （3）若点是△AOB内的一点，请直接写出的取值范围_____． 【答案】（1），，，； （2）经过8秒，点与第一次在边上相遇，相遇点离A点1个单位； （3）． 【解析】 【分析】（1）先求出点A、B坐标及，再分（在左右两侧）、、三种情况，根据等腰三角形性质及坐标运算确定轴上点的坐标． （2）设相遇时间为，根据点、的速度和起始位置，得出相遇时比多走的路程为的周长，据此列方程求解时间，再根据点运动路程确定相遇位置． （3）根据点在△AOB内的条件，分别列出点E横坐标大于0、纵坐标大于0以及点E在直线下方的不等式，联立求解得出的取值范围． 【小问1详解】 ∵直线与轴、轴分别相交于点A、点． 当时，， 解得， ∴点坐标为； 当时，， ∴点坐标为． 在中，，， ， 当时 若点在点左侧， ∵，点坐标为，则点横坐标为， ∴的坐标为； 若点在点右侧， ∵，则点横坐标为， ∴的坐标为． 当时 ∵（为坐标原点），且， ∴， ∴的坐标为． 当时 设点坐标为，则，． 由可得， 解得， ∴坐标为． 综上，符合条件的点C的坐标为，，，； 【小问2详解】 设经过秒后，点与点第一次相遇． ∵点从原点出发，速度是个单位/s；点从点出发，速度是个单位/s，△AOB三边长，，， ∴比多走的路程为． ∴， 解得． 运动的路程为，，， ∴经过秒，点与点第一次在边上相遇，相遇点离点个单位． 【小问3详解】 已知点是内一点， ∴点的横坐标大于，即，．纵坐标大于，即，，点在直线的下方， 把的坐标代入的右边式子， ∵在直线下方， ∴， 解得． 综合以上三个条件，． ∴m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中直线与坐标轴交点坐标求解、等腰三角形存在性问题、动点相遇问题以及点与三角形位置关系相关知识，解题关键是分别利用直线方程性质、等腰三角形分类讨论思想、动点运动路程关系和点与直线位置关系来求解． 第1页/共1页 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