第三章 大招专题4 旋转中的全等模型-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦图形的平移与旋转，核心讲解旋转中的全等模型，包括手拉手、半角、费马点模型。通过母题（如2024浙江杭州期末题）导入，结合旋转性质、等边三角形性质等旧知，搭建“母题学大招-子题练变式”的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是以真题为载体，通过“母题解析-思路分析-大招解读-变式训练”的教学逻辑，培养学生几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维）。例如手拉手模型中通过旋转证全等，半角模型中构造辅助线，帮助学生用数学语言表达规律。学生能提升解题技巧，教师可获得系统教学资源，提高教学效率。

数 学 八年级下册 BS 1 2 3 第三章 图形的平移与旋转 4 大招专 题4 旋转中的全等模型 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招16 手拉手模型 1.【2024浙江杭州期末，中】图（1）是边长分别为和 的两个等边三角 形纸片和叠放在一起（与 重合）组成的图形. 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转 ，连接， ， 如图（2），线段与 之间具有怎样的数量关系？证明你的结论. 【解】 . 证明：绕点按顺时针方向旋转 , . 与是等边三角形，，， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 思路分析 根据旋转的性质可得 ,再根据等边三角形的性质可得 ，，即可证明,可得 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 （2）操作：若将图（1）中的，绕点按顺时针方向任意旋转一个角度 ， 连接，，如图（3），线段与 之间是否仍符合（1）中的结论？若是， 请证明；若不是，请直接写出与 之间的数量关系. 【解】是. 证明：绕点按顺时针方向旋转的角度为 ， . 与是等边三角形，，， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 （3）根据上面的操作过程，请问当 为多少度时，线段 的长 度最大？最大值是多少？当 为多少度时，线段 的长度最小？最小值是多少？ 【解】当点旋转到的反向延长线上，即 时，线段 的长度最大， 最大值为.当点在边上，即 时，线段 的长度最小，最小值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 大招解读 手拉手模型 手拉手模型是指两个顶角相等的等腰三角形顶角的顶点重合，左底角顶点互连， 右底角顶点互连所组成的图形，如图所示. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 子题练变式 2.【2025黑龙江哈尔滨质检，中】已知与均为等边三角形，且顶点 重合，现将等边绕顶点 转动得到下列图形. 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 （1）初步探究：如图（1），连接，，当，， 三点在同一直线上时.请 证明： . 【证明】和均为等边三角形，， ， ，， ， ， . ， . ，，在同一直线上， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 （2）大胆尝试：如图（2），连接，，当，， 三点在同一直线上时，作 于，猜想，与 的数量关系并证明你猜想的结论. 【解】 . 证明：同（1）可得 ， ， . ， ， . ， ， ， . ，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 （3）拓展延伸：如图（3），连接，，当 时，延长交 于 点，过点作于，，的面积为20，求 的长. 【解】如图，作交的延长线于，于 ， . 同（1）可得, ， . 是等边三角形， ， ，， . ，， . 的面积为20，的面积为20， . ，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 思路分析 作交的延长线于，于，同（1）可证 ，得 ，进而可得，故，再证明 ，得 .根据的面积为20，可知，解得 ，故 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 母题学大招17 半角模型 3.【2024上海闵行区质检，中】如图，正方形中，,分别在边, 上， 且 ，连接 ，这种模型属于“半角模型”中的一类.在解决“半角模 型”问题时，旋转是一种常用的解题方法.例如将绕点顺时针旋转 得 到,则可以证明“ ”，请写出证明过程. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 【解】 四边形为正方形，， . 绕点顺时针旋转 得到,， ， ,， , , ,, 共线. ， ， ， . 在和中, ， ，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 大招解读 半角模型 半角模型特征：①共端点的等线段；②共顶点的倍半角.通过旋转或作辅助线可以 构造全等三角形.常见的半角模型有 角含 角和 角含 角.半角模型 在实际应用中会证两次全等，如图，和 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 子题练变式 含60° 的半角模型 4.【2024江苏南京质检，中】已知四边形中，， ， ， ， ，绕 点旋转，它的两边分别交 ，（或它们的延长线）于,，连接 . 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 （1）当绕点旋转到时（如图（1）），，， 之间的数量 关系为______________. 【解】，， . ，，，， . ， ， ， , . ，， 是等边三角形， .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 （2）当在上，在上，但 时（如图（2）），（1）中结论是否成 立？请说明理由. 图（1） 【解】中结论成立.理由如下：延长到，使 ，连接 ，如图（1）. ，， . 又,， ， . ， ， ， ， . 又,， . ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 思路分析 延长到，使，连接，可得，则有 ， ，进而可证，推出 ，最后根据线段的等量 关系可得结论； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 （3）当在延长线上，在 延长线上时（如图（3）），（1）中结论是否成立？ 若不成立，线段，， 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想. 图（2） 【解】中的结论不成立，.在 上截取 ，连接 ，如图（2）. ，， . ，， ， . ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 ，， . 又，， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 在上截取，连接，根据题意易得，则有 ， ，进而可证，推出 即可得出结论． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 母题学大招18 费马点模型 5.【2024江苏扬州期末，较难】背景资料： 在已知所在平面上求一点 ，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小. 这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求 的点被人们称为“费马点”. 如图（1），当三个内角均小于 时，费马点在 内部，此时 ，此时， 的值最小. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 解决问题： 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 （1）如图（2），等边内有一点，若点到顶点，， 的距离分别为3， 4，5，求 的度数. 为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到 处，此时 ，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，， 转化到一 个三角形中，从而求出 ___________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _________________________________________________________________ ； 【解】， ， ，.由题意知旋转角 ， 为等边 三角形，，, 为直角三 角形，且 ， .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 基本运用： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 （2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 如图（3），中， ，，，为 上的点，且 ，判断，， 之间的数量关系并证明； 能力提升： 图（1） 【解】.证明如下：如图（1），把 绕点 逆时针旋转 得到，连接 .由旋转的性质得 ，，， ， ， ，.在 和 中， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ， ，， ， .由勾股定理得 ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （3）如图（4），在中， ，， ，点 为 的费马点，连接，，，求 的值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 34 图（2） 【解】如图（2），将绕点顺时针旋转 至 处， 连接，则，，, , 在中， ， ， ，， . ， ， 是等边三角形， ， ， ，，，， 四点 共线. , , .又, 在 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 35 中， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 大招解读 费马点模型 “费马点”是指到三角形三个顶点距离之和最小的点.主要分为两种情况： （1）当三角形三个内角都小于 时，通常将其中一个小三角形绕大三角形的 一个顶点旋转 . 例如：将绕点逆时针旋转 ,得到，连接 ,如图（1）,则 为等边三角形，，,即 ,当 ,,,四点共线时取得最小值，为 的长，如图（2）. 图（1） 图（2） （2）当三角形有一个内角大于或等于 时，费马点就是此内角的顶点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 37 $