专题3.2用频率估计概率+概率在遗传学中的应用（高效培优讲义，2知识&7题型精讲+强化训练）数学沪科版九年级下册

专题3.2用频率估计概率+概率在遗传学中的应用 教学目标 1.理解频数、频率的概念，掌握频率的计算方法； 2.明确当试验次数较大时，随机事件的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为该事件的概率； 3.理解用频率估计概率的核心原理；能通过大量重复试验收集数据、计算频率，进而估计事件发生的概率，解决简单的实际问题。 教学重难点 教学重点：理解用频率估计概率的合理性和必要性，掌握当试验次数较大时频率稳定于概率附近的规律；能通过重复试验计算频率，进而估计事件发生的概率。 教学难点：辩证理解频率与概率的区别与联系——概率是确定的常数，频率是随机变化的，试验次数越大频率越接近概率，但不一定等于概率；能根据实际问题选择合适的试验方案，通过频率估算概率并解决实际问题。 知识点01 用频率估计概率 1. 用频率估计概率的适用条件 在试验中，当所有可能出现的不同结果不是有限个，或各种不同结果出现的可能性不相等时，我们就要通过大量重复的试验去探究不同结果出现可能性的大小，并用随机事件发生的频率去估计它的概率. 2. 用随机事件的频率估计概率 一般地，在大量重复试验下，随机事件A 发生的频率(这里n 是总试验次 数，它必须相当大，m 是在n 次试验中随机事件A 发生的次数)会稳定到某个常数p. 于是，我们用p 这 个常数表示随机事件A 发生的概率，即P(A)=p. 3. 频率与概率的区别与联系 区别：频率是试验值或使用时的统计值，与试验人、试验时间、试验地点等有关；概率是理论值，与其他外界因素无关. 联系：试验次数越多，频率越趋向于概率. 【即学即练】已知事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每1000次发生的次数约为 次． 知识点02 遗传中的显性性状与隐性性状 显性性状与隐性性状 生物的形态、结构和生理等特征统称为性状，同种生物同一性状的不同表现形式叫做相对性状；生物的某些性状是由一对基因(遗传因子)控制的，而成对的基因往往有显性和隐性之分. 一般地，子一代表现出来的性状称为显性性状，没有表现出来的性状称为隐性性状. 【即学即练】生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的．如人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因（A）控制，单眼皮由隐性基因（a）控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是，则他们的子女是单眼皮的概率为 ． 题型01 用频率估计概率求数量 【例1-1】（25-26九年级上·安徽·期中）在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有 个． 【例1-2】（25-26九年级上·安徽宿州·月考）一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球．则盒子中的白球大约有多少个？ 【例1-3】（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小背做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 74 149 226 373 604 750 2253 摸到白球的频率 0.740 0.745 0.753 0.746 0.755 0.750 0.751 (1)当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近_____．（结果精确到0.01） (2)若该盒子装有黑、白两种球共60个，试估算黑球的个数． 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽宿州·月考）一个口袋中有8个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋，不断重复上述过程，共做了200次，其中有50次摸到黑球，试估计袋中白球的数量． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近． (1)估计摸到红球的概率是___________； (2)若袋中有10个红球，求袋中一共有多少个球？ 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________．（结果精确到） (2)若该盒子里装有黑、白两种球共个，试估算白球的个数． 题型02 用频率估计概率估算不规则图形面积 【例2】（24-25九年级下·安徽六安·月考）如图，是由边长为个单位长度的小正方形组成的的网格，其中有一“心形”图案．数学小组为了探究“心形”图案的面积，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 落在“心形线”内部的次数 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计“心形”图案的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为10m，宽为6m的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ）      A． B． C． D． 【变式2-3】如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），为了了解该图案的面积是多少，我们采取了以下办法：用一个长为a，宽为b的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），现将若干次有效实验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此估计不规则图案的面积大约是（   ） A．a2 B．ab C．b2 D．ab 题型03 概率在遗传学中的应用 【例3】（2024·安徽合肥·三模）新趋势・跨学科问题  生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的．如人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因a控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是，则他们的子女是双眼皮的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】孟德尔被誉为现代遗传学之父，他通过豌豆杂交实验，发现了遗传学的基本规律．如图，纯种高茎豌豆和纯种矮茎豌豆杂交，子一代都是高茎豌豆，子一代种子种下去，自花传粉，获得的子二代豌豆由DD、Dd、dd三种遗传因子控制．由此可知，子二代豌豆中含遗传因子D的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】生物的性状由遗传因子决定，决定显性性状的为显性遗传因子，用大写字母（如）表示，决定隐性性状的为隐性遗传因子，用小写字母（如）表示，当和结合在一起时无法表达性状，仅表现显性性状．例如某高茎豌豆（）和矮茎豌豆（）杂交，高茎豌豆的和分离，矮茎豌豆和也分离，然后高茎豌豆的遗传因子和矮茎豌豆的遗传因子自由结合，理论上后代中和的比例为．现在有高茎黄色豌豆（ ）和高茎黄色豌豆（ ）杂交，其中后代中为的性状为绿色，且、和、遗传因子相互独立互不影响，则理论上后代出现高茎绿色豌豆的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】普通人体的许多特征都是由基因控制的，如人的单眼皮或双眼皮，这是由一对人体基因控制的，控制单眼皮的基因f是隐性的，控制双眼皮的基因F是显性的，这样控制眼皮的一对基因可能是．基因是的人是单眼皮，基因是或的人是双眼皮，在遗传时，父母分别将他们所携带的一对基因中的一个遗传给子女，而且是等可能的．例如，父母都是双眼皮，而且他们的基因部是，那么他们子女的基因具体情况如表： F f F f (1)根据表格，请你计算出他们的子女是双眼皮的概率为__________； (2)如果父亲的基因是，母亲的基因是，请用树状图（或列表）表示他们子女的基因，并求出是双眼皮的概率． 题型04 利用概率计算随机事件发生的平均次数 【例4】3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” (1)哪位同学说的对？请说明理由； (2)把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 【变式4-1】在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为 次． 【变式4-2】已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是 ． 【变式4-3】李明看到路边上有设摊玩“有奖掷币”游戏，规则：交元钱可以参加游戏，抛一枚质地均匀的硬币三次，如果三次都是正面朝上，可以获得奖金元；如果恰好有两次正面朝上可以获得奖金元；如果是其他情况，那么就没有奖金，无论是否中奖都不再返还元钱．李明拿不定主意究竟是玩还是不玩，请同学们帮帮忙！ (1)请用画树状图的方法求出获得元奖金的概率； (2)如果有人，每人玩一次这种游戏，大约有______人获得元奖金，此时设摊者约获利______元． 题型05 概率在转盘抽奖中的应用 【例5】小桐和叔叔参加社区举办的“义卖募捐”活动，叔叔发现一个摊点正出售他工作中需要的易耗小物件，标价为20元/件．摊主给出两种销售方式： A方式：按标价打八折． B方式：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：在装有红、白、黄3个仅颜色不同的小球的不透明袋子里随机摸出一个球，将球放回袋子搅匀后再随机摸出一个，若两次摸出的球同色就算中奖，则按标价打五折，否则按标价出售． 叔叔看到中奖后打折的力度会较大，选择了B方式． (1)求叔叔以五折的价格买到该物件的概率； (2)小桐说：“如果要买很多很多该物件，我估计选择B方式不如A方式划算．”你同意小桐的说法吗？请说明理由． 【变式5-1】某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是 ． 【变式5-2】某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【变式5-3】某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案： 在一个不透明的盒子中装入个除颜色外完全一样的小球，其中个黄球，个白球； 从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则： 若取出的是黄球，则获得奖品； 若取出的是白球，则获得奖品． (1)求该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是______；“获得奖品”的概率是______； (2)若从原方案的盒子中取走个黄球和个白球，请利用剩下的个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案与获奖规则下的概率分别相等． 题型06 概率在比赛中的应用 【例6】贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【变式6-1】足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【变式6-2】甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 【变式6-3】某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中． (1)该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？ (2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 题型07 用频率估计概率来评断生活中的事件 【例7-1】（22-23九年级上·安徽·月考）有张背面相同的卡片的正面上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上洗匀． (1)从中随机抽取一张卡片，记下数字，放回洗匀，不断重复上述过程，若共抽卡片次，其中有次抽到数字，则这次中抽到数字的频率为______．如果再抽第次，那么抽中的数字的概率为______． (2)健健和康康兄弟俩为决定当天晚饭后洗碗任务的归属，设计了如下游戏规则：两人从四张卡片中同时各抽取一张卡片，若两张卡片上数字和为正数，则健健洗碗；若两张卡片上数字和为负数，则康康洗碗．该游戏规则公平吗？请用树状图或列表方法说明理由． 【例7-2】某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)共有多少种可能密码？ (2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ (3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由． 【例7-3】将所有可能的取值与其对应的概率相乘，再将这些结果相加，称为这个事件的数学期望，它与随机事件的平均值密切相关．一个随机事件可能出现的值为、…，对应的概率为、…，则数学期望为．例如，抛掷一个骰子，出现的概率都为，则点数的数学期望为，也可以说投骰子出现的平均点数为． (1)海猫超市推出的返现活动如下：顾客在超市中消费一定金额后，可参加抽奖，返现金额与概率如下表所示，计算返现金额的数学期望； 金额 3元 4元 5元 6元 概率 (2)某六面骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，，（n为正整数），n为何值时，点数的数学期望最小？请说明理由． 【变式7-1】在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的名用户（男性人，女性人），从中随机抽取了名（女性人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在元以下（不含元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”． 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 (1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中，）； ②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取位，求这位女性用户是“手机支付族”的概率． (2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、 方案一：手机支付消费每满元可直减元： 方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），若摸到个红球则打折，若摸到个红球则打折，若未摸到红球按原价付款． 如果你打算用手机支付购买某样价值元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算． 【变式7-2】某餐厅为了提高服务质量，开展了顾客满意度问卷调查，满意度共分为档，从低到高为分，分，分，分，分．工作人员随机抽取了名顾客进行调查，并制作了如下统计表． 分数/分 份数/份 根据以上信息，解答下列问题： (1)若抽取的顾客中超过一半的评分均不高于分，则需要对餐厅进行整改，请通过计算说明该餐厅是否需要整改； (2)若抽取的顾客所评分数的平均数或中位数低于分，则需要对餐厅进行整改，请通过计算说明该餐厅是否需要整改． 【变式7-3】为鼓励学生积极加入中因共青团组织，某学校团委在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级 8 7 九年级 8 8 (1)请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中的______，______，______； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果从方差的角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 1．（22-23九年级上·安徽·月考）已知在不透明的袋子中装有黑、白两种球共个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过大量重复试验，发现摸出黑球的频率稳定在附近，则袋子中白球的个数约为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 3．（23-24九年级上·安徽淮南·月考）在一个不透明的箱子中，共装有白球、红球、黄球共个，这些球的形状、大小、质地等完全相同．小华通过多次试验后发现，从盒子中摸出红球的频率是，摸出白球的频率是，那么可以估计盒子中黄球的个数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·安徽六安·月考）一个不透明的盒子中装有若干个红球和4个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则盒子中红球的个数约为 ． 5.（22-23九年级上·安徽·期末）某区为了了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表．根据抽测结果，对该区初中生体质健康合格的概率进行估计，最合理的结果是 ．(保留两位小数） 累计抽测的学生数n 100 20 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格学生数与n比值 0.88 0.89 0.93 0.9 0.89 0.9 0.92 0.93 0.93 0.93 6．（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）在一只不透明的袋子中共有2个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋中随机摸出1个球，记下颜色，然后放回袋中，搅匀后再摸出一个球，再记下颜色，再放回，再搅匀……如此反复实验，若摸到红球的频率稳定在0.75附近，则袋中红球的个数是 ． 7．（24-25九年级下·安徽安庆·月考）在一个不透明的箱子中装有个白色乒乓球和若干个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外全一样，摇匀后从中随机摸出一个乒乓球，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了次，发现有次摸到红色乒乓球，由此可估计箱子中有多少个红色乒乓球． 8．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近． (1)估计摸到红球的概率是 ； (2)若袋中有12个红球，求袋中一共有多少个球？ 9．甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 10．人体的许多特征都是由基因控制的．如人的单眼皮或双眼皮，这是由一对人体基因控制的，控制单眼皮的基因是隐性的，控制双眼皮的基因是显性的，这样控制眼皮的一对基因可能是，或者．基因是的人是单眼皮，基因是或的人是双眼皮，在遗传时，父母分别将他们所携带的一对基因中的一个遗传给子女，而且是等可能的例如，父母都是双眼皮而且他们的基因都是，那么他们的子女只有，或者三种可能，具体情况可用下表表示： (1)根据表格请你计算出他们的子女是双眼皮的概率；        父亲基因 母亲基因 (2)如果父亲的基因是，母亲的基因是，请用树状图表示他们子女的基因，并求出是双眼皮的概率； (3)你觉得父母双方只要一方基因是________时，他们的子女一定是双眼皮． 11．（22-23九年级上·安徽淮南·月考）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共60个．小亮做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)当的值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________；（精确到） (2)假如你摸球一次，摸到黑球的概率（摸到黑球）为___________； (3)请估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ 12．（23-24九年级上·安徽芜湖·月考）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 78 123 b 402 644 801 摸到白球的频率 a 0.82 0.79 0.804 0.805 0.801 (1)上表中的__________，__________． (2)“摸到白球”的概率的估计值是__________（精确到）． (3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？ 13．（22-23九年级上·安徽淮南·月考）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到） (2)试估算口袋中红球有多少个？ (3)请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两个球颜色不同的概率是多少？ 14．（2023·安徽合肥·三模）某企业准备购进药品自动分装机，现有甲乙两款产品供选择，为了解这两款自动分装机的分装效果，对它们各进行50次分装检测，获得了它们的分装质量指标值，并对样本数据（分装质量指标值）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．该分装质量指标值对应等级如下： 分装质量指标值 等级 次等 二等 一等 二等 次等 说明：其中一等，二等为分装质量合格（其中等级是一等的为分装质量优秀）；次等为分装质量不合格． b．甲款机器样本数据的频数分布统计表如下（不完整）： c．乙款机器样本数据的频数分布直方图如下： 甲款机器样本数据的频数分布表 分组 频数 频率      2 32 0 合计 50 d．两款机器样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 甲款机器 乙款机器 根据以上信息，回答下列问题： (1)的值为______，的值为______； (2)若用甲款机器分装，估计分装质量的合格率为多少？若乙款机器分装5万次，估计质量优秀的有多少万次？ (3)根据图表数据，你认为哪款机器分装质量较好，请说明理由． 15.商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 16．某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 17．有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率） (1)用列表法求； (2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明； (3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2用频率估计概率+概率在遗传学中的应用 教学目标 1.理解频数、频率的概念，掌握频率的计算方法； 2.明确当试验次数较大时，随机事件的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为该事件的概率； 3.理解用频率估计概率的核心原理；能通过大量重复试验收集数据、计算频率，进而估计事件发生的概率，解决简单的实际问题。 教学重难点 教学重点：理解用频率估计概率的合理性和必要性，掌握当试验次数较大时频率稳定于概率附近的规律；能通过重复试验计算频率，进而估计事件发生的概率。 教学难点：辩证理解频率与概率的区别与联系——概率是确定的常数，频率是随机变化的，试验次数越大频率越接近概率，但不一定等于概率；能根据实际问题选择合适的试验方案，通过频率估算概率并解决实际问题。 知识点01 用频率估计概率 1. 用频率估计概率的适用条件 在试验中，当所有可能出现的不同结果不是有限个，或各种不同结果出现的可能性不相等时，我们就要通过大量重复的试验去探究不同结果出现可能性的大小，并用随机事件发生的频率去估计它的概率. 2. 用随机事件的频率估计概率 一般地，在大量重复试验下，随机事件A 发生的频率(这里n 是总试验次 数，它必须相当大，m 是在n 次试验中随机事件A 发生的次数)会稳定到某个常数p. 于是，我们用p 这 个常数表示随机事件A 发生的概率，即P(A)=p. 3. 频率与概率的区别与联系 区别：频率是试验值或使用时的统计值，与试验人、试验时间、试验地点等有关；概率是理论值，与其他外界因素无关. 联系：试验次数越多，频率越趋向于概率. 【即学即练】已知事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每1000次发生的次数约为 次． 【答案】100 【详解】解：∵事件A发生的概率为， ∴大量重复做这种试验事件A平均每1000次发生的次数是． 故答案为：100． 知识点02 遗传中的显性性状与隐性性状 显性性状与隐性性状 生物的形态、结构和生理等特征统称为性状，同种生物同一性状的不同表现形式叫做相对性状；生物的某些性状是由一对基因(遗传因子)控制的，而成对的基因往往有显性和隐性之分. 一般地，子一代表现出来的性状称为显性性状，没有表现出来的性状称为隐性性状. 【即学即练】生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的．如人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因（A）控制，单眼皮由隐性基因（a）控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是，则他们的子女是单眼皮的概率为 ． 【答案】 【详解】解：列表如下： 父亲母亲 A a A a 由表格中，一共有四种等可能性的结果数，其中他们子女是单眼皮的结果数有1种， ∴他们子女可以是双眼皮的概率为． 故答案为：． 题型01 用频率估计概率求数量 【例1-1】（25-26九年级上·安徽·期中）在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有 个． 【答案】12 【详解】解：设红球有个，则总球数为个． 摸到白球的概率为， 即． ， ， ，． 故口袋中红球可能有12个． 故答案为：12． 【例1-2】（25-26九年级上·安徽宿州·月考）一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球．则盒子中的白球大约有多少个？ 【答案】估计盒子中的白球大约有个． 【详解】解：设盒子中共有白球个， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ∴估计盒子中的白球大约有个． 【例1-3】（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小背做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 74 149 226 373 604 750 2253 摸到白球的频率 0.740 0.745 0.753 0.746 0.755 0.750 0.751 (1)当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近_____．（结果精确到0.01） (2)若该盒子装有黑、白两种球共60个，试估算黑球的个数． 【详解】（1）解：根据表格信息得到当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （2）解：设黑球有个，则白球有个， ∴， 解得，， ∴黑球有个． 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽宿州·月考）一个口袋中有8个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋，不断重复上述过程，共做了200次，其中有50次摸到黑球，试估计袋中白球的数量． 【详解】解：设袋中白球有x个． 根据题意，得，解得． 经检验，是原方程的解． 答：袋中白球的数量约为24个． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近． (1)估计摸到红球的概率是___________； (2)若袋中有10个红球，求袋中一共有多少个球？ 【详解】（1）解：经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近， 估计摸到红球的频率为， 估计摸到红球的概率是， 故答案为：； （2）设袋中一共有个球， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：袋中一共有25个球． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________．（结果精确到） (2)若该盒子里装有黑、白两种球共个，试估算白球的个数． 【详解】（1）解：根据表格信息得到当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：． （2）解：由表格数据可知，摸到白球的频率稳定在左右， 估计该盒子里摸到白球的概率为， 盒子里白球约有（个）． 题型02 用频率估计概率估算不规则图形面积 【例2】（24-25九年级下·安徽六安·月考）如图，是由边长为个单位长度的小正方形组成的的网格，其中有一“心形”图案．数学小组为了探究“心形”图案的面积，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 落在“心形线”内部的次数 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计“心形”图案的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近， ∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为， ∴估计“心形”图案的面积为， 故选：． 【变式2-1】如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 【变式2-2】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为10m，宽为6m的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率逐渐稳定于， 所以小球落在不规则图案上的概率约为， 则估计不规则图案的面积大约是， 故选：B． 【变式2-3】如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），为了了解该图案的面积是多少，我们采取了以下办法：用一个长为a，宽为b的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），现将若干次有效实验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此估计不规则图案的面积大约是（   ） A．a2 B．ab C．b2 D．ab 【答案】B 【详解】解：假设不规则图案面积为x m2， ∵用一个长为a，宽为b的长方形 ∴长方形面积为abm2， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上有：＝0.35，解得x＝ab． 故选：B． 题型03 概率在遗传学中的应用 【例3】（2024·安徽合肥·三模）新趋势・跨学科问题  生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的．如人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因a控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是，则他们的子女是双眼皮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：列表如下： A a A a 由表格中，一共有4种等可能性的结果数，其中他们子女可以是双眼皮的结果数有3种， ∴他们子女可以是双眼皮的概率为． 故选：D． 【变式3-1】孟德尔被誉为现代遗传学之父，他通过豌豆杂交实验，发现了遗传学的基本规律．如图，纯种高茎豌豆和纯种矮茎豌豆杂交，子一代都是高茎豌豆，子一代种子种下去，自花传粉，获得的子二代豌豆由DD、Dd、dd三种遗传因子控制．由此可知，子二代豌豆中含遗传因子D的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：画图如下： 共有4种情况，而出现高茎的有3种结果， ∴子二代豌豆中含遗传因子D的概率是， 故选：D 【变式3-2】生物的性状由遗传因子决定，决定显性性状的为显性遗传因子，用大写字母（如）表示，决定隐性性状的为隐性遗传因子，用小写字母（如）表示，当和结合在一起时无法表达性状，仅表现显性性状．例如某高茎豌豆（）和矮茎豌豆（）杂交，高茎豌豆的和分离，矮茎豌豆和也分离，然后高茎豌豆的遗传因子和矮茎豌豆的遗传因子自由结合，理论上后代中和的比例为．现在有高茎黄色豌豆（ ）和高茎黄色豌豆（ ）杂交，其中后代中为的性状为绿色，且、和、遗传因子相互独立互不影响，则理论上后代出现高茎绿色豌豆的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：列表格如下： （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 共有种等可能的结果，其中后代出现高茎绿色豌豆的有种， 所以理论上后代出现高茎绿色豌豆的概率为， 故选：B． 【变式3-3】普通人体的许多特征都是由基因控制的，如人的单眼皮或双眼皮，这是由一对人体基因控制的，控制单眼皮的基因f是隐性的，控制双眼皮的基因F是显性的，这样控制眼皮的一对基因可能是．基因是的人是单眼皮，基因是或的人是双眼皮，在遗传时，父母分别将他们所携带的一对基因中的一个遗传给子女，而且是等可能的．例如，父母都是双眼皮，而且他们的基因部是，那么他们子女的基因具体情况如表： F f F f (1)根据表格，请你计算出他们的子女是双眼皮的概率为__________； (2)如果父亲的基因是，母亲的基因是，请用树状图（或列表）表示他们子女的基因，并求出是双眼皮的概率． 【详解】（1）解：由表格可知一共有4种等可能性的结果数， 其中是双眼皮的结果数有3种， ∴他们的子女是双眼皮的概率为； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，其中他们的子女是双眼皮的结果数有2种， ∴他们的子女是双眼皮的概率为． 题型04 利用概率计算随机事件发生的平均次数 【例4】3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” (1)哪位同学说的对？请说明理由； (2)把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 【详解】（1）解：丙说的对，理由如下： 设3张扑克牌为A、B、C，A为黑桃， 画树状图得： 则所有可能出现的结果有：，，，，，共6种． 甲得到奖励的结果有2种，P（甲中签）； 乙得到奖励的结果有2种，P（乙中签）； 丙得到奖励的结果有2种，P（丙中签）． 因此先抽的人与后抽的人得到奖励的概率相同； （2）解：根据题意得（次）， 答：估算甲抽到黑桃大约900次． 【变式4-1】在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为 次． 【答案】 【详解】解：事件发生的概率为，进行1000次独立重复实验， 事件发生的次数约为， 故答案为：． 【变式4-2】已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是 ． 【答案】 【详解】解：该运动员比赛中罚球投中的概率是， 若有次罚球机会，则他估计能投中的次数是（次）． 故答案为：． 【变式4-3】李明看到路边上有设摊玩“有奖掷币”游戏，规则：交元钱可以参加游戏，抛一枚质地均匀的硬币三次，如果三次都是正面朝上，可以获得奖金元；如果恰好有两次正面朝上可以获得奖金元；如果是其他情况，那么就没有奖金，无论是否中奖都不再返还元钱．李明拿不定主意究竟是玩还是不玩，请同学们帮帮忙！ (1)请用画树状图的方法求出获得元奖金的概率； (2)如果有人，每人玩一次这种游戏，大约有______人获得元奖金，此时设摊者约获利______元． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反，共有种等可能的情况，其中出现正正正，共种情况， 获得元奖金的概率； （2）解：获得元奖金的概率为， 如果有人玩时，获得元奖金的人数约为（人）； 恰好有两次正面朝上的结果有：正正反、正反正、反正正，共种情况， 获得元奖金的概率为， 如果有人玩时，获得元奖金的人数约为（人）； 设摊者获利（元）． 故答案为：；． 题型05 概率在转盘抽奖中的应用 【例5】小桐和叔叔参加社区举办的“义卖募捐”活动，叔叔发现一个摊点正出售他工作中需要的易耗小物件，标价为20元/件．摊主给出两种销售方式： A方式：按标价打八折． B方式：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：在装有红、白、黄3个仅颜色不同的小球的不透明袋子里随机摸出一个球，将球放回袋子搅匀后再随机摸出一个，若两次摸出的球同色就算中奖，则按标价打五折，否则按标价出售． 叔叔看到中奖后打折的力度会较大，选择了B方式． (1)求叔叔以五折的价格买到该物件的概率； (2)小桐说：“如果要买很多很多该物件，我估计选择B方式不如A方式划算．”你同意小桐的说法吗？请说明理由． 【详解】（1）解：依题意可列树状图如下： 因为有9种等可能的结果，其中两次摸出的球同色的结果有3种， 所以． 即叔叔以五折的价格买到该物件的概率为； （2）同意小桐的说法．理由如下： 由（1）可知，两次摸出的球不同色的概率为． 对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，可以估计：若买很多很多该物件，叔叔以五折的价格买到该物件的频率为，以标价购买该物件的频率为． 在此情形下，设买件该物件，若选择B方式，可估计总花费为：（元）． 而若选择A方式，总花费为（元）． 因为，即选择B方式不如A方式划算，所以同意小桐的说法． 【变式5-1】某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是 ． 【答案】三等奖 【详解】一等奖、二等奖、三等奖的比为，总比例为， 获一等奖的概率为，获二等奖的概率为，获三等奖的概率为， 由于，则获奖可能性最大的奖项是三等奖． 故答案为三等奖． 【变式5-2】某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【详解】（1）解：∵正二十面体骰子总共有个面，其中标有“4”的面有4个， ∴骰子掷出后，“4”朝上的概率为； 故答案为：； （2）解：先计算方式一的获奖概率： 骰子总面数为，标有“6”的面数为， ∴选择方式一获奖的概率为． 再计算方式二的获奖概率： 转盘被等分成份，6的倍数为6、，共2个， ∴选择方式二获奖的概率为． ∵， ∴方式一的获奖机会更大； 答：选择方式一获奖机会更大． 【变式5-3】某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案： 在一个不透明的盒子中装入个除颜色外完全一样的小球，其中个黄球，个白球； 从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则： 若取出的是黄球，则获得奖品； 若取出的是白球，则获得奖品． (1)求该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是______；“获得奖品”的概率是______； (2)若从原方案的盒子中取走个黄球和个白球，请利用剩下的个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案与获奖规则下的概率分别相等． 【详解】（1）解：由题意知，共有9种等可能的结果，其中取出的是黄球结果有种，取出的是白球的结果有种， ∴该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”的概率为，“获得奖品B”的概率为， 故答案为：，； （2）解：新的摸球方案：从袋中剩余的个黄球，个白球中先随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再随机摸取一个小球； 获奖规则：若取出的两个球颜色相同，则获得奖品；若取出的两个球颜色不同，获得奖品， 此时列表如下： 黄 白 白 黄 黄，黄 黄，白 黄，白 白 白，黄 白，白 白，白 白 白，黄 白，白 白，白 共有种等可能的结果，其中取出的两个球颜色相同的结果有种，取出的两个球颜色不同的结果有种， ∴“获得奖品A”的概率，“获得奖品”的概率． 题型06 概率在比赛中的应用 【例6】贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 【变式6-1】足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 【变式6-2】甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 【答案】 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 【变式6-3】某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中． (1)该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？ (2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【详解】（1）解：设该运动员共投出x个3分球． ∵3分球的命中率为0.25， ∴3分球的未命中率为1－0.25＝0.75． 根据题意，得 ＝12． 解得x＝640． ∴0.25x＝0.25×640＝160(个)． 答：运动员去年的比赛中共投出640个3分球，共投中160个3分球． （2）解：小明的说法不正确；3分球的命中率为0.25，是相对于40场比赛来说的，而在其中的一场比赛中，虽然该运动员3分球共出手20次，但是该运动员在这场比赛中不一定投中了5个3分球． 题型07 用频率估计概率来评断生活中的事件 【例7-1】（22-23九年级上·安徽·月考）有张背面相同的卡片的正面上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上洗匀． (1)从中随机抽取一张卡片，记下数字，放回洗匀，不断重复上述过程，若共抽卡片次，其中有次抽到数字，则这次中抽到数字的频率为______．如果再抽第次，那么抽中的数字的概率为______． (2)健健和康康兄弟俩为决定当天晚饭后洗碗任务的归属，设计了如下游戏规则：两人从四张卡片中同时各抽取一张卡片，若两张卡片上数字和为正数，则健健洗碗；若两张卡片上数字和为负数，则康康洗碗．该游戏规则公平吗？请用树状图或列表方法说明理由． 【详解】（1）解：∵共抽卡片次，其中有次抽到数字， ∴这次中抽到数字的频率为； 抽到数字的概率为， 如果再抽第次，抽中的数字的概率为； 故答案为：，； （2）解：该游戏规则公平，理由如下： 列表如下： 由表可得，共有中情况，其中两张卡片上数字和为正数的情况有种，两张卡片上数字和为负数的情况有种， ∴该游戏规则公平． 【例7-2】某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)共有多少种可能密码？ (2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ (3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由． 【详解】（1）解：这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种， 密码的可能性有：（种）； （2）； （3）不是． 理由：每次尝试解锁是独立的随机事件，且成功概率较小，只有，随机尝试100次仍未成功在概率上是可能的，他可能多次尝试了相同的错误密码，未覆盖到正确的密码． 【例7-3】将所有可能的取值与其对应的概率相乘，再将这些结果相加，称为这个事件的数学期望，它与随机事件的平均值密切相关．一个随机事件可能出现的值为、…，对应的概率为、…，则数学期望为．例如，抛掷一个骰子，出现的概率都为，则点数的数学期望为，也可以说投骰子出现的平均点数为． (1)海猫超市推出的返现活动如下：顾客在超市中消费一定金额后，可参加抽奖，返现金额与概率如下表所示，计算返现金额的数学期望； 金额 3元 4元 5元 6元 概率 (2)某六面骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，，（n为正整数），n为何值时，点数的数学期望最小？请说明理由． 【详解】（1）解：返现金额的数学期望为 （元）； （2）解：点数的数学期望为 ， 当时，数学期望最小，最小值为． 【变式7-1】在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的名用户（男性人，女性人），从中随机抽取了名（女性人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在元以下（不含元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”． 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 (1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中，）； ②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取位，求这位女性用户是“手机支付族”的概率． (2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、 方案一：手机支付消费每满元可直减元： 方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），若摸到个红球则打折，若摸到个红球则打折，若未摸到红球按原价付款． 如果你打算用手机支付购买某样价值元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算． 【详解】（1）解：①因为随机抽取了名（女性人），所以男性人， ∵，， ∴，， 补充表格如下： 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 ②由①可得，女性用户中随机抽取位，这位女性用户是“手机支付族”的概率是． （2）解：若选方案一：则需付款：元； 若选方案二：设实际付款元，则取值为：元，元，元， 根据从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为、，白球为、， 画出树状图为： 根据树状图可知：所有可能的结果共种，摸到个红球的有种，摸到个红球的有种，未摸到红球的有种， 所以摸到个红球的概率为：，则打折， 摸到个红球的概率为：，则打折， 未摸到红球的概率为：，按原价付款． 所以实际付款的平均金额为： （元）． 因为元元， 所以选择方案二更划算． 【变式7-2】某餐厅为了提高服务质量，开展了顾客满意度问卷调查，满意度共分为档，从低到高为分，分，分，分，分．工作人员随机抽取了名顾客进行调查，并制作了如下统计表． 分数/分 份数/份 根据以上信息，解答下列问题： (1)若抽取的顾客中超过一半的评分均不高于分，则需要对餐厅进行整改，请通过计算说明该餐厅是否需要整改； (2)若抽取的顾客所评分数的平均数或中位数低于分，则需要对餐厅进行整改，请通过计算说明该餐厅是否需要整改． 【详解】（1）解：该餐厅不需要整改，理由如下： ， 该餐厅不需要整改； （2）解：该餐厅不需要整改．理由如下： 该餐厅服务质量的平均数为 （分）， 中位数为（分）， ，， 该餐厅不需要整改． 【变式7-3】为鼓励学生积极加入中因共青团组织，某学校团委在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级 8 7 九年级 8 8 (1)请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中的______，______，______； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果从方差的角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 【详解】（1）解：①九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数分； 八年级竞赛成绩中第25、26位的分数都是8分，故中位数分； 九年级竞赛成绩的方差为： ， 故； 故答案为：8；8；； ②如果从方差角度看，八年级的方差为，九年级的方差为，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖， 故如果方差角度来分析，应该给九年级颁奖； （2）解：八年级的获奖率为：， 九年级的获奖率为：， ， 九年级的获奖率高． 1．（22-23九年级上·安徽·月考）已知在不透明的袋子中装有黑、白两种球共个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过大量重复试验，发现摸出黑球的频率稳定在附近，则袋子中白球的个数约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设袋子中黑球有个， 由题意可得，， ∴， ∴袋子中黑球有个， ∴袋子中白球的个数为个， 故选：． 2．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】设袋中有黑球个，由题意得：， 解得：，经检验，是分式方程的解， 则布袋中黑球的个数可能有6个． 故选：B． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·月考）在一个不透明的箱子中，共装有白球、红球、黄球共个，这些球的形状、大小、质地等完全相同．小华通过多次试验后发现，从盒子中摸出红球的频率是，摸出白球的频率是，那么可以估计盒子中黄球的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从盒子中摸出红球的频率是，摸出白球的频率是， 得到黄球的概率为：， 则口袋黄小球有：个． 故选：B． 4．（23-24九年级上·安徽六安·月考）一个不透明的盒子中装有若干个红球和4个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则盒子中红球的个数约为 ． 【答案】 【详解】设盒子中红球的个数为 由摸到黑球的频率稳定在0.2左右知，摸到黑球的概率为0.2， 则， 解得， 即盒子中红球个数大约个． 故答案为：． 5.（22-23九年级上·安徽·期末）某区为了了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表．根据抽测结果，对该区初中生体质健康合格的概率进行估计，最合理的结果是 ．(保留两位小数） 累计抽测的学生数n 100 20 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格学生数与n比值 0.88 0.89 0.93 0.9 0.89 0.9 0.92 0.93 0.93 0.93 【答案】0.93 【详解】解：由表格可知：经过大量重复试验，体质健康合格的学生数与抽测的学生数n的比值稳定在0.93附近，所以该区初中生体质健康合格的概率为0.93， 故答案为：0.93． 6．（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）在一只不透明的袋子中共有2个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋中随机摸出1个球，记下颜色，然后放回袋中，搅匀后再摸出一个球，再记下颜色，再放回，再搅匀……如此反复实验，若摸到红球的频率稳定在0.75附近，则袋中红球的个数是 ． 【答案】6 【详解】解：设袋中红球有个，根据题意，得 ， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 所以袋中白球有6个， 故答案为：6． 7．（24-25九年级下·安徽安庆·月考）在一个不透明的箱子中装有个白色乒乓球和若干个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外全一样，摇匀后从中随机摸出一个乒乓球，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了次，发现有次摸到红色乒乓球，由此可估计箱子中有多少个红色乒乓球． 【详解】解：摸了次，发现有次摸到红色乒乓球， 估计摸到红色乒乓球的概率为， 设红色乒乓球个数为个， ， 解得：， 经检验是方程的解， 估计箱子中有个红色乒乓球． 8．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近． (1)估计摸到红球的概率是 ； (2)若袋中有12个红球，求袋中一共有多少个球？ 【详解】（1）解：∵经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近， 估计摸到红球的频率在附近， 估计摸到红球的概率是， 故答案为：； （2）解：设袋中一共有个球，根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：袋中一共有20个球． 9．甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：    共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种， 所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为． （2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：    共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种， 根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人． 10．人体的许多特征都是由基因控制的．如人的单眼皮或双眼皮，这是由一对人体基因控制的，控制单眼皮的基因是隐性的，控制双眼皮的基因是显性的，这样控制眼皮的一对基因可能是，或者．基因是的人是单眼皮，基因是或的人是双眼皮，在遗传时，父母分别将他们所携带的一对基因中的一个遗传给子女，而且是等可能的例如，父母都是双眼皮而且他们的基因都是，那么他们的子女只有，或者三种可能，具体情况可用下表表示： (1)根据表格请你计算出他们的子女是双眼皮的概率；        父亲基因 母亲基因 (2)如果父亲的基因是，母亲的基因是，请用树状图表示他们子女的基因，并求出是双眼皮的概率； (3)你觉得父母双方只要一方基因是________时，他们的子女一定是双眼皮． 【详解】（1）解：由表格可知一共有4种等可能性的结果数， 其中是双眼皮的结果数有3种， ∴他们的子女是双眼皮的概率为 （2）解：画树状图如下：    由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，其中他们的子女是双眼皮的结果数有2种， ∴他们的子女是双眼皮的概率为， （3）解：∵只要子女的基因中带有F，那么子女一定是双眼皮，并且父母辈的基因是时，无论怎么遗传，都会给字母一个F基因， ∴因此只要父母辈中由一个人的基因是时，他们的子女一定是双眼皮， 故答案为：． 11．（22-23九年级上·安徽淮南·月考）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共60个．小亮做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)当的值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________；（精确到） (2)假如你摸球一次，摸到黑球的概率（摸到黑球）为___________； (3)请估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ 【详解】（1）解：当n的值越来越大时，摸到白球的频率将会接近0.6， （2）根据频率估计概率可得，摸到白球的概率P（摸到白球）， 摸到黑球的概率P（摸到黑球）， （3）黑球个数为：， 白球个数为：． ∴黑球有24只，白球有36只． 12．（23-24九年级上·安徽芜湖·月考）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 78 123 b 402 644 801 摸到白球的频率 a 0.82 0.79 0.804 0.805 0.801 (1)上表中的__________，__________． (2)“摸到白球”的概率的估计值是__________（精确到）． (3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？ 【详解】（1）解：，； 故答案为：；158； （2）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率估计值是； 故答案为：； （3）解：（个）； 答：除白球外，还有大约3个其它颜色的小球． 13．（22-23九年级上·安徽淮南·月考）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到） (2)试估算口袋中红球有多少个？ (3)请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两个球颜色不同的概率是多少？ 【详解】（1）解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近； （2）由（1）知摸到白球的概率为，则摸到红球的概率为，所以可估计口袋中红球的个数为：（个）； （3）由（2）得：红球2个，白色球3个，画树状图为： 共有20种等可能的结果数，其中两个球颜色不同占12种， 所以两个球颜色不同的概率． 14．（2023·安徽合肥·三模）某企业准备购进药品自动分装机，现有甲乙两款产品供选择，为了解这两款自动分装机的分装效果，对它们各进行50次分装检测，获得了它们的分装质量指标值，并对样本数据（分装质量指标值）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．该分装质量指标值对应等级如下： 分装质量指标值 等级 次等 二等 一等 二等 次等 说明：其中一等，二等为分装质量合格（其中等级是一等的为分装质量优秀）；次等为分装质量不合格． b．甲款机器样本数据的频数分布统计表如下（不完整）： c．乙款机器样本数据的频数分布直方图如下： 甲款机器样本数据的频数分布表 分组 频数 频率      2 32 0 合计 50 d．两款机器样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 甲款机器 乙款机器 根据以上信息，回答下列问题： (1)的值为______，的值为______； (2)若用甲款机器分装，估计分装质量的合格率为多少？若乙款机器分装5万次，估计质量优秀的有多少万次？ (3)根据图表数据，你认为哪款机器分装质量较好，请说明理由． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；。 （2）从用甲款机器分装的产品中任取一件，估计该产品质量合格率为：， 乙款机器分装产品共5万次，质量优秀的件数有：（万次）。 答：用甲款机器分装，估计分装质量的合格率为；若乙款机器分装5万次，估计质量优秀的有万次。 （3）我认为甲款机器分装质量较好， 理由：甲款机器分装质量抽样产品的方差小于乙款机器，质量的稳定性更好。 15.商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 【详解】（1）解：画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况， 一次抽奖获得折优惠的概率； （2）解：如果先择方案二，则顾客打折的概率为， 打折的概率为， 打折的概率为， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 打折的概率是， 如果选择方案二，顾客大约可以省元， 如果选择方案一，顾客一定可以省元， 选择方案一较为实惠． 16．某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，    ∴甲从A口进入，C口离开的概率为； （2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，    ∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为． （3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口． 理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开． 17．有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率） (1)用列表法求； (2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明； (3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由． 【详解】（1）由题得，列表为： 第1个第2个 1 3 3 1 1 3 0 2 1 1 0 4 3 1 2 4 所以，共有12种等可能结果，其中和的绝对值为1的有4种，； （2）由（1）得：，，，，， ∴的所有取值的众数为，而的所有取值的平均数为：， ∵，所以张亮的想法是错的． （3）∵， ∴（答案不唯一） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $