专题01 三角函数（期中复习讲义）高一数学下学期人教B版

专题01 三角函数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 任意角与弧度制概念 题型二 弧长与扇形面积问题 题型三 三角函数定义 题型四 同角三角函数关系式的应用 题型五 利用诱导公式化简求值 题型六 求三角函数的性质 题型七 利用三角函数的性质求参数 题型八 三角函数的最值与值域 题型九 根据函数图象求解析式 题型十 三角函数图象变换过程 题型十一 三角函数模型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 任意角与终边相同角的表示 能正确写出终边相同角的集合并判断象限角 基础必考点，常出选择填空题，易漏写k∈Z 角度与弧度换算及扇形公式 能熟练进行角度弧度互化，并准确计算扇形弧长与面积 高频小题考点，公式易记混，单位易出错 数量积坐标运算 能通过坐标计算数量积、模长、夹角，快速判定向量垂直 高考必考基础点，常与解析几何结合，坐标计算易出错 同角三角函数基本关系 能利用平方关系与商数关系进行知一求二与化简 化简与求值必考，易忽略角的范围导致符号错误 诱导公式的应用 能运用“奇变偶不变，符号看象限”化简任意角三角函数 全题型必考，符号与函数名易出错 正弦、余弦、正切的图象与性质 能准确说出定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间 大题必考，单调区间与对称中心易写错 三角函数图象变换 能正确描述平移、伸缩变换过程 易错点突出，平移单位易算错 知识点01 任意角的概念与弧度制 1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为． ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是． ④角的减法可以转化为角的加法． 3．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 4．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2） 与中间用“”连接，如可理解成． （3）象限角的表示： 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 ·示例：写出与终边相同的角的集合，并判断是否与其终边相同。 解：与终边相同的角的集合为 令，解得，即 所以与终边相同。 5．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 6．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 ·示例：把、化为弧度；把、化为角度。 解：； 7．扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式：（角度制）、（弧度制） 面积公式：（角度制）、（弧度制） ·示例：已知扇形半径，圆心角，求弧长和面积。 解：； 知识点02 三角函数的定义 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦,记作,即 余弦 点的横坐标叫做的正弦,记作,即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数,记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中,应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和所在终边上的位置无关,而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正,三四象限负； 余弦：一四象限正,二三象限负； 正切：一三象限正,二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 ·示例：已知角终边过点，求。 解：；；； 知识点03 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. ·示例：已知，且为第二象限角，求。 解：由可得， 因为第二象限，所以，所以 知识点04 诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，．，，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． ·示例：计算。 解：因为，所以 知识点05 三角函数的图象与性质 1.正弦函数的图象（五点法） ①画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，，，，，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右平行移动(每次个单位长度)． 2．余弦函数图象 方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位长度即可，这是由于. 方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接． 2．周期函数 （1）周期函数的定义：一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. （2）最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期 3．正弦函数、余弦函数的图象与性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在()上单调递增; 在上单调递减 在上单调递增; 在()上单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当时， 对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 温馨提示：（1）正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调． （2）正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值． 4．正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间内单调递增 知识点06 三角函数的图象变换 注意：由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． ·示例：由如何得到。 解：法1：先平移后伸缩 向左平移 → ，横坐标缩短为原来 → 法2：先伸缩后平移 横坐标缩短为 → ，向左平移 → 题型一 任意角与弧度制概念 解｜题｜技｜巧 求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法：先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值． 例1．与角的终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 变式1-2．（多选）若，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式1-3．终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 题型二 弧长与扇形面积问题 解｜题｜技｜巧 （1）明确弧度制下扇形的面积公式是(其中是扇形的弧长,是扇形的半径, 是扇形的圆心角). （2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解. 例2．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 变式2-1．已知扇形的弧长为，面积为，则扇形的圆心角为________． 变式2-2．如图所示，已知的一条劣弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从顺时针旋转到所形成的角的弧度数是（   ） A． B． C． D． 变式2-3．已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 题型三 三角函数定义 解｜题｜技｜巧 1．求任意角的三角函数值的2种方法： 方法一：根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值. 方法二:①取点:在角的终边上任取一点,(与原点不重合); ②计算;③求值:由求值. 2．判断三角函数值正负的2个步骤 ①定象限：确定角所在的象限； ②定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 例3．已知平面直角坐标系中点位于第三象限，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 变式3-1．若，则为（    ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 变式3-2．已知角的终边经过点，且，则（   ） A．8或 B． C．8 D． 变式3-3．若是第一象限角，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 同角三角函数关系式的应用 解｜题｜技｜巧 1．知一求二 ①已知正弦（余弦），利用先求得余弦（正弦），然后利用求正切； ②已知正切，联立公式，可直接求得正余弦 2．三角齐次化的处理 ①对于或的求值,将分子分母同除以或,化成关于的式子,从而达到求值的目的. ②对于的求值,可看成分母是1,利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子,从而可以求值. 3．和差、乘积的的知一求二 ①，，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. ②求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 例4．已知，，则（   ） A． B．0 C． D．1 变式4-1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式4-3．若，，则______________． 题型五 利用诱导公式化简求值 解｜题｜技｜巧 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤： ①“负化正”：用公式一或三将负角转化为正角 ②“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角 ③“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角 ④“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值 例5．已知，则_________． 变式5-1．计算__________． 变式5-2．若，则（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知函数 . (1)化简； (2)若，求的值. 题型六 求三角函数的性质 例6．若函数，则下列结论错误的是（   ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．的单调递增区间为 D．图象的对称中心的坐标为 变式6-1．（多选）的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 变式6-2．（多选）已知函数，则下列结论错误的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是减函数 C．函数的图像关于点对称 D．函数的图像关于对称 变式6-3．（多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上的最小值为 D．在上单调递减 题型七 利用三角函数的性质求参数 例7．函数，若的一个单调递增区间为，且，则__________． 变式7-1．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为______． 变式7-2．已知函数图象的相邻两个对称中心的距离为，且函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式7-3．若函数的最小正周期为，函数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型八 三角函数的最值与值域 例8．已知函数 (1)求函数的最小正周期及单调递增区间. (2)若，求函数的值域. 变式8-1．函数（且）的值域是______． 变式8-2．若函数在有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式8-3．已知函数． (1)化简； (2)求的值； (3)求函数的值域． 题型九 根据函数图象求解析式 解｜题｜技｜巧 (1)如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求. ②待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式. 例9．函数的部分图象如图所示，其中，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围是_______. 变式9-1．如图，这是函数的部分图象，则（   ） A．， B．， C．， D．， 变式9-2．（多选）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．在上单调递减 C．的表达式可以写成 D．若关于的方程在上有且只有3个实数根，则 变式9-3．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)函数，的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值． 题型十 三角函数图象变换过程 例10．已知函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式10-1．已知曲线，，则下列说法正确的是（ ） A．把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线 B．把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到曲线 C．把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到曲线 D．把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到曲线 变式10-2．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．5 变式10-3．将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，或者向左平移个单位长度后，两者的图像完全重叠，则的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 题型十一 三角函数模型 例11．（多选）如图，以某摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为（，），且开始转动分钟后，座舱距离地面的高度为32米，转动分钟后，座舱距离地面的高度为米，该摩天轮转动一圈的时间为分钟，则（） A． B． C． D． 变式11-1．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：厘米）由关系式确定，其中，小球从最低点出发，经过秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当秒时，小球正在向上运动 D．当时，若小球有且仅有四次到达最高点，则 变式11-2．受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似地用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 变式11-3．某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1至12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系符合正弦函数模型即（其中，，），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟． (1)求1号座舱（A点）与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式； (2)求旋转2分钟后1号座舱（A点）离地面的距离； (3)在前24分钟内，求1号座舱（A点）与地面的距离为17米时t的值． 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（2025·26高一上·上海·期末）圆心角为，面积为的扇形的弧长为______． 2．（2025·26高一上·浙江杭州·期末）不等式的解集为_____________． 3．（2025·26高一上·上海·期末）已知为锐角，且，则______． 4．（2025·26高一上·广东汕头·期末）（多选）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的最大值为2 5．（2025·26高一上·河北承德·期末）已知函数的图象关于点对称，则的值为______． 6．（2025·26高一上·河北石家庄·期末）已知角满足. (1)若，求，的值； (2)若角的终边与角的终边关于x轴对称，求的值. 7．（2023·24高一上·福建厦门·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值. 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 8．（2025·26高一上·上海·期末）已知函数是定义在上的奇函数，在上是严格减函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·26高一上·安徽淮北·期末）函数是由图像向左平移，横坐标变为原来的变换得到，则与函数的交点个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（2025·26高一上·湖南衡阳·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·26高一上·广东广州·期末）已知，则的最小值为________． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 12．（2025·26高一上·福建福州·期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．直线是图象的一条对称轴 D．在上的图象与直线恰有11个交点 13．（2025·26高一上·河南郑州·期末）函数与图象的交点个数为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 14．（2025·26高一上·上海徐汇·期末）已知函数，的最小正周期为，函数，的最小正周期为．考虑如下两个命题： 命题甲：若且函数，的最小正周期为，则； 命题乙：若且函数，的最小正周期为，则． 下列说法中正确的是（   ） A．甲和乙均为真命题 B．甲和乙均为假命题 C．甲为真命题，乙为假命题 D．甲为假命题，乙为真命题 15．（2025·26高一上·陕西西安·期末）若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 任意角与弧度制概念 题型二 弧长与扇形面积问题 题型三 三角函数定义 题型四 同角三角函数关系式的应用 题型五 利用诱导公式化简求值 题型六 求三角函数的性质 题型七 利用三角函数的性质求参数 题型八 三角函数的最值与值域 题型九 根据函数图象求解析式 题型十 三角函数图象变换过程 题型十一 三角函数模型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 任意角与终边相同角的表示 能正确写出终边相同角的集合并判断象限角 基础必考点，常出选择填空题，易漏写k∈Z 角度与弧度换算及扇形公式 能熟练进行角度弧度互化，并准确计算扇形弧长与面积 高频小题考点，公式易记混，单位易出错 数量积坐标运算 能通过坐标计算数量积、模长、夹角，快速判定向量垂直 高考必考基础点，常与解析几何结合，坐标计算易出错 同角三角函数基本关系 能利用平方关系与商数关系进行知一求二与化简 化简与求值必考，易忽略角的范围导致符号错误 诱导公式的应用 能运用“奇变偶不变，符号看象限”化简任意角三角函数 全题型必考，符号与函数名易出错 正弦、余弦、正切的图象与性质 能准确说出定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间 大题必考，单调区间与对称中心易写错 三角函数图象变换 能正确描述平移、伸缩变换过程 易错点突出，平移单位易算错 知识点01 任意角的概念与弧度制 1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为． ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是． ④角的减法可以转化为角的加法． 3．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 4．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2） 与中间用“”连接，如可理解成． （3）象限角的表示： 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 ·示例：写出与终边相同的角的集合，并判断是否与其终边相同。 解：与终边相同的角的集合为 令，解得，即 所以与终边相同。 5．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 6．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 ·示例：把、化为弧度；把、化为角度。 解：； 7．扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式：（角度制）、（弧度制） 面积公式：（角度制）、（弧度制） ·示例：已知扇形半径，圆心角，求弧长和面积。 解：； 知识点02 三角函数的定义 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦,记作,即 余弦 点的横坐标叫做的正弦,记作,即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数,记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中,应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和所在终边上的位置无关,而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正,三四象限负； 余弦：一四象限正,二三象限负； 正切：一三象限正,二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 ·示例：已知角终边过点，求。 解：；；； 知识点03 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. ·示例：已知，且为第二象限角，求。 解：由可得， 因为第二象限，所以，所以 知识点04 诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，．，，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． ·示例：计算。 解：因为，所以 知识点05 三角函数的图象与性质 1.正弦函数的图象（五点法） ①画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，，，，，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右平行移动(每次个单位长度)． 2．余弦函数图象 方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位长度即可，这是由于. 方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接． 2．周期函数 （1）周期函数的定义：一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. （2）最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期 3．正弦函数、余弦函数的图象与性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在()上单调递增; 在上单调递减 在上单调递增; 在()上单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当时， 对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 温馨提示：（1）正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调． （2）正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值． 4．正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间内单调递增 知识点06 三角函数的图象变换 注意：由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． ·示例：由如何得到。 解：法1：先平移后伸缩 向左平移 → ，横坐标缩短为原来 → 法2：先伸缩后平移 横坐标缩短为 → ，向左平移 → 题型一 任意角与弧度制概念 解｜题｜技｜巧 求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法：先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值． 例1．与角的终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，则与角的终边相同的最小正角是. 变式1-1．已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】因为，所以是第四象限角． 变式1-2．（多选）若，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AC 【详解】当时，，故为第三象限角； 当时，，故为第一象限角． 故选：AC. 变式1-3．终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以终边落在边上的角为， 所以终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为. 故选：C. 题型二 弧长与扇形面积问题 解｜题｜技｜巧 （1）明确弧度制下扇形的面积公式是(其中是扇形的弧长,是扇形的半径, 是扇形的圆心角). （2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解. 例2．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设扇形的半径为，圆心角，因为扇形的弧长为， 所以扇形的半径，所以扇形的面积为. 变式2-1．已知扇形的弧长为，面积为，则扇形的圆心角为________． 【答案】 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 则，解得， 所以扇形的圆心角为. 变式2-2．如图所示，已知的一条劣弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从顺时针旋转到所形成的角的弧度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的半径为，过作于点，则为边中点． ∵，，， ∴边长， ∴劣弧的长． 又是负角， ． 变式2-3．已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)圆心角，面积的最大值为. 【分析】 【详解】（1）， ∴扇形的弧长； （2）由已知得，，所以，因为，所以， 所以扇形的面积，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，圆心角. 题型三 三角函数定义 解｜题｜技｜巧 1．求任意角的三角函数值的2种方法： 方法一：根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值. 方法二:①取点:在角的终边上任取一点,(与原点不重合); ②计算;③求值:由求值. 2．判断三角函数值正负的2个步骤 ①定象限：确定角所在的象限； ②定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 例3．已知平面直角坐标系中点位于第三象限，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】由点位于第三象限，得， 由，得角是第二、四象限角；由，得角终边在轴下方， 所以角为第四象限角. 变式3-1．若，则为（    ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 【答案】B 【详解】由题知，， 若是第一象限角，则，，故，不满足题意； 若是第二象限角，则，，故，满足题意； 若是第三象限角，则，，故，满足题意； 若是第四象限角，则，，故，不满足题意. 综上，为第二或第三象限角. 故选:B. 变式3-2．已知角的终边经过点，且，则（   ） A．8或 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】根据题意可得：，且坐标为负数，所以， 所以. 又，所以. 变式3-3．若是第一象限角，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是第一象限角，则， 则，为第一或第三象限角； 对A：若为第三象限角，则，故A错误； 对B：若为第三象限角，则，故B错误； 对C：为第一或第三象限角，则，故C正确； 对D：取，则，，， 此时，故D错误. 题型四 同角三角函数关系式的应用 解｜题｜技｜巧 1．知一求二 ①已知正弦（余弦），利用先求得余弦（正弦），然后利用求正切； ②已知正切，联立公式，可直接求得正余弦 2．三角齐次化的处理 ①对于或的求值,将分子分母同除以或,化成关于的式子,从而达到求值的目的. ②对于的求值,可看成分母是1,利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子,从而可以求值. 3．和差、乘积的的知一求二 ①，，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. ②求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 例4．已知，，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【详解】已知，， 由三角恒等式，代入得， 展开化简得， 两边同乘得， 由，代入得， 整理得，即，将代入， 得. 变式4-1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得 ，所以 ， 于是 ，故 ， 由于 ，且 ，则 ，， 因此 ，. 变式4-2．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为，等式两边平方得， 所以，故，所以， 所以，故， 因此. 变式4-3．若，，则______________． 【答案】0或 【详解】由已知可得，， 所以，， 整理可得，，解得或. 当时，，，； 当时，，，. 综上所述，或. 故答案为：0或. 题型五 利用诱导公式化简求值 解｜题｜技｜巧 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤： ①“负化正”：用公式一或三将负角转化为正角 ②“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角 ③“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角 ④“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值 例5．已知，则_________． 【答案】 【详解】因为，所以. 变式5-1．计算__________． 【答案】1 【详解】 变式5-2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 由，得， 即，则， 故. 变式5-3．已知函数 . (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）. （2）因为，所以 , . 因此 . 题型六 求三角函数的性质 例6．若函数，则下列结论错误的是（   ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．的单调递增区间为 D．图象的对称中心的坐标为 【答案】D 【详解】对于A，由，所以，所以的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，解得， 所以的定义域为，故B正确； 对于C，令，解得， 所以的单调递增区间为，故C正确； 对于D，令，解得， 所以图象的对称中心的坐标为，故D错误. 变式6-1．（多选）的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】 ．的递增区间是的递减区间， ， ， 令，得， 令，得． 故选：BC． 变式6-2．（多选）已知函数，则下列结论错误的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是减函数 C．函数的图像关于点对称 D．函数的图像关于对称 【答案】BC 【详解】由， 对于A，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为函数在上是减函数， 所以函数在上是增函数，故B错误； 对于C，因为， 所以函数的图像不关于点对称，故C错误； 对于D，设， 则， 所以函数的图像关于对称，故D正确. 故选：BC. 变式6-3．（多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上的最小值为 D．在上单调递减 【答案】AD 【详解】由题设， 对于A，，故的图象关于点对称，故A正确； 对于B, ， 故不是的图象的对称轴，故B错误； 对于C，当时，， 故，故， 故，此时，故C错误； 对于D，当时，， 而在上为减函数，故在上单调递减，故D正确； 故选：AD. 题型七 利用三角函数的性质求参数 例7．函数，若的一个单调递增区间为，且，则__________． 【答案】 【详解】因为的一个单调递增区间为， 所以周期，所以， 因为，所以或， 因为在上单调递增，所以，所以， 所以． 故答案为： 变式7-1．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为______． 【答案】4 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，， 解得，， 则的最小值为4． 故答案为：4 变式7-2．已知函数图象的相邻两个对称中心的距离为，且函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，则，即， 当，则， 由，则，且， 又函数在上单调递增， 所以，可得，故的最大值为. 变式7-3．若函数的最小正周期为，函数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 则函数. 因为函数满足，所以函数是奇函数， 则，解得， 而，因此最小可取. 故选：D. 题型八 三角函数的最值与值域 例8．已知函数 (1)求函数的最小正周期及单调递增区间. (2)若，求函数的值域. 【答案】(1)；单调递增区间为 (2)值域为 【分析】 【详解】（1）函数的最小正周期为： 由，得，， ∴函数的单调递增区间为， （2），， 其中当，即时，函数有最大值1， 当，即时，函数有最小值. ∴值域为. 变式8-1．函数（且）的值域是______． 【答案】 【详解】当时，，∴； 当时，，∴． 即当时，函数的值域是． 故答案为： 变式8-2．若函数在有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 由函数在有最小值，没有最大值， 得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 变式8-3．已知函数． (1)化简； (2)求的值； (3)求函数的值域． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）依题意，，而且有意义， 则且，即， 所以. （2）由（1）得. （3）由（1）得函数的定义域为， ，而或， 当时，；当时，， 所以函数的值域是. 题型九 根据函数图象求解析式 解｜题｜技｜巧 (1)如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求. ②待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式. 例9．函数的部分图象如图所示，其中，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】因为函数的图象过， 所以，， 所以，即，取，得. 又由且，解得， 所以. 所以， 令，当. 所以函数在上恰有2个零点，得， 即，所以实数的取值范围为. 变式9-1．如图，这是函数的部分图象，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为的图象过点，所以． 因为点落在单调递减区间对应的图象上，所以，． 因为，所以． 因为的图象过点，所以， 则，，解得，． 由图可得，解得，结合，得． 变式9-2．（多选）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．在上单调递减 C．的表达式可以写成 D．若关于的方程在上有且只有3个实数根，则 【答案】BCD 【详解】对A：由图知，，因此，故A错误； 对B：由五点法可知，因此，令，， 得经过最大值点的对称轴为，， 故，即为单调递减区间，故B正确； 对C：由诱导公式可知， 故C正确； 对D：令，故，故， 因为在上有且只有3个实数根，则，故D正确. 变式9-3．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)函数，的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由图象的最低点纵坐标为，可得， 由图可知，所以，解得. 函数为，代入可得， 所以，即，由，可得， 所以. （2），令，可得， 设，则，设，则； 作出简图如下，由图可知，； 所以 ， . 题型十 三角函数图象变换过程 例10．已知函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数图像向左平移个单位后得到函数. 由其图象关于原点对称可得. 所以. 由于，所以的最小值为. 变式10-1．已知曲线，，则下列说法正确的是（ ） A．把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线 B．把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到曲线 C．把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到曲线 D．把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到曲线 【答案】BCD 【详解】A.由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象， 再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，不符合题意； B.由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象， 再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，符合题意； C.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象， 再向右平移个单位长度，得到的图象，符合题意； D.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象， 再向左平移个单位长度，得到的图象，符合题意. 故选：BCD. 变式10-2．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【详解】由题意函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到， 所以，所以. 变式10-3．将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，或者向左平移个单位长度后，两者的图像完全重叠，则的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得， 将函数向左平移个单位长度后，可得， 要使得和的图像重合，即， 可得， 解得，即， 因为，当时，可得，即的最小值是. 故选：C. 题型十一 三角函数模型 例11．（多选）如图，以某摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为（，），且开始转动分钟后，座舱距离地面的高度为32米，转动分钟后，座舱距离地面的高度为米，该摩天轮转动一圈的时间为分钟，则（） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】已知周期分钟，故，故A正确； 由题意知，初始位置时高度最小，代入，（）， 得，故B正确； 即；代入得， 解得，故D错误； 当时，，故C正确. 故选：ABC. 变式11-1．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：厘米）由关系式确定，其中，小球从最低点出发，经过秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当秒时，小球正在向上运动 D．当时，若小球有且仅有四次到达最高点，则 【答案】D 【分析】 【详解】由题，小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，有，则，故A错误； 因为， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B错误； 因为小球运动的周期，所以小球在秒的运动状态等价于小球在秒的运动状态 当秒时，，当时，，故小球正在向下运动，故C错误； 若，则，又当时，小球有且仅有四次到达最高点， 所以，解得，即，故D正确； 变式11-2．受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似地用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 【答案】BC 【详解】由表格数据知，所以，A错误； 由，，B正确； 由，可得，则，所以，C正确； 由，得或，故水深低于3.75的时间为8小时，D错误. 变式11-3．某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1至12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系符合正弦函数模型即（其中，，），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟． (1)求1号座舱（A点）与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式； (2)求旋转2分钟后1号座舱（A点）离地面的距离； (3)在前24分钟内，求1号座舱（A点）与地面的距离为17米时t的值． 【答案】(1) (2)47 (3)或时，1号座舱与地面的距离为17米 【分析】 【详解】（1）依题意1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为 依题意可得，，则．又，∴， 当时，，又，所以， 所以． （2） 所以旋转2分钟后1号座舱（A点）离地面的距离米； （3）令，即，∴， ∵，∴， ∴或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（2025·26高一上·上海·期末）圆心角为，面积为的扇形的弧长为______． 【答案】 【详解】因为，所以，解得． 所以弧长． 2．（2025·26高一上·浙江杭州·期末）不等式的解集为_____________． 【答案】 【详解】由，则，故解集为. 3．（2025·26高一上·上海·期末）已知为锐角，且，则______． 【答案】 【详解】因为，， 所以，而为锐角，可得， 则，结合诱导公式可得. 4．（2025·26高一上·广东汕头·期末）（多选）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的最大值为2 【答案】ABD 【详解】对于选项A：函数最小正周期为，故A正确； 对于选项BD：因为为最大值， 可知的图象关于直线对称，故B正确，D正确； 对于选项C：因为， 所以不为的零点，故C错误. 5．（2025·26高一上·河北承德·期末）已知函数的图象关于点对称，则的值为______． 【答案】/ 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，，所以，． 又因为，所以． 故答案为： 6．（2025·26高一上·河北石家庄·期末）已知角满足. (1)若，求，的值； (2)若角的终边与角的终边关于x轴对称，求的值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】 【详解】（1），即，又， 故，， 又，故，； （2）角的终边与角的终边关于轴对称，则，， ，， 故. 7．（2023·24高一上·福建厦门·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)取到最大值， 取到最小值. 【分析】 【详解】（1）由图可得：函数的周期为，则， 因为，所以， 再由， 因为，所以， 即. （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 即， 因为，所以，即, 即当时，取到最大值，当时，取到最小值.nn 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 8．（2025·26高一上·上海·期末）已知函数是定义在上的奇函数，在上是严格减函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，，， ， 又函数是定义在上的奇函数，在上是严格减函数， 则函数在上为单调递减函数， 因为，所以， 即，故. 9．（2025·26高一上·安徽淮北·期末）函数是由图像向左平移，横坐标变为原来的变换得到，则与函数的交点个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】由图像变换可得， 当时，，故在为增函数， 当时，，故在为减函数， 当时，，故在为增函数， 当时，，故在为减函数， 设，则， ，， ， 而当时，， 在同一个坐标系中画出两个函数图像知有4个交点，由图可得两个函数的图像有4个交点. 10．（2025·26高一上·湖南衡阳·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，令， 由，得，则在上单调递减， 又在上单调递减，所以，即． 综上，的取值范围为． 11．（2025·26高一上·广东广州·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】/ 【详解】令，则， 则， 所以当时，函数取得最小值， 所以当时，函数取得最小值. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 12．（2025·26高一上·福建福州·期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．直线是图象的一条对称轴 D．在上的图象与直线恰有11个交点 【答案】ACD 【详解】选项A：由图象可知，，所以. 当时，，即， 所以，，即，. 又，所以. A正确. 选项B：由A知，. ，. 因为在上单调递减，，所以， 即. B错误. 选项C：令，，则，. 所以的对称轴为，. 当时，，C正确. 选项D：令，则，. 所以或，. 在上，时有1个解，时各有2个解，共11个解.D正确. 故选：ACD. 13．（2025·26高一上·河南郑州·期末）函数与图象的交点个数为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【详解】当时，；当时，．与的大致图象如图所示，由图可得交点个数为7． 14．（2025·26高一上·上海徐汇·期末）已知函数，的最小正周期为，函数，的最小正周期为．考虑如下两个命题： 命题甲：若且函数，的最小正周期为，则； 命题乙：若且函数，的最小正周期为，则． 下列说法中正确的是（   ） A．甲和乙均为真命题 B．甲和乙均为假命题 C．甲为真命题，乙为假命题 D．甲为假命题，乙为真命题 【答案】B 【详解】命题甲：取函数，，满足， 函数，，命题甲是假命题； 命题乙：取函数，，满足， 函数，，命题乙是假命题， 所以甲和乙均为假命题. 故选：B 15．（2025·26高一上·陕西西安·期末）若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，由，可得， 又因为函数恰有个零点，故函数在上有且仅有个零点， 因为，当时，， 所以，解得， 因此正实数的取值范围是. 故选：C. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $